UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO MODELO Curso 20014/2015 MATERIA: MATEMATICAS II INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN Después de leer atentamente todas las preguntas, el alumno deberá escoger una de las dos opciones propuestas y responder razonadamente a las cuestiones de la opción elegida. Para la realización de esta prueba se puede utilizar calculadora científica, siempre que no disponga de capacidad de representación gráfica o de cálculo simbólico. Todas las respuestas deberán estar debidamente justificadas. Calificación: Las preguntas 1ª y 2ª se valorarán sobre 3 puntos; las preguntas 3ª y 4ª sobre 2 puntos. Tiempo: 90 minutos.

OPCIÓN A Ejercicio 1. Calificación máxima: 3 puntos. Dadas las matrices:

− 2 4 2    A =  −1 m m ;  −1 2 1   

 − 2   B= 0  ;  −1  

x   X =  y ; z  

 0   O =  0  0  

se pide: a) (1 punto) Estudiar el rango de A según los valores de m. b) (0,5 puntos) Calcular el determinante de la matriz A20. c) (0,75 puntos) Para m = −2, resolver el sistema AX = O. d) (0,75 puntos) Para m = 0, resolver el sistema AX = B. Solución. a. Si A ≠ 0 , rg A = 3. SE estudia el rango de la matriz A para los valores del parámetro que anulan el determinante de la matriz.

−2 4 2 det A = − 1 m m = −2m − 4m − 4 − (− 2m − 4 − 4m ) = 0 −1 2 1 Para cualquier valor real que tome m, el rg A < 3. Para estudiar el rango 2 en la matriz A, se estudiar los menores orlados a un menor de orden 1 distinto de cero. Si se toma como menor de orden 1 el término a1.1, sus menores orlados son: −2 4 −2 2 −2 4 −2 2 = −2 m + 4 ; = −2 m + 2 ; =0; =0 −1 m −1 m −1 2 −1 1 Como no existen valores del parámetro que anulen simultáneamente todos los menores de orden 2, el rango de la matriz A es 2 para cualquier valor que tomo el parámetro. b.

Teniendo en cuenta la propiedad de los determinantes A ⋅ B = A ⋅ B , se puede deducir que A n = A

A 20 = A

20

1

= 0 20 = 0

n

2   x  0 −2 4 2 − 2 4       −2 4 c. ≠ 0 , el sistema  − 1 − 2 − 2  ⋅  y  =  0  Teniendo en cuenta que − 1 − 2 − 2 = 0 y que −1 − 2  −1 2   z  0 1 − 1 2 1        x   0 2      − 2 4 − 2 x + 4 y + 2 z = 0  x − 2 y − z = 0  ⋅  y  =  0  ⇒  es equivalente a:  = − 1 − 2 − 2    z   0  − x − 2 y − 2 z = 0  x + 2 y + 2z = 0     Para resolver el sistema se toma una variable como parámetro (z = λ, por ser la variable cuyos coeficientes no formaron parte del menor de orden 2 distinto de cero), y se resuelve en función del parámetro. 1  x = − 2 λ   x − 2y − z = 0 z = λ x − 2y = λ x − 2 y = λ 3 E 2 − E1  →   → : y = − λ ∀ λ ∈ R  4  x + 2 y + 2z = 0  x + 2 y = −2λ  4 y = −3λ   z=λ 

 − 2 4 2  x   − 2 − 2        d.  − 1 0 0  ⋅  y  =  0  Según el apartado a, rg A = 2. A* =  − 1  −1 2 1  z   −1  −1        −2 4 para estudiar si puede tener rango 3, se estudian los menores orlados a −1 0

4 2 − 2  −2 4 0 0 0 , ≠ 0 , rgA*≥2, −1 0  2 1 −1 , de los dos menores orlados que

−2 4 −2 tiene, solo queda por estudiar el formado por la 1ª, 2ª y 4ª columna. − 1 0 0 = 0 , rg A* = 2 = rg A ≠ n. −1 2 −1 Sistema compatible indeterminado. El sistema equivalente esta formado por las ecuaciones que contienen al menor de orden dos distinto de cero.  x=0  − 2 x + 4 y + 2 z = −2  x − 2 y − z = 1 y = λ  =  → :  y = λ ∀ λ ∈ ℜ  − x = 0 x = 0   z = −1 − 2λ 

Ejercicio 2. Calificación máxima: 3 puntos x 2 − 4x + 3 , se pide: x2 −1 a) (0,5 puntos) Hallar el dominio de f(x). b) (1 punto) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x). c) (1,5 puntos) El área del recinto limitado por la gráfica de la función, el eje de abscisas y las rectas

Dada la función f (x ) =

x = ±1/2. Solución. a. D[f (x )] = x ∈ ℜ x 2 − 1 ≠ 0 : x 2 − 1 = 0 : x = ±1 ⇒ D[f (x )] = ℜ − {± 1}

{

b.

