Revista Pensamiento Matemático Grupo de Innovación Educativa Pensamiento Matemático y Grupo de Investigación Matemática Aplicada a la Ingeniería Civil Universidad Politécnica de Madrid

Volumen III, Número 2, ISSN 2174-0410

Coordinación Comité Editorial Mariló López González Sagrario Lantarón Sánchez Javier Rodrigo Hitos José Manuel Sánchez Muñoz

Comité Científico Mariló López González, Adela Salvador Alcaide, Sagrario Lantarón Sánchez, Ascensión Moratalla de la Hoz, Javier Rodrigo Hitos, José Manuel Sánchez Muñoz, Raquel Caro Carretero, Fernando Chamizo Lorente, Luis Garmendia Salvador, José Juan de Sanjosé Blasco, Arthur Pewsey, Alfonso Garmendia Salvador, Fernanda Ramos Rodríguez, Milagros Latasa Asso, Nieves Zuasti Soravilla

1 de octubre de 2013

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Índice de Artículos Editorial del Número 2 (Vol. III) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Experiencias Docentes Exposición “Ríete con las Mates” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Mariló López González

Manifesto for a “Social Café” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Paolo Politi

Historias de Matemáticas La ética de la investigación científica en Alexandre Grothendieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Domingo Fernández Agis

Cuentos Matemáticos El Cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 José Miguel Bel Martínez

Investigación Use of decision trees algorithm for the territorial logistic planning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Jorge Quijada-Alarcón, Nicoletta González, Francisco Soler y Alberto Camarero

Algoritmo esteganográfico de clave privada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Anier Soria Lorente, Rayner Manuel Sánchez Reyes y Andys Marcos Ramírez Aberasturis

Posibilidades de resolución de problemas de ingeniería por el método de diferencias finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .73 Rubén Galindo Aires

Juegos Matemáticos Las matemáticas del cubo de Rubik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Ramón Esteban Romero

Críticas “Los Secretos del Infinito. 150 Respuestas al Enigma”, Antonio Lamúa Olivar . . . . . . . . . . . . . 111 Mariano Soler Dorda

Entrevistas Juan Medina: creador de lasmatematicas.es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Equipo Editorial

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Editorial del Número 2 (Vol. III) Equipo Editorial Revista de Investigación

Volumen III, Número 2, pp. 001–008, ISSN 2174-0410 Recepción: 15 Sep’13; Aceptación: 25 Sep’13

1 de octubre de 2013

Resumen Presentamos el segundo número del tercer volumen de la Revista “Pensamiento Matemático” que nuevamente incluye diversos artículos encuadrados en las diferentes secciones habituales de la Revista, cubriendo un amplio espectro de la Matemática y sus aplicaciones. Abstract We present the second number of the third volume of the “Mathematical Thinking” Journal. It includes some papers framed in the different sections of the Journal. The articles cover a wide range of the Mathematics topics and its applications.

Introducción La revista prosigue su andadura con este sexto número y con buenas noticias que avalan la solidez del proyecto. En Junio del presente año 2013 conseguimos superar el umbral de las 10.000 descargas, lo cual pone de manifiesto que Pensamiento Matemático interesa mucho a la comunidad científica. Además, en nuestro afán de mejorar día tras día este proyecto, ahora nuestra web puede consultarse tanto en español como en inglés lo que aumentará la difusión internacional de la Revista al abrirla al público internacional. Hemos mejorado nuestra calificación en bases de datos de referencia como Latindex, llegando a cumplir 34 de los 36 criterios de calidad bibliográfica, lo cual certifica la efectividad de los cambios llevados a cabo durante los últimos tres años en la publicación, encaminados a seguir los estándares de calidad internacionales. Pero lejos de conformarnos con todas las implementaciones que hemos llevado a cabo en los últimos números, pretendemos seguir mejorando nuestra publicación, no sólo haciéndola más accesible y atractiva, sino además publicando nuevos contenidos que interesen a toda la comunidad educativa y científica. Queremos ser un proyecto donde de forma paralela importen los autores, que son los protagonistas, y también los contenidos plasmados en la revista. Pensamiento Matemático se nutre de la colaboración desinteresada de multitud de miembros de la comunidad que consideran este proyecto como “altavoz” de su creatividad. A continuación presentamos brevemente los artículos que componen el presente número en sus diferentes secciones. 1

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Editorial

Experiencias Docentes El artículo “Exposición: Ríete con las Mates” presenta la exposición “Ríete con las Mates: Viñetas Cómicas Matemáticas” que el Grupo de Innovación Educativa (GIE) “Pensamiento Matemático” de la Universidad Politécnica de Madrid (UPM) ha confeccionado con la colaboración de alumnos de la Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos de la UPM. El trabajo quiere poner de manifiesto la utilidad de las exposiciones como recurso docente en la enseñanza de las matemáticas.

Panel relativo al concepto de número periódico.

En “Manifiesto por un Café Social” se expone fundamentalmente la idea de que la ciencia no debería quedar fuera del debate público, pero desarrollar un coloquio abierto entre científicos y no científicos no es tarea fácil. Razón de más para intentarlo. La idea Social Café (Café Social o Ciudadanos en el Café) podría resultar un formato adecuado para discutir temas en los que la ciencia, la tecnología y la sociedad se mezclarán. El sabor obtenido seguro que resultaría estimulante.

Póster de Science Café, Florencia (2009).

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Editorial

Equipo Editorial

Historias de Matemáticas En “La ética de la investigación científica en Alexandre Grothendieck” se aborda la cuestión del lugar de la ética de la investigación científica en el pensamiento del gran matemático Alexandre Grothendieck, prestando una atención particular a su excepcional obra Récoltes et semailles, en la que éste pasa revista a su vida como investigador y profesor. En relación con este asunto, nos referiremos a la ética de la investigación científica, tanto en lo que tiene relación con la investigación misma, como en lo que tiene que ver con la dimensión comunitaria de la ciencia y sus implicaciones sociales.

Alexandre Grothendieck (1988).

Cuentos Matemáticos “El Cero” es un relato corto de ficción, basado en hechos históricos, fue ganador del 2º Certamen de Relatos “San Isidoro” el año 2001 y publicado en la revista Topografía y Cartografía ese mismo año y en Mapping en 2010. En 2005, subvencionado por la Comunidad de Madrid y los Cabildos de Tenerife y El Hierro, se rodó en esta isla el cortometraje del mismo título basado en esta historia que, estrenado en Santa Cruz en 2006 tuvo amplia difusión en festivales internacionales.

Cartel del cortometraje “El cero”, basado en este cuento.

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Equipo Editorial

Editorial

Investigación

Node 1 (Entire Group) Density = 292,81

Node 2 Panama Canal Influence = No Density = 104,42

Node 4 Secondary road network ≤ 0,0216 Density = 147,50

Node 3 Panama Canal Influence = Yes Density = 717,61

Node 5 Secondary road network > 0,0216 Density = 50,35

Node 4 Primary road network ≤ 0,0254 Density = 40,12

Decision tree.

Node 5 Primary road network > 0,0254 Density = 72,74

En “Use of decision trees algorithm for the territorial logistic planning” se presenta la minería de datos, y en particular los árboles de decisión utilizados en diferentes campos: ingeniería, medicina, banca y finanzas, etc., para analizar una variable objetivo a través de variables de predicción. El siguiente artículo examina el uso del algoritmo de árboles de decisión como una herramienta en la planificación logística territorial. El árbol de decisión construido ha estimado índices de densidad de población para unidades territoriales con similares características logísticas en un modo conciso y práctico.

En “Algoritmo esteganográfico de clave privada” se muestra la esteganografía con clave privada, un sistema similar a sistemas criptográficos de cifras simétricas. En este artículo se presenta un nuevo algoritmo esteganográfico, el cual utiliza una clave privada, que permite generar una secuencia binaria pseudoaleatoria, indicando así los píxeles de la imagen donde serán insertados los elementos de la secuencia binaria del mensaje secreto. El algoritmo propuesto, mejora en cuanto al nivel de imperceptibilidad respecto al método de los bits menos significativos1 .

A la izquierda se muestra la imagen original mientras que a la derecha se muestra el esteganograma para la clave privada L;tvw&-7.

En “Posibilidades de resolución de problemas de ingeniería por el método de diferencias finitas” se expone la importancia de la obtención de la solución de determinados problemas de ingeniería mediante la resolución de ecuaciones en derivadas parciales que tienen que ser evaluadas numéricamente. El método de resolución numérica más extendido es sin duda el método de 1 El método de los bits menos significativos, indica el procedimiento esteganográfico que a través de una operación lineal, se encarga de ocultar información en el bit menos significativo de cada byte de algún medio digital.

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Editorial

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los elementos finitos, que ha superado al método de las diferencias finitas principalmente por su sencillez conceptual y por las limitaciones de éste último método para adaptarse a mallas irregulares; sin embargo, diversos autores han seguido desarrollando y aplicando el método de diferencias a todo tipo de problemas. En este artículo se presenta una aplicación numérica al cálculo estructural de una placa, que se resuelve por el método de las diferencias finitas y que permite obtener soluciones óptimas incluso para el problema de carga localizada, poniendo de manifiesto la idoneidad de aplicación de métodos de diferencias generalizados en su resolución y cuya formulación se presenta. En particular se resuelve 3 casos de aplicación: placa apoyada en sus cuatro lados bajo carga uniforme, placa apoyada en sus cuatro lados bajo carga puntual en el centro y placa empotrada en sus cuatro lados bajo carga uniforme.

Modelo realizado con SAP 2000 para placa empotrada con carga uniforme.

Juegos Matemáticos En “Las matemáticas del cubo de Rubik” se hace una presentación de cómo podemos utilizar el cubo de Rubik para presentar algunos conceptos básicos de la teoría de grupos y cómo podemos utilizar ésta para resolver el cubo de Rubik.

Ern˝o Rubik y variación de su cubo original.

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Críticas En “Los Secretos del Infinito. 150 Respuestas al Enigma” de Antonio Lamúa Olivar se presenta una reseña de este libro, que revela 150 secretos universales escondidos bajo el infinito. El autor trata de mostrar el conocimiento que tenemos de este concepto a través del tratamiento dispar que ha tenido históricamente en disciplinas tan dispares como la vinculación del infinito con el espacio, la religión, la energía, las espirales, el pensamiento, la probabilidad, la geometría o el cálculo.

Portada del libro.

Entrevistas En esta ocasión charlamos con Juan Medina, profesor de matemáticas de la Universidad de Cartagena (España) y creador de lasmatematicas.es, un portal que presenta más de 3.000 vídeos de autoayuda para estudiantes de todos los niveles. Su web se ha convertido de este modo en un lugar de referencia para todos aquellos interesados en “mejorar” sus matemáticas.

Juan Medina.

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Editorial

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Finalizamos esta presentación animando a los lectores a colaborar con sus trabajos a las futuras ediciones de la Revista. Sois todos vosotros la razón de existir de este proyecto. Este proyecto continúa su andadura gracias a la colaboración de todos los miembros de la comunidad científica que están interesados en el proyecto. El Comité editorial es sólo la vía de trasmisión de los trabajos entre los autores y los lectores. “Vamos a levantarnos y dar las gracias, porque si no aprendimos mucho hoy por lo menos hemos aprendido un poco, y si no hemos aprendido un poco, por lo menos no estamos enfermos; y si estamos enfermos, por lo menos no estamos muertos. Así que vamos todos a dar gracias.” Buda “Desarrolla una actitud de gratitud y da las gracias por todo lo que te sucede, sabiendo que cada paso adelante es un paso hacia el logro de algo más grande y mejor que tu situación actual.” Brian Tracy “Sólo un exceso es recomendable en el mundo: el exceso de gratitud.” Jean de La Bruyère ¡Gracias por estar “al otro lado”! El Comité Editorial

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Experiencia Docentes Exposición “Ríete con las Mates” Mathematical exhibition “Laugh with Maths” Mariló López González Revista de Investigación

Volumen III, Número 2, pp. 009–016, ISSN 2174-0410 Recepción: 31 Jul’13; Aceptación: 20 Sep’13

1 de octubre de 2013 Resumen Este artículo presenta la exposición “Ríete con las Mates: Viñetas Cómicas Matemáticas” que el Grupo de Innovación Educativa (GIE) “Pensamiento Matemático” de la Universidad Politécnica de Madrid (UPM) ha confeccionado con la colaboración de alumnos de la Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos de la UPM. El trabajo quiere poner de manifiesto la utilidad de las exposiciones como recurso docente en la enseñanza de las matemáticas. Palabras Clave: Exposiciones Matemáticas, Viñetas Matemáticas, Divulgación Matemática. Abstract This paper presents the exhibition “Laugh with Maths: Mathematical Cartoons” that the Educational Innovation Group (GIE) “Mathematical Thinking” (“Pensamiento Matemático”) of the Polytechnic University of Madrid (UPM) has done with the collaboration of students of the Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos of the UPM. The work wants to show the utility of the exhibitions as a teaching resource in the teaching of mathematics. Keywords: Mathematical exhibitions, Mathematical Cartoons, Mathematical Popularization.

1. Introducción Continuamente es posible encontrar conceptos científicos, concretamente matemáticos, que no se conocen, no se entienden o no se les da importancia, por no haber contado con una transmisión exitosa que llegue a numeroso público. Una forma interesante y atractiva de divulgar estos conceptos, por ejemplo matemáticos, es mediante la organización de exposiciones. La belleza de las imágenes y los elementos que conforman una exposición, tienen como objetivo captar la atención del público con la pretensión de que éste se interese 9

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por lo que está viendo. De esta manera, los contenidos van apareciendo de forma natural a través de la propia imagen, del objeto expuesto o del texto que les acompaña. La importancia de las exposiciones reside en que representan una vía para captar nuevos públicos y atraerlos, en este caso, hacia el mundo de la ciencia. En general atraen tanto al público habitual de los ámbitos de estudio, universidades, colegios, institutos, etc. que desean conocer en profundidad los temas expuestos, como a público desconocedor de estos temas que quieran iniciarse en ellos. Por esto último, refiriéndose a la importancia de este tipo de muestras en la captación de nuevo público, decir que permiten entrar en entornos de estudio y formación sin el temor de no saber cómo manejarse en ellos. El GIE “Pensamiento Matemático” lleva a cabo una serie de exposiciones itinerantes sobre Matemáticas que hacen llegar al mayor número posible de personas la utilidad y la necesidad de esta ciencia en numerosos campos a todos los niveles. En general, las exposiciones itinerantes ofrecen un verdadero efecto multiplicador de los objetivos de comunicación social de la ciencia. La exposición que se presenta en este artículo “Ríete con las Mates: Viñetas Cómicas Matemáticas” propone hacer llegar de forma clara, visual y divertida a numeroso público, conceptos relacionados con las matemáticas, una ciencia muchas veces temida. Lo hace a través de la búsqueda de los segundos sentidos, los absurdos o los malos entendidos. Las matemáticas representan en numerosas ocasiones una conexión lógica entre ideas y conceptos, entre el lenguaje cotidiano y el científico. Estas conexiones pueden usarse de manera cómica si el que recibe la información tiene la suficiente “cultura matemática” para entender esas conexiones. Para lograr este objetivo y el de llamar la atención del público sobre la necesidad de que conozcan ciertos conceptos matemáticos y que los sepan aplicar en su vida cotidiana, el GIE ha recopilado e inventado una colección de viñetas relacionadas con las matemáticas. Estas viñetas reflejan situaciones cotidianas, preocupaciones sociales o malos entendidos desde un punto de vista matemático. Con esta exposición se quiere poner de manifiesto la necesidad de tener una cultura matemática hasta para reír.

2. Sobre la exposición Con la finalidad de acercar a los estudiantes y al público en general a las matemáticas de una manera sencilla y divertida, el GIE “Pensamiento Matemático” se propuso durante el curso 2012-2013 recopilar ciertos chistes matemáticos y hacer sus propias versiones gráficas, así como inventar algunos nuevos. El fin era crear una exposición de paneles gráficos con ciertos gags cómicos donde se plasmaran conceptos matemáticos desde un punto de vista e interpretación en tono de chiste. Además estas viñetas se acompañarían de un panel explicativo donde se explicara brevemente el concepto matemático que apareciera en dicha viñeta. Para realizar la propuesta se convocó un anuncio entre los alumnos de la Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos de la UPM en el que se pedía la colaboración de todo aquel que estuviese interesado en realizar dibujos estilo cómic y viñeta. Se seleccionaron dos alumnos del primer curso de Grado en Ingeniería Civil y Territorial:

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Exposición “Ríete con las Mates”

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Noelia Esteban Rivera y Álvaro Llera Fernández, los cuales son autores de las ilustraciones de la exposición. El resultado del trabajo han sido 24 paneles gráficos a lo largo de los cuales se ha trazado un recorrido por una colección extensa y variada de la Matemática. En ellos se tratan temas como los números racionales e irracionales, las series numéricas, las funciones reales de variable real y sus gráficas, los conjuntos, los límites, las derivadas y las integrales, la lógica, las constantes matemáticas, los sistemas de numeración,…. Esta exposición propone una determinada visión del mundo a través del conocimiento de conceptos matemáticos que aparecen como un instrumento cotidiano y útil hasta para reír. A continuación se muestran algunos de los paneles con sus carteles explicativos:

Figura 1. Panel relativo al concepto de serie numérica.

Series En matemáticas, una serie es la generalización de la noción de suma a los términos de una sucesión infinita. Puede verse entonces como el resultado de sumar los términos: a1 + a2 + a3 + · · · Lo cual suele escribirse en forma más compacta con el símbolo de 

sumatorio:  ai . i 1

Esta viñeta utiliza el doble sentido de la palabra serie como elemento matemático y como vocablo que define cierto tipo de emisiones televisivas. Figura 2. Cartel explicativo del panel relativo al concepto de serie numérica. Volumen III, Número 2, Oct’13, ISSN 2174-0410

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Figura 3. Panel relativo al concepto de número periódico.

Números periódicos Los números racionales

p  { ; p , q  } se caracterizan porque q

poseen un número finito de decimales ó un número infinito de decimales que se repiten (periódicos). No todos los números reales cumplen esta propiedad. Los números irracionales son los elementos de la recta real que no pueden expresarse mediante el cociente de dos enteros y se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales no periódicas. En esta viñeta se utiliza la idea de que 1/3 es un número racional de periodo 3, es decir 0,333333333… Se juega así con el doble sentido de periódico como publicación Figura 4. Cartel explicativo del panel relativo al concepto de número periódico. informativa que muchas veces se lee en el servicio y la definición de

número decimal periódico.

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Exposición “Ríete con las Mates”

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Figura 5. Panel relativo al concepto de conjuntos y subconjuntos.

Teoría de Conjuntos Los conjuntos son colecciones abstractas de objetos que representan una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática. La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades de estos elementos. Una relación entre conjuntos es la relación de inclusión. Una subcolección de elementos B de un conjunto dado A es un subconjunto de A. Este cartel hace uso de la relación de inclusión para dar una idea jocosa de la visión que los estudiantes tienen de su relación con las matemáticas. Figura 6. Cartel explicativo del panel relativo a la teoría de conjuntos.

