Matemática II Ingeniería Civil Lic. Mat. Edinson Idrogo Burga Junio – 2013

Lic. Mat. Edinson Idrogo Burga

Definición: Una función F es una antiderivada de f en un intervalo I si F'(x) = f(x) para toda x en I. Ejemplos: Determine las anti derivadas de las siguientes funciones

a) f ( x)

3x2

b) f ( x)

c) f ( x)

cos 2x

d ) f ( x) 3e

3 2x

Lic. Mat. Edinson Idrogo Burga

Definición: El conjunto de todas las anti derivadas de indefinida de f con respecto a x, denotada mediante

∫f(x)dx Donde: ∫: signo de la integral f: función integrando x: variable de integración

Lic. Mat. Edinson Idrogo Burga

f es la integral

a ) [ f ( x)

g ( x)]dx

b) k . f ( x)dx c) f ( x)dx

k f ( x)dx, k F ( x ) c, x

cte I

Ejemplos: Determine las integrales indefinidas de las siguientes funciones.

a) ( x 2

b)

1 x

sen 2 x 5)dx

2 1 x

e

3x

c) (3 cos 3x 2e 2 x

dx 8)dx Lic. Mat. Edinson Idrogo Burga

Sea u = u(x) una función integrable, entonces:

1) dx

x c

6) cos(ax)dx

1 sen(ax) c a

xn 1 2) x dx c, n 1 1 n 1 7) tg (ax)dx Ln(sec ax) c a n 1 u 1 3) u n du c, n 1 2 8 ) sec ( ax ) dx tg (ax) c n 1 a 1 4) eaxdx eax c du 9) Ln(u) c a u 1 5) sen(ax)dx cos(ax) c du u a 10) 2 Arctg c 2 a u a n

Lic. Mat. Edinson Idrogo Burga

A. Integración por Sustitución o Cambio de Variable. Si u = g(x) es una función diferenciable entonces.

f [ g ( x)]g ( x)dx

f (u )du

Ejemplos : Determine las siguientes integrales

x3 1 1) 4 dx x 4x 1 3 xLn(1 x 2 ) 4) dx 2 1 x

2)

xdx x

5)

2

3) e x sen(4e x

1

ex e

x

senx

dx

cos x

Lic. Mat. Edinson Idrogo Burga

2)dx

B. INTEGRACIÓN POR PARTES Consideremos u = u(x) y v = v(x) dos funciones diferenciables en la variable x entonces su producto también es diferenciable. Es decir:

d (uv) udv udv

udv vdu d (uv) vdu d (uv)

udv uv

vdu

vdu (*)

A la expresión (*) se denomina formula de integración por partes

Lic. Mat. Edinson Idrogo Burga

Determine las siguientes integrales indefinidas

1) x cos 3 xdx

2) (3 x 2

3) x 3 Ln 2 xdx

4) arccos xdx

5) xarctgxdx

6) e3 x sen 4 xdx

7 x 1)e x dx

Lic. Mat. Edinson Idrogo Burga

C) INTEGRACIÓN DE POTENCIAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS A) Integrales del tipo:

sen m x. cosn xdx

donde

m, n

Z

CASOI: “m” o “n” es impar y positivo 

Si m es impar, separe un factor de senx. Luego reemplace cualquier factor de sen²x por 1- cos²x y haga la sustitución u = cosx.



Si n es impar, separe un factor de cosx. Luego reemplace cualquier factor de cos²x por 1- sen²x y haga la sustitución u = senx. EJEMPLOS: calcular las siguientes integrales

a ) sen 4 x. cos5 xdx

b)

cos x .sen 3 xdx

Lic. Mat. Edinson Idrogo Burga

Caso II: m y n son pares y positivos o nulos. En este caso puede utilizar las identidades.

1 cos 2 A sen A 2 2

1 cos 2 A cos A 2 2

Con el fin de reducir las potencias en el integrando. Ejemplos: Calcular

(a ) sen 4 xdx (b) cos4 x.sen 2 xdx

Lic. Mat. Edinson Idrogo Burga

B) Integrales del tipo:

tg m x. sec n xdx

donde

m, n

Z

CASO I: si m impar y positivo. Separa un factor de secx.tgx. Luego reemplace cualquier factor de tg²x por sec²x - 1 y haga la sustitución u = secx.

Ejemplo: Calcular

tg 3 x. sec 3 xdx CASO II: Si n es impar, separe un factor de sec²x. Luego reemplace cualquier sec²x por 1+ tg²x y haga la sustitución u = tgx. Ejemplo: Calcular

tg 2 x. sec 4 xdx

Lic. Mat. Edinson Idrogo Burga

C) Integrales del Tipo: ctg m x. csc n xdx donde m, n Z Estas integrales se tratan de forma similar a las del tipo anterior.

INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA Caso I: Integrando que contiene un término de la forma: hacer :

u

asen ,

,

2 2

Ejemplos: Calcular

a)

x 1 9 x

2

dx

b)

dx x 25 4 x 2

Lic. Mat. Edinson Idrogo Burga

a2

u2 , a

0

Caso II: Integrando que contiene un término de la forma: Hacer :

u

atg ,

dx (1 x 2 ) x 2 1

a sec ,

x 2 dx b) (9 4 x 2 ) 5 / 2

0,

2

,

u2

2

Ejemplos: Calcular

a)

x

0

2 2

Caso III: Integrando que contiene un término de la forma: Hacer: 3

u

u2 , a

,

Ejemplos: Calcular

a)

a2

2

36dx x

x 2 dx b) ( x 2 9)3 / 2

Lic. Mat. Edinson Idrogo Burga

a2 , a

0

Caso I: Todos los factores del Q(x) son lineales y ninguno se repite.