}

 f ′(x ) < 0 ⇒ f (x ) es decreciente La monotonía de la función se asocia al signo de la derivada, si:  f ′(x ) > 0 ⇒ f (x ) es creciente f (x ) =

1 ⋅ (x + 1) − (x − 3) ⋅ 1 4 x 2 − 4x + 3 (x − 1) ⋅ (x − 3) x − 3 = = ; f ′(x ) = = > 0 ∀ x ∈ D[f (x )] 2 2 ( ) ( ) x + 1 ⋅ x − 1 x + 1 x −1 (x + 1) (x + 1)2

Teniendo en cuenta el dominio, la función es creciente en (− ∞, − 1) ∪ (− 1, 1) ∪ (1, + ∞ )

2

c.

Para calcular el área que se pide es conveniente estudiar al menos el signo de la función.

Se pide calcular un área que esta por debajo del eje x y que mantiene el signo en el intervalo de integración. 12 x −3 12 4 4  4  x − 3 x +1− 4 x +1 Área = dx =  = = − =1− = 1− dx =  −1 2 x + 1 −1 2 x +1 x +1 x +1 x + 1 x +1  x +1

∫

=∫

12

∫

 4  − 1 dx = (4Ln x + 1 − x  x +1 

−1 2 

3 1  1 = 4Ln − −  4Ln + 2 2  2

]1−12 2 = 4Ln 12 + 1 − 12 −  4Ln −21 + 1 − −21  =

 1 3 1 1 1 2  = 4Ln − 4Ln − − = 4Ln 3 − 1 u 2 2 2 2 2



Ejercicio 3: Calificación máxima: 2 puntos.  x = 1 + 2λ x + y = 1  Dadas las rectas: r ≡ y = λ s≡ se pide:  y=z z = λ  a) (1 punto) Estudiar la posición relativa entre ellas. Determinar, en su caso, la intersección entre ambas y el ángulo que forman sus vectores directores. b) (1 punto) Hallar la ecuación de la recta perpendicular a las direcciones de r y s, y que pasa por el punto (0, 0, 0). Solución. a. La posición relativa entre dos rectas se puede relacionar con el rango de la matriz formada por los vectores de dirección de las rectas y por un segmento formado por un punto de cada recta. r r Si A y B son puntos de r y s respectivamente y u y v son sus vectores de dirección:  AB  = 3 Las rectas no son coplanarias, sercruzanr y no se cortan  r    Si u = k ⋅ v Las recta son paralelas rg u  = = 2 Las rectas son coplanarias :  r r  r   Si u ≠ k ⋅ v Las recta son secantess  v     = 1 Las rectas son coincidentes

 x = 1 + 2λ A(1, 0, 0 )  r ≡ y = λ : r  u (2, 1, 1) z = λ 

z = 1 − µ x + y = 1 z = µ   B(1, 0, 0) s≡  → y = µ :  r  y=z  z = µ v(− 1, 1, 1) 

 AB  1 − 1 0 − 0 0 − 0   0 0 0  r      rg u  = rg 2 1 1  = rg 2 1 1  = 2 : (2,1,1) ≠ K ⋅ (− 1,1,1)  r   −1  −1 1 1  v  1 1       Las rectas son secantes y se cortan en el punto (1, 0, 0).

r b. El vector de dirección de la recta buscada (ω) se obtiene multiplicando vectorialmente los vectores de dirección de las dos rectas. 1 1 2 1 2 1 r r r  = (0, − 3, 3) ω = u × v = (2, 1, 1) × (− 1, 1, 1) =  ,− ,   1 1 −1 1 −1 1  x = 0 + 0 ⋅ α  x = 0   Las ecuaciones paramétricas de la recta son:  y = 0 + −3α =  y = −α ∀ α ∈ ℜ  z = 0 + 3α  z = α  

3

Ejercicio 4: Calificación máxima: 2 puntos. Dados los puntos P1(1, −1, 2), P2(2, −3, 0) y P3(3, 1, 2), se pide: a) (0,5 puntos) Determinar la ecuación del plano π que contiene los tres puntos. b) (0,5 puntos) Determinar la ecuación de la recta r que pasa por P1 y es perpendicular a π. c)

