UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBADE ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO Curso 2012-2013 (JUNIO) MATERIA: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II INSTRUCCIONES Y CRITERIOS GENERALES DE CALIFICACIÓN INSTRUCCIONES: El alumno deberá elegir una de las dos opciones A o B que figuran en el presente examen y contestar razonadamente a los cinco ejercicios de los que consta la opción elegida. Para la realización de esta prueba se puede utilizar calculadora científica, siempre que no disponga de capacidad de representación gráfica o de cálculo simbólico. CALIFICACIÓN: La puntuación máxima de cada ejercicio es de 2 puntos. TIEMPO: Una hora y treinta minutos.

OPCIÓN A Problema 1.- (Calificación máxima: 2 puntos) 3 2 0    Dada la matriz A =  1 0 − 1 1 1 1   

a) Calcúlese A‒1.  x  1     b) Resuélvase el sistema de ecuaciones dado por A ⋅  y  =  0   z  1     Solución. a.

A −1 =

1 (adj A )t A 3 2

0

1 1

1

A = 1 0 − 1 = 0 − 2 + 0 − (0 + 2 − 3) = −1  0 +  1  2 adj A =  −  1  2 +  0 

−1 1 0

−

1 3 + 1 1 0 3 − −1 1 A −1 =

b.

1 −1

1 A

1 0  1 1 1  1 − 2 − 2  1 −2 1     0 3 2  t  =  − 2 3 −1  − (adj A ) =  − 2 3 3  1 1 1   1 −1 − 2  − 2 3 − 2    0 3 2   + −1 1 0  2   1 − 2 − 2  −1 2     (adj A )t = 1  − 2 3 3  =  2 − 3 − 3 −1    2   1 −1 − 2  −1 1 +

La forma más rápida de resolver el sistema es mediante la matriz inversa. 2  1 x 1 x 1  x   −1 2           −1 −1   −1   A ⋅ A ⋅ y = A ⋅0 I ⋅ y  = A ⋅0  y  =  2 − 3 − 3 ⋅  0  z 1 z 1  z   −1 1 2   1            

 x   −1 + 0 + 2   1         y  =  2 + 0 − 3  =  − 1  z   −1 + 0 + 2   1       

1

Problema 2.- (Calificación máxima: 2 puntos)

Se desea maximizar la función f (x, y ) = 64,8x + 76,5y sujeta a las restricciones: 5x + 5 y ≤ 700 , 2 x + 3y ≤ 300 , x ≥ 0 , y ≥ 0 a) Represéntese gráficamente la región de soluciones factibles y calcúlense las coordenadas de sus vértices. b) Determínese el valor máximo de f sobre la región, indicando el punto donde se alcanza dicho máximo. Solución. a. Para dibujar la región factible, se hace una tabla de valores. Una vez representadas las dos rectas, para delimitar la región factible, tomo como punto de prueba el (0, 0).

(0,0 )

5x + 5y ≤ 700 → 0 ≤ 700 Se cumple

(0,0 )

2 x + 3y ≤ 300 → 0 ≤ 300 Se cumple Vértices: - A (0, 100)

6x + 5y = 700 - B: (75, 50) 2x + 3y = 300 - C(116'7, 0)

- D(0, 0 )

b. Vértice A B C D

x 0 75 116’7 0

y 100 50 0 0

f(x, y) = 64’8x + 76’5 y 7650 8685 7562’16 0

Cumpliendo las estricciones propuestas, la función f(x, y) alcanza un valor máximo de 8685 en el vértice B,

Problema 3.- (Calificación máxima: 2 puntos)

Se considera la función real de variable real definida por f (x ) = 3e −2 x , a) Obténgase la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto x = 0. b) Calcúlese el área de la región plana acotada limitada por la gráfica de f, las rectas x = 0, x = 0,5 y el eje de abscisas. Solución. a. La ecuación de la recta tangente a la función en el punto (0, f(0)) en forma punto pendiente es: y − f (0) = f ′(0 )(x − 0)

f (0) = 3e −2 ⋅0 = 3 ⋅ e 0 = 3 ⋅1 = 3 f ′(x ) = 3e −2 x ⋅ (− 2 ) = −6e −2 x

f ′(0) = −6 ⋅ e −2 ⋅0 = −6 ⋅ e 0 = −6 ⋅1 = −6

Sustituyendo en la expresión de la recta tangente: y − 3 = −6(x − 0) y = −6 x + 3

b.