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3. Conclusiones del trabajo Con esta exposición se considera que se ha puesto de manifiesto la apertura de las matemáticas, que las ideas y los conceptos matemáticos están abiertos a cualquier persona. Esta ciencia trabaja sobre demostraciones y abstracciones y las viñetas que forman la exposición reflejan la belleza de estas ideas para resaltar ciertas situaciones o realidades sociales del día a día. Resulta así un instrumento para la objetivación y pone de manifiesto que las matemáticas estudiadas proporcionan una realidad para analizar en nuestra vida cotidiana. La exposición sirve como instrumento para medir nuestra competencia en matemáticas y para poner de manifiesto situaciones matemáticas en nuestro entorno. ¿Estamos preparados para comprenderlas? El lenguaje y los conceptos matemáticos son necesarios, representan una herramienta imprescindible para el progreso y los ciudadanos tenemos que conocerlos. Además podemos sacarles partido para “echar unas risas” y pasar un rato agradable. Las matemáticas aparecen en la sociedad formando parte de la cultura social por lo que pueden y deben ser utilizadas en los chistes. En muchas situaciones cotidianas se necesitan las matemáticas para expresarse siendo así una necesidad social. Con esta exposición estamos seguros de que se ha puesto de manifiesto que un poco de “cultura matemática” puede hacernos reír y abrirnos a nuevos conceptos e ideas de esta ciencia. La exposición se encuentra a disposición de todo centro que la solicite, ya sea colegio, instituto, universidad, biblioteca, centro cultural,… Solo debe contactar con el GIE a través de su página Web: http://www2.caminos.upm.es/Departamentos/matematicas/WEBGIE/index.html

Referencias [1] DRI, Liliani Elena. Los matechistes. Crear y reír en la clase de matemáticas, Dunken, Buenos Aires, 2007. [2] FLORES, Pablo; MORENO, Antonio J. Matemáticas competentes… Para reír, Graó, Barcelona, 2011. [3] FLORES, Pablo. Humor gráfico para el aula de matemáticas, Arial, Granada, 2013. [4] MILLÁS, Juan José; FORGES. Números pares, impares e idiotas, Alba, Barcelona, 2000. [5] PAULOS, John Allen. Un matemático lee el periódico, Tusquets, Barcelona, 1999. [6] QUINO. Todo Mafalda, Lumen, Barcelona, 2011.

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Exposición “Ríete con las Mates”

Mariló López González

Sobre la autora: Nombre: Mariló López González Correo Electrónico: [email protected] Institución: Universidad Politécnica de Madrid, España.

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Experiencias Docentes Manifesto for a “Social Café” Manifiesto por un “Café Social” Paolo Politi Revista de Investigación

Volumen III, Número 2, pp. 017–020, ISSN 2174-0410 Recepción: 8 Jul’13; Aceptación: 31 Jul’13

1 de octubre de 2013 Abstract Science should not stay out of public debate, but an open confrontation between scientists and non-scientists is not easy. All the more reason to try. Social Cafés are a suitable format to discuss about topics where science, technology and society mix. The resulting flavour may be attractive. Keywords: Science, Society, Economy, Public Debate Resumen La ciencia no debería quedar fuera del debate público, pero desarrollar un coloquio abierto entre científicos y no científicos no es tarea fácil. Razón de más para intentarlo. La idea Social Café (Café Social o Ciudadanos en el Café) podría resultar un formato adecuado para discutir temas en los que la ciencia, la tecnología y la sociedad se mezclarán. El sabor obtenido seguro que resultaría estimulante. Palabras Clave: Ciencia, Sociedad, Economía, Debate público

Neutrality of science is dead and scientism has rather been replaced by a strong mistrust towards science and scientists. This suspicion, if not aversion, is often explained as a plain consequence of scientific ignorance. Therefore, the remedy would be to strengthen the teaching of science at school, to improve the quality of scientific reports, to disseminate science news, to organize popular conferences. And scientists should be involved, specially in the popularization process. All these activities are useful and necessary, no doubt, but would it be enough? No, in my view. Science, often mixed up with technology, is related to many aspects of our everyday life and if it is regarded as helpful and now essential it is also perceived as potentially dangerous or source of concern. Furthermore, science disputes on, e.g., GMO, cloning or global warming do not oppose “the scientific community” to “the rest of the world”. Most of times, disputes are also among scientists and since these topics are not “purely” scientific, the debate inevitably has a political side. And once the debate gets ideological every statement, every opinion seems to have the same strength of others. The answer is not to fish the topic out of the “political sea” 17

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and say “Hey, that’s science!”, but possible alternative solutions are much more laborious. Here I’m going to discuss one.

Figure 1. Poster of a Science Café, held in Florence (2009).

I don’t think there is the right way to discuss about science and technology, because the way should always be related to the people you are addressing and to the purpose you have in mind. My suggestion is to favour a public discussion on themes with a relevant scientific and technological aspect, in a broad sense. Such discussions may take place in various places, real or virtual ones, but I look with sympathy face-to-face discussions among people, gathered somewhere. These type of meetings are not new but they are preferentially confined to classical culture, think to Literary Cafés or reading clubs, or to genuine political topics. French Cafés Citoyens, where people meet and discuss on the most diverse subjects, are an exception. Science Cafés are another exception and they are now widespread in all continents. I myself have organized a Science Café (Caffè Scienza, in italian) for several years, in Florence. Rather than explaining how it was organized, I prefer to give a simple and short “guide 18 |

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Manifesto for a “Social Café”

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to the future”, because after this experience, I would feel the need to go a step further towards a Social Cafè. Three ingredients are most important: the organizing committee, the format, and the venue. Let’s consider them in order. The organizing committee It is not required that organizers come from the academia, but it is necessary to have connections with it and to be able to get in touch with potential guests in very different disciplines. It is also useful that the committee includes people with interests or specializations in different areas, e.g., hard sciences, life sciences, economics, social and political sciences. University students would be specially suited to take part in such a committee. Non-scientists should also be welcome. The format One or two guests, not more. Ten-fifteen minutes each to introduce themselves and propose some ideas to start the discussion. No slides. An active moderator should strongly avoid soliloquy whose only content is “How good I am”. The guest is there for a public discussion, not to promote science (or, even worse, their activity). Finally, allow one to two hours for discussion. The venue The venue may be any public place with free entrance where guests, moderator and public are on the same plane, literally. More precise recommendations would be useless, this point being strongly dependent on the region where events are organized.

Figure 2. Possible logo for a Social Café. Volumen III, Número 2, Oct’13, ISSN 2174-0410

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Paolo Politi

Experiencias Docentes

Researchers may be doubtful about the format giving free speech on “scientific” topics to anyone. Well, if in a scientific conference every participant has free speech, the same should be true for a public debate, because it is how you argue which gives greater or less weight to what you say. According to my experience, a debate is more likely to be spoiled by a logorrheic, confusing or haughty guest rather than by the public. Finally, to be concrete I would like to give some examples of topics which have important scientific or technical aspects, but also have a relevant social impact: energy sources; biomedical research; food production; waste management; finance and banking; voting systems; climate changes; cultural heritages; robotics; pharmaceutical drugs; social networks; traffic management; alternative medicines; animal testing. These topics are enough to organize several seasons of debates. Last but not least, I would like to extend an invitation to scientists. Do something beyond research, teaching, meetings and all that paperwork which we are submerged. Many of us do a good work full time, but it is so important to go outside our Institutes!

References [1] http://www.caffescienza.it/ [2] http://www.cafescientifique.org/

Sobre el autor: Nombre: Paolo Politi Correo electrónico: [email protected] Institución: Istituto dei Sistemi Complessi, Consiglio Nazionale delle Ricerche, Firenze, Italy.

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Volumen III, Número 2, Oct’13, ISSN 2174-0410

Historias de Matemáticas La ética de la investigación científica en Alexandre Grothendieck The ethics of scientific research in Alexandre Grothendieck Domingo Fernández Agis Revista de Investigación

Volumen III, Número 2, pp. 021–044, ISSN 2174-0410 Recepción: 16 Abr’13; Aceptación: 25 Jun’13

1 de octubre de 2013 Resumen En este trabajo abordamos la cuestión del lugar de la ética de la investigación científica en el pensamiento del gran matemático Alexandre Grothendieck, prestando una atención particular a su excepcional obra Récoltes et semailles, en la que éste pasa revista a su vida como investigador y profesor. En relación con este asunto, nos referiremos a la ética de la investigación científica, tanto en lo que tiene relación con la investigación misma, como en lo que tiene que ver con la dimensión comunitaria de la ciencia y sus implicaciones sociales. Palabras Clave: Grothendieck, ciencia, matemáticas, ética, investigación. Abstract In this paper we address the question of the place of ethics of scientific research in the thought of the great mathematician Alexandre Grothendieck, studied with particular attention his great work Récoltes et semailles, a work in which he analyzes his life as researcher and as professor. In this matter, we will refer to the ethics of scientific research, both in terms of the research itself, as it has to do with the communal dimension of science and its social implications. Keywords: Grothendieck, science, mathematics, ethics, research.

1. Introducción Récoltes et semailles. Réflexions et témoinages sur un passé de mathématicien, es una extensa obra de Alexandre Grothendieck, en la que éste pasa revista, a lo largo de más de mil quinientas páginas, a su vida como matemático. La obra no ha sido aún publicada formalmente, pero de ella existe una edición mecanografiada y fotocopiada, realizada a cargo de la Universidad de 21

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Montpellier. Grothendieck, cuya peripecia vital podría sin que cayésemos en exageración alguna calificarse de extraordinaria, nació en Berlín, el 28 de marzo de 1928. Como él mismo relata en diferentes pasajes de esta obra, el activismo político de sus padres (que llegaron a participar en la Guerra Civil española al lado de los anarquistas), les llevaría a separarse de sus hijos en 1933, dejando a Alexandre al cuidado de una familia en Hamburgo y a su hermana internada en una institución también en Alemania. Esa experiencia de la ruptura del núcleo familiar sería muy traumatizante para él, dedicando una buena cantidad de páginas de esta obra a meditar sobre cómo marcó su carácter ese pasaje de su vida. Más tarde, en 1939, volvería a reunirse con sus padres en Francia. Desde donde su padre sería deportado al campo de exterminio de Auschwitz, en el que falleció en 1942. A partir de entonces permanece con su madre, a la que estuvo siempre muy ligado. Ella, que fallecería en 1957 en Montpellier, ejerció un fuerte influjo sobre su personalidad.

Figura 1. Los Grothendieck (Sascha Shapiro -padre- y Hanka -madre-) y Alexandre (con 5 años) [6].

Al iniciar sus estudios universitarios, seducido por el prestigio que en la época tenía la física atómica, pensó en estudiar física, aunque luego se decidió por la matemática, considerando que ésta persigue un conocimiento más fundamental que el buscado por aquella. En todo caso, al narrar sus primeros años como estudiante en la universidad de Montpellier, comenta cómo siempre siguió su propio programa de lecturas e investigaciones, aun sin llegar a desatender las exigencias propias de sus estudios universitarios [10, p. 543]. Su verdadera introducción en el mundo matemático se producirá cuando se traslade a Paris para proseguir su formación universitaria. No obstante, ya en su etapa de estudiante de bachillerato se había producido su descubrimiento de las matemáticas que, según él mismo relata, a partir de entonces, se convierten en la pasión dominante de su vida hasta 1970. Su trayectoria profesional en este campo difícilmente podría haber sido más brillante, llevándole a formar parte del Grupo Bourbaki, ser nombrado profesor permanente del IHES en Paris, recibir la Medalla Fields y el Premio Crafoord (que rechazó), entre otros muchos honores [14, pp. 120 y ss.]. Como él mismo se ocupará de recalcar en la obra en la que vamos a centrar nuestra atención, dos ideas centrales en el arranque de la nueva geometría se deben a labor investigadora, la de esquema y la de espacio topológico. Hay además una tercera idea a la que él da gran importancia y que, a su juicio, no ha sido suficientemente desarrollada, la de motivo [2, pp. 12 y ss.]. Sobre la necesidad de desarrollar este ámbito del conocimiento matemático insistirá en su Esquisse d’un Programe, documento que acompaña a su solicitud de un puesto de investigador en el CNRS [9, p. 43]. Por lo demás, entre sus muchos logros matemáticos habría que destacar el desarrollo de la geometría algebraica, así como el enunciado y demostración del teorema de RiemannRoch-Grothendieck. Él mismo afirma que, en sus primeros “quince años de trabajo matemático intenso, había eclosionado, madurado y crecido en mí una vasta visión unificadora, encarnándose en algunas ideas-fuerza muy simples. La visión era la de una ‘geometría aritmética’, síntesis de la topología, 22 |

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de la geometría (algebraica y analítica), y de la aritmética, de la que encontré un primer embrión en las conjeturas de Weil” [10, p. L6].

Figura 2. Institut des Hautes Études Scientifiques (IHES).1

Estamos, por tanto, ante la obra de una de las grandes figuras de la matemática del siglo XX, alguien a quien podríamos calificar de auténtico visionario, dotado de una creatividad proteica, que se lanza, a mediados de los años ochenta del pasado siglo, a realizar un verdadero ajuste de cuentas con esa rama central del conocimiento científico a la que ha dedicado la mayor parte de su vida. En esta obra y en los escritos que han seguido a su voluntario alejamiento del ‘gran mundo’ matemático, Grothendieck pone en práctica una auténtica parresía, guiado por la cual analiza ese paradigmático entorno, así como su propia subjetividad y sus experiencias vitales. Podríamos añadir, en relación con ello y con respecto a su trabajo de escritura que, en la elaboración de este libro, que no es tan sólo una memoria de su actividad como científico sino también el diario de una larga exploración interior, sostiene que su “ausencia de complacencia con respecto a mí mismo, me ha dado igualmente esta calma interior, o esta fortaleza, que me han preservado de las trampas de la complacencia con respecto a otros, lo que no sería sino una falsa ‘discreción’. Todo lo que creía tener que decir, en uno u otro momento de la reflexión, ya sea sobre mí, o sobre alguno de mis colegas, de mis ex alumnos o amigos, o sobre un medio o una época, lo he dicho” [10, p. L23]. Su propósito, señala, no es hacer un “análisis de clase” del mundo matemático, sino un “cuadro de costumbres” del mismo, dando cuenta de las relaciones de poder, valores imperantes y miserias ocultas en él [10, p. 630]. Es relevante señalar que, de 1948 a 1970, Grothendieck se considera integrado y de hecho forma parte del ‘gran mundo’ matemático. Sin embargo, en esa última fecha, se aleja voluntariamente de dicho ambiente, abandonando su puesto en el IHES, por entender que no puede trabajar en una institución que recibe subvenciones del “Ministère des Armées”. Entonces, tras un breve paso por el Collège de France (su cátedra será suprimida, por considerarlo demasiado izquierdista para tan venerable institución) y la universidad de Orsay (Paris VI), marcha a la 1

http://en.wikipedia.org/wiki/Institut_des_Hautes_Études_Scientifiques. (Consultada 5-6-2013)

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universidad de Montpellier, donde desempeña su puesto como profesor hasta su jubilación [1, p. 198]. Abundando algo más en su modo de abordar la escritura de Récoltes et semailles, diríamos que la manera de plantearse su elaboración es una clara proyección de su forma de trabajar en matemáticas. No sólo en las partes de la obra en las que expone resultados logrados en sus investigaciones anteriores o plantea nuevos desarrollos. También en aquellas otras, las más numerosas, en que se embarca en una reflexión de naturaleza filosófica a propósito de la ciencia y la ética que, a su juicio, ha de regirla. En cualquier caso, Grothendieck se plantea siempre las cuestiones con gran originalidad, sin prestar apenas atención a lo que ya se ha dicho sobre ellas. De hecho encontramos, al margen de las imprescindibles alusiones a matemáticos y a publicaciones específicas del ámbito matemático, muy pocas referencias a otros autores. Tan sólo podríamos hablar, en ese sentido, de someras alusiones, entre las que merecen ser destacadas las alusiones a Jung, Koestler y Whitehead. Una cuestión esencial es la que se refiere a la forma Figura 3. Alexandre Grothendieck (1951) [6]. en que se ve a sí mismo, en el contexto de la historia de la ciencia. Al respecto habría que recordar que, en lo que en principio podría juzgarse como un considerable alarde de inmodestia, compara su labor matemática con la de Einstein en la física. Sobre ello podríamos decir que, en todo caso, como ha señalado Philipe Douroux, no ha sido el único en el mundo matemático en considerar que ese paralelismo es real [6]. Sea como fuere, veamos la explicación de su actitud que él nos ofrece: “La comparación entre mi contribución a las matemáticas de mi tiempo y la de Einstein a la física, se ha impuesto a mí por dos razones: una y otra obra se realizan a favor de una mutación de la concepción que tenemos del ‘espacio’ (en el sentido matemático en un caso, en el sentido físico, en el otro); y la una y la otra toma la forma de una visión unificadora, abrazando una vasta multitud de fenómenos y de situaciones que hasta aquí aparecían como separadas las unas de las otras” [10, p. 59]. En efecto, Grothendieck se considera a sí mismo una rara avis en la historia de las matemáticas, sobre todo por su interés y capacidad de unificación en ese campo. En tal sentido, habla de su hermandad espiritual con Evariste Galois pues también éste ha sido un “marginal” en el mundo matemático, tal como Grothendieck se percibe a sí mismo. “Para mi propia tranquilidad, creo sin embargo distinguir una suerte de hermano potencial (¡y providencial!)”; que, como decíamos, se trataría, nada menos, que de Evariste Galois [10, p. 63]. Su dedicación al trabajo investigador no sólo ha tenido un enfoque tan original como el de Galois, sino que se ha desarrollado con una intensidad de difícil parangón. A propósito de su reconocida capacidad de trabajo, nos dice que “es sobre todo a partir de los años 1955 y siguientes, cuando tengo a menudo la impresión de ‘volar’- de hacer las matemáticas jugando, sin ninguna sensación de esfuerzo –¡como lo hacían mis mayores, cuya facilidad milagrosa deseaba tanto tener y que me había parecido estar fuera de mis posibilidades! Hoy me parece que tal facilidad no es el privilegio de algún don excepcional (como lo he encontrado en algunos, en los momentos en que tal ‘don’ me parecía enteramente ausente de mí), sino que aparece como el fruto de la unión de un interés apasionado por esa materia (. . . ), y de una más o menos larga familiaridad con ella” [10, p. 429]. Matiza sus afirmaciones, señalando que eso no significa que crea ser capaz de resolver, en poco tiempo, cualquiera de los problemas clásicos de la matemática que siguen estando abiertos. “La facilidad de la que hablo no es la de quien se propone y permite alcanzar tal objetivo, fijado de 24 |

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antemano: probar tal conjetura o darle un contra-ejemplo. . . Es más bien la que permite lanzarse a lo desconocido, en la dirección que un oscuro instinto nos dice que es fecunda, con la íntima certeza, que nunca será desmentida, de que cada día y cada hora de nuestro viaje no dejará de aportarnos su cosecha de conocimientos nuevos” [10, pp. 429–430]. En cuanto a las motivaciones que le llevaron a emprender la redacción de Récoltes et semailles, habría que hacer mención a una serie de factores internos y externos, él mismo nos dice que “los hechos exteriores vienen a alimentar la reflexión, en la medida solamente en que suscitan y provocan un relanzamiento de la aventura interior o contribuyen a esclarecerla”. Desde esa perspectiva, habla del “enterramiento y pillaje” de su obra matemática, que ha suscitado en él una intensa reacción egótica pero que, “al mismo tiempo, me ha revelado ligazones profundas e ignoradas que me vinculan a la obra surgida de mí” [10, p. 9]. En enero de 2010, su autor hizo pública una “Déclaration d’intention de non-publication”, en la que afirma que no desea que ninguna de sus obras publicadas sea reeditada y rechaza asimismo la publicación de las inéditas [12, p. 210]. Esto, además de complicar la difusión y el conocimiento de sus textos, plantea un problema de gran envergadura en relación a las veinte mil páginas de material matemático inédito que se conservan en la universidad de Montpellier y que contienen, según los especialistas que las han consultado, planteamientos y resultados de extraordinario interés [5]. Nos quedaría hacer referencia, para acabar este apartado inicial, a una cuestión crucial, como es la relación de Grothendieck con la escritura. Sobre ello ha reflexionado por extenso en Récoltes et semailles, donde podemos leer estas líneas, que tienen tanta fuerza como capacidad de síntesis demuestran poseer. Para él, que concibe no sólo la filosofía sino la propia matemática como un ejercicio de escritura, “el simple hecho de escribir, de nombrar, de describir –aunque no sea más que describir intuiciones alusivas o simples ‘suposiciones’ reticentes a tomar forma – tiene un poder creador”. La escritura es instrumento de la pasión de conocer y camino hacia el descubrimiento. La considera la etapa “más creativa, que siempre precede a la demostración y nos da los medios para ello”. Incluso cuando no nos conduce al descubrimiento de lo verdadero, el trabajo de la escritura jamás es trabajo perdido, ya que nos permite intuir armonías misteriosas cuyo sentido habrá que explorar. Tan sólo mediante ese trabajo habremos “podido entrar en contacto íntimo con esta realidad, con esta armonía escondida y perfecta” [10, p. 210].

