UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A ESTUDIOS UNIVERSITARIOS (LOGSE) FÍSICA (Fase específica) Septiembre 2010 INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN. La prueba consta de dos opciones A y B, cada una de las cuales incluye tres cuestiones y dos problemas. El alumno deberá elegir la opción A o la opción B. Nunca se deben resolver cuestiones o problemas de opciones distintas. Se podrá hacer uso de calculadora científica no programable. CALIFICACIÓN: Cada cuestión debidamente justificada y razonada con la solución correcta se calificará con un máximo de 2 puntos. Cada problema debidamente planteado y desarrollado con la solución correcta se calificará con un máximo de 2 puntos. En aquellas cuestiones y problemas' que consten de varios apartados, la calificación será la misma para todos ellos. TIEMPO: Una hora treinta minutos.

OPCIÓN A Cuestión 1.- Una partícula que realiza un movimiento armónico simple de 10 cm de amplitud tarda 2 s en efectuar una oscilación completa. Si en el instante t = 0 su velocidad era nula y la elongación positiva, determine: a) La expresión matemática que representa la elongación en función del tiempo. b) La velocidad y la aceleración de oscilación en el instante t = 0,25 s. Solución. v = 0 a. A = 10 cm; T = 2 s; Para T = 0:  x > 0 La expresión matemática de la elongación en función del tiempo tiene por expresión: x = A sen (ω t + ϕ) 2π 2 π = = π rad s T 2 Para calcular el desfase inicial (ϕ), se tienen en cuenta los datos de que para t = 0, la velocidad es nula y la elongación positiva. dx d v= = (A sen (ω t + ϕ)) = Aω cos(ω t + ϕ) dt dt  ϕ = π 2 v(t = 0) = Aω cos(ω ⋅ 0 + ϕ) = Aω cos ϕ = 0 ⇔ cos ϕ = 0 :  π ϕ = − 2 ω=

Para saber cual desfase corresponde al movimiento propuesto, se tiene en cuenta que para t = 0, la elongación es positiva  Si ϕ = π : x (t = 0) = A sen ω ⋅ 0 + π = A sen π = A ⋅1 = A 2 2 2 : x > 0 ⇔ ϕ = π2 : Si ϕ = − π : x (t = 0 ) = A sen ω ⋅ 0 − π = A sen − π = A ⋅ (− 1) = −A  2 2 2 

(

)

(

)

La elongación en función del tiempo viene dada por la expresión: x (t ) = 0,1 sen π t + π 2

(

b.

(

)

) π 3π v(t = 0,25) = 0,1 π cos(π ⋅ 0,25 + π ) = cos =− 2 10 4

v(t ) = Aω cos(ω t + ϕ) = 0,1 π cos π t + π

a (t ) =

2

2π m s 20

dv d = (Aω cos(ω t + ϕ)) = −Aω 2 sen (ω t + ϕ ) = −0,1 π 2 sen π t + π 2 dt dt

(

(

a (t = 0,25) = −0,1 π 2 sen π ⋅ 0,25 + π

1

2

) = − π10 sen 34π = − 2

2π 2 m 20 s2

)

Cuestión 2.- Un espejo esférico cóncavo tiene un radio de curvatura R. Realice el diagrama de rayos para construir la imagen de un objeto situado delante del espejo a una distancia igual a: a) El doble del radio de curvatura. b) Un cuarto del radio de curvatura. c) Indique en cada caso la naturaleza de la imagen formada. Solución. a.

La imagen es real, invertida y de menor tamaño.

b.

La imagen es virtual derecha y de mayor tamaño que el objeto.

Cuestión 3.- Se ilumina un metal con luz correspondiente a la región del amarillo, observando que se produce efecto fotoeléctrico. Explique si se modifica o no la energía cinética máxima de los electrones emitidos: a) Si iluminando el metal con la luz amarilla indicada se duplica la intensidad de la luz. b) Si se ilumina el metal con luz correspondiente a la región del ultravioleta. Solución. a. Si se duplica la intensidad de la luz amarilla se duplica el número de fotones que inciden sobre el metal, pero no se modifica la energía de estos, por lo tanto no varía la energía cinética de los electrones emitidos por el metal, la cual solo depende de la energía asociada a los fotones incidentes, no del número de ellos. b. La longitud de onda de la luz ultravioleta es menor que la de la luz amarilla. λ(Ultravileta ) < λ(Amarillo)

