´ XLIV SEMANA DE LA MATEMATICA Octubre 2018 Instituto de Matem´ aticas Pontificia Universidad Cat´ olica de Valpara´ıso

CHARLA

Comportamiento asint´ otico de algunos Conjuntos de Julia. Samuel Vega Maldonado Pontificia Universidad Cat´ olica de Valpara´ıso.

RESUMEN Inspirados por el trabajo realizado por Devaney, Look y Uminsky en [1], donde se logra caracterizar el conjunto de Julia asociado a la funci´ on racional Rλ (z) = (z n + λ)/z m , dependiendo de la ubicaci´on de los valores cr´ıticos, bajo la hip´ otesis que los puntos cr´ıticos tienden a infinito (i.e. cuando Rλ es hiperb´olica), se obtiene que dichos conjuntos pueden ser o un Conjunto de Cantor o un Cantor de C´ırculos o una Alfombra de Sierspinski. Ante esta situaci´ on nos preguntamos ¿qu´e ocurre cuando variamos los par´ametros n y m? b k∈N , definida Para responder a esta pregunta, consideramos la familia de sistemas din´amicos {Rλ,k , C} por z nk + λ Rλ,k (z) = , z mk donde λ ∈ C∗ es un par´ ametro fijo y Jλ,k es el conjunto de Julia asociado a la funci´on Rλ,k . Con ello, tenemos que t´ıpicamente, cuando |λ| ≥ 1 y el grado es suficientemente grande, el conjunto de Julia es un conjunto de Cantor, que se aproxima en la m´etrica de Hausdorff al c´ırculo S1 , cuando nk tiende a ∞. Equivalentemente, cuando |λ| < 1 aparecen dos casos: (1) si mk crece junto con nk , pero de forma controlada, el conjunto de Julia es un conjunto de Cantor y se aproxima al c´ırculo unitario; (2) si mk es fijo y el grado es suficientemente grande, el conjunto de Julia es un Cantor de C´ırculos, y este se aproxima en m´etrica Hausdorff a la uni´ on numerable de c´ırculos de radios λr (con r ≥ −1), donde λr satisface la r+1 igualdad: h (λr ) = 1 y h(t) = t/|λ|m . Adem´ as, estudiaremos el comportamiento asint´otico de la medida de m´axima entrop´ıa soportada en dichos conjuntos de Julia, donde veremos que independientemente del l´ımite geom´etrico de la familia de conjuntos de Julia, el l´ımite de las medidas de m´axima entrop´ıa convergen a la medida de Lebesgue soportadas en el c´ırculo unitario. Esto en cierta forma es sorprendente, pues a pesar que el cojunto de Julia pueda ser un conjunto de naturaleza distinta al c´ırculo unitario, y el soporte de la medida de m´axima entrop´ıa es todo el conjunto de Julia y no tiene ´atomos, esta pierde masa r´apidamente para los puntos de radio distinto de uno, y se concentra con la misma rapidez, en los puntos del c´ırculo unitario.

Referencias [1] R. L. Devaney, D. M. Look, and D. Uminsky. The escape trichotomy for singularly perturbed rational maps. Indiana University Mathematics Journal, pages 1621–1634, 2005.

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