2. El lugar de la ética en Récoltes et semailles Ya desde las primeras páginas de esta obra, encontramos una crítica, que por su naturaleza no deja de sorprender, a la visión que habitualmente se nos ofrece del científico. Denuncia a través de ella el seductor mito heroico, creado en torno a la figura del investigador. En concreto, frente a la extendida vigencia de tal mito, hace notar que “en las motivaciones del ‘científico’, que a veces le llevan a ocuparse intensamente de su trabajo, la ambición y la vanidad juegan un papel tan importante y casi universal como en cualquier otra profesión” [10, p. A2]. Pero, al mismo tiempo no deja de señalar que no sólo son esas las motivaciones de quien hace de la ciencia su profesión, ya que están presentes igualmente la intuición y la búsqueda de algo que podría denominarse “la belleza”. Al respecto, aclara, haciendo uso su peculiar ironía, que “ser ambicioso no impide forzosamente sentir la belleza de un ser o de una cosa, de acuerdo. Pero lo que es seguro es que no es la ambición lo que nos la hace sentir” [10, p. A3]. En consecuencia, encontramos representadas aquí dos pasiones contrapuestas, en un juego de contradicciones que, a la postre, más que del científico en particular, resulta ser propio de la condición humana. Esa realidad humana es algo que nos pone a salvo de cualquier idealización de la actividad científica y que es preciso tener presente, a la hora de evaluar cualquier posible desviación de los principios que han de regir la ética de la investigación [21, p. 26]. Volviendo al lado positivo de esa contradicción, habría que decir que, en el fondo, la tarea de quien busca Volumen III, Número 2, Oct’13, ISSN 2174-0410

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la belleza abstracta es un marchar a contracorriente. Él mismo explica sus iniciales vivencias en este sentido, recordando cuando realizó, en sus tiempos de escolar, su primera “composición de matemáticas”, que trataba sobre los tres casos de igualdad de los triángulos. Ese primer trabajo fue premiado por su profesor con un suspenso, al no haber seguido las pautas de la demostración que figuraban en el libro de texto [10, p. 1]. Jamás dejará de considerar que ese incidente es revelador de una actitud con la que se ha seguido encontrando a lo largo de toda su carrera, que se resume en el castigo de quienes osan pisar otro terreno que el ya trillado por el tránsito habitual de los que dan por válido únicamente lo que sea acorde con lo establecido. Pese a ello, Grothendieck no ha renunciado a aventurarse en lo desconocido, todo lo contrario. Respecto al trabajo de otros matemáticos, que no osan lanzarse a la exploración de terrenos inexplorados, su juicio es siempre ambivalente. En efecto, nos dice que “han hecho cosas, cosas bellas a veces, en un contexto ya definido, al que no habrían soñado tocar”. Pero puntualiza, acto seguido, que “se han quedado prisioneros sin saberlo de estos círculos invisibles e imperiosos, que delimitan un universo en un medio y una época dados” [10, p. 7]. Para sortearlos, habrían necesitado reencontrar en ellos mismos la capacidad de estar solos. Al mismo tiempo, nos confirma que, desde su primera aproximación, solitaria, a las matemáticas, cuando era un alumno de bachillerato, su objetivo ha sido construir una teoría coherente, irreprochable desde el punto de vista formal [3, p. 151]. Por eso concentraba todas sus energías en mantener la promesa que se había hecho a sí mismo de desarrollar una teoría que me le resultara plenamente satisfactoria [10, p. 4]. En su búsqueda, advirtió que, en ocasiones, “un haz de puntos de vista convergentes sobre un mismo y vasto paisaje, en virtud de eso que hay en nosotros apto para escoger el Uno a través de lo múltiple, da cuerpo a algo nuevo; a una cosa que supera cada una de las perspectivas parciales” [10, p. 16]. En una nota a pie de página, describe las dos opciones a las que se ha enfrentado tantas veces en su carrera. Éstas han sido, perderse en el detalle o avanzar como un sonámbulo que, en realidad, no ve el horizonte que se abre ante él, tan sólo lo intuye en función de aquello que tiene en la imaginación [4, p. 226]. Reconoce que, a lo largo de sus años de dedicación a las matemáticas, ha tenido que realizar mucho trabajo del primer tipo, a pesar de lo cual, “al nivel de las ideas y de las grandes intuiciones directrices, me parece que mi obra está exenta de toda ‘pérdida’, por increíble que pueda parecer”. Sostiene, en efecto, que desde siempre ha sentido “esta seguridad nunca fallida para aprehender en cada momento, si no los resultados, al menos las direcciones más fértiles que se ofrecen para ir derecho hacia las cosas esenciales” [10, p. 18]. En sus escritos son muy numerosas las ocasiones en las que habla de su conocida pasión por las estructuras matemáticas, que tanto ha marcado la dirección y profundidad de sus investigaciones . A este respecto, en Récoltes et semailles anota que lo que más le fascina en esa ciencia no es el número, ni la extensión, “sino siempre la forma. Y, entre los mil y un rostros que escoge la forma para revelarse a nosotros, la que me ha fascinado más que ninguna otra y continúa fascinándome, es la estructura oculta de las cosas matemáticas” [10, p. 27]. En esa misma página añade a modo de aclaración que, “la estructura no es, de ninguna manera, algo que nosotros podamos inventar”. Ciertamente, para él, la estructura existe por sí misma y tan sólo puede ser descubierta por el investigador. Podemos crear un lenguaje, un entramado conceptual con el que referirnos a ella y describirla, podemos aproximarnos a ella mediante el uso de poderosas metáforas [17, p.30], pero nunca podemos inventarla. Al lanzarse en su búsqueda, “más que dejarme distraer por los consensos que hacen ley en torno a mí, sobre lo que es ‘serio’ y lo que no lo es, he depositado mi confianza simplemente, como en el pasado, en la humilde voz de las cosas y en aquello en mí que sabe escucharla” [10, p. 32]. Ese tono entusiasta se disipa cuando hace una valoración de la situación de la matemática a finales del siglo XX. Entonces, el tinte de sus apreciaciones es bastante crítico, pues, en su opinión, se ha producido un aplanamiento y un estrechamiento del pensamiento matemático, al quedar éste despojado de toda inclinación a explorar el lado más misterioso de los objetos matemáticos. Así, a su parecer, “hemos entrado en una época de desecación, en la que esta fuente, aunque 26 |

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no esté ciertamente acallada, el acceso a ella está condenado por el veredicto sin apelación del desprecio general y las represalias del ridículo” [10, p. L20]. En ese sentido hace notar que “espontaneidad y rigor son las dos vertientes, ‘sombra’ y ‘luz’, de una misma cualidad indivisa. Es de sus esponsales, únicamente, de donde nace esta cualidad particular de un texto, o de un ser, que se puede intentar evocar por una expresión como ‘cualidad de verdad’” [10, p. L41]. Entre sus consideraciones sobre la naturaleza del trabajo matemático, encontramos otro aspecto de gran importancia. Nos referimos a las reiteradas ocasiones en las que alude a la función de la escritura en la investigación. Siguiendo el aliento de esas reflexiones, pone de manifiesto una visión de la aventura del descubrimiento, que puede calificarse de mística. En efecto, es difícil interpretar de otra manera sus palabras cuando dice que “el papel de la escritura no es consignar los resultados de una investigación, sino más bien el proceso mismo de la investigación –los trabajos del amor y los resultados de nuestros amores con Nuestra Madre el Mundo, lo desconocido, que sin descanso nos llama en Ella para conocerla todavía en su Cuerpo inagotable, por todo en Ella donde nos llevan las vías misteriosas del deseo” [10, p. L42]. Tras habernos detenido en sus consideraciones sobre la importancia de la escritura, habría que añadir ahora una breve digresión, siguiendo los planteamientos de Grothendieck, acerca de cómo la escritura se acomoda al ritmo del pensamiento y le permite desarrollar y perseverar en una línea de indagación [10, p. 442]. “Para los matemáticos –afirma-, me parece claro que la escritura ha sido desde siempre un medio indispensable, cualquiera que sea la persona que ‘hace matemáticas’, hacer matemáticas es, ante todo, escribir. Está claro que así sucede también en cualquier trabajo de descubrimiento en el que el intelecto tenga una función importante. Pero seguramente no es este el caso de la ‘meditación’, por la que entiendo el trabajo de descubrimiento de sí. En mi caso, sin embargo, y hasta el momento, la escritura ha sido un medio eficaz e indispensable en la meditación. Como en el trabajo matemático, ella es el soporte material que fija el ritmo de la reflexión, y sirve de referencia y encauzamiento para una atención que de otro modo tiene tendencia a dispersarse por los cuatro vientos” [10, p. 94]. Lo que él denomina meditación, es en realidad una actividad intensamente filosófica, que le ha llevado establecer un lévinasiano paralelismo entre el proceso investigador y el hecho de descubrir la alteridad. Por ello afirma haber adquirido “la convicción de que la naturaleza del trabajo de descubrimiento es la misma de una persona que descubre al otro” [10, p. 1]. Este mismo planteamiento reflexivo, le ha llevado a conceder una gran relevancia a la figura del niño y lo que éste representa. A su juicio, el investigador tiene que dejarse conducir por el niño que lleva dentro, pues “el descubrimiento es el privilegio del niño. (. . . ) el niño que no tiene aún miedo de equivocarse, de parecer idiota, de no ser tomado en serio, de no hacer las cosas como todo el mundo” [10, p. 1]. Sobre ello insiste en no pocas ocasiones, así se aprecia cuando dice que “a menudo, cuando hago matemáticas o cuando hago el amor o cuando medito, es el niño el que actúa. No siempre es el único que actúa. Pero cuando no está, no hay ni matemáticas ni amor ni meditación” [10, p. 111]. Vemos así que vincula lo que representa la infancia con la posibilidad de inventar y arriesgarse, pero también con la capacidad de estar solo y jugar solo, que son ingredientes necesarios para fomentar la creatividad, en particular la creatividad científica, a la que él ha honrado como pocos [20, pp. 3–4]. Por ello no deja de remarcar que “solamente el niño es por naturaleza solitario” [10, p. 127]. Siguiendo en esa línea, recurre de nuevo a la narración de una anécdota personal, con objeto de poner de relieve que, aunque la presunción infantil pueda llevar al error, el descubrimiento de ese error es un verdadero descubrimiento para el niño que lo realiza y tiene sobre su actitud frente al conocimiento un efecto de gran importancia. “Esta confianza que un niño puede tener en sus propias luces, fiándose de sus facultades antes que tomar por valor seguro las cosas aprendidas en la escuela o leídas en los libros, es algo precioso. Sin embargo, es constantemente desanimada por el entorno”. Como ejemplo cita su fallido intento, en la época de colegial, de demostrar que el valor Volumen III, Número 2, Oct’13, ISSN 2174-0410

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atribuido al número Pi es erróneo, señalando que, tomar conciencia de su error y del porqué del mismo supuso dar un paso adelante para él [10, p. 127]. En consecuencia, la tesis defendida es que el miedo al error no debe hacernos retroceder, ya que los errores, a su manera, pueden ser tan productivos como, de suyo, lo son los aciertos. No obstante, nunca pierde la oportunidad de hacer una autocrítica, señalando de forma reiterada que, tras sus esfuerzos como investigador había asimismo un impulso egótico, si bien matiza que, “a partir de un cierto momento en mi vida de matemático, ha habido esta ambigüedad constante de una cohabitación, de una interpenetración estrecha entre ‘el niño’ y su sed de conocer y de descubrir, su asombro en las cosas entrevistas y en aquellas examinadas de cerca, y de otra parte el yo, el ‘patrón’, regodeándose en sus obras, o por la continuidad opinada e incesante de una construcción de conjunto de grandiosas dimensiones” [10, p. 277]. Ve en esa dualidad un condicionante casi imposible de superar. Aunque esto es algo que también puede esconder una faceta positiva, si las dos tendencias mencionadas encuentran una forma equilibrada de coexistir. Pero tal equilibrio no puede nunca traicionar la libertad de pensamiento, que él concibe como “un instrumento entre otros para revelarnos y permitirnos sondear esta profundidad tras la superficie, esta vía secreta en las cosas, que no es ‘secreta’ sino porque somos demasiado perezosos para mirar, demasiado inhibidos para ver” [10, p. 436]. A ello se debe su insistencia en que, pese a lo que pudiera parecer, sentir la emoción del descubrimiento es algo más propio del niño que del sabio. Tan sólo el niño percibe “el género de milagro que –tal como la eclosión inesperada de una florse produce a cada paso en todo trabajo de descubrimiento; en mayor o menor medida, esa no es la cuestión. La embriaguez del descubrimiento no es el privilegio de un gigante, como una tradición tiránica querría hacernos creer, más bien es el del niño” [10, p. PU71]. Abundando en ello, considera que el progreso del conocimiento presupone la capacidad de cuestionar y escuchar la realidad. Sostiene que, en el fondo, eso “es la cosa más simple, la más espontanea del mundo, de la que nadie en el mundo tiene el privilegio. Es un ‘don’ que todos hemos recibido desde la cuna – hecho para expresarse y extenderse sobre una infinidad de rostros, de un momento a otro, de una persona a otra” [10, p. 5]. Sin duda, está profundizando en esa misma dirección, al defender que nuestra cultura ha dejado de respetar lo que él llama el sueño, ha dejado de tomarse en serio sus sueños, de ver en ellos una conexión con algo profundo [10, p. 10], con ello hemos perdido o estamos en riesgo de perder la capacidad de atravesar la superficie de las cosas. Una reflexión de gran calado ético es la que aborda la existencia de coacciones y temores entre los científicos, en un medio que muchos suponemos libre de tales miserias humanas. En concreto, sobre el miedo que impera en el ámbito de las matemáticas y, a su entender, en el mundo científico en general, realiza un interesante apunte personal. En tal sentido, nos dice que no tomó “conciencia del miedo que somete el mundo matemático (y por lo tanto, sino más aún, los otros medios científicos)” hasta el momento en que se apartó de la élite científica. A lo largo de los años que precedieron a tal ruptura, no tiene reparos en reconocer que, “progresivamente y sin cuestionármelo, había entrado en el papel de ‘gran jefe’, en el mundo de Who is Who matemático” [10, pp. 22–3]. A su juicio, impera una perversa dinámica en ese mundo, ya que para estar dentro de él, con poder y reconocimiento, hay que dar por válido el funcionamiento habitual de rígidas estructuras de poder. De lo contrario, el investigador se verá situado en una posición en la que quienes tienen poder se permiten despreciarlo y pueden impedir que se den a conocer los resultados de su investigación [10, pp. 27–8]. Partiendo de su experiencia, asevera que quien no se acomoda a esa manera de funcionar, es poco menos que imposible que sobreviva en dicho medio. Al hilo de estas consideraciones, es preciso recordar que Grothendieck muestra una extraordinaria sensibilidad frente a los abusos de poder en el medio matemático. Narra, a ese respecto, varias anécdotas de sus inicios en ese “gran mundo”, relacionadas con el modo en que ejercían su poder matemáticos que ya habían alcanzado reconocimiento y estaban en posesión de un 28 |