(1 punto) Hallar la ecuación de las dos superficies esféricas de radio 17 que son tangentes al plano π en el punto P1. Solución. a. La mínima determinación lineal de un plano es un punto y dos vectores. x −1 y +1 z − 2 P1 (1, − 1, 2)  π ≡ P1P2 = (2 − 1, − 3 − (− 1), 0 − 2) = (1, − 2, − 2) π≡ 1 −2 −2 =0  P P = (3 − 1, 1 − (− 1), 2 − 2 ) = (2, 2, 0 ) 2 2 0  1 3 π ≡ 2 x − 2 y + 3z − 10 = 0

b.

Por ser perpendicular al plano π, el vector de dirección de la recta coincide con el vector normal del  P (1, − 1, 2) plano, por lo tanto la determinación lineal de la recta buscada es:  r 1 r v = n π (2, − 2, 3)  x = 1 + 2λ  r ≡  y = −1 − 2 λ ∀ λ ∈ ℜ  z = 2 + 3λ 

c. Las esferas que se piden tienen su centro sobre la recta r como nuestra la figura adjunta y la distancia del centro al plano es el radio de la esfera. C ∈ r ⇒ C(1 + 2λ, − 1 − 2λ, 2 + 3λ )

d(C − π ) = R 17λ 17

= 17

2 ⋅ (1 + 2λ ) − 2 ⋅ (− 1 − 2λ ) + 3 ⋅ ( 2 + 3λ ) − 10 2 2 + (− 2 )2 + 9 2

= 17

 λ = −1 → C = (− 1, 1, − 1) 17λ = ±17 :  λ = 1 → C′ = (3, − 3, 5)

Las ecuaciones de las esferas son:

(x − (− 1))2 + (y − 1)2 + (z − (− 1))2 = ( 17 ) ⇒ (x + 1)2 + (y − 1)2 + (z + 1)2 = 17 2 (x − 3)2 + (y − (− 3))2 + (z − 5)2 = ( 17 ) ⇒ (x − 3)2 + (y − 1) + 32 + (z − 5)2 = 17 2

4

OPCIÓN B Ejercicio 1. Calificación máxima: 3 puntos. Dados el punto P(1, 2, −1) y las rectas:  x+ y−z =4 r≡ x − y − 3z = −2

x=2 s  y = −3

se pide: a) (1 punto) Calcular la mínima distancia entre r y s. b) (1 punto) Determinar el punto P´ simétrico de P respecto de r. c) (1 punto) Determinar los puntos de la recta r que equidistan de los planos XY e Y Z. Solución. a. Lo primero es estudiar la posición relativa de las rectas, para lo cual se necesita el punto y el vector de cada una de las rectas.  x = 1 + 2λ  x+y−z = 4  x+ y = 4+λ  A = (1, 3, 0) =λ :  y = 3 − λ : r r≡ z  → x − y − 3 z = − 2 x − y = − 2 + 3 λ    u = (2, − 1, 1) z=λ 

x=2  x = 2 z =µ  B = (2, − 3, 0) s  → y = −3 :  r  y = −3  z = µ  v = (0, 0, 1)   AB   2 − 1 − 3 − 3 0 − 0  1 − 6 0  F − 2F  1 − 6 0   r      2 1     rg u = rg 2 −1 1  = rg 2 − 1 1  = rg 0 11 1  = 3  r   0 0 0 1 0 0 1  v  0 1         Las rectas se cruzan y no se cortan. r r AB o (u × v ) d(r − s ) = r r u×v  −1 1 2 1 2 −1  r r  = (− 1, − 2, 0) u × v = (2, − 1, 1) × (0, 0, 1) =  ,− ,   0 1 0 1 0 0  (1, − 6, 0) o (− 1, − 2, 0) 1 ⋅ (− 1) + (− 6) ⋅ (− 2) + 0 ⋅ 0 11 d(r − s ) = = = (− 1, − 2, 0) 5 (− 1)2 + (− 2)2 + 02 b. El simétrico de P respecto de r (P’) se calcula como simétrico de P respecto de M, siendo M la proyección ortogonal de P sobre r como se observa en la figura El punto M se puede calcular teniendo en cuenta que el vector de dirección de la recta r, debe ser perpendicular al vector PM , siendo M un punto genérico de la recta r.

 x = 1 + 2λ  M ∈ r ≡  y = 3 − λ ⇒ M (1 + 2λ, 3 − λ, λ ) z=λ  r r Si PM ⊥ u ⇒ PM o u = 0

M (1 + 2λ, 3 − λ, λ ) M∈r ≡  ⇒ PM = (2λ, 1 − λ, λ + 1)  P(1, 2, − 1)

(2λ, 1 − λ, λ + 1) o (2, − 1, 1) = 0 4λ − 1 + λ + λ + 1 = 0 M (1 + 2 ⋅ 0, 3 − 0, 0) = M(1, 3, 0)

6λ = 0

λ=0

Conocidos P y M se calculan las coordenadas de P’ con las ecuaciones del punto medio de un segmento.