E = h ⋅ ν  c c :E = h⋅ ν=  λ λ  Teniendo en cuenta que la energía de una radiación es inversamente proporcional a la longitud de onda, a menor longitud de onda, mayor energía de la radiación incidente y por tanto mayor energía cinética de los electrones emitidos, por lo tanto al iluminar el metal con luz ultravioleta (de menor longitud de onda y por tanto mayor energía), los electrones emitidos tendrán mayor energía cinética,

(

)

E c e − emitidos = E(Radiación ) − WExtracción

2

Problema 1.- Un satélite artificial de 100 kg se mueve en una órbita circular alrededor de la Tierra con una velocidad de 7,5 km/s. Calcule: a) El radio de la órbita. b) La energía potencial del satélite. c) La energía mecánica del satélite. d) La energía que habría que suministrar a este satélite para que cambiara su órbita a otra con el doble de radio. Datos: Constante de Gravitación Universal G = 6,67 × /0−11 N m2 kg−2 Masa de la Tierra MT = 5,98×10 24 kg; Radio de la Tierra RT = 6370 km Solución. a. Para que un satélite orbite en torno a un planeta, la suma de todas las fuerzas que actúan sobre el satélite debe ser igual a la fuerza centrípeta, teniendo en cuenta que la única fuerza que actúa sobre el satélite es la fuerza gravitatoria del planeta, se ha de cumplir: r r FG = Fc Trabajando en módulo, se puede despejar el radio de la órbita en función de la masa del planeta y de la velocidad orbital del satélite.

G

M⋅m R2

=m

v2 M 5,98 ×10 24 : R = G⋅ = 6,67 × 10 −11 ⋅ = 7,09 × 10 6 m = 7090 Km 2 2 R 3 v 7,5 × 10

(

)

b. La expresión de la energía potencial de un cuerpo sometido a una fuerza central se calcula como la integral de la fuerza respecto de la posición. rr r r r Mm Mm 5,98 × 10 24 ⋅100 E p = ∫ F ⋅ d r = ∫ F dr = ∫ G dr = −G = −6,67 ×10 −11 ⋅ = −5,626 × 10 9 J 0 0 0 2 6 r r 7,09 × 10 c. La energía mecánica de un satélite en orbita en torno a un planeta, es la suma de las energías potencial y cinética del satélite en la órbita. Mm 1 E m = E p + E c = −G + mv 2 r 2 M  Teniendo en cuenta el apartado a:  v 2 = G  : R 

E m = −G

Mm 1 Mm 1 M Mm 1 Mm 1 Mm 1 + mv 2 = −G + mG = −G + G =− G = Ep r 2 r 2 r r 2 r 2 r 2 1 9 9 E m = − 5,626 × 10 = −2,813 ×10 J 2

(

)

d. La energía que habrá de suministrar al satélite para cambiar de órbita es la diferencia de energía mecánica entre las dos órbitas. 1 1 1 Mm  1 Mm  1  = − GMm −  ∆E m = E f − E i = − G −  − G 2 rf 2 r 2 i    rf ri  Si ri = R , entonces rf = 2R , quedando la expresión:

∆E m = −

1 1  1 Mm 1 5,98 × 10 24 ⋅100  1 GMm − = G = 6,67 × 10 −11 ⋅ = 1,41×10 9 J 6 2 2 R R 4 R 4   7,09 × 10

Problema 2.- Tres hilos conductores infinitos y paralelos pasan por los vértices de un cuadrado de 50 cm de lado como se indica en la figura. Las tres corrientes I1, I2 e I3 circulan hacia dentro del papel. a) Si I1 = I2 = I3 =10 mA, determine el campo magnético en el vértice A del cuadrado. b) Si I1 = 0, I2 =5 mA e I3 = 10 mA, determine la fuerza por unidad de longitud entre los hilos recorridos por las corrientes. Dato: Permeabilidad magnética del vacío µo = 4π×10−7 N A−2 Solución. a. El campo magnético en el punto A es la suma vectorial de los campos magnéticos que crean cada uno de los hilos conductores en ese punto.