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gran prestigio. El rechazo de Grothendieck ante esos abusos es radical, aunque no deja de censurar su propio comportamiento en otra época, pues relata que, en el momento en que vivió algunas de esas experiencias, estaba tan interesado en integrarse en ese mundo y disfrutaba tanto con el reconocimiento que iba adquiriendo en él, que no veía esos abusos de poder como algo deleznable. Por el contrario, percibía esas situaciones como si fuesen algo natural. Fue a raíz de su abandono de ese gran mundo, en 1970, cuando llegó a ser completamente consciente de lo que en realidad significaban aquellas actitudes [10, pp. 31 y ss.]. De nuevo desde su experiencia personal, tampoco omite referirse al miedo reverencial que provocaban las grandes figuras de las matemáticas; a cómo ese miedo impedía a las personas que ocupaban una posición de debilidad en él plantear cuestiones, en el curso de una discusión que se suponía abierta. De tal forma que, cuando se atrevían a hacerlo, era en privado y, tal como confiesa el mismo Grothendieck (que durante años fue uno de sus más relevantes miembros), no se establecía un auténtico diálogo entre los interlocutores, aunque la cuestión planteada fuese pertinente [10, p. 37]. Como elemento de contraste, tiene siempre presente la ética que regía en el Grupo Bourbaki, durante el tiempo en que formó parte de él [3, p. 169]. Grothendieck considera que, para abordar las cuestiones relacionadas con la ética de la investigación, es pertinente hablar de su vinculación a este grupo, así como de los rasgos que caracterizaban su funcionamiento en tanto que pequeña comunidad científica [10, pp. 46 y ss.]. No obstante, un episodio que le hizo percibir la distancia a la que se encontraba de la sensibilidad imperante en el ambiente matemático fue la iniciativa, que promovió a finales de 1977, contra la ley que prohíbe dar asilo a un extranjero sin papeles en Francia. Al ver la falta de solidaridad y la nula acogida de su iniciativa en el mundo matemático, en particular entre los miembros del Seminario Bourbaki, Grothendieck afirma que comprendió que algo había cambiado en ese ambiente y que ya no era su lugar, aquél en el que se había introducido exitosamente veinte años atrás [10, p. 56]. Otra dimensión de ese miedo del que hablábamos, tiene que ver con el poder de apartar a un investigador del camino que quiere continuar, descorazonándolo y haciéndole sentir que sería una pérdida de tiempo seguir por él, Grothendieck afirma que esa potestad “puede ejercerse a discreción”, y recuerda de la manera más incisiva que “es el poder que Cauchy usó con respecto a Galois, y Gauss con relación a Jacobi” [10, p. 72]. Él mismo reconoce haber empleado ese poder y sostiene, igualmente, que ha visto “a matemáticos influyentes y brillantes hacer uso del poder de descorazonar y rechazar, tanto con respecto del trabajo sólido que visiblemente debía ser hecho, como con relación a tales trabajos de envergadura que ponían claramente de manifiesto la potencia y originalidad de sus autores. Varias veces, quien así usaba su poder discrecional ha resultado ser alguno de mis antiguos alumnos. Esta es sin duda la experiencia más amarga que me ha sido dado vivir en mi vida de matemático” [10, p. 72]. Especial importancia para el objetivo del presente trabajo tiene la nota 24 de Récoltes et semailles, que se refiere de manera específica a la ética de la investigación científica. Afirma en ella que “la ética de la que quiero hablar se aplica, antes que a ninguna otra cosa, al medio formado en torno a una actividad de investigación donde, por tanto, la posibilidad de dar a conocer sus resultados y de recoger el consiguiente crédito es una cuestión de ‘vida o muerte’ para el estatuto social de todo miembro, quizá incluso de ‘sobrevivir’ en tanto que miembro de este medio, con todas las consecuencias que eso implica para él y su familia” [10, p. 159]. El respeto al trabajo realizado con rigor debe, en consecuencia, regir la valoración del mismo a cargo de la comunidad científica. Además de esto, el acceso a los medios de difusión de los resultados de la investigación debe hacerse en condiciones de mérito y equidad. A despecho de todo ello, una ley despótica que, según Grothendieck, impera en toda la sociedad y no sólo en el mundo matemático, es que “el deseo egótico de probar su propia importancia y el placer secreto que acompaña su cumplimiento, son generalmente más fuertes y apreciados cuando Volumen III, Número 2, Oct’13, ISSN 2174-0410

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el poder del que se dispone encuentra ocasión para causar inconvenientes al prójimo, quizá su humillación” [10, pp. 73–4]. Grothendieck realiza de nuevo aquí una autocrítica, reconociendo haber cometido un abuso de poder al no recomendar la publicación de las investigaciones de un joven matemático. Muestra, por tanto, a través de esa autoinculpación, cómo en ese mundo (y en los medios científicos en general) pueden producirse con facilidad estos abusos [10, pp. 77–8]. Por lo que a él se refiere, el principio más elemental de la ética del trabajo que se aplica a sí mismo, se centra en no fingir que se trabaja, sino hacerlo de verdad. Para ello, afirma, hay que ponerse a la labor con todas las ganas y cuando se tienen de verdad deseos de entregarse a lo que hace [10, p. 93]. Al lado del mencionado principio, su principal guía “ha sido la búsqueda constante de una coherencia perfecta, de una armonía completa que adivinaba detrás de la superficie turbulenta de las cosas y que me esforzaba en desbrozar pacientemente, sin abandonar jamás. Era un sentido agudo de la ‘belleza’, seguramente, lo que constituía mi olfato y mi única brújula. Mi mayor alegría ha sido, más que contemplarla cuando aparecía a plena luz, verla desprenderse poco a poco del manto de sombra y de brumas en el que le gustaba esconderse sin descanso” [10, pp. 101–2]. Estas palpitantes aseveraciones nos remiten al concepto clásico de verdad como aletheia, esa interpretación de la verdad como resultado de un proceso de desvelamiento, tan vinculada a una tradición del pensamiento occidental, que va de los presocráticos hasta Heidegger. En el contexto que ofrece su concepción de la verdad hay que entender su tendencia a intentar traducir cualquier enunciado aparentemente novedoso, a los términos de otros enunciados ya conocidos y demostrados. Si esto no abocaba a ningún resultado, quería decir que el enunciado en cuestión era realmente original y que valía la pena adentrarse en su análisis y demostración. Es decir, a su desvelamiento. Considera que esta manera de proceder lo alejaba de la forma de afrontar la investigación del resto de los miembros del grupo Bourbaki y que, por lo demás, hacía poco menos que imposible para él trabajar en grupo [23, pp. 148 y ss.]. También admite que esto ha condicionado su labor como profesor durante la mayor parte de su carrera [10, p. 104]. En todo caso, del difícil encaje de sus procedimientos de trabajo dentro del normal funcionamiento docente, nos da una elocuente muestra en Esquisse d’un Programme [9, p. 42]. Otro aspecto de gran relevancia ética, que somete asimismo a consideración, es la resistencia que ejerce el maestro a ser desplazado o superado por sus alumnos. Cuestión clásica donde las haya, que él analiza al tiempo que habla del reconocimiento y la satisfacción que éste produce, pero señalando igualmente cómo exige también un gasto enorme de energía estar a la altura de él. En ese contexto, hay que entender su alusión a la sensación de libertad que sintió en el momento en que renunció a mantener esa posición de dominio dentro del mundo matemático, cediendo su lugar los que vengan detrás y demuestren reunir las condiciones necesarias para desarrollar y mantener el necesario esfuerzo [10, p. 110]. Eso no supone, por lo que a él se refiere, renunciar a su empeño mayor, que ha sido encontrar la evidencia [4, pp. 29-30]. Un término en este contexto, cuyo significado él perfila diciendo que “en matemáticas, las cosas ‘evidentes’, son también aquellas sobre las que tarde o temprano alguno debe caer. No son ‘invenciones’ que se pueden hacer o no hacer. Son cosas que están ya ahí, desde siempre, que están en medio de todo el mundo sin que se les preste atención, aparte de dar un gran rodeo ante ellas o pasar por encima de ellas” [10, p. 122]. En última instancia, la búsqueda de la evidencia cuadra a la perfección su reconocida pretensión de “hacer salir de la oscuridad lo que es desconocido para todos, no solamente para mí (como lo he visto antes), y esto, además, con la finalidad de ser puesto a disposición de todos, para enriquecer el patrimonio común. En otros términos, es el deseo de contribuir al engrandecimiento, al enriquecimiento de esta ‘cosa’, o ‘patrimonio’, que sobrepasa mi persona” [10, p. 134]. No obstante, no deja de censurar, una vez más, las formas egóticas que reviste a veces el deseo de agrandar el campo del conocimiento científico [10, p. 135]. Por eso intenta desprenderse de toda pretensión de perennidad. De ese modo, con respecto a la suerte que el futuro deparará a su obra, sostiene no tener “ninguna inquietud con respecto a estas cosas, sobre la suerte que el 30 |

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porvenir, la ‘posteridad’, les reservará (además de ser dudoso incluso que haya una posteridad . . . ). Lo que me interesa en este pasado, no es en absoluto lo que he hecho (y la fortuna que es o será la suya), sino más bien lo que no ha sido hecho, en el vasto programa que tenía entonces ante los ojos, y del que solamente una muy pequeña parte ha sido realizado” [10, p. 138]. Esto, en cierta forma, entra en contradicción con las emociones que dice haber experimentado al apreciar una falta de reconocimiento por parte de otros matemáticos, que han utilizado sus hallazgos científicos sin hacer mención de su procedencia. Tal vez la percepción de esas contradicciones haya sido uno de los factores que le han conducido a lo que él denomina la “meditación”. De nuevo, el término puede inducir a error y Grothendieck se ocupará de explicar al lector de qué forma lo entiende por y por qué ha sido el descubrimiento de ésta, crucial en su vida [10, p. 90]. La describe como un ir retirando las capas que cubren un núcleo, como si se tratase de una cebolla a cuyo más profundo interior queremos acceder. Nos dice que es la pasión por el conocimiento, que ha marcado toda su vida, la que le ha llevado a la meditación. La meditación le ayuda a resolver, mediante un trabajo laborioso, todo conflicto interior. De forma análoga, diríamos que ese sería un paso previo para abordar la resolución de cualquier conflicto exterior, pero insiste en el aspecto íntimo y personal de este abordaje meditativo de los conflictos que desgarran la personalidad [10, p. 93]. Meditar y pensar son actividades que tiene mucho en común, aunque se mantengan vivas entre ellas ciertas diferencias de fondo. Su enfoque de esta cuestión recuerda a la distinción clásica entre conocer y comprender. En ese sentido, la meditación nos pondría en el camino de conseguir una comprensión de aquello que constituye su objeto. “El pensamiento y su formulación meticulosa, juegan un papel importante en la meditación, tal como la he practicado hasta el momento. Ella no se limita, sin embargo, a un trabajo exclusivo del pensamiento. Este, por sí sólo, es impotente para aprehender la vida. Es eficaz sobre todo para detectar las contradicciones, a menudo enormes hasta lo grotesco, en nuestra visión de nosotros mismos y de nuestras relaciones con el otro, pero a menudo no es suficiente para aprehender el sentido de estas contradicciones” [10, p. 94]. Ese sentido ha de ser esclarecido mediante la meditación. Por otra parte, la naturaleza de la meditación es, según él la entiende, propia de una aventura en solitario. Siendo esto algo que comparte con “cualquier trabajo de descubrimiento, incluso cuando se inserta en un trabajo colectivo” [10, p. 127]. Acentúa su sesgo solitario el hecho de ir contra los “inveterados consensos” y conducirnos a asumir la realidad de ideas que están en confrontación directa con lo comúnmente admitido. Sin embargo, frente a las grandes metas que intenta alcanzar el pensamiento, el objetivo de la meditación es llegar a conocer “las cosas humildes y evidentes, cosas que no valen mucho. Son las que no encontraría en ningún libro o tratado, por sabio, profundo, genial que fuera –las que ningún otro puede encontrar por mí” [10, p. 129]. La meditación le ha llevado a ahondar cuestiones de naturaleza ontológica e incluso teológica. Así, en contra de la célebre frase de Einstein, según se desprende de cierto pasaje escrito por Grothendieck, Dios sí juega a los dados. Él, que confiesa no ser seguidor de ninguna religión, hace gala sin embargo de una actitud religiosa en su aproximación a esa dimensión de la realidad que siente la vocación de conocer. Al mismo tiempo, sus planteamientos ontológicos y teológicos poseen una nada despreciable originalidad. En particular, cuando afirma que, a su juicio, “Dios ha creado el mundo a media que lo descubría, o más bien, crea el mundo eternamente, a medida que lo descubre –y lo descubre a medida que lo crea. Ha creado el mundo y lo crea día tras día, recomenzando millones de millones de veces, sin descanso; titubeando, equivocándose millones y millones de veces y rectificando el tiro, sin abandonar . . . Cada vez, en este juego de sondeo de las cosas, de la respuesta de las cosas (‘no está mal este golpe’, o, ‘ahí te equivocas por completo’, o ‘esto marcha sobre ruedas, continúa así’), y de nuevo sondeando, rectificando o retomando el intento precedente, en respuesta a la respuesta precedente . . . , cada ida y vuelta en este diálogo infinito del Creador y las Cosas, que tiene lugar en cada insVolumen III, Número 2, Oct’13, ISSN 2174-0410

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tante y en todos los lugares de la Creación, Dios aprende, descubre, alcanza un conocimiento de las cosas cada vez más íntimo, a medida que estas toman vida y forma, y se transforman entre sus manos” [10, p. 2]. Todo ello nos lleva a pensar, cuando menos, por más paréntesis y comillas que le queramos poner, en la necesidad de insertar el conocimiento de lo concreto en planteamientos más amplios, sin renunciar a indagar acerca de cuestiones a las que no podemos dar una respuesta científica, pero que es arriesgado dejar de abordar [10, p. 426].

3. Las relaciones con el entorno investigador Un primer aspecto a abordar en este apartado es el funcionamiento y ética interna del grupo Bourbaki [13, p. 664]. Como es sabido, este grupo estaba formado por brillantes matemáticos, que crearon una dinámica colectiva de trabajo y firmaron conjuntamente sus obras, bajo el pseudónimo de Nicolas Bourbaki [1, pp. 198 y ss.]. Para dar cuenta del contenido y significado de la ética que regía su funcionamiento, se refiere a la relación entre dos de sus principales figuras, Jean-Pierre Serre y André Weil. “Progresivamente, Serre ha ejercido sobre el grupo un ascendente comparable al de Weil. En el tiempo en que formé parte de Bourbaki, eso no dio lugar a situaciones de rivalidad entre los dos hombres, y no he tenido conocimiento de ninguna enemistad que se hubiera establecido entre ellos más tarde. Aún con la perspectiva de veinticinco años, Bourbaki, tal como lo conocí en los años cincuenta, me parece un éxito destacable a nivel de la calidad de las relaciones, en un grupo formado en torno a un proyecto común. Esta calidad de grupo me parece de una esencia aún más rara que la calidad de los libros que salieron de él. Ese ha sido uno de los privilegios de mi vida, haberme encontrado con Bourbaki y haber formado parte de él durante algunos años” [10, p. 46].

Figura 4. Jean-Pierre Serre y Alexandre Grothendieck (1961) [6].

Así pues, al hacer balance de su paso por él, Grothendieck excluye todo influjo negativo sobre su personalidad, proveniente del Grupo Bourbaki. En primer lugar, afirma que si se alejó de dicho grupo ello fue debido a que sus intereses investigadores, además de su ya mencionado sistema de trabajo, le llevaron por caminos diferentes a aquellos por los que transitaban sus integrantes [10, p. 46]. En otro orden de cosas, sostiene que “este medio ‘bourbakico’ ha ejercido seguramente una fuerte influencia en mi persona y sobre mi visión del mundo y mi lugar en el mundo” [10, p. 51]. En este punto, Grothendieck se autocensura, hablando de cierta propensión a la fatuidad, que dice haber tenido durante años, aunque afirma que la había racionalizado mediante 32 |

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ideas meritocráticas. Sin embargo, considera que esa inclinación no provenía de su contacto con el grupo, sino que estaba en él desde antes de esa época. De manera aún más clara, las posiciones éticas que imperaban en el Grupo Bourbaki, se especifican en esta referencia a Jean Dieudonné y a cómo éste definía la ética de dicho grupo. “Esta ética de la que quiero hablar quedaba generalmente implícita, pero estaba sin embargo presente, viva, objeto (me parece) de un consenso intangible. El único que me la expuso en términos claros y netos, por lo que recuerdo, fue Dieudonné, sin duda una de las primeras veces en las que fui su huésped en Nancy. Es posible que volviera sobre ello en algunas otras ocasiones. Visiblemente, sentía que era algo relevante, y debí percibir en consecuencia la importancia que le concedía, para acordarme aún hoy, treinta y cinco años después. Por el simple hecho de la autoridad moral de mis mayores y de Dieudonné, que claramente expresaba entonces un consenso del grupo, debí hacer mía tácitamente esta ética, sin haberle concedido sin embargo un momento de reflexión, ni comprender lo que la convertía en importante” [10, p. 78]. La regla en la que venía a resumirse el contenido de esa ética podría formularse de la manera siguiente: “toda persona que encuentra un resultado digno de interés debe tener el derecho y la posibilidad de publicarlo, con la única condición de que ese resultado no haya sido ya objeto de una publicación” [10, p. 79].

Figura 5. Alexandre Grothendieck (hacia 1965) [6].

Con respecto a lo que sucede en nuestra época, su impresión denota un hondo pesimismo. En efecto, para él, la ética que le había transmitido Dieudonné, utilizando para ello las palabras más sencillas, “ha muerto en tanto que ética de un cierto medio. O más bien, este mismo medio ha muerto al tiempo que lo ha hecho esta probidad que era su alma. Esta probidad se ha conservado en algunas personas aisladas y ha reaparecido o reaparecerá en otras en las que se había degradado. Su aparición o su desaparición entre alguno de nosotros forma parte de los episodios cruciales de la aventura espiritual de uno y otro. Pero la escena sobre la que se desarrolla esta aventura ha sido transformada. Un medio que me había acogido, que fue el mío, del que estaba secretamente orgulloso, no existe ya” [10, pp. 79–80]. Frente a esa claudicación ética que detecta y se esfuerza en poner de relieve con sus referencias al ambiente matemático, su actitud se ha ido modificando con el tiempo. Sostiene que, en Volumen III, Número 2, Oct’13, ISSN 2174-0410

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principio, ha sido muy combativo, denunciando y atacando esa falta de coherencia con respecto a la ética de la investigación. Pero, más tarde, dice haber comprendido su verdadera vocación no es denunciar, sino “aprender, conocer este mundo a través de mí y conocerme a través del mundo. Si mi vida puede aportar algún beneficio, sea a mí mismo o a otro, es en la medida en que sea fiel a esta vocación” [10, p. 83]. Nuevos matices se añaden a estas ideas sobre la ética de la investigación, cuando leemos la nota 31, de Récoltes y semailles. En ella recoge algo de enorme relevancia, que aclara la forma de entender las matemáticas que siempre le ha caracterizado. “Ronnie Brown me ha hecho llegar una reflexión de J. H. C. Whitehead (del que fue alumno), hablando del ‘esnobismo de los jóvenes, que creen que un teorema es trivial porque su demostración es trivial’. A muchos de mis amigos de antaño les vendría bien meditar sobre estas palabras. Este ‘esnobismo’ no está hoy solamente limitado a los jóvenes, conozco más de un matemático prestigioso que lo practica corrientemente. Soy particularmente sensible a esto, porque lo mejor que he hecho en matemáticas (y en otras cosas también . . . ), las nociones y estructuras que he introducido y me parecen más fecundas, y las propiedades esenciales que he podido desentrañar mediante un trabajo paciente y obstinado, caen todas ellas bajo el calificativo de ‘trivial’. (¡Ninguna de estas cosas habría tenido en nuestros días grandes posibilidades de verse aceptada para una nota en los CR, si el autor no fuera ya una celebridad!) Mi ambición de matemático durante toda mi vida, o más bien mi pasión y mi alegría, han sido constantemente encontrar las cosas evidentes” [10, pp. 162–3]. A su juicio, semejante actitud, además de demostrar una cierta ceguera ante la belleza matemática, implica asimismo abuso de poder y deshonestidad. Por más que esto se presente envuelto en el paño aterciopelado de la defensa “intransigente de la intangible pureza de la matemática” [10, pp. 162–3]. Junto a Dieudonne, Serre encarnaba para Grothendieck, no sólo la elegancia y la competencia técnica, sino también una actitud frente a la investigación irreprochable desde el punto de vista ético. Sin embargo, considera que ha traicionado esos valores al tomar partido a favor de lo que él denomina su “enterramiento”, al igual que han hecho, a su juicio, otros ilustres miembros del mundo matemático [10, p. L29]. Tengan más o menos fundamento esas acusaciones, lo cierto es que su formulación denota una desilusión de enormes proporciones, ente lo que él percibe como una muy extendida ausencia de respeto a la ética de la investigación científica [18, pp. 202–4]. Se añade a ello otro asunto que le ha resultado especialmente penoso. En concreto, la falta de reconocimiento por parte de su antiguo alumno y, ya en esa época, matemático de enorme prestigio, Pierre Deligne, quien, a su juicio, ya desde antes de su partida del IHES, se había esforzado en borrar toda traza de la influencia de éste último sobre su propio trabajo. Afirmación que habría que matizar, a la luz de la lectura del trabajo de éste titulado, “Quelques idées maîtresses de l’oeuvre de A. Grothendieck” [2]. En todo caso, para él, la actitud de Deligne es el primer signo de una labor de enterramiento con respecto a su obra matemática que pretende dar a conocer [10, p. 237]. Por otra parte, como ya hemos evocado, refiriéndose implícitamente a su antiguo discípulo, dirá que ha sido una experiencia terriblemente dolorosa para él ver a algún antiguo discípulo, al que él había amado, aplastar por placer el trabajo y la carrera de otro de sus discípulos más recientes [10, p. L13]. Expresado esto, afirma que la cuestión que queda por resolver es determinar si todo lo que nos ha relatado son acontecimientos particulares o, por el contrario es denotativo de una “degradación general de las costumbres” [10, p. 339]. Más adelante, expresará esa misma idea, en conexión con lo que considera que ha sido el expolio de su obra, al decir que la pregunta que se plantea es si lo que ha sucedido tiene que ver con las singularidades de su carácter o se trata de algo que hay que explicar por la claudicación ética que se ha producido en el mundo de la ciencia [10, p. 353]. 34 |

