Sean X, Y, conjuntos y

f:

X

>• Y.

La relación en X

"X-vx •f(x) = f(x ) " , es una relación de equivalencia.

Sea

Sea

p:

X

> X/'\' (p está bien definida pues

X I

> ¡jQ

f^: X/'V' o DQ

x = x^

x=x^

> Y ^

(f„ está bien definida pues o f(x) [x]=Cx^Jf(x) = f(x^))

Es claro que p es sobre y f

Entonces:

f(x) = f ( x M

es 1-1

toda función se puede factorizar como la com-

posición de una epiyección con una inyección:

^'^r.

X —í—>• Y

X

Ao

Además, si f es sobre, f^ es una biyección y se f es 1-1

p es una biyección.

Ej:

Sea

R^ — ^ R (x.y) I

TR^

> ^x^+y^

>TR N^2/^o

En el caso de que X, Y sean grupos y f homomorfismo: x'V'X^^^=^f(x) = f(xM«=^f(x) [f(xM] ••^=f(xx^"M = ly. Entonces

x'>^x < > xx ~ eN(f).

T-l

P-

Tengamos en cuenta qun si, en general., X es un grupo y N-X/N

T-2

es un homomorfismo

Tengamos en cuenta que si, en general , X es un grupo y N G

fo[g3

es un epimorfismo entonces

G=G/N. y en particular:

1-3

Primer teorema de isomorfismos:

Toda imagen homomórfica es un cociente

G

-^ G

G

-^ h(G) y-f

G/N

Antes de abordar el segundo teorema de esos tengamos en cuenta que:

M, N MN ^

a)

MN

es

G:

un s u b g r u p o

de

G

1 e MN "iirii ( m a H a ) ~ ^ = m i n j n a ^ m ^ *

b)

)mi'mm2^=mn

MN K = V (tíf\K) r = > kH/lK = K»H/)K

b)

Es un homomorfismo

T-5

Si HcKcG son subgrupos con HG = G/K S f-

-> S = S/K

K {1} ->• N = N/K A G

N c

tales que

Propiedades elementales

1)

gof

2)

f

es la función trivial que escribiremos

es

1-1

.^=>

1

es sobre c5==>

B

1.

-> A

-> B

es

C

-> 1

es

exacta.

3)

g

•^

exacta.

4)

f

es

1 - 1

y

es sobre ^: - ^

g

-> A

-> C

-í> B

•^

1

es exacta

Def.

Una sucesión exacta corta es una sucesión

-> B

-^ A

Prop.

f

es

1 - 1

y

g

-> C

es sobre.

\

/

B/f(A)

T-10

Además

•»1

f(A) O -> 23 ^ ^ S3 4 . grupo alternante de permutaciones pares { ( ) , (123), (132) }c S3 T-11

f(A) A, A2 ->

f' 2 ^

> A3

-> An-1

' •

Se llama una sucesión exacta en Ai im

^""-^

> An

si

f A

> AxC

> C

^ 1

a I — > (a, le) >c

(a, c) »

-> Z — ^ ^ ^ - ^ Z

Ej

^Z2

-> O

ZxZj

Ej:

1

> Z3

> S3

->• Za

i,

>• O

grupo alternante de permutaciones pares = {( ) , (123), (132)}cS,

T-n

íl-

-> 23^ I , li Í6

Def;

Se dice que la sucesión exacta corta

1

•> A

—-—c B

Se escinde, si existe Tal que

gs = Id .

> 1

—S_^ c

s

(homomorfismo) de C en B

(En tal caso

s

es 1 - 1 ) .

En la categoría de grupos abelianos.

Sean

A c. B

^

B/A

O

=*• A c—^^—> B

=

C

Entonces

—^—e» C

> O

B-AxC < ^

se es-

ci nde.

C->)

AxB/A

—^—i^

— 2 — > B/A

(a. b'^A) S

>b"^A

»

AxB/A

•>(0^, b"^A)

ps(b*A) = písíb'^A)) = p(0^,b'*'A) = b*A Es claro que

s

es un homomorfismo. T-12

ps = Id^

( * = )

Defi namos

i:

B b

1)

Entonces:

-* AxC »

•

(b - s p ( b ) , p(b))

P(b) e C (b - sp(b)) c f(A) = A

2) i

(ya que

p(b-sp(b) = 0)

es un homomorfismo:

i (0) = O i (bl + bz) = (bl + b2 = (bl + b2

sp(bi + b z ) , p(bi + bj)) sp(bi) - sp(b2),

= (bl- s p í b i ) , p(bi)) + ( b2

p(bi)+p(b2)) -sp(b2),p(b,))

= i(bi) + i(b2)

3) i

es

1-1:

i(b) = O « » ( b - sp(b), p(b)) = O p(b) = O " sp(b) = b p(b) = O " s(0) b

4)

i

= O

(pues

= b s

es un hom.)

es sobre:

Dado b e B

(a, b) = (a, b + A) e AxC = AxB/A, existe tal que

i(b) = (a, F ) :

b = a + s(b + A):

T-13

i(b) = (a + s(b + A) - sp(e) - s(b + A), p(a) ^• (b -!- A)) = (a - sp(a), p(a) + (b + A)) = (a, b + A) = (a, b)

porque:

.> 7

'' ' '

P(a) + (b + A) = (a + A) + (b » A) + (b + Ai - b'+ A (aeA) sp(a) = s(p(a)) - s(n + A) = s(0) = O NOTA:

El teorema es válido para cualquier estructura algebraica:

módulos, anillos, - - -

Pero, en el caso no abcliano lo anterior no es cierto

-•>

~> S

Z:

-> Z:

lie { (

^ 1

f/^ ), (123),(132) \{ (

g(A3) = { (

) }

s((

), (12) }

)) = (

)

g(S3 - A¿) = { (12)}s((12)) = (12)

g(s((

)))= g((

)) = (

)

gos = id

g(s((12))) = g((12)) = (12)

Pero

S3/Z3XZ2=ZG

(Ze

Sean

N, Q

Los automorfismos de

un grupo.

subgrupos.

es cíclico y

Los automorf i smos interiores de

T-14

S3

no lo es)

N N

forman forman unS'."

i(b) = (a + s(b+A)-sp{a)-s{b + A) ,p(a) + (b-i-A)) =(a-sp(a), p(a)+(b+A)) =(a, b+A)=(a,F) porque: p(a)+(b+A)=(a+A)+(b+A)=(o+A)+(b+A)=b+A(atA) sp(a)=s(p(a))=s(0+A)=s(C)=0

Nota:

El teorema es válido para cualquier estructura algebraica:

módulos, anillos, - - -

Pero, en el caso no abeliano lo anterior no es cierto:

->1 A3={( ) . (123). (132)}. {( ) . (12)}

g(A3)={( )}

s(( ))=( )

g(S,-A3)={{12)}s((12))=(12)

g(s(( )))=g(( ))=( )

gos = Id

g(s((12)))=g((12))={12) Pero Ss i

ZsxZ

= Ze

Sean N. Q subgrupos.

(Zs

es cíclico y S3 no lo es)

Los automorfismos de N forman un grupo

Los automorfismos interiores de

T-14

N

forman un

subgrupo

normal de los automorfismos de (ver problema

Sea

(j) :

N X Q

•^ Aut y

N

(Aut

Z

N/7(N)

^

Z^)

un homomorfismo

- > (},,

definimos la siguiente operación

(n; q) (m, p) = (nq{m))((í)^p(l)),^qpr)

( n , q)^m, p ) ( l ,

r))

(g-4)

( n , q)((í'q 1

1

(me») ( 1 ) ,

1

(n'

1

), q

1

1

1

1

) , qq" ) = ( 1 , 1)

1

(«{•q ( n " ) , q" ) ( n , q) = (cj," ( n '

(4>q ( 1 ) .

T-15

qpr)

= ( n , q ) = ( I^ . I g ) (n , q )

) = (nc^qO(^q (n

1

qpr)

pr)

= (n(f)q(m)(},q ((¡)p(l ) ) ,

I Q ) = (n(}>j^(lN). q l q )

_i

( 1 , r)

= (n(í.q(m)(})q ((f)p(l ) ) ,

= ( n , q)

= (n(|)q(m(})p(l)), q p r )

(n. q)(lN.

la o-

N x Q

( ( n , q)(m, p))

(g-3)

(g-l)

1

) 4)

i ( n ) , q" q)

1) = ( 1 . 1)

(Además se t i e n e que

Resumen:

NxQ

N7r(p) = 1 -^ p.STr(p"') = 1 :=>T7(p-') = 1 = > p . s ( l ) = 1 •=> p = 1

iii)

i

es sobre:

(recuérdese que por ser la sucesión

exacta:

f(N) = KerTT

Sea

(n, q)eNx B

-> A

-> O

-> Z

-

»i

B J

s

t a l que

Se t i e n e

s ( l = x°) = a e p ' (x® = 1)

entonces:

-^ N

•^

G

-»•

NxpJ

ii:

2

-> I'

no se e s c i n d e :

T-20

J

-> 1

,

S(l) = a ^=i>S(l + 1) = S ( 0 )

2a -=%> a

Una manera que se manifestará equivalente de mirar el mismo asunto es la s i g u i e n t e :

Ej:

Sean

V, W

Entonces

Def.

espacios vectoriales y 6 una base de V.

¿f(V

> W ) {f|f

W} :

En la categoría de grupos Se dice que ra todo grupo

F

es "LIBRE" con base G

y toda función

existe un único homomorfismo tal que

Ej:

: 3

7 :

X c. F

f: F

X

si pa>

G,

G

T \ x = f :

Todo espacio vectorial base del espacio

T-21

es " L I B R E " con base cualquier

ii:

Z (J)

es LIBRE

Ahora la equivalencia

con base

{1}

({X })

entre los c o n c e p t o s :

Un grupo

F

sobre

se e s c i n d e ; es d e c i r , un grupo es " L I B R E " si

F

es "LIBRE"

si

y

solo si todo

epimorfismo y

solamente si es libre. Lema

1

Si

F

y

F'

son grupos libre con base

X

en-

1

tonces

F =í F

:

F'

í^ F'

-^ F

X 01 por la unicidad

F Jl£5_ p hog = Id

h o g ( F ) = F " hog|x = Idx VI

:]

^

(*)goh(F')= F'" gohlx = I d x J X NOTA:

~ >

'

goh = Id

Podemos entonces hablar de éj_ grupo libre con base X

Lema

2. X Sea 6

genera a 6

F

(F grupo l i b r e con base X ) :

el subgrupo g e n e r a d o por X.

es libre con base

X :

'T

(como

H

f

es ú n i c o , su res-

tricción a única).

T-22

Entonces

G

es también

(*)

Luego, por el lema

COROLARIO : ^ X

1,

G = F

existe el grupo libre con base

X.