3

En el esquema se adjunta la regla de la mano derecha, las líneas de campo magnético siguen el sentido de giro de los dedos que rodean al hilo, conocido el sentido de giro, se puede determinar la dirección del campo magnético generado por cada conductor en el punto A. El campo magnético en el punto A será la suma vectorial de los campos que generan cada uno de los hilos conductores.

r r r r B A = B1 + B 2 + B 3 El módulo del campo magnético generado por un hilo conductor en un punto se obtiene mediante la Ley de Biot y Savart. µ I Bi = o i 2π d i Para poder establecer la dirección y sentido de los vectores campo magnético, se sitúan unos ejes de coordenadas sobre el punto A y se determina el sentido de giro de las líneas de campo magnético mediante la regla de la mano derecha r r µ I r 4π ×10 −7 ⋅10 × 10 −3 r j = −4 ×10 −9 j • Hilo 1: B1 = − o 1 j = − 2π d 1 2π ⋅ 0,5 • Hilo 2: Teniendo en cuenta que el campo magnético creado por el hilo es perpendicular a la diagonal del cuadrado, el vector forma con el eje x un ángulo de −45º. r µ I r µ I r r r µ I B 2 = o 2 cos (− 45º ) i + o 2 sen (− 45º ) j = o 2 cos (− 45º ) i + sen (− 45º ) j 2π d 2 2π d 2 2π d 2

(

d 2 = 0,5 2 + 0,5 2 =

•

)

2 2

r r r 4π × 10 −7 ⋅10 ×10 −3  2 r 2 r  B2 = i− j = 2 × 10 −9 i − 2 ×10 −9 j  2 2   2π ⋅ 2 2 r r µ I r 4π × 10 −7 ⋅10 × 10 −3 r Hilo 3: B 3 = o 3 i = i = 4 × 10 −9 i 2π d 3 2π ⋅ 0,5 Conocido el campo generado por cada hilo conductor, se calcula el campo total en el punto A. r r r r r r r r r r B A = B1 + B 2 + B 3 = −4 × 10 −9 j + 2 × 10 −9 i − 2 × 10 −9 j + 4 × 10 −9 i = 6 ×10 −9 i − 6 × 10 −9 j

b. Las fuerzas por unidad de longitud entre los hilos conductores serán de igual dirección y módulo, y de sentidos opuestos porque las corrientes van en el mismo sentido, por lo tanto, bastará con calcular la fuerza por unidad de longitud en unos de los cables. r r r F = I⋅ l ×B r r r r r F2 = I 2 ⋅ l1 × B1 = I 2 ⋅ l − k × B i = I 2 l B1 ⋅ ((0,0,−1) × (1,0,0 )) = r  0 −1 0 −1 0 0   = I 2 l B1 (0,−1,0 ) = −I 2 l B1 j = I 2 l B1  ,− ,  0 0 1 0 1 0 r r µ I r µ I I r µ I I r F2 = −I 2 B1 j = −I 2 o 1 j = − o 1 2 j = − o 1 2 j l 2π d 2π d 2π d r − 7 − 3 − 3 F2 4π ⋅10 ⋅ 5 × 10 ⋅10 ×10 r j = 2 ×10 −11 N =− m l 2π ⋅ 50 ×10 − 2

(

)

( ) (( ) )

4

OPCIÓN B Cuestión 1.- Considerando que la órbita de la Luna alrededor de la Tierra es una órbita circular, deduzca: a) La relación entre la energía potencial gravitatoria y la energía cinética de la Luna en su órbita. b) La relación entre el periodo orbital y el radio de la órbita descrita por la Luna. Solución. a. La energía potencial de un satélite en una órbita circular de radio R viene dada por la expresión: Mm E p = −G R La energía cinética por definición es

1 mv 2 2  FG = FC  M    2 2 Teniendo en cuenta el que el la órbita se cumple que  Mm v  : v = G  : G = m R   R   R2 1 1 M 1 Mm E c = mv 2 = mG = G 2 2 r 2 r Ec =

La relación entre ambas es:

Ep Ec

Mm R = −2 : E = −2E = p c 1 Mm G 2 R −G

b. Partiendo de la expresión de la velocidad del satélite en la órbita se obtiene la relación pedida (tercera ley de Kepler). M M  M 2π  4π 2 2 v 2 = G T : {v = ωR} : ω 2 R 2 = G T : ω = R =G T : R R  T  T2 R Ordenando se obtiene la relación entre el periodo y el radio.