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Por lo demás, en las páginas de Récoltes et semailles, pasa también revista a su trabajo de dirección de investigaciones y sus relaciones con los alumnos que se formaron con él. Al hilo de esas evocaciones, se lamenta de no haber antepuesto, en algunos momentos, el valor único de cada persona a las necesidades de la investigación. En ese sentido admite que, presionado por la búsqueda de resultados en su programa de investigación, ha juzgado de manera incorrecta a algunos investigadores, considerándolos incompetentes, cuando quizá tan sólo se encontraban en una situación de bloqueo temporal o induciéndolos a investigar en un campo que no les interesaba o no les convenía, dadas sus peculiaridades e intereses [10, pp. 58 y ss.]. Otra cuestión compleja de evaluar, de la que asimismo se hace eco, es su propensión a imponer su visión de los problemas y sus descubrimientos, antes que animar a sus alumnos a desarrollar sus propias visiones. Un mal muy común, que impregna toda la actividad docente e investigadora, podríamos decir. Al respecto, admite que esa propensión no ha desaparecido nunca aunque, al tomar conciencia de ella, haya procurado atenuar sus efectos negativos [10, p. 59]. No obstante, insiste en el valor que tiene su empeño de transmitir a los alumnos la autoexigencia y el rigor, además de franquearles el paso hacia los conocimientos necesarios para llevar a cabo una investigación científica. Señalando que “es un rigor interior, independiente de los cánones de rigor que pueden prevalecer en un momento determinado en una disciplina (digamos) determinada. (. . . )Y si he podido, quizá, a pesar de todo, transmitir a mis alumnos alguna cosa valiosa, además de un lenguaje y saber hacer, es sin duda esta exigencia, esta atención, este rigor –si no en la relación con otros y consigo mismos (que a ese nivel me fallaba como a cualquiera), al menos en el trabajo matemático” [10, p. 61]. Ampliando esas apreciaciones sobre lo que se debe o no transmitir a los alumnos-colaboradores, acabará matizando el sentido de su autocrítica, al decir que “No sería exacto, sin embargo, decir que el trabajo que proponía a mis alumnos, y que ellos realizaban conmigo, era un trabajo puramente técnico, de pura rutina, no apto para poner en juego sus facultades creadoras. Ponía a su disposición puntos de partida tangibles y seguros, entre los cuales ellos tenían toda libertad de elegir y a partir de los que podían avanzar, como yo mismo lo había hecho antes que ellos. No creo que nunca haya propuesto un tema a un alumno que yo mismo no hubiera abordado con gusto por mí mismo; ni que haya habido un recorrido tan árido en el viaje que alguno de ellos ha hecho conmigo, que yo no haya pasado por otros tan áridos como ese en el curso de mi vida de matemático, sin descorazonarme o extraviarme, cuando estaba claro que el trabajo debía hacerse y que no había otro camino” [10, p. 174]. Esta matización no le impide seguir con su profunda autocrítica, tan inhabitual en el mundo del que durante tantos años se ha movido. En ese sentido, llega a la conclusión de que la causa del fracaso que ha experimentado en ocasiones, en su relación de trabajo con sus alumnoscolaboradores, estaba más que nada en “actitudes de fatuidad en mí, en mi relación con la matemática”. Y da una sencilla explicación al respecto, afirmando que esas actitudes “debían impregnar más o menos fuertemente, si no el trabajo propiamente dicho en compañía de tal alumno, al menos el ambiente o el aire que rodeaba mi persona”. Concluyendo esas apreciaciones con unas lapidarias palabras, en las que expresa que, aún en la forma más civilizada y disimulada, la fatuidad nos impide captar la belleza de las cosas y apreciar la calidad humana de las personas que nos rodean, por lo que tiene efectos letales en la comunidad científica [10, p. 175]. Reconoce, no obstante, que el argumento que acababa siendo determinante en su relación con los alumnos-colaboradores, era considerarlos como fuerza de trabajo, que podía contribuir al desarrollo de su programa de investigación. Sin embargo, para él, no hay en ello nada denigrante, ya que esos colaboradores podían hacer suyas las líneas de investigación abiertas por él y sentirse partícipes del logro de los resultados [10, pp. 276–7]. Grothendieck no considera, por tanto, que esta forma de proceder sea en sí misma conflictiva ni tenga que generar ningún Volumen III, Número 2, Oct’13, ISSN 2174-0410

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enfrentamiento. La interpreta como necesaria en la actividad científica y entiende que es lógico que marque la relación entre el maestro y los discípulos [10, p. 42]. Palabras aún más ácidas escribe, y con esto concluiremos, mostrando su relativo asombro, a propósito de cómo ha influido el cambio en su situación profesional, en la consideración que merece el trabajo realizado por sus alumnos. En efecto, tras haber reflexionado sobre ello, afirma que “este tipo de mecanismos debe ser prácticamente universal, no solamente en el mundo matemático, sino en todos los sectores de la sociedad sin ninguna excepción. Sobrepasa ampliamente todo caso concreto. Si tan excepcional (como me parece) es la situación en el caso de mi persona y de los que a los ojos del establishment aparecen como ‘mis protegidos’, es porque el pasado he estado investido del estatuto de ‘uno de los suyos’, con el efecto habitual de ‘mínimo de obertura’ con respecto a mí y ‘los míos’. Este estatuto me fue retirado a mi partida en 1970” [10, p. 416]. Es decir, en el momento en que abandona el IHES, por considerar que sus principios pacifistas le impedían seguir trabajando en una institución que se financiaba, al menos parcialmente, con fondos militares.

4. Consideraciones ético-políticas sobre ciencia, naturaleza y sociedad Centraremos nuestra atención en este apartado sobre las razones del abandono de Grothendieck del IHES, el paralelismo que existe entre su compromiso social y su compromiso ecológico, la atención que presta en todo momento a la ética de la investigación científica, su interpretación de la vinculación entre conocer y comprender y, por último, haremos alusión a cómo concibe su responsabilidad en tanto que científico y, más allá de ello, como persona.

Figura 6. Alexandre Grothendieck (1975) [6].

En la nota a pie de página número 42 de Récoltes et semailles, explica “l’evènement percutant” que provocó su abandono del IHES. En sus propias palabras, el acontecimiento impactante en cuestión fue el que ya hemos mencionado. A saber, la financiación parcial del centro por parte del ‘Ministère des armées’. Este hecho fue considerado por Grothendieck como “incompatible con mis axiomas de base”. No podía vivir en esa contradicción pues, para él, el pacifismo no es sólo 36 |

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una doctrina, sino sobre todo el elemento clave de toda forma ética de afrontar los conflictos sociales. A continuación, añade unas interesantes consideraciones sobre los primeros años de funcionamiento del IHES, haciéndonos ver la magnitud de su implicación en dicho centro. A través de estas consideraciones va emergiendo la impresión en el lector de lo duro que debió ser para Grothendieck tomar la decisión de marcharse. “Durante los años heroicos del IHES, Dieudonné y yo fuimos los únicos miembros, y los únicos en proporcionarle credibilidad en el mundo científico”. En efecto, Jean Dieudonné puso en marcha la edición de Publications Mathématiques, mientras que Grothendieck se ocupaba del desarrollo de los Seminarios de Geometría Algebraica. Ambas actividades dieron prestigio y reconocimiento a este centro en su primera andadura. Todo ello fue creando un sentimiento de identificación con esa institución, que explica que alejarse de ella fuese para él “especie de desenraizamiento con respecto a mi hogar, antes de revelarse como una liberación” [10, pp. 169–170].

Figura 7. Alexandre Grothendieck durante una sesión del SGA (Seminario de Geometría Algebraica) probablemente el SGA3 (1962–1964) [6].

El sentimiento de liberación irá incrementándose a medida que ahonde en sus reflexiones sobre el valor del conocimiento científico y sus repercusiones sobre la naturaleza y la sociedad. Por otra parte, las circunstancias que relata al hablar del ‘enterramiento’ de su figura y su obra matemática, van provocando un progresivo alejamiento del selecto grupo formado por los matemáticos de reconocido prestigio. Hay que señalar, no obstante, que se trataría en todo caso de un enterramiento bastante relativo pues, como evoca Douroux, nueve de las medallas Fields concedidas desde 1970 se han otorgado a investigadores que han realizado sus trabajos siguiendo las líneas abiertas por Grothendieck [6]. Se añade a esto una percepción cada vez más aguda del casi nulo interés de la comunidad científica por implicarse en los problemas ecológicos y sociales de su tiempo. Un buen ejemplo es la dura lección que se desprende de lo que le sucedió hacia finales del año 1977, cuando fue “citado en el Tribunal Correccional de Montpellier por el delito de haber ‘albergado gratuitamente y alimentado a un extranjero en situación irregular’ (. . . ). Con Volumen III, Número 2, Oct’13, ISSN 2174-0410

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ocasión de esta citación supe de la existencia de este parágrafo increíble de la ordenanza de 1945, que rige el estatuto de los extranjeros en Francia” [10, pp. 53–4]. En esa coyuntura, Grothendieck estaba convencido de haber sido tomado como ‘cobaya’, por su notoriedad pública, ya que según sus noticias nunca antes se había aplicado con tanto rigor esa ley. El hecho más relevante, para nosotros, es que su relación con los miembros del grupo Bourbaki se resiente de una forma irreparable cuando presente a los integrantes del mismo la campaña que quiere promover, en contra de la ley por la que había sido procesado [10, pp. 54–5]. Experimentará entonces una enorme decepción, ante la reacción de los matemáticos frente a su demanda de apoyo para denunciar la ley mencionada. Expresándose en términos que no pueden ser más elocuentes, afirma que “obscuramente, sentía que no vivíamos en el mismo mundo. Había creído reencontrar hermanos en esta ocasión excepcional en la que me encontraba y me parecía estar delante de extraños” [10, p. 55]. Esa impresión se mantiene desde entonces, apreciándose claramente en la denuncia que realiza de la falta de respeto a la ética de la investigación científica en su carta de rechazo del Premio Crafoord [11]. El otro pivote sobre el que gira tal alejamiento es, como ya hemos dicho, el compromiso de Grothendieck con la causa pacifista y con la ecología. El carácter pionero de su labor y la intensidad de su compromiso han sido puestos de relieve por Céline Pessis [19, pp. 9 y ss.]. Pero podemos tener una referencia de primera mano a propósito de ello a través de la lectura de la nota a pie de página que, en Récoltes et semailles, dedica a explicar la constitución y funcionamiento del grupo Survivre et vivre. Como puede leerse en este texto, “Survivre et vivre (que se denominaba al principio Survivre, tan solo) es el nombre de un grupo, de vocación inicial pacifista y, en seguida, igualmente ecológica, que nació en julio de 1970 (al margen de una Summer School, en la Universidad de Montreal), en un medio de científicos (y sobre todo, de matemáticos). Evolucionó rápidamente hacia una dirección ‘revolución cultural’, ampliando su audiencia más allá de los medios científicos”. Relata en esa nota cómo el principal medio de acción de Survivre et vivre fue el boletín que editaba. El primero de esos boletines fue escrito al completo por Grothendieck. Él lo califica de “ingenuo y pleno de convicción”2 . Se imprimieron mil ejemplares y fue distribuido en el Congreso Internacional de Niza de 1970. Las adhesiones que recogió fueron testimoniales, aunque generó gran inquietud en los medios matemáticos por su denuncia de la penetración del aparato militar en la ciencia, un tema clave en el despertar de la izquierda extraparlamentaria durante aquellos días [10, pp. 757–8]. En otro orden de cosas, de su sensibilidad ecologista, así como de su manera de conectar sus posicionamientos en ese terreno con otros aspectos de su vida, es muy ilustrativo el relato que nos ofrece de una experiencia que tuvo al instalarse de nuevo en la provincia de LanguedocRosellón, tras su marcha del IHES. Encontró un campo de cerezos muy bello, al que volvía de vez en cuando en el curso de sus paseos. Un día tuvo la dolorosa experiencia de ver todos esos magníficos árboles cortados a la altura de algo más de un metro del suelo. Ni siquiera se habían molestado en agacharse para cortarlos por la base aquellos que ya no los consideraban dignos de vivir, al no ser lo suficientemente productivos. Grothendieck supo ver en ello una metáfora, no sólo de la cruel agresión hacia la naturaleza, sino también de un espíritu despiadado que se manifiesta de igual manera en la forma de actuar de unos humanos contra otros, sobre todo en el ámbito científico [10, p. 393]. Es fácil apreciar, a través de la lectura de su obra no estrictamente matemática, cómo esta crítica a los valores que imperan en la realidad económica y en el mundo científico, aparece siempre acompañada de una defensa de los ideales pacifistas. Para él, es inexcusable la tarea de rechazar la violencia en todas sus formas, de renegar de la guerra, en uno mismo y en el mundo, abominando de todo cuanto esta significa y rechazando cualquier relación con el ámbito militar [10, p. 535]. Entendemos mejor su juicio al respecto cuando explica que, en la cultura científica, predominan los valores generales de la cultura occidental, que para él tiene un marcado acento patriarcal. Conlleva esto el predominio del yang, lo masculino, sobre el yin, lo femenino, en la 2

G ROTHENDIECK, A., Survivre et vivre, nº 1, http://science-societe.fr/survivre-1/, 1970.

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La ética de la investigación científica en Alexandre Grothendieck

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vieja terminología taoísta a la que él recurre [10, p. 464]. A su entender, “nuestra época se caracteriza por ser aquella en la que se ha dado una exacerbación a ultranza de esta degradación cultural” [10, p. 465]. Grothendieck está pensando en todo cuanto de negativo ha traído esa cultura basada en valores negadores de lo femenino; en concreto, la carrera espacial paralela a la carrera de armamentos y al enfrentamiento entre las dos superpotencias (cuando escribe estas consideraciones faltan aún cuatro años para el desmoronamiento de la URSS y del bloque prosoviético), la degradación de la naturaleza e incluso el riesgo de desaparición de la especie humana. En su intervención en el coloquio “Le Travailleur Scientifique et la Machine Social”, en diciembre de 1970, ya se había hecho eco de todo ello, cuestionándose la falta de autocrítica que impera en el mundo de la ciencia, con respecto a las consecuencias del progreso científico-tecnológico [8]. Una de las ideas clave que expone a lo largo de su original obra es que hemos de aprender a aceptar el valor en sí que la naturaleza posee, a partir de una aceptación del otro y de nosotros mismos. Expresado en sus propios términos, la “aceptación nueva de mi propia persona ha ido en paralelo con una aceptación del otro. La una y la otra están indisolublemente ligadas” [10, p. 486]. Pero no se trata, cuando hablamos de aceptar al otro, tan sólo de practicar la tolerancia. Aceptar al otro es algo mucho más profundo que tolerarlo, asevera. Se trata de contemplar al otro como a alguien que me completa y complementa . Y va aún más allá, señalando que “en buena lógica, la aceptación del otro debería también implicar la aceptación de su forma de ver las cosas, nos parezca esta errónea o no, incluso si se trata de su manera de ver a nuestra persona” [10, p. 489]. En esa línea, contraponer valores ‘masculinos’ y valores ‘femeninos’, le permite hacer una interpretación de la cultura y de la ciencia de su época. Así, haciendo mención a la dialéctica taoísta del yin y el yang, proyectada sobre la matemática, llega a establecer la siguiente contraposición de actitudes y conceptos. El primero de ellos tendría un carácter femenino, mientras que el segundo se caracterizaría por su adscripción masculina [10, pp. 541–2]. Habla, siguiendo ese presupuesto, de las contraposiciones siguientes: sensibilidad/razón (o intelecto); instinto/reflexión; intuición /lógica; inspiración/método; visión/coherencia; lo concreto/lo abstracto; lo complejo/lo simple; lo vago/lo preciso; sueño/realidad; lo indefinido/lo definido; lo inexpresado/lo expresado; lo informe/lo formado; lo infinito/lo finito; lo ilimitado/lo limitado; el todo (la totalidad)/la parte; lo global/lo local (o lo parcial). De forma análoga, siguiendo asimismo esa línea de razonamiento, llega a establecer otra serie de antítesis, en la que el primer concepto correspondería ahora con lo masculino y el segundo con lo femenino. Según él, responden a dos fuerzas inherentes al pensamiento, en general, que se singularizan a través de los pares antagónicos que recogemos a continuación: la parte/el todo; lo particular/lo general; multiplicidad/unidad; efecto/causa; pureza/fecundidad; lo simple/lo complejo; lo abstracto/lo concreto; lo preciso/lo vago; orden/caos; estructura/sustancia [10, p. PU31]. No disponemos aquí de espacio para desarrollar el contenido de ambas series de contraposiciones, aunque su enunciación es elocuente por sí misma. En todo caso, a desplegar el trasfondo de dichas contraposiciones consagra Grothendieck un considerable número de páginas. Quizá el elemento más interesante a retener, a través de esas contraposiciones, sea que nos inducen a comprender la necesidad de un equilibrio entre intuición y lógica, algo que resulta esencial para captar cómo funciona la investigación en las ciencias formales [10, p. 550]. A este respecto, es crucial poner aquí de relieve que Grothendieck habla de dos formas de aproximarse a los problemas matemáticos. Para exponerlas plantea el ejemplo de una nuez, en cuyo interior queremos penetrar. Una manera de hacerlo sería perforar o romper la cáscara; la otra sumergir la nuez en un fluido adecuado y esperar a que la cáscara se disuelva en él. Esta segunda es la forma de aproximarse a los problemas matemáticos que dice preferir [10, pp. 552–3]. En efecto, haciendo un repaso de su producción, constatamos que esta segunda estrategia es la que caracteriza su manera de entender la tarea del investigador. Así, su modo de enfocar la investigación le ha llevado, siguiendo el peculiar enfoque que acabamos de mencionar, a trabajar más en terrenos desconocidos o inexplorados que siguiendo senderos ya abiertos. En todo caso, Volumen III, Número 2, Oct’13, ISSN 2174-0410