Demostración de la equivalencia de concepto de libertad

a)

Si un grupo F

F

es

LIBRE,

todo epimorfismo sobre

se escinde:

-^ F

-> 1

Ui X = {x„}

Sea

g„ep" (X^)

Entonces

s

(ax. de elección).

Sea

s(X^) = g^

es claramente un homeomorfismo y

ps(X„) = p(g„) = X„

b)

Si todo epimofirmismo sobre un grupo entonces

F

es un grupo

tración) .

T-23

LIBRE

F

se escinde,

(omitimos la demos-

PRODUCTO

Def.

Sean

A y B

ducto de

A

funciones jeto

Ej:

dos objetos de una categoría. por py;^ y

B Pg

consta de un objeto

Un proP

y dos

tales que dado cualquier ob-

C

y

dos funciones

función

h

tal que el diagrama que sigue conmuta:

Sean

A, B

f y g, existe una única

dos objetos de la cat. de los grupos,

(no de anillos de integridad, por ejemplo). ces

A X B

Enton-

es un producto:

A x B

p. y Pg las proyecciones canónicas, h(c) = (f(c),g(c))

T-24

h

es única por la def.

de igualdad en

A x B.

COPRODUCTO

Def.

Refrasear la def.

de producto pero invirtiendo el

sentido de todas las flechas del diagrama.

Ej:

En la categoría de los conjuntos la "unión ajena" es un coproducto:

X v; Y

f(t)

si

t e X

g(t)

si

t e Y

h(t)

Ej:

En la categoría de grupos abelianos producto :

A x B

es co-

(o, b)

Unicidad

^(^' '^ - ' ^ ' ^ '

Obligado

h(0, b) = f(b) h(a. b) = f(a) + f(b)

h(a, b) = f(a) + g(b)

h((a,b) + (a\b')) = h(a+a\b+b') = f(a + a')+g(b + b ) = f(a) + f(a ) +

Ej:

En la categoría de grupos

T-26

ZG

II Zz X Z3 ^

ZfxJZz NOTA:

Zn :

grupo cíclico de orden

n

Zn = lini

-> nZ

-*• Z

2: • - ^

^ Z

- ^ Zn

-> O

-> Zn

-^ O

( r » 7 ) / \ / - » u n i d a d y generador de Z2X

(T,

0)

-t (O, T)

Zj

X Z3

I I I (12)

Z» T

(123)

T-27

Z3=Z6

ZsX^Z^ - Ss

Z^X.Zs = Z2XZ3 "2 (j)

NOTAS:

Z2XZ3 = {(0,0),(0,T), (0,2).(T,ñ),(T,T),(1,2)}

Z2xZ3=Zc={(o,o),(T,T).(o,2),(i.ñ),(o,T),(T,2)}=

S3 =

Z3 = { (

), (123), (132) } = grupo alternante de permutaciones pares

Z2 = { (

), (12)Z3}

ZjX^Z^ = S3 ;

Si existiera

h

Z^X^Zs = Z2XZ3 = Zg

se debería tener:

h(T.T) = h ((T,Ü) + (ir,T)) = (12)(123)

Pero (12) (123 ) JÍ (123) (12) /

h(T,T) = h ((0,T) + (T,0)) = (123)(12)

Producto (r coproducto) de una familia de objetos de una categoría.

T-28

Def;

Si

(Aa)«el

es una familia de objetos de una cati

goría, un producto

P =

TT A^ «el

(p„)a:^^

T T A^^ z^ * z^

-^ Z

Z,

-> 1



es una sucesión exacta

Definamos

p :

(ab)"

t-

-> (aa)" = 1

h

m. = a -> (aa)'"a

b(ab)^

I

> a(aa)P = a

b(ab)^b

^-

->- a(aa)^a= 1

(ab)'"a

p es un epimorfismo y su núcleo son los elementos de

T~35

longitud par, es decir, los enteros, pues (abab _ _ _ a b ) ' = (baba _ _ _ ba) CFR. MASSEY

En la categoría de grupos abelianos tenemos:

Sea

X = {Xoc}.

Sea

n i t o generado por

la. X^ :

un grupo l i b r e con base

el grupo a b e l i a n o c í c l i c o {nXcc|neZ}.

-^

. X«, 0.

(f(x„,) = f(0,0.

I \

>

es tal que

F:

«'^-a ,

«(x)

comprobar fácilmente.

2) V « . 3 e C(X, Xo, Xl) , Sea

F:

«'v.B.

Entonces

«c'\.3^=5? 3'^« G :

Ixl

—

(xjy) f ^ - ^

=^ X es t.q: F(x,l-y)

G(x. 0) = F(x, 1) = 3(x)

G(0. y) = F(0,l-y) = Xo

G(x, 1) = F(x,0)

G{1, y) = F(l,l-y) = Xi

= «(x)

T-42

Entonces

3)

G :

3 '^ «.

Luego

-V'=. B, r e C(X,Xo,Xi) , Si

F:«'\^3

y G :

3 '^ «

«'v 3 y

3'^r,

B'^ r=í> C(X,Xo.X2)

induce la fción TT (X ,Xo ,Xi )XIT(X ,Xi ,X2 ) — >

(X,Xo»X2)

(en otras palabras, * preserva clases de equival., es decir,

a '\. oc'

T-43

y

3 'v. 3'

1 ^ « •* 3 = «' * 3'.

Sean H:

F: « x' ^ « ' Ixl

y

G:

3 '^ 3 ' .

