´ XLIII SEMANA DE LA MATEMATICA Octubre 2017 Instituto de Matem´ aticas Pontificia Universidad Cat´ olica de Valpara´ıso

CONFERENCIA de la l´ınea de Teor´ıa de N´ umeros

Sobre la definibilidad de Z y el n´ umero de Julia Robinson Gabriele Ranieri PUCV

RESUMEN En el famoso congreso de 1900, Hilbert propuso una lista de veintitr´es problemas en todas las ramas de la matem´ atica. El d´ecimo problema que Hilbert enunci´o es: dada una ecuaci´on polinomial con cualquier n´ umero de inc´ ognitas y con coeficientes enteros, idear un proceso de acuerdo con el cual pueda determinarse, en un n´ umero finito de operaciones, si la ecuaci´on es resoluble en n´ umeros enteros. Una respuesta negativa a este problema fue encontrada por Matiasevich en 1970. De manera natural, es posible formular la misma pregunta reemplazando el anillo de los enteros Z por cualquier otro anillo conmutativo. En los 70s, Julia Robinson asoci´o a todo anillo R de enteros algebraicos de una extensi´ on totalmente real de Q (no necesariamente finita) un n´ umero real (que puede ser +∞) JR, en funci´ on del cual es posible en algunos casos de dar una respuesta al d´ecimo problema de Hilbert sobre R. Adem´ as, Robinson demostr´ o que el JR de todo anillo de enteros algebraicos de una extensi´ on finita es +∞, que el JR del anillo de todos los enteros algebraicos totalmente reales es 4 y que JR es siempre al menos 4. Adem´ as, pregunt´ o si existen anillos de enteros algebraicos con JR distinto de 4 y +∞. En un trabajo en colaboraci´ on con Pierre Gillibert (Universidad de Viena), hemos encontrado una infinidad de anillos de enteros algebraicos con n´ umeros JR todos distintos de 4 y +∞. Vamos a explicitar la construcci´ on de estos anillos y explicar c´omo, utilizando algunos resultados de teor´ıa anal´ıtica de n´ umeros, calcular exactamente sus n´ umeros de Julia Robinson.

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