5

x p + x p'  ⇒ x p' = 2x m − x p = 2 ⋅ 1 − 1 = 1  xm = 2  y + y p'  x p + x p' y p + y p' z p + z p'    :  ym = p M =  , , ⇒ y p' = 2 y m − y p = 2 ⋅ 3 − 2 = 4  2 2 2   2  z = z p + z p ' ⇒ x = 2z − z = 2 ⋅ 0 − (− 1) = 1 p' m p  m 2  P ' = (1, 4, 1) XY ≡ z = 0 Las ecuaciones de los planos son:  . Los puntos que equidistan de ambos planos deben  YZ ≡ x = 0 cumplir d(Q − XY ) = d(Q − YZ) , siendo Q(x, y, z) un punto genérico de espacio.

c.

Aplicando la expresión de la distancia de un punto a un plano se obtienen las expresiones del lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de ambos planos:  z d(Q − XY ) = = z 2 2 2  (+ ) : σ1 ≡ x − z = 0  0 + 0 +1  : z = x : ±z = x :  x (− ) : σ 2 ≡ x + z = 0 d(Q − YZ) = = x  12 + 0 2 + 0 2  Los puntos buscados, son la intersección de los planos calculados (σ1, σ2) con la recta r.   x = 1 + 2λ   r ≡ y = 3 − λ Q1 ≡   : 1 + 2λ − λ = 0 : λ = −1 ⇒ Q1 (1 + 2 ⋅ (− 1), 3 − (− 1), − 1) = Q1 (− 1, 4, − 1)   z=λ  σ1 ≡ x − z = 0

  x = 1 + 2λ    −1 r ≡ y = 3 − λ  −1  −1 −1  1 10 − 1   = Q 2  , , Q2 ≡   : 1 + 2λ + λ = 0 : λ = ⇒ Q 2 1 + 2 ⋅  , 3 −  ,  z=λ 3 3 3 3     3 3 3       σ 2 ≡ x + z = 0

Ejercicio 2. Calificación máxima: 3 puntos Hallar:

a) (1 punto) Lím x →0

b) (1 punto) c)

1 + sen x − 1 − sen x x

∫ (3x + 5)cos x dx

(1 punto) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos de la función

f (x ) =

ex − e x x

Solución. a.

Límite irracional del tipo

0 , se resuelve multiplicando y dividiendo por el conjugado o por el teorema de 0

L´Hopital.

Lím x →0

1 + sen x − 1 − sen x = Lím x →0 x

x →0

)(

1 − sen x ⋅ 1 + sen x + 1 − sen x

(

x ⋅ 1 + sen x + 1 − sen x

)

)=

( 1 + sen x ) − ( 1 − sen x ) = Lím 1 + sen x − (1 − sen x ) = Lím 2sen x = x ⋅ ( 1 + sen x + 1 − sen x ) x ⋅ ( 1 + sen x + 1 − sen x ) x ⋅ ( 1 + sen x + 1 − sen x ) 2

= Lím

( 1 + sen x −

 sen x = Lím ⋅ x →0  x

2

x →0

(

x →0

  = Lím sen x ⋅ Lím x →0 1 + sen x + 1 − sen x  x → 0 x 2

)

6

Lím (sen x )= Lím x

2

( 1 + sen x +

x →0

1 − sen x

)

x →0

≈

= Lím x →0

x ⋅ Lím x x →0

2

2

( 1 + sen x +

1 − sen x

) = 1 ⋅ ( 1 + sen 0 +

1 − sen 0

) = 1⋅ 2 = 2

cos x − cos x − 1 + sen x − 1 − sen x 1 − sen x = Por L´Holpital: Lím = Lím 1 + sen x x →0 L´H x → 0 x 1 cos x cos x + 1 − sen x = cos 0 + cos 0 = 1 + 1 = 2 Lím 1 + sen x x →0 1 1 + sen 0 1 − sen 0 1 1 b.