T2 R3

=

4π 2 GM T

Cuestión 2.- Una onda armónica transversal de longitud de onda λ =1 m se desplaza en el sentido positivo del eje X. En la gráfica se muestra la elongación (y) del punto de coordenada x = 0 en función del tiempo. Determine: a) La velocidad de propagación de la onda. b) La expresión matemática que describe esta onda. Solución. a. De la gráfica anexa se pueden obtener el periodo y la amplitud. El periodo es el tiempo que tarda en completar un ciclo (línea roja). La amplitud es la máxima elongación, o máxima separación del origen A = 0,8 m; T = 3 s La velocidad de propagación de una onda es: v =

λ 1 = t 3

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b.

La ecuación de una onda armónica transversal que se desplaza en el sentido positivo de X es: y(x, t ) = A sen (ω t − k x + ϕ) 2π ω 2π 2π rad 3 = 2π m −1 o también k = 2π = 2π = 2π m −1 ; k= = ω= = s 1 λ 1 T 3 v 3 El desfase inicial (ϕ) se calcula sabiendo que para x = 0 y t = 0, y = 0.  2π  y(0,0) = 0 = 0,8 sen  ⋅ 0 − 2π ⋅ 0 + ϕ  ⇔ sen ϕ = 0 : ϕ = 0  3  Sustituyendo los datos en la expresión se obtiene la ecuación de la onda.  2π  y(x, t ) = 0 = 0,8 sen  t − 2π x   3 

Cuestión 3.- El tritio es un isótopo del hidrógeno de masa atómica igual a 3,016 u. Su núcleo está formado por un protón y dos neutrones. a) Defina el concepto de defecto de masa y calcúlelo para el núcleo de tritio. b) Defina el concepto de energía media de enlace por nucleón y calcúlelo para el caso del tritio, expresando el resultado en unidades de MeV. Datos: Masa del protón mp = 1,0073 u; Masa del neutrón mn = 1,0087 u Valor absoluto de la carga del electrón e = 1,6×10−19 C −27 Unidad de masa atómica u = 1,67×10 kg; Velocidad de la luz en el vacío c = 3×108 m/s Solución. a. Se define el defecto de masa como la diferencia entre la suma de las masas de los protones y neutrones que forman el núcleo y la masa de núcleo. ∆m = Z ⋅ m p + (A − Z ) ⋅ m n − M Siendo Z el número de protones o número atómico, A el número másico, A−Z el número de neutrones y M la masa atómica.

∆m = 1 ⋅1,0073 + 2 ⋅1,0087 − 3,016 = 8,7 × 10 −3 u b.

Se define energía de enlace o energía de ligadura del núcleo, a la energía que equivale al defecto de masa de

(

)

acuerdo con la ecuación de Einstein E = ∆m ⋅ c 2 . La energía de enlace por nucleón es la energía de enlace del núcleo dividida por el número de nucleones (partículas) que forman el núcleo. 2

kg  m ⋅  3 × 10 8  = 1,31× 10 −12 J u  s  1 MeV E = 1,31×10 −12 J ⋅ ⋅10 −6 = 8,17 MeV −19 J eV 1,6 × 10 eV Teniendo en cuenta que el núcleo del tritio esta formado por tres nucleones (1 protón + 2 neutrones), la energía de enlace por nucleón es: 8,17 E= = 2,72 MeV nucleón 3 E = ∆m ⋅ c 2 = 8,7 × 10 −3 u ⋅1,67 ×10 − 27

6

r

(

r

)

Problema 1.- En un instante determinado un electrón que se mueve con una velocidad v = 4 × 10 4 i m s penetra en

r r r r una región en la que existe un campo magnético de valor B = − 0,8 j T siendo i y j los vectores unitarios en los sentidos positivos de los ejes X e Y respectivamente. Determine: a) El módulo, la dirección y el sentido de la aceleración adquirida por el electrón en ese instante, efectuando un esquema gráfico en la explicación. b) La energía cinética del electrón y el radio de la trayectoria que describiría el electrón al moverse en el campo, justificando la respuesta. Datos: Valor absoluto de la carga del electrón e = 1,6×10−19 C; Masa del electrón me = 9,1×10−3l kg Solución. a. La fuerza que experimenta una carga eléctrica cuando se r desplaza con una velocidad v dentro de una región donde existe un r campo magnético B viene dada por la expresión: r r r F = q ⋅ v×B Aplicando a los datos del enunciado r r r F = q e ⋅ v i × B − j = q e v B ⋅ ((1,0,0) × (0,−1,0)) = r = q e v B (0,0,−1) = −q e v B k r r r F = − − 1,6 ×10 −19 ⋅ 4 × 10 4 ⋅ 0,8 k N = 5,12 × 10 −15 k N