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él confiesa en más de una ocasión que, cuando no le quedaba otro remedio, para seguir con provecho alguno de los caminos ya abiertos tenía que hacer suyo el problema en cuestión [10, p. 554]. Siguiendo con la interpretación que elabora, a partir de la mencionada dialéctica del yin y el yang, aborda la cuestión del conflicto en los seres humanos. La plantea en diferentes niveles, que van desde la relación entre los sexos hasta la vinculación con la naturaleza, pasando, claro está, por las relaciones con uno mismo. En ese contexto habla de las relaciones de poder en el seno de la pareja y de los conflictos que generan [10, p. 568]. Planteado el caso extremo, nos dice, la mujer llega a despreciar en ella todo lo que es femenino y a adoptar como propios los valores y actitudes que le han enseñado a considerar mejores: los masculinos [10, p. 569]. En todas estas apreciaciones, como él mismo manifiesta, constatamos el influjo que ejercieron sobre él las tempestuosas relaciones que mantenían sus padres, así como el duro carácter de su madre, que tan sólo asumía como auténticos valores aquellos que se identificaban con la condición masculina. Esas apreciaciones, que tanto parecen alejarse de su principal foco de atención en esta obra, sin embargo, en realidad no lo hacen, ya que nos permiten entender su reflexión acerca de la actitud del ser humano frente a “la realidad universal de la represión y del conflicto”. Él mismo puede explicar, al hilo de ellas, el cambio que se produjo a partir de cierto momento en su forma de enfrentarse a los problemas personales y sociales. Relata así cómo, durante años, su “actitud con respecto a la realidad universal de la represión y del conflicto era una actitud de revuelta militante –de revuelta contra esta ‘espada’ que pretendía cortar en dos lo que, por naturaleza, debía ser uno, era uno” [10, p. 600]. Al hilo de sus reflexiones sobre el conflicto, se desarrolla y expresa la convicción de que todo cuanto existe tiene su razón de ser. En este sentido, cabría preguntarse si su actitud es conformista. Pudiera parecerlo en efecto, pero, cuando la analizamos con detenimiento, vemos que sería simplificarla mucho definirla de ese modo. Su punto de vista le aproxima a la metafísica leibniziana. “En el fondo, sé bien desde hace mucho tiempo (no sabría siquiera decir desde cuando, incluso si durante mucho tiempo he fingido ignorarlo . . . ), que toda cosa en este mundo tiene su buena razón de existir, e incluso, si se comprende el fondo de las cosas, seguramente toda cosa es buena tal como es” [10, p. 601]. En otros momentos su posición nos recuerda a la forma en que Hegel integra esas tesis leibnizianas. Así sucede cuando confiesa que, durante mucho tiempo, “había excluido ‘el conflicto’ de gran número de cosas –lo tomaba como una especie de ‘mácula’, un estremecimiento inadmisible, una ‘dificultad’ tenaz e inesperada (quizá revulsiva) en el concierto de la Creación. Ha bastado que al fin tome conciencia tan sólo un poco íntimamente del conflicto, en lugar de aparentar batirme con él, para que mi relación con él se transforme profundamente” [10, p. 601]. Más aún, para él, lo propio de nuestra especie es el conocimiento del “conflicto” y el empeño en comprenderlo y resolverlo, “me parece propio del hombre, de la especie humana. Se me presenta como el gran misterio sobre el sentido particular, el destino particular de nuestra especie” [10, p. 601]. Así pues, lo que nos importa, como seres humanos, es descubrir el sentido que tiene el sesgo conflictual que tan a menudo adquiere la vida humana. Grothendieck precisa que lo que le “interesa en el misterio del conflicto, no es el aspecto mecánico, científico, un aspecto exterior a mi persona, tanto como el famoso ‘teorema de Fermat’. Sino la cuestión del sentido del conflicto. Este sentido me concierne de forma inmediata y esencial, como concierne a cada uno de los innombrables hombres y mujeres que se han desgarrado y matado entre ellos en el curso de innumerables generaciones y que han transmitido a sus hijos el conflicto tomado de sus padres” [10, p. 603]. Su convicción, a este respecto, es firme y sin fisuras. Considerando siempre que el enigma de la omnipresencia del conflicto en la historia del ser humano, puede ser desentrañado y comprendido. “Es para mí algo evidente –y este ‘sentimiento del misterio’ tan familiar, que hay algo profundo a sondear, me dice al mismo tiempo que ‘ese algo’ es este sentido, justamente. La ‘fe’ en cuestión 40 |

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se recubre con una fe en mis facultades, cuando estas me revelan, aquí sin sombra alguna de duda, que hay ante mí un ‘sentido’ a descubrir” [10, p. 603]. Motivo de reflexión es también en qué medida afecta a la investigación y a su ética, la necesidad de buscar apoyo y aprobación. Son recurrentes, a este respecto, las referencias a la dificultad de trabajar al margen de grupos y camarillas. En Récoltes et semailles evoca, en tal contexto, la figura de Kepler, que pese a todo intentó no romper con los consensos establecidos, aunque sus descubrimientos le condujesen a ello. Tomando como base ese relato, comentará la dificultad que hoy existe para salirse de los encuadres impuestos. Ya no existe la Inquisición, viene a decirnos; por tanto, no se arriesga quien lo hace a perecer en la hoguera, pero sí a convertirse en un marginado en el mundo científico [10, p. 677]. Para ir encaminándonos hacia el final de estas consideraciones, sería necesario abordar la cuestión de la comprensión de la realidad, entendida como fuerza transformadora, que se construye sobre el conocimiento, pero que a veces se aventura más allá de sus bien establecidos límites. En ese sentido, hay que recordar que, para él, la fuerza de la comprensión que transforma a la persona tan sólo puede aparecer a través de una intensa experiencia personal. Es una “fuerza que, de un ensamblaje de ingredientes, hace surgir de repente una comprensión que renueva la persona. Esta fuerza no es ‘del orden de la inteligencia’. Dudo que el trabajo intelectual, sea el que sea, digamos la lectura de libros, por sabios, profundos o sublimes que sean, estimule en absoluto su aparición. Cuando llega a asomar, es en el silencio solamente y en contacto con lo más íntimamente personal y nuestra experiencia” [10, p. 748]. Este asunto abre el camino a planteamientos que le aproximan a lo religioso, aspecto que está concisa y claramente abordado en esta nota a pie de página de Récoltes et semailles. Señalemos, al paso, que es la referencia más concreta que encontramos a ese tema en las más de mil quinientas páginas del libro. En ella nos dice que no se siente “miembro de ninguna confesión religiosa particular. Por la educación recibida de mis padres, he sido ateo (con una querencia antirreligiosa) hasta la edad de catorce años. Una destacable exposición de mi profesor de ciencias naturales, sobre la historia de la evolución de la vida sobre la tierra, me hizo entonces comprender, sin la posibilidad de la menor duda, la presencia de una inteligencia creadora actuando en el Universo. Esta comprensión, que entonces se quedó en un nivel intelectual, se amplió y afinó en el curso de mi maduración ulterior” [10, p. 761]. No es del todo ajena esa forma de entender la religiosidad a aquello que, según él mismo afirma, le ha fascinado en su trabajo matemático, que no es otra cosa que la búsqueda de la unidad en la multiplicidad. Esa es la fuerza, sostiene, que jamás ha dejado de impulsarle, “como un instinto oscuro, es aprehender sin cesar y desentrañar lo que es común a situaciones que pueden ser desemejantes. Por hacer un aforismo: he descubierto, o he sabido instintivamente desde siempre, que ‘la diferencia’ pertenece a la superficie y que el parentesco aparece en profundidad. Es así que la búsqueda de la unidad me ha conducido a menudo, incluso sin que lo haya buscado y hasta sin darme cuenta, a bucear en lo profundo” [10, p. PU25]. Haciendo suya una venerable tesis aristotélica, señala que la búsqueda de lo general conlleva una abstracción creciente [10, p. PU25]. Ese impulso rector le aproxima a un matemático con quien siente que comparte el enfoque esencial de la tarea científica y aún el modo de enfrentarse a la vida. Se trata de Bernhard Riemann. A esta vinculación le dedica una nota a pie de página, cuyo contenido esclarece tanto su valoración del trabajo de éste como la interpretación que realiza de su propia tarea dentro de las matemáticas. En ella escribe que su forma de plantearse la investigación atestigua “la profundidad de un espíritu de una cualidad muy rara y, quizá, única –la de aquel en el que un pensamiento científico, innovador y fecundo, se otorga libre curso en los campos privilegiados de la abstracción (la matemática y la física), se ha aliado a una intuición directa y penetrante de las cosas más delicadas y más esenciales”. Añadiendo que lo que constituye la grandeza de Riemann no son sus dotes excepcionales, sino haber logrado seguir siendo él mismo, preservando siempre su inocencia [10, p. PU75].

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Para acabar estas páginas, resultará quizá esclarecedor hacer referencia a aquello que Grothendieck considera que constituye el núcleo de su sentido de la responsabilidad. A propósito de ello, subraya que éste se centra en lo que puede o no hacer en el mundo, y se concreta en “estar realmente presente y en verdad en lo que hago –tanto cuando me expreso a través de un texto o de viva voz como cuando leo o escucho. Me corresponde entonces, cuando me expreso, estar atento a la escucha de un ‘sentido’ en mí, buscando su forma en el lenguaje. Es este ‘sentido’, desde luego, lo que une una a una las palabras que deben expresarlo” [10, p. PU82].

Figura 8. Alexandre Grothendieck (1988) en una de sus últimas fotos conocidas [6].

Referencias [1] A CZEL, A. D., The Artist and the Mathematician, The story of Nicolas Bourbaki, the Genius Wo Never Existed, New York, Thunder’s Mouth Press, 2006. [2] D ELIGNE, P., Quelques idées maîtresses de l’oeuvre de A. Grothendieck, Paris, Societé Mathématique de France. Séminaires et Congrés, nº 3, 1998. [3] D IEUDONNÉ, J., Matemáticas vacías y matemáticas significativas, en Guénard, F. – Lelièvre, G. (Edits.), Pensar la matemática. Seminario de Filosofía y Matemática de la ENS, dirigido por J. Dieudonné, M. Loi y R. Thom, Barcelona, Tusquets, 1999. [4] D IEUDONNÉ, J., L’honneur de l’esprit humain. Les mathématiques aujourd’hui, Paris, Hachete, 1987. [Versión española, D IEUDONNÉ, J., En honor del espíritu humano. Las matemáticas hoy, Madrid, Alianza, 1989]. [5] D OUROUX, Ph., Le trésor oublié du génie des maths, Liberation, 1 de julio, 2012. [6] D OUROUX, Ph., Alexandre Grothendieck. Un voyage à la poursuite des choses évidentes, 8 de febrero. 2012. http//images.math.cnrs.fr/Alexandre-Grothendieck.html [7] E PSTEIN, D. y B OULOUQUE, C., Survivre et vivre, Paris, Denoël, 2008. 42 |

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[8] G ROTHENDIECK, A., Comment je suis devenu militant?, Survivre et vivre, nº 6, enero, 1971. [9] G ROTHENDIECK, A., Esquisse d’un Programme, Manuscrito, 1984. http//www.math.jussieu.fr/~leila/grothendieckcircle/EsquisseFr.pdf [10] G ROTHENDIECK, A., Récoltes et semailles. Réflexions et témoinages sur un passé de mathématicien, Montpellier, Université des Sciences et Techniques du Langedoc, 1985. [11] G ROTHENDIECK, A., Lettre à l’Académie royale des sciences de Suède, Le Monde, 4 de mayo, 1988. [12] G ROTHENDIECK, A., Déclaration d’intention de non-publication, 3 de enero, 2010, http://sbseminar.files.wordpress.com/2010/02/grothendiecks-declaration-original.png [13] H ERNÁNDEZ, J., La matemática y sus elementos, de Euclides a Bourbaki, La Gaceta de la RSME, vol. 5.3, 2002. [14] H ERSH, R. y J OHN -S TEINER, V., Loving and Hating Mathematics, Challenging the Myths of Mathematical Life, Princenton, Princenton University Press, 2011. [15] L ORENZO, J. (D E), La matemática: de sus fundamentos y crisis, Madrid, Tecnos, 1998. [16] L ORENZO, J. (D E), Matemáticas e ideología. Nicolás Bourbaki, Boletín de la Real Academia de Extremadura de las Letras y las Artes, nº 17, 2009. [17] L ORENZO, J. (D E), Ciencia y artificio, A Coruña, Netbiblo, 2009. [18] M UÑOZ, E., Dinámica y dimensiones de la ética de la investigación científica y técnica, Arbor nº 730, 2008. [19] P ESSIS, C., Les années 1968 et la science. Survivre . . . et Vivre, des mathématiciens critiques à l’origine de l’écologisme, Paris, Mémoire en Sciences Sociales. EHESS-Centre Alexandre Koyré, 2009. [20] Q UADRAT, A., New perspectives in algebraic systems theory, Proceeding of MTNS, Virginia (USA), 2008. [21] S HRADER -F RECHETTE, K. , Ethics of scientific research, Boston, Rowman&Littlefield Publishers, 1994. [22] T HOM, R., Matemática y teorización científica, en G UÉNARD, F. – L ELIÈVRE, G. (Edits.), Pensar la matemática. Seminario de Filosofía y Matemática de la ENS, dirigido por J. Dieudonné, M. Loi y R. Thom, Barcelona, Tusquets, 1999. [23] Z ALAMEA, F., Grandes corrientes de la matemática del siglo XX. La matemática de las estructuras, Boletín de matemáticas, nº 18 (2), 2011.

Sobre el autor: Nombre: Domingo Fernández Agis Correo electrónico: [email protected] Institución: Facultad de Filosofía. Universidad de La Laguna. Tenerife, España.

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Cuentos Matemáticos El Cero The Zero José Miguel Bel Martínez Revista de Investigación

Volumen III, Número 2, pp. 045–050, ISSN 2174-0410 Recepción: 4 Feb’13; Aceptación: 10 Ago’13

1 de octubre de 2013 Resumen Este relato corto de ficción, basado en hechos históricos, fue ganador del 2º Certamen de Relatos “San Isidoro” el año 2001 y publicado en la revista Topografía y Cartografía ese mismo año y en Mapping en 2010. En 2005, subvencionado por la Comunidad de Madrid y los Cabildos de Tenerife y El Hierro, se rodó en esta isla el cortometraje del mismo título basado en esta historia que, estrenado en Santa Cruz en 2006 tuvo amplia difusión en festivales internacionales. Palabras Clave: Geografía, Cartografía.

Abstract This fictional short story, based on historical events, won the 2nd Stories Contest “San Isidoro” in the year 2001 and was published in the magazine “Topografía y Cartografía” in the same year, and in Mapping in 2010. In 2005, subsidised by the Community of Madrid and the town halls of Tenerife and El Hierro, it was shot in this island the short film of the same title based on this story which, performed for the first time in Santa Cruz in 2006, had a wide circulation in international festivals. Keywords: Geography, Cartography.

El ferry “Barlovento”, feo barco de bonito nombre, dejaba lentamente por su estribor La Gomera, mientras a proa se adivinaba la silueta brumosa de El Hierro. Por delante cincuenta millas de océano y, para mí, más de dos meses de estancia en aquella isla misteriosa y desconocida aún. Empezaré por decirles que soy Ingeniero Técnico en Topografía del Instituto Geográfico Nacional, y que iba a El Hierro con la misión de nivelar: es decir, determinar el nivel medio 45

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del mar o nivel 0 a partir del mareógrafo, y desde allí llevar altitudes de precisión a más de cien clavos, repartidos a través de más de cien kilómetros de carreteras y caminos de la isla. Un sábado fui al cabo de Orchilla, en el extremo occidental de la isla. Se llegaba por un largo y polvoriento camino al final del cual estaba el imponente faro. Un paraje desolado e impresionante. Cerca de la torre había un viejo sentado en una piedra que miraba atentamente acercarse mi coche, un desvencijado Nissan Patrol curtido en cien campañas. Cuando al fin me detuve en medio de una polvareda, el viejo, entrecerrando los ojos y protegiéndose del sol con la mano, leyó atentamente el rótulo del costado del coche: “INSTITUTO GEOGRÁFICO NACIONAL”.

Figura 1. Faro del cabo de Orchilla.

—Al fin llega “cristiano”. Ya empezaba a pensar que nunca vendría –dijo mirándome como a un aparecido. —Perdone amigo, pero creo que se equivoca. —No, no me equivoco. Usted ha venido a poner el “0”. Lo sé muy bien: llevo esperándole aquí toda mi vida. Mi mente trataba de discernir si estaba hablando con un loco o con un visionario. —No sé como lo sabe, pero en efecto, mi trabajo aquí es determinar el cero o nivel medio del mar para referir a él todas las altitudes de la isla y así... —¡Basta!: Y perdone que le interrumpa. ¡Ceros de altitud...! ¿A quién le puede importar eso? Ese cero lo tienen todos los países del mundo; incluso cada isla por pequeña que sea, como ésta. No “cristiano”, no, yo le hablo del único cero importante que hay, del que se llevaron esos malditos ingleses: el Meridiano 0. Quise replicar sin saber exactamente cómo, pero el viejo lo impidió con un ademán.

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—Bien, parece que realmente usted no sabe nada. Me llamo Ezequiel Quintero Padrón — dijo algo más calmado—, y mi padre fue el último torrero de este faro que tuvo el privilegio de custodiar el Meridiano 0. Cuando yo nací, ya hacía unos años que se lo habían llevado, o robado mejor dicho. —Verá Ezequiel —interrumpí yo ahora—, ya sé que el meridiano origen pasaba por aquí hace cien años más o menos, hasta que a alguna comisión geográfica se le debió ocurrir trasladarlo a Greenwich y la verdad, no creo que eso sea un robo exactamente. —Escuche: ¿usted es cartógrafo? —Sí, se puede decir que sí. —Pues sepa usted que hace dos mil años otro cartógrafo llamado Ptolomeo, que además era un gran sabio, decidió que el origen de todos los mapas del mundo seria esta línea en la que estamos sentados, y que otro cartógrafo francés, hace más de doscientos años, lo midió simultáneamente con otros colegas suyos repartidos por Europa. ¿Y sabe por qué eligieron este lugar? Yo se lo diré. Porque esta línea era la última tierra conocida. Era el fin y el principio. El fin del miedo y el principio del valor. Aquí los medrosos se daban la vuelta y sólo los valientes seguían. Esta línea era la última tierra que vio Colón y todos los grandes navegantes que le siguieron y aún hoy le siguen.