Teniendo en cuenta que f (x ) = 3e −2 x > 0 ∀ x ∈ R

Área =

∫

0,5

0

3e − 2 x dx =

∫

0,5

0 ,5

3 3  3   3  e − 2 x ⋅ (− 2) dx =  − e − 2 x  = − e − 2 ⋅0,5 −  − e − 2⋅0  −2 0 2 2 2  0  

2

(

)

3 3 3 3 1 = − e −1 + e 0 = 1 − e −1 = 1 −  2 2 2 2 e

Problema 4.- (Calificación máxima: 2 puntos) Al analizar las actividades de ocio de un grupo de trabajadores fueron clasificados como deportistas o no deportistas y como lectores o no lectores. Se sabe que el 55% de los trabajadores se clasificaron como deportistas o lectores, el 40% como deportistas y el 30% como lectores. Se elige un trabajador al azar: a) Calcúlese la probabilidad de que sea deportista y no sea lector. b) Sabiendo que el trabajador elegido es lector, calcúlese la probabilidad de que sea deportista. Solución. Se define los siguientes sucesos: A ≡ Deportista B ≡ Lector a. Datos: - 55% de los trabajadores se clasificaron como deportistas o lectores p(A ∪ B) = 0,55 -

el 40% son deportistas p(A ) = 0,40

el 30% son lectores p(B) = 0,30

(

)

Se pide: p A ∩ B = p(A ) − p(A ∩ B) La intersección se obtiene a partir de la unión: p(A ∪ B) = p(A ) + p(B) − p(A ∩ B)

p(A ∩ B) = p(A ) + p(B) − p(A ∪ B )

p(A ∩ B) = 0,40 + 0,30 − 0,55 = 0,15

Conocida la intersección se calcula lo que se ha pedido. p A ∩ B = p(A ) − p(A ∩ B) = 0,40 − 0,15 = 0,25

(

b.

)

p(A ∩ B) 0,15 ( B)BAYES = = = 0,50 p(B) 0,30

pA

Problema 5.- (Calificación máxima: 2 puntos) El número de megabytes (Mb) descargados mensualmente por el grupo de clientes de una compañía de telefonía móvil con la tarifa AA se puede aproximar por una distribución normal con media 3,5 Mb y desviación típica igual a 1,4 Mb. Se toma una muestra aleatoria simple de tamaño 49. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral sea inferior a 3,37 Mb? b) Supóngase ahora que la media poblacional es desconocida y que la media muestral toma el valor de 3,42 Mb. Obténgase un intervalo de confianza al 95% para la media de la población. Solución. a. x ≡ Mb descargados mensualmente. Variable continua que sigue una distribución Normal x : N(µ, σ ) σ = 1,4 Mb µ = 3,5 Mb Para muestras de tamaño n = 49 elementos, las medias muestrales también siguen una distribución Normal.

 σ   x : N µ , n 

 1,4   = N x (3'5, 0'2) x : N 3'5, 49  

Se pide calcular:

p(x < 3,37 )

x = 3'37   SIMETRIA 3 ' 37 − 3 ' 5 = p(z > 0,65) = p z ≤ 0'65 = z =  = p(z < −0'65) = − 0 , 65 N x (3'5, 0'2 )  0 , 2  

(

=

= 1 − p(z ≤ 0'65) = 1 − φ(0,65) = 1 − 0'7422 = 0,2578 p(x < 3,37 ) = 25,78%

3

)

b.

Intervalo de confianza para la media poblacional a partir de la media de una muestra.  σ σ   x − Z α 2 ⋅  , x + Zα 2 ⋅ n n 

El valor de Zα/2 se obtiene a partir del nivel de confianza. Nivel de confianza del 95% ⇒ 1 ‒ α = 0,95: α = 0,05  α  0,05  −1 Z α 2 = φ −1 1 −  = φ −1 1 −  = φ (0,9750) = 1,96 2   2 

 1,4 1,4   3'42 − 1'96 ⋅  = (3'03, 3'81) , 3'42 + 1'96 ⋅ 49 49   Con una probabilidad del 95% se puede estimar que la media de descargas mensuales va a estar comprendida entre 3’03 y 3’81 Mb.

