´ XLIII SEMANA DE LA MATEMATICA Octubre 2017 Instituto de Matem´aticas Pontificia Universidad Cat´olica de Valpara´ıso
CURSILLO
´ A LA DINAMICA ´ ´ INTRODUCCION DE LA FAMILIA CUADRATICA. Felipe Riquelme Radu Saghin Francisco Valenzuela. Pontificia Universidad Cat´olica de Valpara´ıso.
RESUMEN En este minicurso estudiaremos las propiedades din´amicas relativas a familias de polinomios de grado dos, en dos diferentes contextos. El primero de ellos, el caso real, considera a la familia log´ıstica definida por fr (x) = rx(1−x). Estudiaremos su din´amica cuando fr : [0, 1] → [0, 1], es decir 0 ≤ r ≤ 4. El segundo contexto, el caso complejo, considera el comportamiento de la familia cuadr´ atica dada por fc (z) = z 2 + c con c ∈ C y fc : C → C. Visitaremos sus propiedades principales, poniendo cierto acento en sus relaciones din´amicas con la din´amica de la funci´on shift de 2–s´ımbolos. En la primera sesi´on vamos a introducir algunas nociones b´asicas de sistemas din´amicos: que es un sistema din´amico, ´orbitas, definiremos puntos fijos y puntos peri´odicos, estabilidad de puntos fijos y puntos peri´odicos, definiremos los conjuntos ω–l´ımite y α–l´ımite, etc. Vamos a presentar ejemplos para cada noci´on, usando la familia log´ıstica en el intervalo [0, 1]. Al final de la clase, vamos a hacer una introducci´on informal a algunas nociones de din´amica m´as avanzadas, como transitividad, minimalidad, medidas invariantes y ergodicidad. En la segunda sesi´on, estudiaremos la din´amica del full–shift en finitos s´ımbolos, as´ı como la din´amica inducida en ciertos subconjuntos invariantes del espacio. Estableceremos relaciones entre la din´amica de los ejemplos estudiados en la primera sesi´on sobre la familia cuadr´atica fr y la din´amica en ejemplos particulares en espacios simb´ olicos. Finalmente, introduciremos la noci´on de conjugaci´on topol´ogica, y veremos como esta permite simplificar el estudio de la transitividad, minimalidad y ergodicidad en los casos antes presentados. Finalmente en la tercera sesi´on, aplicaremos las nociones antes estudiadas, pero ahora en el contexto complejo. Introduciremos los conjuntos de Fatou y Julia. En particular, el conjunto de Julia es el lugar donde la din´amica de fc es “rica” en informaci´on y “no trivial”. Adem´as, estudiaremos c´omo gran cantidad de dichos sistemas (cuando el conjunto de Julia es un conjunto de Cantor) puede ser modelado, v´ıa conjugaci´on, por un full–shift de dos s´ımbolos. Luego, presentaremos el Conjunto de Mandelbrot y veremos como var´ıa la din´amica en el espacio de par´ametros. Para finalizar, introduciremos la noci´on de hiperbolicidad y revisaremos la estabilidad estructural de sistemas hiperb´olicos, para concluir que mucho otros sistemas (cuando el conjunto de Julia no es un conjunto de Cantor) tambi´en pueden ser modelados por medio de un espacio de shift de dos s´ımbolos. 1