Figura 2. Certificado a nombre del autor.

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¿Ve usted aquella vela blanca en el mar? Es un pequeño velero rumbo Oeste: va a América. Puede ser español, francés o alemán; hasta puede que sea inglés, qué más da. Dentro de unos minutos cruzará la Línea y cambiará la vida fácil de Europa por otra de vientos, temporales y soledad. Probablemente le llevará meses culminar su viaje, pero lo conseguirá. El Meridiano Cero le habrá convertido en un gran hombre, porque delimita la vulgaridad de la Grandeza. –Y ¿de qué es origen ese meridiano de “grenich”, o como quiera que se llame ese sitio del demonio? Mire, yo no conozco ese lugar, ni Dios quiera que nunca lo conozca, pero sí lo vi una vez en una foto de una revista. ¿Sabe que es sólo un monolito en un prado? ¿Qué delimita esa línea? ¿Las vacas de las ovejas quizás? Pasa por infinidad de países sin pena ni gloria y hay que poner mojones de cemento para que la gente sepa que lo está cruzando. ¿Sabe acaso que mi Meridiano sólo pasa por el océano, este cabo y los dos polos? Intenté replicar de nuevo, pero tampoco esta vez me dejó. —Mi padre esperó toda su vida en vano a que nos devolvieran lo nuestro. En su lecho de muerte me dijo que antes de que yo muriera vendría otro cartógrafo a poner el Meridiano en su sitio, el único sitio posible: aquí. Siempre he estado seguro de que así sería, porque mi padre no mentía nunca. Pero ahora que está usted aquí, es cartógrafo y viene precisamente con la misión de establecer un cero, estoy más convencido si cabe. Son muchas coincidencias. ¿No le parece? —Ahora mismo Ezequiel, lo que me parece es que ya anochece y debo irme si no quiero perderme por estos caminos. Le prometo volver a la semana que viene, si va usted a estar aquí. —¿Estar, dice? Aquí nací y no me he movido en toda mi vida: primero como hijo de torrero, luego como torrero y desde que me jubilaron hace más de 20 años y automatizaron el faro, sobrevivo aquí con la única compañía de mi amigo Esteban y sus cabras. Y cuando muera, aquí me enterrarán, junto a mi padre y todos mis antepasados guardianes del Meridiano, aunque yo no lo haya sido. Estaré...

Volví el sábado siguiente. No sé por qué, pero me gustaba hablar, o mejor dicho oír hablar, a aquella especie de Quijote canario, mezcla de locura y grandeza. Allí seguía, esta vez acompañado de otro viejo y unas cuantas cabras. —Buenas tardes, Ezequiel y compañía. Supongo que será usted Esteban, ¿no? —Buenas tardes “cristiano”. Así es, este es mi amigo Esteban —éste saludó con un ademán—. ¿Ha pensado en lo que hablamos el otro día? —Por eso estoy aquí. He pensado y he llegado a la conclusión de que no sé exactamente lo que espera usted de mí. —¡Agüita con el cristiano! Pues está bien claro: Que restablezca el Meridiano 0 donde debe estar. Y dese prisa, porque ya noto que me faltan las fuerzas y mi final está cerca, muy cerca. —¿Y por qué no lo restablece usted, si le interesa tanto?

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—¿Cree que no lo he intentado? Me cansé de escribir cartas a ministros, al mismo Franco y, más tarde, al Rey. Incluso di una carta a unos turistas ingleses para su reina. Pero nadie respondió, porque esa no es la forma de hacer esto. La única posible es que un cartógrafo como usted, se convenza de la verdad de mis razonamientos y de la Historia, y afirme y diga que éste es el Meridiano Origen, exactamente igual que hicieron Ptolomeo y el francés. —No sea ingenuo ¿No ve que no me harían caso? Para empezar habría que cambiar todos los mapas del mundo. Además... —¡Pues que los cambien, demonios! Pero no ve que le asiste la razón, la lógica y veinte siglos de historia. La conversación siguió por idénticos derroteros y yo no veía la forma de convencer al viejo de la imposibilidad de su pretensión. —Bien amigos, el sol se oculta y debo irme. Nos veremos. Pero no volví. Aunque admiraba su fe y su tesón, el problema sin solución del meridiano de aquel hombre empezaba a cansarme. Sólo el último día de mi estancia en El Hierro fui a despedirme de Ezequiel. Pero no estaba. Solamente vi a Esteban con sus cabras. —¿Viene a ver a Ezequiel? Pues sepa que llega tarde. Anteayer le dio un ataque y se quedó como muerto: blanco como una pared. Se lo llevaron unos turistas al hospital de Valverde y me han dicho que está muy mal. Igual ya murió y bien que lo sentiría: es mi único amigo y un gran hombre, aunque usted parece no haberse dado cuenta. Estuvo esperándole aquí día tras día sin moverse, igual que el mismísimo meridiano –me reprochó. Fui en el Nissan a Valverde a toda velocidad. Tenía que hacer algo y rápido. En la papelería compré “tipex”, letras y números adhesivos y allí mismo, sobre el mostrador, tracé en la hoja del mapa 1/50.000 del IGN una gruesa línea vertical que pasaba por el faro. Después borré cuidadosamente los números de la escala de longitudes y los sustituí por los nuevos. En el correspondiente al faro de Orchilla rotulé: MERIDIANO 0º - ORIGEN DE LAS LONGITUDES Corrí al hospital rogando que siguiera vivo. Tuve suerte: allí estaba rodeado de sondas y tubos. Cuando le tendí el mapa, lo cogió con sus manos temblorosas y se lo acercó a los ojos un buen rato... Sonrió aliviado mientras acariciaba con mimo aquella línea y aquellas letras. Después me indicó que me acercara, mientras me cogía la mano con fuerza. Con un hilo de voz me susurró: —¿Ve como yo tenía razón? Usted era el cartógrafo que yo esperaba. Ahora podré reunirme con mi padre y con todos los demás Guardianes del Meridiano. Dios le bendiga, “cristiano”. No había tiempo para más: debía llegar al barco de Tenerife que zarpaba del puerto de la Estaca. Allí tomaría otro que llegaría a la Península tres días más tarde. Cerca ya de Cádiz llamé al hospital de Valverde y hablé con el médico. Ezequiel murió feliz dos horas después de irme, abrazado a su mapa con tal fuerza, que nadie pudo quitárselo. Con él lo enterraron en el pequeño cementerio anejo al faro de Orchilla. A pocas millas a proa ya se adivinaba la blancura de Cádiz. Mis ojos se llenaron de lágrimas, quizá por el fuerte viento. Me esperaba aún un largo viaje por carretera hasta mi

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cómoda casa en la ciudad de Madrid (coordenadas geográficas: Latitud 40º 24’ 30’’ Norte y Longitud 14º 25’ 56’’ Este).

Figura 3. Cartel del cortometraje “El cero”, basado en este cuento.

Sobre el autor: Nombre: José Miguel Bel Martínez Correo Electrónico: [email protected] Institución: Ingeniero Técnico en Topografía (Colegiado Nº 492), Instituto Geográfico Nacional, España.

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Investigación Use of decision trees algorithm for the territorial logistic planning Uso del algoritmo árboles de decisión en la planificación logística territorial Jorge Quijada-Alarcón, Nicoletta González, Francisco Soler y Alberto Camarero Revista de Investigación

Volumen III, Número 2, pp. 051–058, ISSN 2174-0410 Recepción: 14 Mar’13; Aceptación: 31 Jun’13

1 de octubre de 2012 Abstract Data mining, and in particular decision trees have been used in different fields: engineering, medicine, banking and finance, etc., to analyze a target variable through decision variables. The following article examines the use of the decision trees algorithm as a tool in territorial logistic planning. The decision tree built has estimated population density indexes for territorial units with similar logistics characteristics in a concise and practical way. Keywords: Data mining, decision trees algorithm, territorial logistic planning. Resumen La minería de datos, y en particular los árboles de decisión han sido utilizados en diferentes campos: ingeniería, medicina, banca y finanzas, etc., para analizar una variable objetivo a través de variables de predicción. El siguiente artículo examina el uso del algoritmo de árboles de decisión como una herramienta en la planificación logística territorial. El árbol de decisión construido ha estimado índices de densidad de población para unidades territoriales con similares características logísticas en un modo conciso y práctico. Palabras Clave: Minería de Datos, Arboles de decisión, planificación logística territorial.

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Introduction

In the last decades, it has been developed numerous techniques for analysis and modeling of data in different areas of statistics and artificial intelligence. Data mining is the process of discovering actionable and meaningful patterns, profiles, and trends by sifting through your data 51

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using pattern recognition technologies [1]. The relationships and summaries derived through a data mining exercise are often referred to as models or patterns [2]. Data mining it’s also considered in the intersection of the artificial intelligence (machine learning) and the statistics techniques, even though there is some remarkable differences between them, i.e., artificial intelligence has been more concerned to offer algorithmic solutions with an acceptable computational cost, while the statistic has been concerned over the power of generalization of the results obtained, i.e., be able to infer results to more general than the studied situations [3]. In the late 1980s and mostly on 1990s data mining begins to be as we know it, as a result of the increase of the computing power, a faster data collection and the apparition of new techniques of data learning and storage. Any problem with stored data it is a problem to be dealt with using data mining. Some of these problems are: search of the unexpected by description of the multivariate reality, search for associations, typologies definition, detection of temporal sequences and prediction [3]. However, it’s important to do a process of data preparation. Zhang et al. [4] argue for the importance of data preparation at three aspects: (1) real-world data is impure; (2) highperformance mining systems require quality data; and (3) quality data yields high-quality patterns. Some areas with data mining applications are: civil engineering [5, 6, 7], medicine [8, 9, 10]; education [11, 12, 13]; Banking and Finance [14, 15, 16]. One of the data mining techniques is decision tree. A decision tree is a logical model represented as a binary (two-way split) tree that shows how the value of a target variable can be predicted by using the values of a set of predictor variables. The first widely-used program for generating decision trees was “AID” (Automatic Interaction Detection) developed by Morgan and Sonquist [17]. AID was followed by many other decision tree generators including THAID [18], and ID3 [19] and, later, C4.5 [20]. The theoretical underpinning of decision tree analysis was greatly enhanced by the research done by Breiman et al. [21], embedded in a program they developed CART® (a registered trademark of Salford Systems). Recent advancements in decision tree analyses include the TreeBoost method [22] and Decision Tree Forests [23]. In particular, some decision trees applications in planning of logistic node in the latest research are: modeling on the environmental impact of airport deicing activities to determine important explanatory variables for predicting levels of chemical oxygen demand and dissolved oxygen in the airport’s waterways [24]; evaluating countermeasures to secure cargo at United States southwestern ports of entry [25]; spatial decision tree application to traffic risk analysis [26]; Deriving decision rules to locate export containers in container yards, including a decision tree from the set of the optimal solutions to support real time decisions [27]. Others researches include concepts of territorial planning using decision trees: consider the classification of location contexts [28]; primary and secondary road network analysis using decision trees algorithm [29].

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The territorial logistic planning and the general trend analysis of logistic platforms.

Since the first experience in Land Use Planning (LUP) in 1933, to develop the Tennessee River System in the United States of America, and integrate the water control with the conservation and preservation of the land resources [30, 31], the LUP’s definitions [32, 33] have considered the perspective of sustainability. This planning process requires consider each logistic node impact on the spatial economy and regional development, and the possible synergies between them, even though the planners often allocate the nodes on the territorial space without considering the one effect over the others. The territorial logistic planning is an essential 52 |

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part of a sustainable regional development. The general trend analysis of the exploitation and planning of nodes or logistic platforms is to compare the ratios and parameters of the international literature. One of the most used bibliographies [34] discusses that according to the Growth Poles Theory that the development is not uniform and is carried out in specific places around activities of agglomeration. The infrastructures around an activity can improve the accessibility to suppliers and customers. The transport terminals, therefore are a kind of economic forces to generate links to other sectors of the economy and become sources of economic activity, so are often considered as growth poles; e.g. a terrestrial terminal growth strategy turns around the formation of logistics platforms, where the distribution centers share installations and also have a better access to the transport terminal. There are two major groups of techniques in the analysis of efficiency and performance of transport infrastructure: known as Data Envelopment Analysis DEA [35, 36, 37] has been traditionally used for the relative efficiency estimation of a set of peer entities called Decision Making Units (DMUs). Econometric estimation of distances functions [38, 39, 40, 41] its an empirical estimation of cost functions. The methodology of DEA models generalizes the traditional analysis of activity ratios allowing consider simultaneously multiple inputs and/or outputs. DEA and the estimation of frontier functions are alternatives to calculate the production boundary and therefore the efficiency of the production and costs. DEA is a non-parametric method based on linear programming while the estimation of frontier functions use econometric methods (parametric methods).

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Methodology

In order to aim the research purpose to determine the relationship between a target territorial logistic variable and their decision variables, it was developed the following methodology in two steps: step 1 to determine the work stage and step 2 to develop the artificial intelligence model. Step 1: Determination of the work stage Diagnosis and state of the art. It consists on the review of the State of the art to identify the set of variables to characterize the target territorial logistic variable of study using specialized search services in two steps. 1. Determination of physical and functional decision variables: i.e. a systematic study of all the physical and functional decision variables (of ports, airports, road network, railroads, etc) susceptible to research for our target territorial logistic variable. It includes the study of the variables of territorial context as population, environment and regional economic grow. 2. Getting the value of the decision variables: Once the decision variables to be studied are known get its variables values using different information sources. The variable values have to be referred to territorial units identified in the country. Data set is established as follows: (n, M ) = (n1 , n2 , n3 , ..., nk , M ) (1) The dependent variable M is the target variable and the vector n is composed of the predictor variables n1 , n2 , n3 , ..., nk . This data set is called the learning or training dataset and is needed to build a decision tree model. Step 2: Construction of the model of artificial intelligence Volumen III, Número 2, Oct’13, ISSN 2174-0410

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The software chosen for to build the decision tree is DTREG [42]. The process DTREG uses to build and prune a tree is complex and computationally intensive. Here is an outline of the steps: 1. Build the tree. (a) Examine each node and find the best possible split. • Examine each predictor variable. – Examine each possible split on each predictor. (b) Create two child nodes. (c) Determine which child node each row goes into. This may involve using surrogate splitters. (d) Continue the process until a stopping criterion (e.g., minimum node size) is reached. 2. Prune the tree. (a) Build a set of cross-validation trees. (b) Compute the cross validated misclassification cost for each possible tree size. (c) Prune the primary tree to the optimal size. The method for evaluating the quality of splits when building classification trees is Gini, where each split is chosen to maximize the heterogeneity of the categories of the target variable in the child nodes. GiniIndex = 1 − ∑ p2j (2) j

Where the equation 2 contains values of probability of p j for a class j. The method used to determine the optimal tree size is V-fold cross validation, a technique for performing independent tree size tests without requiring separate test datasets and without reducing the data used to build the tree.

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Results and discussion

The target logistic variable selected for the study is the Population Density (Population Per Square Kilometer) for explain the distribution of the population according to the distribution and development of the logistics nodes in the different territorial units that conform the country. Figure 1 shows the principal child nodes and its predictor variables of the decision tree built for the target variable. After complete the process of build the tree, the predictor variables chosen by the decision tree algorithm were: • Panama Canal Influence (binary 1/0) • Secondary road-network (Kilometer Per Square Kilometer) • Primary road-network (Kilometer Per Square Kilometer) The principal predictor variable is the Panama Canal Influence that is a binary variable: 1 for the territorial units under the Panama Canal Influence, and zero for the others. The territorial units that conforms the node 3 in the figure 1 correspond to the strip of land adjacent to the Panama Canal, with special economic areas, container ports, transatlantic railroad and Tocumen International airport. This strip of land include Panama City and Colon City 54 |

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Node 1 (Entire Group) Density = 292,81

Node 2 Panama Canal Influence = No Density = 104,42

Node 4 Secondary road network ≤ 0,0216 Density = 147,50

Node 3 Panama Canal Influence = Yes Density = 717,61

Node 5 Secondary road network > 0,0216 Density = 50,35

Node 4 Primary road network ≤ 0,0254 Density = 40,12

Node 5 Primary road network > 0,0254 Density = 72,74

Figure 1. Decision three.

and has the highest population density index. The activities of transport, storage, communication, wholesale and retail trades, and real estate activities make the greatest contribution to the provincial GDP. For the rest of the country where the logistics nodes development is lower than in the strip of land adjacent to the Panama Canal the principal characteristic is the relationship between the road network and the population density.

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Conclusions

The decisions tree built for the target variable Population Density chose three predictor variables which explain the distribution of the population in the country according to the distribution and development of the logistics nodes. This allows to territorial planners to take in consideration the present scenario. The decisions tree built has estimated Population Density index for territorial units with similar logistics characteristics in a concise and practice way. The characteristics of each group of territorial units has been analyzed using expert criteria. The predictor variable "Panama Canal Influence" chosen by the decision tree algorithm, it is the principal predictor variable and allows to the territorial planners divide the country at least in two principal zones: the first under the Panama Canal influence with a highest logistics nodes development, and the second without the Panama Canal influence and a lowest logistics nodes development. Volumen III, Número 2, Oct’13, ISSN 2174-0410

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modeling

software,

Software

available

at

Sobre los autores: Nombre: Jorge Quijada-Alarcon Correo electrónico: [email protected] Institución: Universidad Politécnica de Madrid, España. Nombre: Nicoletta González Cancelas Correo electrónico: [email protected] Institución: Universidad Politécnica de Madrid, España. Nombre: Francisco Soler Flores Correo electrónico: [email protected] Institución: Universidad Politécnica de Madrid, España. Nombre: Alberto Camarero Orive Correo electrónico: [email protected] Institución: Universidad Politécnica de Madrid, España.

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Investigación Algoritmo esteganográfico de clave privada Steganographic algorithm of private key Anier Soria Lorente, Rayner Manuel Sánchez Reyes y Andys Marcos Ramírez Aberasturis Revista de Investigación

Volumen III, Número 2, pp. 059–072, ISSN 2174-0410 Recepción: 24 Feb’13; Aceptación: 31 Jun’13

1 de octubre de 2013 Resumen La esteganografía con clave privada, es un sistema similar a sistemas criptográficos de cifras simétricas. En este artículo se presenta un nuevo algoritmo esteganográfico, el cual utiliza una clave privada, que permite generar una secuencia binaria pseudoaleatoria, indicando así los píxeles de la imagen donde serán insertados los elementos de la secuencia binaria del mensaje secreto. El algoritmo propuesto, mejora en cuanto al nivel de imperceptibilidad respecto al método de los bits menos significativos1 . Palabras Clave: Esteganografía, Criptografía, Esteganograma, Clave privada. Abstract The steganography with private key, is a similar system to cryptographic systems of symmetric ciphers. In this paper a new steganographic algorithm is presented, which uses a private key, that it permits generating a binary pseudo-random sequence, indicating thus the pixels of the image where the elements of the binary sequence of the secret message will be inserted. The proposed algorithm, improves as to the level of imperceptibility in relation to the method of least significant bits2 . Keywords: Steganography, Cryptography, Steganogram, Private key.