Entonces

•> X

(t, s ) •

-> \ F ( 2 t , s )

SiO

l t < V 2

G ( 2 t - l , s ) Si V 2 < t
(I, O, 0)

se llama una pseu-

doreparametrización

^pseudoreparametr,

parametr.

Notación.

Lema

En

7r,(X, x ) , e = "[cj^ "I

Y «e C(X, X o ) ,

e

% « «i» (y Xo

ción)

T-45

con

^^ (t) = X,

pseudoreparametri za-

Dm.

F(t, s) = «((1 - s)0 + s^-ít)) = -(s^'(t)) F(t, 0) = cc(o) = Xo F(t, 1) = «(H'(t)) = °c4'(t) F(o, s) = cc(O)

= Xo

F(l, s) = «(0)

= Xo

Teorema:

Tri(X, Xo) es un grupo bajo la operación inducida por

1)

Asociatividad.

-*-.

(« -* 3) * r '\' « * (3 * r ) :

^ (cc*3)/2t) . r ( 2 t - l ) «

^

^ g*a*g" 'v g'*a*g'' .

(NOTA:

b)

r*

r*

solo depende de la clase

r).

es un homomorfismo:

r* («* 3) = \^g *a *b*g"J = [g* a*g'*g* b-*:gj -.[g*a*g']*\_g*b*gj= r*(«)*r*(3).

(^*^[^P~-t*e,^*?l = [g*g>[e/]) T-50

_ 1

c)

.-_

-1

-1

Si definimos (r*) lbl=Yg*b*gj entonces

(r*) es in-

versa de r*: 1

(r*)

1

(r*(«)) = (r*)

_ ,

r _

_

•)

([g*a*g J)=[ g*g*a*g*g| = [a] = ce

r*(r*" (3)) = r*([g*b*g])= ^g*g*b*g*i' J = \ h ] = 3 (NOTA:

todo lo anterior es posible gracias a las propie-

dades de la operación "*" y en especial a su asociatividad). Ejemplo:

( V T

e ÍK') ( T T I ( 1 R \ T ) = 1 = ITI( ) R ' , 0 ) ) :

Si \;g]e TTiCií^', " ) » F ( t , s ) = ( l - s ) g ( t ) que

F : g "^ e_ .

Por l o t a n t o

NOTA:

Si

es t a l

Entonces f g " ! = I e_']

^ i C f i ^ » o) = ^ e j ] , = 1

r, TI e 'rri(X, X i , Xo) entonces se obtienen

dos isomorfismos ¿ Cómo difieren

r*, n*: I T I ( X , X O ) r* y

^'•fri (X ,Xi) .

x]* ? :

Sean r=[g], i= [^ h]] . Entonces, si

cc£-^j(x, X o ) ,

\ ( n * ) " o r*j (cc)=(n*)" ^*a*g1=|_F*g*a*g*hJ =1(F*g)*a*(F*g)" j

T_51

í NTv'HRSLDAD NACIONAL '^!^^f-'- jfoal.

es un homomorfismo

(Por consiguiente

ir es un functor que envía espacios cone-

xos por arcos a grupos y funciones continuas a homomorfismos)

Xo)

TTl (X, X o )

(Y, yo)

TT,(Y, y o )

(X.

0/

a)

f^

está bien definido:

Veamos que

f*(*=)

Es claro que foaeC(Y, yo)

no depende de

a e l^al = «::

F : a,

a' -=3> foF fo^'V' ^ 0 ^ ' ' F(o,s) = F(l,s)=Xfl=s>foF(0,s) = foF(l, s) = f{xo) = yo F(t.o)=a(t) r^-. fí»F(t, o) = f(a(t)) = foa(t) F(t,l)=a'{t)

foF(t,l)

T-52

= f(a'(t))= foa'(t).

b)

f*

es un homomorfismo

Por definición de

"*"

fo (a*b)= fo [ a(2t) b(2t-l)

Si

tV2

(foa)(2t)

Si

tV2

Entonces:

f*( [.a3*[bl) = f*([a*b^) = f«(a*b) = (foa) * (fob)

= (f*tal) * (f* [bl).

Para que

-rr sea un functor se debe cunplir además

c)

(fog)* = f*Og*, es decir

d)

Id* = Id.

Es claro que

c)

y

d)

Pro pos ición:

T-53

(fog)oa = fo(goa)

se cumplen.

y

En conclusión, TT es un functor que envía espacios topológicos y funciones continuas en grupos y homomorfismos .

Def;

Sean

f,g

fciones conts, de

Decimos que

f ,^ g

existe

Xx I

F :

F(x, o) = f(x) (F

Def.

Sea

continua,

A _ X

y

Decimos que mas aún,

Ej;

Si

y

->Y

(f homotópica a *• Y

Sl

tal que

l]).

como en la anterior definición

f ^' o (reí. A)

si

f|A = g|A

F(a, t) = f(a) = g(a) Y*^^

A = Y i-

-í? a(s) = F(xo, s)

es continua pues

a = F|{xo}x I

a(o) = F(xo, o) = f(xo) = yo= g(xo ) = F{xo, 1 )= o(l) a e C(Y, yo)

y la relación entre

viene dada ahora por conjugación por

Si

f*y g*

a:

G(t,s) = F(a(t). s ) , entonces

G(t.o) = foa(t) G(t,l) = goa(t)

G(o,s) = F(xo ,s) = a{s) G(l,s) = F(xo,s) = a(s)

Podemos entonces obtener

T-5b

H : foa '^

a*goa*a

así

^

I ^-^ ^ 'y ^-

\et =t' 1

un camino c e r r a d o aeC(S ,1)

En el s i g u i e n t e diagrama miento de

„2TTÍ t '

a

se llama "un l e v a n t a -

a)

Si

a

Sean

existe, es único:

a,

a'

levantamientos de

p(a(t) = p(a'(t)) -Vtel

a.