(

(

(

)

)

( ))

(

)

Teniendo en cuenta el segundo principio de la dinámica: r r r r r 1 r 1 F = m⋅a ; a = F = ⋅ 5,12 × 1015 k m = 5,63 × 1015 k m s s 31 − m 9,1× 10

b.

Ec =

2 1 1 m v 2 = 9,1× 10 −31 ⋅ 4 × 10 4 = 7,28 × 10 − 22 J 2 2

(

)

Al entrar en un campo magnético el electrón describe una trayectoria circular, tal como muestra la figura, por lo tanto la resultante de las fuerzas que actúan sobre la carga (electrón) será igual a la fuerza centrípeta. v2 mv 2 2E c 2 ⋅ 7,28 ×10 −22 : R= = = = 2,84 × 10 −7 m = 284 nm F = Fc = m R F F 5,12 ×10 −15

Problema 2.- En tres experimentos independientes, un haz de luz de frecuencia f = 1015 Hz incide desde cada uno de los materiales de la tabla sobre la superficie de separación de éstos con el aire, con un ángulo de incidencia de 20º, produciéndose reflexión y refracción. Material Índice de refracción

Diamante 2,42

Cuarzo 1,46

Agua 1,33

a) ¿Depende el ángulo de reflexión del material? Justifique la respuesta. b) ¿En qué material la velocidad de propagación de la luz es menor? Determine en este caso el ángulo de refracción. c) ¿En qué material la longitud de onda del haz de luz es mayor? Determine en este caso el ángulo de refracción. d) Si el ángulo de incidencia es de 30°, ¿se producirá el fenómeno de reflexión total en alguno(s) de los materiales? Solución. a. El ángulo de reflexión no depende del material, solo depende del ángulo de incidencia sobre la normal a la superficie.

c , la velocidad de propagación es inversamente v c proporcional al índice de refracción v = . n La velocidad de propagación será menor en el medio de mayor índice de refracción, en el DIAMANTE. b.

Teniendo en cuenta que n =

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Aplicando la ley de Snell, se calcula el ángulo de refracción para el diamante. ) ) n 1 ⋅ sen i = n 2 ⋅ sen r ) ) n sen r = 1 ⋅ sen i n2

) 2,42 ) ⋅ sen 20º = 0,8277 : r = arcsen 0,8277 = 55,9º sen r = 1 c.

λ En el de menor índice de refracción λ = o , por lo tanto en el agua. n c 3 × 10 8 3 ×10 −7 λo = = = 3 ×10 −7 m : λ agua = = 2,26 × 10 −7 m ν 1,33 1015 Aplicando la ley de Snell se calcula en ángulo de refracción en el agua ) ) n 1 ⋅ sen i = n 2 ⋅ sen r ) ) n sen r = 1 ⋅ sen i n2 ) 1,33 ) ⋅ sen 20º = 0,4549 : r = arcsen 0,4549 = 27,1º sen r = 1

d.

Para que se produzca reflexión total el ángulo refractado debe ser de 90º ) ) n 1 ⋅ sen i = n 2 ⋅ sen r

n 1 ⋅ sen 30 = 1⋅ sen 90 n1 =

1 =2 sen30º

El ángulo límite de incidencia que produce el fenómeno de reflexión total es inversamente proporcional al índice del medio. Esto significa que a mayores índices de refracción más pequeño será ese ángulo límite necesario. Puesto que el ángulo de incidencia es 30º, necesitaríamos según los cálculos anteriores un índice de refracción de 2 para que se produjese el fenómeno de reflexión total. Además para cualquier índice superior a 2 también se produciría por la relación inversamente proporcional entre ángulo límite e índice.

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