1.

Introducción

Hoy en día la comunicación está estrechamente vinculada a internet y sin duda alguna se ha convertido en parte de la infraestructura del mundo moderno. Este hecho, ha posibilitado 1 El método de los bits menos significativos, indica el procedimiento esteganográfico que a través de una operación lineal, se encarga de ocultar información en el bit menos significativo de cada byte de algún medio digital. 2 The method of least significant bits, indicate the steganographic procedure than through a linear operation, it’s entrusted of hiding information in the least significant bit of each byte of some digital medium.

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Investigación

que la información transite mediante disímiles medios de comunicación, siendo utilizada en considerables aplicaciones en la ciencia, en la ingeniería, en la industria etc. . . En general, se inquiere que la comunicación se realice de manera privada y segura, lo cual ha llevado consigo que los mecanismos de seguridad de la información cobren cada vez mayor importancia y sean desarrollados con gran prontitud. Con el transcurso del tiempo la seguridad en los ordenadores ha jugado un rol fundamental en nuestra sociedad, la cual se rige por la comunicación y el intercambio de información mediante Internet, siendo la comunicación e información partes fundamentales para su desarrollo. El masivo almacenamiento de información en forma digital mediante soporte electrónico, unido al enorme desarrollo de las comunicaciones, ha propiciado un modo de trabajo y de vida del que difícilmente podríamos ya sustraernos. Los medios para el almacenamiento y la transmisión de información están disponibles a muchos y a un bajo coste. Podemos acceder de modo masivo e inmediato a diferentes bases de datos ubicadas en diferentes puntos del mundo. La sociedad demanda nuevos servicios de comunicación: banco por la red, comercio, firma digital con valor mercantil, etc.; se exige confidencialidad, integridad y accesibilidad a la información. Existen, sin embargo, muchos problemas todavía no del todo resueltos en este universo de las comunicaciones. Existe el peligro de que nuestra información, muchas veces confidencial, pueda ser accedida por personas no deseadas: consultada, modificada, destruida; también podemos ser perjudicados de forma que se desbarate, por un agente externo, los protocolos de autorizaciones, siendo impedidos a acceder a nuestra propia información. La información en tránsito es fácilmente interceptada. Frente al deseo de confidencialidad podemos sufrir un ataque de interceptación; frente al deseo de autenticación podemos ser suplantados; frente al deseo de integridad de nuestra información podemos sufrir modificaciones e incluso destrucción de nuestra información; frente al deseo de autenticidad podemos sufrir ataques de falsificación. Es por ello que se han adoptado diferentes formas para la protección de la información, ya que los riesgos de ser interceptada son muy altos, pudiendo así ser plagiada o modificada. Por tal motivo el uso de la Criptografía y la Esteganografía [1, 2, 3, 7, 10, 17] ha jugado un papel significativo para la seguridad de la información. La esteganografía consiste en ocultar en el interior de una información, aparentemente inocua, otro tipo de información (cifrada o no), de manera tal, que se puede definir la esteganografía como el conjunto de técnicas que permiten ocultar cualquier tipo de información de tal forma que la presencia de un mensaje no pueda ser detectada [11]. De modo que la esteganografía constituye un conjunto de técnicas las cuales permiten ocultar o camuflar cualquier tipo de datos dentro de información considerada como válida, en cuanto a este artículo imágenes digitales. La esteganografía permite burlar la vigilancia electrónica en Internet, o simplemente que terceras personas no tengan acceso a dicha información. Con el avance de la informática y de Internet se ha propiciado un marco ideal para que los métodos esteganográficos alcancen un elevado auge. La esteganografía actual, se basa en ocultar información binaria en los bits que juegan un papel redundante en un archivo. Los bits que forman el mensaje a ocultar se insertan en el archivo ya existente, procurando que el resultante después de la inserción sea similar al original. La esteganografía utiliza medios digitales, tales como archivos de texto, audio, imagen y video [5, 6, 7, 8, 14], que son utilizados como el archivo de transporte para ocultar la información, a este medio se le conoce como contenedor, cubierta o estego-medio. Cuando el mensaje secreto es ocultado en el estego-medio mediante una técnica esteganográfica se obtiene un esteganograma que contendrá el mensaje oculto en el estego-medio. Luego una vez que los datos han sido ocultados, la información puede ser transferida a través de los medios de comunicación inseguros. Entre las técnicas más usadas en la esteganografía se encuentra las correspondientes al dominio espacial [4]. El sistema matricial de coordenadas de una imagen es lo que se denomina 60 |

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Algoritmo esteganográfico de clave privada

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dominio espacial, de manera que el término dominio espacial se refiere al conjunto de píxeles que componen a una imagen. La aplicación de la esteganografía en el dominio espacial, radica en que los algoritmos son utilizados en la manipulación de los píxeles y en la inserción de la información secreta en los bits menos significativos o bien de mayor redundancia. Los métodos del dominio espacial implican la generación de una nueva imagen modificando el valor del píxel en una simple localización, basándose en una regla global aplicada a cada localización de la imagen original. El proceso consiste en obtener el valor del píxel de una localización dada en la imagen, modificándolo por una operación lineal o no y colocando el valor del nuevo píxel en la correspondiente localización de la nueva imagen. El proceso se repite para todas y cada una de las localizaciones de los píxeles en la imagen. Otra de las técnicas dentro de la esteganografía tiene que ver con el dominio de la frecuencia, la cual está vinculada a los cambios de las altas y bajas frecuencias de la imagen, de forma tal, que las altas frecuencias como los bordes, las líneas y ciertos tipos de ruidos son utilizados para ocultar información. Dentro de esta técnica se utilizan transformadas tales como la de Fourier [13], la transformada discreta de los cosenos [6, 14, 19, 20] y la de wavelets [5, 6, 15, 18]. Existen otros trabajos de gran relevancia dentro de la esteganografía, los cuales se pueden encontrar en [9, 12, 16, 19, 21]. En este artículo se presenta un nuevo algoritmo correspondiente al dominio espacial, el cual se expondrá en la próxima sección. Además, el mismo hace uso de una clave privada que propiciará el mensaje secreto sólo a aquel receptor que porte de la misma; dicha clave genera una secuencia binaria pseudoaleatoria, que indica aquellos píxeles de la imagen, donde serán insertados los elementos de la secuencia binaria del mensaje secreto. Para finalizar, en la última sección, se expondrán los resultados conseguidos a partir de dicho algoritmo y luego se darán las conclusiones a las que fueron arribadas.

2.

Desarrollo del algoritmo esteganográfico

Una clave privada en un sistema esteganográfico es similar al cifrado simétrico, donde el remitente escoge un estego-medio y oculta el mensaje mediante una clave privada. De forma tal, que si la clave privada utilizada para ocultar la información secreta es conocida por el receptor, el mismo puede extraer la información secreta mediante el proceso de extracción. Evidentemente, la esteganografía de clave privada requiere del intercambio de dicha clave, aquí es precisamente, donde entra a jugar un papel fundamental, la criptografía asimétrica o de clave pública [10]3 . A continuación se describen los pasos necesarios para implementar el algoritmo propuesto en este artículo, véase la figura 1. Nótese que en el algoritmo que sigue a continuación, se omite el paso de transformar el mensaje secreto en una secuencia binaria, así como la entrada de la imagen original o estego-imagen por parte del usuario, pues claramente estos pasos se encuentran de forma implícita.

2.1.

Proceso de inserción

1.- Procesar la clave. 1.1.- Solicitar una clave de 64 bits al usuario. La clave se puede introducir directamente o puede ser el resultado de alguna operación anterior. 1.2.- Calcular 15 subclaves. 3 La criptografía asimétrica o de clave pública es el método criptográfico, que utiliza un par de claves para el intercambio de información. Ambas claves pertenecen al emisor; una de ellas es pública y la otra es totalmente privada. Además, los métodos criptográficos garantizan que este dúo de claves sólo se pueda generar una vez, de modo que se puede asumir que no es posible que dos personas o entidades hayan obtenido casualmente la misma pareja de claves.

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Investigación

Figura 1. Proceso de inserción.

1.2.1.- De cada uno de los ocho bytes de la clave entrada por el usuario se elimina el octavo bit, el menos significativo. Para ello hay que realizar la siguiente permutación en la clave de 64 bits 45 62 15 58 27 42 10

21 57 20 36 14 28 39

60 3 7 53 44 61 25

12 38 50 22 63 17 2

23 1 43 41 6 13 59

49 19 4 35 51 37 18

33 54 46 29 34 52 26

5 9 31 55 11 30 47

reduciéndose la misma a 56 bits. El bit 1, el más significativo de la clave transformada, es el bit 45 de la clave original, el bit 2 pasa a ser el bit 21, etc. . . (1)

1.2.2.- Dividir la clave permutada en dos mitades de 28 bits cada una, c1 el bloque que (2)

contiene los 28 bits de mayor peso y c1 los 28 bits restantes. 1.2.3.- Calcular las 15 subclaves, comenzando a partir de i = 1. (1)

(1)

(2)

(2)

1.2.3.1.- Rotar 1 o 2 bits a la izquierda de ci y ci para conseguir c˜i y c˜i respectivamente. El número de bits de desplazamiento está dado mediante 1+mod(i − 1, 2), i = 1, . . . , 15. (1)

(2)

1.2.3.2.- Concatenar c˜i y c˜i y permutar el resultado mediante la correspondiente compresión mod(i, 2) 30 4 43 5 31 42 62 |

Revista “Pensamiento Matemático”

52 18 24 27 12 3

7 53 40 54 48 41

19 29 17 14 23 34

39 47 50 49 33 8

55 9 2 37 10 35

28 32 15 38 26 51

13 6 1 22 25 11

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Algoritmo esteganográfico de clave privada

37 49 19 21 13 27

34 54 11 25 32 38

15 43 14 31 4 20

23 24 44 9 51 12

48 55 10 41 17 5

22 3 29 28 8 53

42 35 45 33 39 50

47 40 52 1 30 7

De esta manera se obtiene la subclave Ci , que tiene una longitud de 48 bits. 1.2.3.3.- Regresar a 1.2.3.1, hasta que se haya calculado la última subclave C15 . 2.- Conseguir una secuencia binaria cuya cantidad de bits iguales a 1 coincida con la longitud de la secuencia binaria del mensaje secreto. Para ello se deben seguir los siguientes pasos: 2.1.- Hacer k = 1. Denotar el número de bits de la secuencia binaria de la clave introducida por el usuario mediante NumBits1. 2.1.1.- Aplicar la correspondiente expansión mod(NumBits1, 8)

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37 3 12 30 4 41 6 27

17 42 22 27 23 34 36 19

9 39 48 20 12 3 29 11

10 35 47 42 5 7 45 8

40 15 19 25 26 1 46 3

23 32 7 33 21 11 13 29

14 24 44 2 38 31 28 1

18 28 16 31 43 37 17 47

(1)

47 9 31 36 34 23 45 18

1 18 14 46 15 29 27 37

39 3 20 7 28 43 29 1

2 23 12 17 22 13 11 19

48 21 38 32 24 41 44 7

40 8 37 48 2 26 30 9

31 35 16 10 42 12 17 6

11 25 27 33 5 39 4 47

(2)

13 11 21 2 33 7 40 18

48 7 41 34 43 11 23 42

15 47 31 17 9 3 45 37

29 21 44 25 4 8 38 12

37 12 30 22 14 32 6 4

10 27 19 46 28 19 12 16

24 3 39 36 17 47 42 20

5 35 23 31 4 26 8 2

(3)

17 29 23 13 37 9 30 37

8 46 28 33 16 3 15 47

18 23 17 15 27 11 19 1

38 47 37 32 26 10 48 24

11 31 22 6 21 2 8 7

42 39 45 44 5 27 3 25

21 43 7 29 34 40 12 14

1 35 20 12 36 31 4 41

(4)

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Investigación

7 8 27 46 11 30 47 5

22 45 47 3 34 31 29 20

38 28 21 41 7 36 40 6

18 42 13 10 31 17 38 15

33 35 2 14 1 21 23 43

26 24 9 41 27 12 29 37

48 32 23 37 17 19 16 1

39 12 42 11 3 44 4 25

(5)

29 29 33 5 36 21 34 42

35 15 25 40 21 6 7 20

12 1 43 47 13 31 8 23

11 19 1 17 7 44 4 41

9 32 2 38 3 30 27 11

41 22 23 39 16 38 42 3

24 18 45 17 28 10 46 47

14 27 31 37 48 12 26 37

(6)

23 35 13 34 27 21 26 32

36 46 18 40 31 41 24 11

16 33 5 27 6 23 21 1

44 20 14 4 30 3 42 37

39 3 17 48 28 17 9 38

12 7 22 41 43 38 10 11

19 29 31 37 47 1 15 25

2 8 47 12 42 7 45 29

(7)

20 37 30 14 47 3 42 36

1 19 23 38 46 33 34 3

10 35 25 22 5 6 43 32

47 9 15 8 17 28 41 27

7 37 24 38 31 18 13 21

29 41 2 42 39 21 11 40

4 44 12 48 23 1 45 12

16 26 11 7 27 17 29 31

(8)

a la secuencia binaria Ck ⊕ Ck+1 extendiendo la misma a una secuencia binaria de 64 bits, donde ⊕ es la siguiente operación binaria (0 ⊕ 0 = 1 ⊕ 1 = 0 y 0 ⊕ 1 = 1 ⊕ 0 = 1). 2.1.2.- Denotar por seq1 al resultado conseguido en 2.1.1. 2.2.- Mientras que la cantidad de bits iguales a 1 en la secuencia binaria seq1 sea menor a la longitud de la secuencia binaria del mensaje, proseguir. 2.2.1.- Si k < 14 entonces: 2.2.1.1- Hacer k = k + 1. 2.2.1.2- Concatenar seq1 con la secuencia binaria resultante de aplicar la correspondiente expansión mod(NumBits1, 8) de (1)-(8) a Ck ⊕ Ck+1 . 2.2.1.3.- Tomar seq1 como el resultado conseguido en 2.2.1.2. 2.2.2.- Si no se cumple la condición 2.2.1, entonces concatenar la subclave C15 con los dos bytes intermedios de la subclave C14 formando así una nueva clave de 64 bits y luego a partir de la misma generar 15 subclaves usando los pasos de 1.2 hasta 1.2.3.3. 2.2.2.1.- Luego, hacer k = 1. 64 |

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2.2.2.2.- Aplicar el paso 2.2.1.2. 2.2.2.3.- Tomar seq1 como el resultado conseguido en 2.2.2.2. Proseguir de esta manera hasta que se cumpla la condición 2.2. 2.3.- Extraer la sub-secuencia binaria de seq1 partiendo de su primer bit, cuya cantidad de bits iguales a 1 sea exactamente la longitud de la secuencia binaria del mensaje secreto. 3.- Hacer seq2 igual a la secuencia binaria resultante del paso 2.3. Si la longitud de la secuencia seq2 es menor ó igual que 3mn (siendo m y n las dimensiones de la imagen original), entonces proseguir de la siguiente manera. 3.1.- Recorrer cada uno de los bytes de cada píxel de la imagen original e insertar en los correspondientes bits menos significativos, los bit de la secuencia binaria del mensaje secreto, siempre y cuando, el correspondiente bit de la secuencia seq2 sea igual a 1, este proceso se extiende hasta el último bit de la secuencia seq2. Es decir, la secuencia seq2 controla e indica la localización del bit menos significativo de cada byte de la imagen original, donde se insertará el bit de la secuencia binaria del mensaje secreto.

2.2.

Proceso de extracción

El proceso de extracción se realiza del siguiente modo: el receptor debe conocer la clave compuesta por aquella mediante la cual se ocultó el mensaje secreto en la imagen original y la longitud de la secuencia binaria de dicho mensaje. Luego, se debe realizar el mismo proceso dado por los pasos del 1 hasta el 2.3, para así conseguir la secuencia binaria seq2 e inmediatamente, a partir de la misma, extraer el mensaje secreto oculto dentro del esteganograma. Para ello, se debe recorrer cada uno de los bytes de cada píxel del esteganograma hasta terminada la longitud de la secuencia binaria seq2 y en cada paso donde el bit de seq2 sea igual a 1, extraer el bit menos significativo del correspondiente byte, véase la figura 2.

Figura 2. Proceso de extracción.

3.

Evaluación y Resultados

En esta sección se presentan las evaluaciones y resultados del algoritmo esteganográfico propuesto. La eficiencia en la protección de la información mediante la esteganografía, radica precisamente en el uso de un algoritmo adecuado que posibilite de forma correcta la inserción de Volumen III, Número 2, Oct’13, ISSN 2174-0410

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datos, donde uno de los principales factores a tener en cuenta es el nivel de imperceptibilidad, debido a que un sistema esteganográfico tiene que generar un esteganograma suficientemente inocente, ya que no debe de levantarse ninguna sospecha. Por tanto, el grado de distorsión o imperceptibilidad de un esteganograma respecto a la imagen original juega un papel fundamental. Una medida de distorsión es la conocida PSNR (Relación Señal a Ruido Pico) en el esteganograma con respecto a la imagen original. El PSNR es muy común en el proceso de una imagen, su utilidad reside en dar una relación del grado de supresión de ruido entre la imagen original y el esteganograma, proveyendo de esta manera una medida de calidad. El PSNR está dado en unidades llamadas decibelios (dB) y se escribe de la siguiente forma  PSNR = 10 log10

2562 MSE

 ,

donde MSE está dado por el error cuadrático medio MSE =

1 3mn

m

n

3

∑ ∑ ∑ k I (i, j, k) − E (i, j, k)k2 ,

i =1 j =1 k =1

siendo I la imagen original y E el esteganograma. A continuación, se mostrarán algunos de los experimentos realizados a imágenes RGB de 24 bits, donde se puede observar a simple vista, que la imagen original y el esteganograma no muestran diferencias significativas. Además, como se podrá notar, el nivel de imperceptibilidad de los esteganogramas generados a partir del algoritmo propuesto, mejora cuantitativamente respecto al conseguido a partir del método de los bits menos significativos; y esto es comprobable, a través de los correspondientes PSNR en cada uno de los experimentos, véase las figuras (3, 4, 5, 6, 7, 8).

Figura 3. A la izquierda se muestra la imagen original mientras que a la derecha se muestra el esteganograma para la clave privada L;tvw&-7.

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Figura 4. A la izquierda se muestra la imagen original mientras que a la derecha se muestra el esteganograma para la clave privada .+D}K1oV.

Figura 5. A la izquierda se muestra la imagen original mientras que a la derecha se muestra el esteganograma para la clave privada e]*!BQL4. Volumen III, Número 2, Oct’13, ISSN 2174-0410

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Figura 6. A la izquierda se muestra la imagen original mientras que a la derecha se muestra el esteganograma para la clave privada IcEeR