4

OPCIÓN B Problema 1.- (Calificación máxima: 2 puntos) Se considera el sistema lineal de ecuaciones dependientes del parámetro real a: = 2 ax − 2 y  3x − y − z = − 1  x + 3y + z = 1  a) Discútase en función de los valores del parámetro a ∈ R b) Resuélvase para a = 1. Solución. a − 2 0 2  a − 2 0      A* =  3 − 1 − 1 − 1 a. A =  3 − 1 − 1 1 3 1 1  1 3  1   A ⊂ A* ⇒ rg A ≤ rg A* ≤ 3 . n = 3. Si A ≠ 0 ⇒ rg A = 3 = rg A* = n Sistema compatible determinado. Se discute el tipo de solución del sistema para los valores del parámetro que anulan el determinante de la matriz de coeficientes. a −2 0

det A = 3 1

− 1 − 1 = −a + 2 + 0 − (0 − 6 − 3a ) = 2a + 8 3 1

A = 0 ⇒ 2a + 8 = 0 ; a = −4

Discusión: i. Si a ≠ ‒4. A ≠ 0 ⇒ rg A = 3 = rg A* = n Sistema compatible determinado.

− 4 − 2 0    4 −2 Si a = ‒4. A = 0 ⇒ rg A < 3 A =  3 − 1 − 1 = −4 − (− 6) = 2 ≠ 0 ⇒ rg A = 2 . 3 −1  1  3 1  − 4 − 2 0 2    A* =  3 − 1 − 1 − 1 rgA* ≥ 2 . De los menores orlados al menor 4 − 2 , solo queda por  1 3 −1 3 1 1  

ii.

4 −2 estudiar 3

1 b.

2

− 1 − 1 = 2 ≠ 0 , rg A* = 3 ≠ rg A. Sistema incompatible. 3

1

Para a = 1, sistema compatible determinado, se puede resolver mediante el método de Cramer. = 2  x − 2y a =1  3 x − y − z = −1 A = 2a + 8 = 2 ⋅1 + 8 = 10   x + 3y + z = 1 

2

−2

0

1

−1 −1 −1 x=

Ax A

=

1

3 10

1

2

1 −2

0

3 −1 −1 =

4 10

y=

Ay A

=

1

1 10

5

1

=

−8 10

z=

Az A

=

2

3

−1 −1

1

3 10

1

=

30 =3 10

Problema 2.- (Calificación máxima: 2 puntos)  ex si x < 0  Se considera la función real de variable real f (x ) =  a + 3x si x ≥ 0  x 2 − 4x + 3 a) Estúdiese la continuidad de f en x = 0 para los distintos valores del parámetro a. b) Determínense las asíntotas de la función. Solución. Para que la función sea continua en x = 0, se debe cumplir: a. Lim f (x ) = Lim f (x ) = f (0 ) x →0 −

x →0+

  x →0 − x →0 −  a + 3x a + 3⋅ 0 a a Lim f (x ) = Lim = =  :1 = ⇒ a = 3 2 + + x 2 − 4x + 3 3 3 0 − 4⋅0 + 3 x →0 x →0  a a + 3⋅ 0  f (0) = =  02 − 4 ⋅ 0 + 3 3  Lim f (x ) = Lim e x = e 0 = 1

Discusión: i. Si a = 3. Continua en x = 0 ii. Si a ≠ 3. Los límites laterales no coinciden en x = 0, por lo tanto la función no tiene límite en el punto. Discontinua no evitable de salto finito. Asíntotas verticales. Son rectas de la forma x = a / a ∉ Dominio y Lím f (x ) =

b.

x →a

k 0

Dominio de la función:

x = 1 x 2 − 4x + 3 = 0 :  x = 3 a + 3x a +3 Lím f (x ) = Lím = ⇒ x = 1 Asíntota vertical 0 x →1 x →1 x 2 − 4 x + 3 a + 3x a +9 Lím f (x ) = Lím = ⇒ x = 3 Asíntota vertical 2 0 x →3 x → 3 x − 4x + 3 Asíntota horizontal. Son rectas de la forma y = L / L = Lím f (x ) x → ±∞

Lím f (x ) = Lím e x = e −∞ = 0

x → −∞

x → −∞

Lím f (x ) = Lím

a + 3x

x → +∞ x 2

x → +∞

− 4x + 3

=0

y = 0 es asíntota horizontal Por tener asíntota horizontal hacia ±∞, la función no tiene asíntota oblicua.

Problema 3.- (Calificación máxima: 2 puntos)

Se considera la función real de variable real definida por f (x ) = x (5 − x )2 . a) Determínense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f. b) Determínense los intervalos de concavidad y convexidad de f. Solución. a. Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función se asocian al signo de su derivada, en los intervalos en los que f ′(x ) > 0 , la función es creciente, en los que f ′(x ) < 0 , la función es decreciente.

