Septiembre 2014 Opción A cos(3x) − e x + ax Ejercicio 1.- Sabiendo que lim es finito, calcula a y el valor del límite. x→0 xsen(x) cos(3x) − e x + ax "0" sen(3x)⋅ 3 − e x + a lim = = lim x→0 x→0 sen(x) + x cos(x) xsen(x) 0 Llegados a este punto, se observa que pueden producirse dos indeterminaciones distintas según los valores de a:

- En el caso de que a ≠ 1 cos(3x) − e x + ax "0" sen(3x)⋅ 3 − e x + a −1+ a = = lim = =∞ x→0 x→0 sen(x) + x cos(x) xsen(x) 0 0

lim

- Por otra parte, en el caso de que a = 1 cos(3x) − e x + ax "0" sen(3x)⋅ 3 − e x + a 0 9 cos(3x) − e x 8 lim = = lim = = lim = =4 x→0 x→0 x→0 xsen(x) 0 sen(x) + x cos(x) 0 cos(x) + cos(x) − xsen(x) 2 Ejercicio 2.- Calcula: 1

x2 ∫0 2x 2 − 2x − 4 dx Al tratarse de una integral que implica una división de polinomios, podemos calcular la división para así simplificar la integral:

D

r

∫ d =∫ c + ∫ d 2x 2 − 2x − 4

x2 −x 2

x 2

0

x 2

1 2

x2 1 x+2 1 1 x+2 ∫ 2x 2 − 2x − 4 dx = ∫ 2 dx + ∫ 2x 2 − 2x − 4 dx = 2 x + 2 ∫ x 2 − x − 2 dx La segunda integral es necesario resolverla mediante el método de separación en fracciones simples:

⎧ x = −1 x2 − x − 2 = 0 → ⎨ ⎩x = 2 x+2 A B B(x + 1) + A(x − 2) = + = 2 x − x − 2 x +1 x − 2 x2 − x − 2 −1 x = −1 → 1 = −3A → A = 3 4 x = 2 → 4 = 3B → B = 3 Y por tanto, la integral queda:

x2 1 x+2 1 1 x+2 ∫ 2x 2 − 2x − 4 dx = ∫ 2 dx + ∫ 2x 2 − 2x − 4 dx = 2 x + 2 ∫ x 2 − x − 2 dx = 1 1 ⎛ −1 / 3 4/3⎞ 1 1 ⎛ −1 4 ⎞ x+ ⎜∫ +∫ = x + ⎜ Ln x + 1 + Ln x − 2 ⎟ ⎟ ⎠ 2 2 ⎝ x +1 x − 2⎠ 2 2⎝ 3 3 Finalmente, como la integral era definida, podemos aplicar la regla de Barrow para resolverla, siendo F(x) el resultado de la integral indefinida:

∫

b

a

f (x)dx = F(b) − F(a)

x2 4 4 ⎛ 1 1 ⎛ −1 ⎞ ⎞ ⎛ 1 ⎛ −1 ⎞⎞ ∫0 2x 2 − 2x − 4 = F(1) − F(0) = ⎜⎝ 2 + 2 ⎜⎝ 3 Ln(2) + 3 Ln −1 ⎟⎠ ⎟⎠ − ⎜⎝ 2 ⎜⎝ 3 Ln(1) + 3 Ln −2 ⎟⎠ ⎟⎠ = 1

⎛1 1 ⎞ ⎛2 ⎞ 1 1 = ⎜ + Ln(2)⎟ − ⎜ Ln(2)⎟ = − Ln(2) ⎝2 2 ⎠ ⎝3 ⎠ 2 6 Ejercicio 3.- Considera el siguiente sistema de ecuaciones:

⎧ x − y + mz = 0 ⎪ ⎨ mx + 2y + z = 0 ⎪−x + y + 2mz = 0 ⎩ a) Halla los valores del parámetro m para los que el sistema tiene una única solución. En primer lugar, definimos la matriz del sistema:

⎛ ⎜ A* = ⎜ ⎜ ⎝

1 −1 m m 2 1 −1 1 2m

0 0 0

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

Se trata de un sistema homogéneo, por lo que el Rango de la matriz de coeficientes (A) será el mismo que el de la matriz ampliada (A*), y por tanto, el sistema siempre será compatible, es decir, tendrá soluciones. Para saber qué valores de m hacen que el sistema tenga una única solución es necesario ver cuando se trata de un sistema compatible determinado, y para ello buscamos los valores de m que hacen que los rangos sean 3.