Entonces

(con a(0)=a'(0)=...=1)

T=^{a - a') (t) e i ^x> (por continuidad) a - a' es costante

^^-^ _ '^. = O = (a - V ) (0) b)

Existencia de un levantamiento:

Sean n = S'-{-l},v= S'-{1}. Entonces {n.v} es un 1

recubrimiento abierto de S . _1

{a

Por lo tanto

_ 1

(n)> a

(v)}

es un recubrimiento de I que

(I es compacto) tiene un número de Lebesgue e. Sea

Como con

_\_ N

. _. ^

Entonces

a

(fO,-4-]) cn (a{0)=l)

p : ( -1/2 , 1/2) p(0) = 1 ,

Vn

es homeomorf ismo

se t i e n e

(-1/2,

V [o.

1/N]

it

P1

-^

1/2)

^ q

n

Hemos hecho un levantamiento local de

a

qoa(o) = q(a(o)) = q(l) = O ahora. a( 1/N,2/N )cno

T-63

a([l/N,2/N] ) ^ v

Supongamos lo último. (n,n+l)

Entonces donde se escoge tal que Si qoa(l/N) > O, n=0

y

Si qoa(l/N) < O, n=-l

loa

es un levantamiento local de

a,

tal que

loa (1/N) = qoa (1/N) qoa y loa sobre

son funciones continuas definidas

ro,l/N] y sobre [l/N,2/Nj respectivamen-

te, y tales que

qoa (1/N) = loa (1/N).

Por lo

tanto existe una extensión continua

j : [o, 2/ñ]

->

J^

De esta manera podemos seguir levantando intervalos hasta finalizar, en un proceso finito, con el levantamiento global de

a.

Nótese que así como a (0) =0, a(l)E Z o. a(l) = 1 y p a = a

B)

Levantamiento de la homotopía

Sea

F

(descripción)

una homotopía entre dos caninos

3, es decir,

F:

Ixl

T-64

?>S'

ya que

tal que

«

y

F(t,o) = cc(t) F(t,l) = 3(t) F(o,s) = F(l,s) = 1

Entonces tenemos

(IK, o)

-^-^ (s-, 1)

Ixl

Supongamos a ya levantado.

Entonces podemos

levantar

«.

F

empezando por

Esto es lo que debemos obtener:

Ixo

(é?, o)

Ixl

(S'. 1)

Otra representación de lo que debemos obtener

R

^ " • ^ f >

r-65

Tomemos el mismo recubrimiento ya utilizado: 1

{n,v} de S , si

e

_1

_ 1

Entonces {F~ (n),F~ (v)}>lxl

y

es un número de Lebesgue tomamos 1/N < c

Es c l a r o que F(ÍO,1/N]X[O,1/N]

)cn

'VA'

;—]

yAzY/M

N •

pues « ( I O , 1 / N ] ) ¿ : n Entonces tenemos el primer

1 levantamiento local:

1 .1

),o

r. ((-

[.o, -^x[0, -i]

1

1

) , o)=(n,l)

-> (n.l)

Como ya sabemos en cual de los abiertos ri o v están contenidas las márgenes por

F

de cada

uno de los cuadrados de la primera fila de abajo (pues conocemos ce), entonces podemos levantar

F

sobre toda la primera fila.

Pero hecho

este levantamiento ya conocemos a donde levantan los bordes superiores de los cuadros de la primera fila y con este conocimiento podemos levantar toda la segunda fila, . , . etc, hasta levantar todo

F

en un proceso finito.

T-66

Notóse que ya obtenido (1)4(1)

F

y en general

F(l,s) = «(l) e Z %

'X,

'V, F(o,s)-'i(n) =o

«(0)=3(0)=0

C)

debernos tener

Está definida la fción TTl(SM)

-

-V Z •^

^(1)

Veamos que esta función es un isomorfismo a)

Es un homomorfismo: conocemos

Dados C°^l y [3]

cc(i) y 3(1).

Queremos le-

vantar ahora a ce*3:

^ S

I t

^-(2t)

t < Va

^3(2t-l)

t > V2

H

El l e v a n t a m i e n t o l o c a l e n [ o , l / 2 | , es «. memos 3' el

levant, local

p3'=P3=>(v)

= 3(1) + C

3'(0)

+ C

%

3'(l)= 3'(1)

«(1)

en L l / 2 , l J .

Lla-

Por lo tanto ce*3(l) = ^-(1) + 3(1) y

b)

es un homomorfismo

El homomorfismo Sea neZ.

Es

1

es sobre:

Entonces cc(t ) = e'^^'"*

es tal

(1) = n

que

c)

1

1-1

Si Lcc3

i-

->• cc(i) = o, entonces °e

se levanta cerrado y contractible a un punto. Entonces ce e [ij Luego C°^l = [l'i = [e:J =e

Hemos demostrado que: TTi(s', 1) = Z.

Coro!ari o

El grupo fundamental de ¿T - {0} vimos

S'

es también

es un retracto por deformación

T-68

2

pues como

áe (^ - {0}

Mas álgebra antes del teorema de Van Kampfen Recuérdese la def. del producto libre

Def.