(

)

f (x ) = x (5 − x )2 = x 25 − 10x + x 2 = x 3 − 10x 2 + 25x

x = 5 3 3x 2 − 20x + 25 = 0 :   x = 5 Si x < 5 / 3 ⇒ f ′(x ) > 0 , f(x) es CRECIENTE Si 5 / 3 < x < 5 ⇒ f ′(x ) < 0 , f(x) es DECRECIENTE Si x > 5 ⇒ f ′(x ) > 0 , f(x) es CRECIENTE f ′(x ) = 3x 2 − 20x + 25

• • •

6

f ′(x ) = (3x − 5) ⋅ (x − 5)

b.

Los intervalos de curvatura de asocian al signo de la segunda derivada. Si f ′′(x ) > 0 ⇒ f(x) es cóncava Si f ′′(x ) < 0 ⇒ f(x) es convexa

f ′′(x ) = 6x − 20 •

Si x < 10

3

•

Si x > 10

3

f ′′(x ) = 0

x=

⇒ f ′′(x ) < 0 ⇒ f(x) es convexa

10 3

⇒ f ′′(x ) > 0 ⇒ f(x) es cóncava

Problema 4.- (Calificación máxima: 2 puntos) Una tienda de trajes de caballero trabaja con tres sastres. Un 5% de los clientes atendidos por el sastre A no queda satisfecho, tampoco el 8% de los atendidos por el sastre B ni el 10% de los atendidos por el sastre C. El 55% de los arreglos se encargan al sastre A, el 30% al B y el 15% restante al C. Calcúlese la probabilidad de que: a) Un cliente no quede satisfecho con el arreglo. b) Si un cliente no ha quedado satisfecho, le haya hecho el arreglo el sastre A. Solución. Sucesos: - A ≡ El cliente es atendido por el sastre A - B ≡ El cliente es atendido por el sastre B - C ≡ El cliente es atendido por el sastre C - S ≡ El cliente queda satisfecho. Datos:

a.

( ) ((

) (

p(A ) = 0,55

p(B) = 0,30

p(C ) = 0,15

p S  = 0,05  A

p S  = 0,08  B

p S  = 0,10  C

) (

)) (

) (

) (

)

p S = p A ∩ S ∪ B∩ S ∪ C∩ S = p A ∩ S + p B∩ S + p C∩ S = = p(A ) ⋅ p S  + p(B) ⋅ p S  + p(C ) ⋅ p S  = 0,55 ⋅ 0,05 + 0,30 ⋅ 0,08 + 0,15 ⋅ 0,10 = 0,0665  A  B  C p S = 6,65%

()

b.

(

  ) p(A )⋅ p S A  = 0,55 ⋅ 0,05 = 0,4135 () p(S ) 0,0665

p A∩S p A  = =  S pS

p A  = 41,35%  S

Problema 5.- (Calificación máxima: 2 puntos) La duración en horas de un determinado tipo de bombillas se puede aproximar por una distribución normal de media µ y desviación típica igual a 1940 h. Se toma una muestra aleatoria simple. a) ¿Qué tamaño muestral se necesitaría como mínimo para que, con un nivel de confianza del 95%, el valor absoluto de la diferencia entre µ y la duración media observada X de esas bombillas sea inferior a 100h? b) Si el tamaño de la muestra es 225 y la duración media observada X es de 12415 h, obténgase un intervalo de confianza al 90% para µ. Solución. a. El tamaño muestral se obtiene a partir del máximo error admitido.

zα

2

2

σ  n >  Zα 2  ε n  0,05   α   Nivel de confianza : 1 − α = 0,95 −1  −1 = φ −1 1 −  =   = φ (0,9750) = 1,96  = φ 1 − α = 0,05 2   2   

ε > Zα 2

σ

7

2

1940   n > 1,96 ⋅  = 1445,8 100   b.

n ≥ 1446

Nivel de confianza del 90%: 1 − α = 0,9 ; α = 0,1  α  0,1  −1 Z α 2 = φ −1 1 −  = φ −1 1 −  = φ (0,9500) = 1,645 2   2  Intervalo de confianza:  1940 1940  σ σ    = (12202, 12628)  x − Z α 2  = 12415 − 1,645 ⋅ , x + Zα 2 , 12415 + 1,645 ⋅ n n  225 225  

Con una confianza del 90% se puede estimar que la duración en horas de este tipo de bombillas va a estar comprendido entre 12202 y 12628 h.

8