SEMINARIO
UNIVERSITARIO
MODULO
B
Con la función valor absoluto es posible definir una función llamada función signo, su x definición es: f : R − {0} → R / f ( x) = su gráfica es la siguiente: x y 1
0.5
x -1
-0.5
0.5
1
-0.5
-1
La forma de la gráfica está justificada en lo siguiente: Si x > 0 entonces • •
x x
=
x −x x = 1, y si x < 0 entonces = = -1 x x x
El conjunto imagen es If = {-1,1}. No tiene intersección con los ejes.
FUNCIÓN CUADRÁTICA
f : R → R/ f(x) = ax2 + bx + c, con a ≠ 0
Su gráfica es una parábola cuyo eje de simetría es paralelo al eje de ordenadas. Vamos a considerar distintos casos. 1) a ≠ 0, b = c = 0, su fórmula es: f(x)= ax2 y
y
x
0
f(x)=ax2
f(x)=ax2
a>0
0
Es una función par
138
a0,c 0, c > 0
c
x
0
es una función par
3) a ≠ 0, b ≠ 0, c = 0, su fórmula es: f(x) = ax2 + bx Para determinar su intersección con el eje x se resuelve la ecuación: ax2 + bx = 0, cuyas b soluciones son: x = 0 ∨ x = − a En este caso la parábola corta el eje x en dos puntos distintos siendo uno de ellos el origen de coordenadas. y
f(xV)
y
−b a f(x)=ax2+bx
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b a
0
x
f(x)=ax2+bx a0 −
xV
0
x
eje de simetría
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SEMINARIO
UNIVERSITARIO
B
MODULO
y
0
f(x)=ax2+bx
x
−b a
a0
La ecuación del eje de simetría es: xV = −
b y las coordenadas del vértice son: ( xV , f ( xV ) ) 2a
4) a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0, su fórmula es: f(x) = ax2 + bx + c Observe los siguientes gráficos; cuando la gráfica posee ceros, éstos se encuentran resolviendo la ecuación ax2 + bx + c = 0, cuyas soluciones reales son: x1 =
− b − b 2 − 4ac 2a
y x2 =
− b + b 2 − 4ac 2a
f(x) = ax2 + bx + c
y
y
c
x1
0
a 0
x
x2
a>0
yv x 0
xv
no tiene ceros y
c
0
x1
a>0
x2
x
c>0
x1 y x2 son los ceros de la función
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MATEMATICA
FISICA
Unidad 5
Ejercicio:
Determine los ceros, eje de simetría, coordenadas del vértice y represente gráficamente las siguientes funciones cuadráticas definidas en R. 1 1) f(x) = − x2 2 2) f(x) = -x2 + 1 3) f(x) = x2 + 3 4) f(x) = -x2 + 2x 5) f(x) = x2 – x 6) f(x) = x2 – 3x + 2 7) f(x) = x2 – 2x + 2 Representamos alguna de las anteriores:
y
y
y = x2-3x+2
y = -x2+2x
5
x -1
4
1
3
2
3
-1
2 -2
1
x -1
1
2
3
-3
4
Problema: La altura h de una pelota lanzada verticalmente desde el piso es una función que depende del tiempo t, en segundos dada por la ecuación h(t) = -4.9 t2 + 58.8 t, donde h está en metros. ¿Después de cuántos segundos la pelota alcanza su altura máxima y cuál es dicha altura? Solución: Considerando la función h(t) = -4.9 t2 + 58.8 t, su gráfica es la siguiente:
h(t) 175 150 125 100 75 50 25
t 2
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4
6
8
10
12
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SEMINARIO
UNIVERSITARIO
MODULO
B
Determinamos las coordenadas del vértice de la parábola y éstas resultan: 58.8 b tV = − =− = 6 y h( tV ) = −4.9.6 2 + 58.8.6 = 176.4 2a − 9.8 Por lo tanto la altura máxima es de 176.4 metros y se la alcanza en 6 segundos.
FUNCIÓN POLINÓMICA f : R → R f ( x) = a n x n + a n −1 x n −1 + ......... + a1 x + a 0 con ai ∈ R e i = 0,1,2,........, n se denomina función polinómica.
Son funciones polinómicas por ejemplo: 2 1) f : R → R/ f(x) = x – 3 3 2) f : R → R/ f(x) = 2x3 – 2x2 + 6x – 5 3) f : R → R/ f(x) = 5 4) f : R → R/ f(x) = (x - 1)2 Graficamos algunas funciones. y = (x+1)3
y = x3-1
y
y
1.5 0.5
x
1 -1
1
2
3
0.5 -0.5
x -2
-1
1
-1
2
-0.5
-1.5
-1
-2
y =x4
y = x3-x2 y
y 0.2
0.1
0.1 0.08
x -0.5
0.06
0.5
1
1.5
-0.1 0.04 -0.2 0.02
-0.3
x -1
-0.5
0.5
1
No le proponemos a Ud. que las dibuje porque se le dará el método a aplicar en el curso de Análisis Matemático I. 142
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