A * B

Dados 3 grupos y 2 homomorfismos

=./ xr» í?.

A*

El "producto libre con igualadores"

P(oe, g) se de-

fine (cuando exista) como un grupo tal que

b)

Si

D

es cualquier grupo y

morfismos tales que un único homomorfismo hi = f

y

hj = g :

T-69

f

y

g

son homo-

fce = g3, entonces existe h

t.q.

(Notación: escribe

El

subgrupo

normal generado f i _i {Trgisa ga } )

S^ = H N scN-flG

por

S c G

se

Proposicón:

Veamos que

A * B

P(ce,3)

{i«(c).J3(c)-'|ceC}^^

(comentarios: A*B

La idea es aprovechar el producto libre

para que

P

y

h

hereden sus propiedades.

Como debemos sujetarnos a la restricción zamos a que

* ^

i «== = j 3, for-

i "K c). (j 3(c ))" e Te] se cumpla V c e C ,

al hacer esto en el grupo

C,

pero

y si no se quiere dañar su

estructura, hay que "matar" junto con

icc(c) (J3(c))"

a

todas sus potencias y conjugados y productos de conjugados)

T-70

dm:

Supongamos que

D

es cualquier grupo tal que C

Se tiene entonces: a)

ia = cej

(claramente).

b)

definamos

b-1)

f = h'i' = hpi' = hi

h

por

h' = h^p.

Entonces:

g = h'j' = hpj' = hj b-2)

h

es única por serlo

hp = h'

De lo cual resulta la proposición.

Teorema de Van Kampen

Sea

X=nl/v

con

n.v

conexos por a r c o s .

abts,

nf\v f i^ y

Consideremos

T-71

n. v

y

nftV

rt, (.^Av,-'O

R-. C ^ , M 7

Entonces

P(«í,/j)

es el grupo fundamental

de

(X,a)

Hay que demostrar que;

TTi('^, a ) * Tri(v,a)

TTl ( n u v , a ) {i«(c)

. (J3(e))"

A*B

I CGTTi ('»inv,a ) }

I I V

rt. ("iuv , o

Como sabemos, e x i s t e un único homomorfismo Veamos que dicho homomorfismo es s o b r e :

T-72

.

Sea

r ¿- C('>j^i/v, a ) . Veamos que

r'\' «i*3i*

•j CC i e C (n I a )

*"n*^n

i = 1, . . . , n

3i e C(v ,a )

-1 -^ nuv es cont. Entonces r ( n ) . r~ (v) es un recubto abto. de I compacto que tiene un número de

I

Lebesgue

e > 0.

Sea

1/N < e.

Entonces

r(0)=ae nnv•

?+1

Si

r(l/N), ,,, , r(i/N) e nn^

mos los arcos para obtener bien, ro.

r(—;p)e Si

y

r([0, i/Nj) c nftv,

n-v ó »'(—¡r") e v-n-

los pts, terminales en

rlíT, =Tr=-J

$eiin

...

, r ( ^ ) .

02=

n-1

"

y

r ( ^ ^ ) i n-v

^¡TJy l±kll] c n

la e y e r i t u r a r ( l ) e nnv

están alternativamente

O l - camino en

Ahora

con

nnv ... etc.

Es Vellido pues s i m p l i f i c a r r(l/N),

conecte-

Supongamos lo prime-

r ( ^ ) . . . . . r(li^) e n-v

entonces conectemos para obtener

r(0),

r(-|;|-)^ nnv,

v\(\\/

en

suponiendo que y que

n o en

de

r(0)

a r(l/N)

de

r(0)

a r(í/N)

de r ( 0 )

T-73

a

r ( ^ )

v.

Sean

ce j

r 1 [^0, 1/N]*ai

camino cerrado en

3i

ai*r I

1/N. 2/N *a2

°^2

a2*r I

2/N, 3/N *a3

32

a3*r I

3/N, 4/N *0.,,

"

"

"

n v

etc.

Entonces

r 'v. «^ .^ g j

^ ccj *

32*

...

* "'p *

3^

Por lo tanto el homomorfismo es sobre. Resta solamente constatar que su núcleo es precisamente {i -(c) (J3(c))"'

Ej :

|c € ui(nnv, a)}^*^

El grupo fundamental de la lemniscata

c^

c>0 Uov

es reductible a un pto.

Entonces

fYl

Luego

TTi(nvv) = TTi(n) * Tri(v) =

-

TTi(nAv) = 1 Z * Z.

2

Ej:

El plano proyectivo

P

se llama plano proyectivo al conjunto de todas las rectas en

t

que pasan por

0.

Un modelo del plano proyectivo se obtiene por iden2

tificación de pto. antípodales de la espera S o, lo que es lo mismo, por identificación de puntos

T-74

V

antipodales de los bordes de un disco. "borde"

Una vecindad del

(una vez hechas las identificaciones)

mo una cinta de Mobius,

se ve co-

Por eso es que también se obtie-

ne el plano proyectivo al pegar un disco al borde de una cinta de Mobius.

Esto no puede hacerse en

R .