1 −1 m m 2 1 = 4m + m 2 + 1− ( −2m + 1− 2m 2 ) = 3m 2 + 6m = 3m(m + 2) −1 1 2m ⎧m = 0 3m ( m + 2 ) = 0 → ⎨ ⎩ m = −2 Por tanto, si m es distinto de 0 y de -2, el determinante será distinto de 0 por lo que A y A* tendrán rango 3 (solución única). De este modo, al tratarse de un sistema homogéneo, la solución para este caso será la trivial, es decir:

⎧x = 0 ⎪ ⎨y = 0 ⎪z = 0 ⎩ b) Halla los valores del parámetro m para los que el sistema tiene alguna solución distinta de la solución nula. Por el contrario, si m = 0 o m = -2, la matriz A tendrá rango 1 o rango 2, y, nuevamente, valiéndonos de que es homogéneo, podremos asegurar que será un sistema compatible indeterminado, es decir, tendrá soluciones infinitas y no solo la solución nula. c) Resolver el sistema para m = -2 En este caso, la matriz del sistema queda de la siguiente manera:

⎛ ⎜ A* = ⎜ ⎜ ⎝

Puesto que el determinante:

a11

a13

a21 a23

1 −1 −2 −2 2 1 −1 1 −4

=

0 0 0

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

1 −2 = 1− 4 ≠ 0 , el rango de A y el de A* serán 2 −2 1

y por tanto tendremos un sistema compatible indeterminado con 1 grado de libertad. Como el rango es 2, usaremos tan solo dos ecuaciones, puesto que la tercera se trata de una combinación lineal de las dos anteriores (no entró en el determinante 2x2 que empleamos para demostrar el rango). Además, como tenemos 1 grado de libertad, habremos de parametrizar una incógnita, en este caso la y, que fue la que quedo excluida del determinante 2x2. Con todo esto, resolvemos:

⎧y = λ ⎧y = λ ⎪ ⎪ ⎨ x − y − 2z = 0 → ⎨ x − 2z = λ ⎪−2x + 2y + z = 0 ⎪−2x + z = −2 λ ⎩ ⎩

−3z = 0 → z = 0 → x = λ ⎧x = λ ⎪ ⎨y = λ ⎪z = 0 ⎩

⎧ x = 1+ 2t ⎪ Ejercicio 4.- Considera los puntos A(1,1,2) y B(1,-1,-2) y la recta r dada por: ⎨ y = t ⎪z = 1 ⎩ a) Halla la ecuación general del plano que contiene a r y es paralelo a la recta que pasa por A y B. El plano podemos definirlo mediante 1 punto y 2 vectores de la siguiente forma:

!!!" ⎧v1 = AB = ( 0,−2,−4 ) = ( 0,1,2 ) ⎪ π ≡ ⎨v2 = vr = ( 2,1,0 ) ⎪ A(1,1,2) ⎩ x −1 y −1 z − 2

π≡

0 2

1 1

2 0

= −2 ( x − 1) − ( −4 ) ( y − 1) + −2 ( z − 2 ) = 0 → −2x + 4y − 2z + 2 = 0

b) Halla el punto de la recta r que está a la misma distancia de A que de B. Puesto que el ejercicio nos pide un punto de la recta r, en primer lugar partimos de las ecuaciones parámetricas de la recta para definir todos los puntos pertenecientes a dicha recta:

Pr = (1+ 2t,t,1) A continuación, sabemos que:

!!!" !!!" d(Pr , A) = d(Pr , B) → Pr A = Pr B !!!" !!!" 2 Pr A = ( −2t,1− t,1) → Pr A = 4t 2 + (1− t ) + 1 = 5t 2 − 2t + 2 !!!" !!!" 2 Pr B = ( −2t,−1− t,−3) → Pr B = 4t 2 + ( −1− t ) + 9 = 5t 2 + 2t + 10 5t 2 − 2t + 2 = 5t 2 + 2t + 10 → 5t 2 − 2t + 2 = 5t 2 + 2t + 10 → −4t = 8 → t = −2 Pr ( −3,−2,1)

Opción B Ejercicio 1.- De entre todos los números reales positivos, determina el que sumando con su inverso da suma mínima. El problema nos pide que minimizar la siguiente función:

f (x) = x +

1 x

Para encontrar su mínimo derivamos en primer lugar:

f '(x) = 1−

1 x2

A continuación, igualamos a 0 para encontrar los candidatos a vértices, es decir, los puntos críticos:

f '(x) = 0 → 1−

1 = 0 → 1 = x 2 → x = ±1 2 x

Finalmente, estudiamos el signo de la derivada para identificar el mínimo:

←⎯⎯⎯ → −1 ←⎯⎯⎯ → 0(A.V ) ←⎯⎯⎯ →1 ←⎯⎯ ⎯ → f '(−2)>0 f '(−0,5)0 f crece

f decrece

f decrece

f crece

Por tanto, tenemos que x=1 es el mínimo y por tanto el número buscado. Ejercicio 2.- Calcula

∫

π 4

0

∫

π 4

0

x dx cos 2 x

π ⎧u = x → du = dx x 2 4 dx = x sec x dx = → ⎨ ∫0 2 cos 2 x ⎩dv = sec (x) → v = tg(x) π