(a1x b1 )(a2 x b2 )(an x bn )

Q( x) Entonces:

P( x) Q( x)

A1 a1 x b1

A2 a2 x b2

An  an x bn

Donde Ai son constantes reales por determinar. Ejemplos: Calcular

a)

x3

x 1 dx 2 x 6x

b)

4x 2 dx x ( x 1)( x 2)

Lic. Mat. Edinson Idrogo Burga

Caso II: Todos los factores del Q(x) son lineales y algunos se repiten. Entonces:

P( x) Q( x)

Q( x)

(ax b)n

C1 ax b

C2 (ax b) 2

Cn  (ax b) n

Donde Ci son constantes a determinar Ejemplos: Calcular

4 x 2 5x 3 a) dx 2 x( x 1)

b)

2 y 2 11y 8 dy 3 2 y 4y 4y

Lic. Mat. Edinson Idrogo Burga

Caso III: Todos los factores del Q(x) son lineales y cuadráticos y ninguno se repiten. Al factor cuadrático ax2 bx c del denominador le corresponde la fracción parcial de la forma :

mx n ax2 bx c Ejemplos: Calcular

2x2 5x 2 a) dx 3 x x

b)

x3 x 2 x 2 dx 4 2 x 3x 2

Caso III: Todos los factores del Q(x) son cuadráticos y algunos se repiten. Si la fracción es:

P( x) (ax2 bx c) n

A1 x B1 ax2 bx c

A2 x B2 (ax2 bx c) 2



Lic. Mat. Edinson Idrogo Burga

An x B2 (ax2 bx c) n

Definición: La integral definida de a hasta b es : b

n

f ( x)dx a

Lim n

f (ci ) x i 1

Para cualquier f continua es [a,b] para la cual exista el límite y este sea el mismo para cualquier elección de los puntos de evaluación c1,c2,…., cn Cuando este límite exista, se dice que f es integrable en [a,b]

Ejemplos: calcule las siguientes integrales exactamente 2

a) ( x 0

2

2 x)dx

5

b) (2 x 5)dx -3 Lic. Mat. Edinson Idrogo Burga

Cuando f y g son integrables, la integral definida satisface las siguientes reglas. b a 1) Orden de integración: f ( x)dx f ( x)dx, a b a

2) Intervalo de ancho cero: 3) Múltiplo constante:

b a

f ( x)dx

b

b

a

kf ( x)dx

0

k f ( x)dx k

a

a

b

4) Suma y Diferencia: b

b

[ f ( x) a

a

g ( x)]dx

c

f ( x)dx

5) Aditividad:

cte

c

f ( x)dx b

b

f ( x)dx a

f ( x)dx a

Lic. Mat. Edinson Idrogo Burga

g ( x)dx a

PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO (TFC) Si f es continua en [a,b] y sea x un punto variable en . Entonces: x

d f (t )dt dx a

f ( x)

Generalización Del Primer Teorema Fundamental Si f es continua en [a,b], Entonces:

d dx

g ( x)

f (t )dt

f ( g ( x)) g ( x)

a

Lic. Mat. Edinson Idrogo Burga

SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO (TFC) Si f es continua en [a,b] y F(x) es una antiderivada de f. Entonces b

f ( x)dx

F (b) F (a)

a

Ejemplos: e

Lnxdx

1) Calcula 1

t

2) Si la velocidad de un paracaidista esta dado por v(t ) 30(1 e )m / s Para los primeros 5 segundos de un salto, calcule la distancia recorrida.

Lic. Mat. Edinson Idrogo Burga

ÁREA DE REGIONES PLANAS CASO I: Consideremos una función y f (x) continua en el intervalo [a,b] y además f ( x) 0, x [a, b]. El área de la región R limitada f (x) el eje X y las rectas verticales x = a y x = b por la curva y esta dado por la expresión: b

A( R)

f ( x)dx a

Lic. Mat. Edinson Idrogo Burga

Ejemplos: 1) Calculemos el área de la región R limitada por las graficas de:

y

1

x2

6x 9

,y

0, x

5, x

0.

2) Calculemos el área de la región R limitada por las graficas de:

y

Lnx, y

0, x

e.

Lic. Mat. Edinson Idrogo Burga

CASO II: Consideremos dos funciones f , g continuas en el intervalo [a,b] tal que f ( x) g ( x), x [a, b]. El área de la región R limitada por las curvas y f ( x), y g ( x)y las rectas verticales x = a y x = b esta dado por la expresión: b

A( R)

[ f ( x) g ( x)]dx a

Lic. Mat. Edinson Idrogo Burga

Ejemplos: 1) Determina el área de la región R limitada por las graficas de las ecuaciones: ( x 2) 2 2

y

9

1, y

5

x, x

4.

2) Calcular el área de la región R señalada en la figura adjunta.

3) Calcular el área de la región R limitada por las graficas de las ecuaciones: 2

y

x, y

x 2

Lic. Mat. Edinson Idrogo Burga

1) Temas: Secciones de columnas Aplicaciones: Mecánica de sólidos Para una columna su sección transversal está dada por:

x2

4 y2

1600

Determina el área transversal.

Lic. Mat. Edinson Idrogo Burga

2) Temas: Cargas distribuidas Aplicaciones: Mecánica de sólidos Una viga recibe una carga distribuida de la siguiente forma, debido a un extraño diseño arquitectónico:

La parte superior de la carga tiene como fórmula:

y

1 2 x 10

3x

Es decir, al lado izquierdo la carga es de 0 KN y al extremo derecho es de 40 KN al ser la viga, un elemento de 10m. Calcular la carga total que recibirá la viga en KN.

Lic. Mat. Edinson Idrogo Burga