Sinembargo, una represen-

tación del plano proyectivo (con autointersecciones) se logra así:

Grupo fundamental del plano proyectivo: 2

Sean

2

n = P - {a}

(a c P )

V = D ? a = disco abto. que contiene a a^ Entonces «{fj v Sea

es un disco abto. sin un pto.

f : (S'. 1) Z •-

^> (S'. 1)

-•

V

tífica los ptos. antipodales de S'.

f* : Z m

Y-

-

la función que iden-

I

*> 2m

T-75

Entonces

\TL = Tr,(S ))

Tenemos:

0 sea

SV 'z^\

•:='

X

•7 Ahora bien:

n{\v = D - {a}

Pero

V i-

hace

D - {0}=^ R

Es claro que guiente

-^ f(Iv'l) v" .

v

- {0}.

Luego

donde

TT X

TTi('>inv, a) = Z

es contractible a un punto y por consi

TTI (v) = 1.

Demostremos ahora que

n

contiene un círculo como retrac-

to por deformación y por consiguiente En primer lugar veamos que (D m

f(x) = tan

TTi(n) = Z :

D - {a} - S'xQl, «>)

disco) :

T-76

z^^

El homeomorf i smo es v" en donde de nuevo

^

{ 7 , f(l - |v|))

TTX f(x) = tan —^

Ahora bien: TTi(S'X [ O , co)) c Tri(s') X TTidO, co)) = 2

I Recuérdese que bajo las hipótesis usuales se tiene TTi(X X Y, (Xo, yo)) = TTl(X, Xo) X TT i (Y, yo)J 2

De lo dicho se concluye que

TTI(P

- {a}) = Z,

ya que

al identificar puntos antipodales de una circunferencia se obtiene una circunferencia y lo mismo se cumple para un cilindro:

-^

ü

-=>>

Entonces, finalmente, por el teorema de Z. * 1 TTiP

{3

= 1)

21

Nota ilustrativa

T-77

V.K. ,

Tri(nftv) = Z

TTl(v) = 1

Ejemplo: se t i e n e

El e j e m p l o a n t e r i o r f :

( S ' , 1)

—»-

Z

entonces

f*

Si se e s c o g e n antes

se p u e d e g e n e r a l i z a r :

h

Z

xn

abiertos

-^

:

H> Z y

(S', 1 ) ,

t

(multi p l , por v

n)

de la m i s m a m a n e r a

se o b t i e n e : TT 1 (n) =

TTl (n(\v)

¿:»TTi (n) = 1

T-78

Si

Z^

que

De tal manera que en el caso general se obtiene

TTl ( n n v )

= TTiX

z

•3 n

n 2 { 3 = 1 }

n Z

Corolario del último ejemplo:

Todo grupo abeliano finitamente generado es el grupo fundamental de un espacio topológico:

Sea

A

un grupo abeliano finitamente generado.

Entonces,

por el teorema fundamental de los grupos abelianos finitamente generados

A = Zf ® 1 &

Por lo tanto, si

X = S'x

_^_@

.jo^

Ze J

xS'Xn x . . . x X 1

TTiX

Q . . . ® I

,

n^

= A.

Observación:

X

no es una superficie si

n > 2 :

Puede verse que ddemostración se reduce a probar que una "mariposa de

n

alas" no es homeomorfa a un disco.

cierto en general que una mariposa de meomorfa a otra de

m

alas,

n ^ m :

Descripción de la demostración:

T-79

n

Es

alas no es ho-

La demostración se basa en que si existiera un homeomorfismo h :

h :

Hn

i- Mm ,

entonces

-^ Mm -^h(*)j

Mn - -j •'^

también sería un

homeomorfismo para cualquier escogencia de

* ,

Por disjunción de casos:

1)

Si

*

está en la intersección de las alas y

también está en la intersección, Mm - {*}

*

(puede pensarse que el "hueco"

(respectivamente por

hasta los bordes).

h(*))

cha deformación, los grupos fundamentales de f(Mm)

se amplía

Si además se contraen los ejes a

sendos puntos obtendríamos que, si llamamos

y

y

pueden deformarse para obtener sendas "ma-

riposas de alambre" dejado por

Mn - {*}

h(*)

f

a dif(Mn)

deberían ser isomorfos

M (*") T-80

Pero deichos grupos son los grupos libres en y

m - 1

generadores respectivamente, los cuales no

son isomorfos a no ser que

2)

Si

*

m = n

está en la intersección pero

tá, al establecer la deformación Mm -

n-1

{h(*)}

f

h(*)

no lo es

sobre

obtendríamos:

O Puxi-f p

y deberíamos tener que el grupo libre en neradores es isomorfo a

3)

Si ni

*.

ni

h(*)

/.

Contradicción si

gen > 2

están en la intersección, se

llega a una conclusión

Ejemplo:

Z.

n-1

similar.

El grupo fundamental

I

del toro.

Sfc^**

T- \ y

->.

Luego

Tri(n) = Z3* Zj,

Obtengamos ahora

-f

Z^

ZD*Z

deformando

dentro de n :

T'

^(D

^ • %

^

1

Vemos que

ce f-

I

-> 3r3' r"

Tenemos pues: Z p ^ Z p = TTI(TI)

Tri(- X

o

eX

I

-2. 3

por un reves-

es un subespacio

E

Todo homeomorfismo local es un revestimiento.

T-89

'-

3)

Pero nc todo revestimiento es un homeomorfis mo local :

f

í-ni t (0.2)

-> S

o

NL

es un revestimiento, pero no existe vecindad 1

de 1 e S morf ica.

cuya imagen inversa le sea homeo-

Levantamiento de caminos

Dado un revestimiento de (X,Xo) y un camino «:

(I, o)

> (X, X o ) , existe un único camino

(I, o)

>

(E, e«)

(donde

p(eo) = Xu) tal que

o. P oe

Dm,

Cada punto

x eX tiene una vecindad especial.

un recubrimiento de

X

Sea ín)

formado por vecindades especia1

_i

les.