⎛π ⎛π⎞ ⎞ xtg(x) π0 /4 − ∫ 4 tg(x)dx = ⎜ tg ⎜ ⎟ − 0tg(0)⎟ + Ln cos x 0 ⎝ 4 ⎝ 4⎠ ⎠

π /4 0

=

⎛ 2⎞ ⎞ π π ⎛ ⎛π⎞ + ⎜ Ln cos ⎜ ⎟ − Ln cos(0) ⎟ = + Ln ⎜ ⎝ 4⎠ 4 ⎝ ⎠ 4 ⎝ 2 ⎟⎠

⎛ x y z ⎞ ⎜ ⎟ Ejercicio 3.- Sabiendo que el determinante de la matriz A = ⎜ 1 0 1 ⎟ es 2, calcula los ⎝ 1 2 3 ⎠ siguientes determinantes indicando, en cada caso, las propiedades que utilices: a) det(3A)

3x 3y 3z 3A =

b) det(A −1 )

3 3

0 6

3 9

= 33 ⋅ A = 27 ⋅ 2 = 54

−1 El determinante de la matriz inversa, por definición es: A =

c)

1 1 = A 2

3 0 1 3x 2y z 3

4

3 x y z 3 0 1 1 0 1 3x 2y z = 3⋅ 2 x y z = −6 1 0 1 = −12 1 2 3 3 4 3 1 2 3

d)

1 2 3 x+2 y+4 z+6 −1

−1

0

1 2 3 x+2 y+4 z+6 = − −1

−1

0

x+2 y+4 z+6 =−

1 1

0 2

1 3

x+2 y+4 z+6 1 2 3 −1 0 −1 = −1 0 −1 = x+2 y+4 z+6 1 2 3 x

y

z

f1 = f1 − 2 f3 − 1 0 1 = −2 1 2 3

Ejercicio 4.- Sea la recta que pasa por los puntos A(1,0,-1) y B(2,-1,3). a) Calcula la distancia del origen de coordenadas a la recta r. En primer lugar, definimos la recta r:

!!!" ⎧ x = 1+ λ ⎧ AB = (1,−1, 4) ⎪ r≡⎨ → r ≡ ⎨y = −λ ⎩ A(1,0,−1) ⎪ z = −1+ 4 λ ⎩ Para calcular la distancia del origen a r tomamos dos puntos cualesquiera de r, de modo que al unirlos con el punto C (origen) se obtenga un triángulo. A continuación, calculamos el área de dicho triángulo de dos formas y las igualamos, pues la altura del triángulo es la distancia del punto C a la recta r.

Los dos puntos de la recta r escogidos son los proporcionados en el enunciado. De esta forma, se tiene que:

!!!" AB = (1,−1, 4) 1 1 !!!" 1 A = base × altura = AB ⋅ d(O,r) = 18 ⋅ d(O,r) 2 2 2 1 !!!" !!!" A = OA × OB 2 Para la segunda forma, que emplea la propiedad del producto vectorial que dice que su módulo es

!!!"

!!!"

el área del paralelogramo, necesitamos tener el producto vectorial de los vectores CA y CB

!!!" OA = (1,0,−1) !!!" OB = ( 2,−1, 3) i j k !!!" !!!" OA × OB = 1 0 −1 = 2 −1 3 !!!" !!!" OA × OB = 27

(

−1 −5 −1

)

Y por tanto:

1 ⎫ 18 ⋅ d(O,r) ⎪⎪ 3 3 3 2 2 ⋅ d(O,r) = 3 → d(O,r) = u ⎬= ! !! " ! !! " 1 1 2 2 2 ⎪ A = OA × OB = 27 ⎪⎭ 2 2 A=

b) Halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a r y pasa por el origen de coordenadas:

La recta que buscamos es la formada por el origen de coordenadas y el punto proyección del origen sobre la recta r:

Para ello, en primer lugar definimos el plano π de la siguiente forma:

!" ! !" ⎧vn = vr = (1,−1, 4) ⎧ x − y + 4z = D π≡⎨ →⎨ → π ≡ x − y + 4z = 0 ⎩O(0,0,0) ⎩O(0,0,0) A continuación, el punto M, proyección del origen sobre la recta r, lo calculamos como la intersección del plano y la recta:

⎧ x − y + 4z = 0 ⎪ 1 ⎪ ⎧ x = 1+ λ r ∩ π ≡ ⎨⎪ → (1+ λ ) − (− λ ) + 4(−1+ 4 λ ) = 0 → 18 λ − 3 = 0 → λ = 6 ⎪⎨ y = −λ ⎪ ⎪⎩ ⎩ z = −1+ 4 λ ⎛ 7 1 1⎞ M ⎜ ,− ,− ⎟ ⎝ 6 6 3⎠ Por tanto, la ecuación de la recta buscada queda:

⎧O(0,0,0) ⎪ s ≡ ⎨ ⎛ 7 1 1⎞ ⎪ M ⎜⎝ 6 ,− 6 ,− 3 ⎟⎠ ⎩

7 ⎧ x = λ ⎪ 6 ⎪ 1 ⎪ → ⎨y = − λ 6 ⎪ 1 ⎪ ⎪⎩ z = − 3 λ