Entonces

{ce

(n)}

es un recbto. de

un número de Lebesgue de este último recbto.

T-90

I.

Sea |T

Establez-

Y {-¡q-'

camos la partición Entonces n. Sea

K-f 1 - ^ r ^ ) K = o , ., , N - 1

1 ~i

1) "^(fo, TJ-J )cn no

d e I.

para alguna vecindad especial

la componente conexa de la preimagen de

que contiene a

eo

(no

n

está bien determinada pues

_ 1

p"

( X Q ) es discreto), entonces

tp'-ii

Sea

ocj

(p» iq-3 «1

la fción. *^ no

(pjno)

o(ce|\jo, ^ 3 )

cuya proyección por

es un levantamiento local de

Consideremos ahora I TT ,

TTU

(un camino de p

es

ce.

Sea

v

una vecindad es-

pecial que contenga

"([^ ' ^J)•

n

y cada componente conexa

( " ( Tj- ) e nAv)

T-91

cc[^o, |;J-])

Entonces

v

corta a

de la preimagen de preimagen de

v.

n Sea

corta a cada comp. conexa de la Vo

la componente conexa de

_i

p~ (v)

que corta a

no.

(vo está bien determinada pues

es la única que comparte con

Sea

«2 la función

'' V f oc(r^

el punto

(p|vo)" o ( B'ocg^

'^V-V^

."*.

^^^''^^yf'^^í''^ Ej;

Sea

p :

E

-*- X

un revestimiento _i

Entonces, si

Sea

Xp, Xi

^^>

r(I. o, i)

Definamos

X,

-»

eard p' (xp)^card p

(xi):

(x. xo, xi),

p" (xo)

p" V x i )

así :

Sea

fieeP ( X Q ) . Dado

r

(un levantamiento, únicol, de

r(o) . eo .

f(eo)

^ f

T-98

^(jj^

r ) , con

Dicha función

f

r

e X

es un revestimiento de X

_ 1

y

A C X. (con lo que

p

(A)

es la unión ajena

de sus componentes conexas), entonces _i

-1

p I p (A) : p miento de A.

Sea

a e A.

en

X.

(A)

Sea

n

Entonces

^ A

una vecindad especial de a

n(\A

es una vecindad especial de

_ 1

a

en

A ya que p

es un revesti-

-1

(nnA) = p

I

-1

(n)AP

A

-*

(A)=(t/n«)nP

C^)

_ 1

es una unión ajena de abts. de _i

te

p I ntcOP

/\

p" (A)

y obviamen-

-^

(A) : n^f^P

^^^

'^^^

^^ ""^

homeomorfismo.

Prop

Sea

X

conexo por arcos y

Sea

p :

que

p I p

Si

Tri(A, a)

E

—

=> X

A c X,

A

conexo por arcos

un revestimiento de

X. (Sabemos

_ 1

(A)

es un revestimiento de

-^ Tii(X, A)

T-99

A)

es sobre, entonces

p

(A)

es conexo por arcos: P"VA)

dm.

Sean

a, b e p" ( A ) .

Sea

r

tonces

p ( a ) , p(b) e A.

un camino (en A) entre p(a) y p ( b ) . •v -» r es un camino (en p (A)) entre

1

y

Entonces

Ena

1

bi ,

donde

(es decir,

b y b

están sobre la misma

fibra

p(b^) = p ( b ) ) .

1

Ahora bien : b y b son extremos de algún camino a en E. p a es un camino cerrado (en X ) 1

que conecta Sea

«

p(b )

con

p(b).

un camino cerrado en

y homotópico a Entonces

«

pa.

A

p

basado en

p(b)

(Existe por h i p ó t e s i s ) .

es un camino que une

está contenido en camino (en

Luego paCTTi(X,b)

p~ ( A ) .

b

Entonces

(A)) que une a con b.

es conexo por arcos.

100

con

b

y

r * oc

es un

Luego

p

(A)

Prop.

í> X

Sea

p :

E

Sea

f :

(Y, yg)

f

5> (x, X Q ) .

levanta a algún

si

y

un revestimiento de

X

Entonces

(y por lo tanto único)

f,

f*TTi(Y, yp) c P * T T Í ( E .

OQ)

solamente si

Ejemplo:

S'

n

TTX(S')

=

1

p* i/

S'

-

Z

\-

->

f*

Z = TT,(S') n

f

Ejemplo:

2n

S'

->

Z

=

TTi(S')

-* 3n

V-

no levanta porque

{3n} ^ {ín}

Para el mismo revestimiento

f :

TTi(S' ) = Z

S'

S'

anterior.

sí

Z

levanta: Un levantamiento es

T~101

í-Ní^XRSIDAD NACJON.\L HmuOTECA CENTRAL

Proposición:

Dado cualquier grupo

topológico del cual

G

G

existe un espacio

es el grupo fundamental.

Antes de presentar una descripción de la demostración es necesario recordar algunas c o s a s :

a)

Generadores normales de un grupo Mientras que el subgrupo de es

{( ) , (12)} .

(12) de

So

generado por

el subgrupo normal generado por

es el más pequeño de los subgrupos S3

que contiene a

Como grupo,

S3

(12),

esto e s ,

está generado por

normales pues

Ej: Def.

^ÍXecH ySi

2^ = Tx/{X"}

es el grupo libre en las letras

X^

tiene la representación