∫

Integral por partes. du = 3 ⋅ dx   u = 3x + 5 (3x + 5) cos x dx =   = (3x + 5) ⋅ sen x − sen x 3 ⋅ dx = (3x + 5) ⋅ sen x − 3 sen x dx = dv cos x dx v = sen x  = 

∫

∫

= (3x + 5) ⋅ sen x − 3(− cos x ) + C = (3x + 5) ⋅ sen x + 3 cos x + C

 f ′(x ) < 0 ⇒ f (x ) es decreciente La monotonía de la función se asocia al signo de la derivada, si:  f ′(x ) > 0 ⇒ f (x ) es creciente

c.

(e − e )⋅ x − (ex − e )⋅1 = ex − xe

− ex + e x e x − xe x e x (1 − x ) = = x2 x2 x2 x2 Para estudiar el signo de la derivada se tienen en cuenta los valores que la anulan y el dominio de la f ′(x ) =

x

x

x

función.

e x (1 − x ) = 0 : e x (1 − x ) = 0 : x = 1 x2 D[f (x )] = ℜ − {0} Sí x ∈ (− ∞, 0 ) ∪ (0, 1) ⇒ f ′(x ) > 0 → f (x ) es crciente f ′(x ) = 0 :

Sí x ∈ (1, + ∞ ) ⇒ f ′(x ) < 0 → f (x ) es decrciente Extremos relativos. Puntos donde la primera derivada se anula y además se cambia el signo de la − + Si f ′′ x o > 0 ; f ′′ x o < 0 En (x o , f (x o )) la función presenta un máximo derivada, con el siguiente criterio:  Si f ′′ x o− < 0 ; f ′′ x o+ > 0 En (x o , f (x o )) la función presenta un mínimo

( ) ( ) ( ) ( ) f ′(1 ) > 0 f ′(1) = 0 :   : (1, f (1)) la función presenta un máximo f ′(1 ) < 0 − +

f (1) =

e ⋅ 1 − e1 = 0 La función tiene un máximo local en (1, 0) 1

Ejercicio 3. Calificación máxima 2 puntos a) (1,5 puntos) Hallar X e Y , matrices 2 × 2, tales que

 3 − 1  2 1  Y =   ; X +  0 2   1 3

1 0   1 3  Y =   X +  1 1   0 1

b) (0,5 puntos) Hallar Z, matriz invertible 2 × 2, tal que

 3 0  −1 1 3   Z =   Z 2   0 3 1 2  Solución.

a.

 3 X +   0 Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:   X + 1 1  

7

− 1 2  Y =  2  1 0 1  Y =  1  0

1  3  3  1 

 3 X +   0   X + 1 1  

− 1 2  Y =  2 1 0 1  Y =  1 0

1  1 − 2  3  Restando  2 − 1  Y =   :  → 3  −1 1  1 2   1

 2 − 1   −1 1 

−1

=

t

−1

 2 − 1 1 − 2   ⋅   Y =   − 1 1  1 2  t

  2 − 1  1 1  1 1 1   Adj    − 1 1   = 1 1 2  = 1 2  2 − 1        −1 1 1

1 1   1 − 2   2 0   ⋅   =   Y =  1 2   1 2   3 2  Conocida la matriz y, se despeja x de cualquiera de la ecuaciones que forman el sistema 1 0   2 0   1 3   2 0   1 3  1 3  2 0   − 1 3   ⋅   =    =    −   =   X +  X +  X =  1 1 3 2 0 1 5 2 0 1            0 1   5 2   − 5 − 1

b.

 3 0  −1 1 3   Z =   Z 2   0 3 1 2 

 1 0  −1 1 3   Z =   Z 2 3 ⋅  0 1 1 2 

1 3   3Z ⋅ Z ⋅ Z −1 =  1 2 

1 3   3Z ⋅ I =  1 2 

1 3   Z 2 3I Z −1 =  1 2  1 1 3   1 3 1  = Z =  2  3 1 2   1 3  3

Ejercicio 4. Calificación máxima 2 puntos Dado el sistema de ecuaciones lineales:

 mx + y = 0   x + my = 0 mx + my = 0  se pide: a) (1,5 puntos) Discutirlo según los valores de m. b) (0,5 puntos) Resolverlo cuando sea compatible indeterminado. Solución. a. Sistema homogéneo (rg A = rg A*), compatible para cualquier valor que tome el parámetro m. m 1    A =  1 m m m   El rango de la matriz se estudia para los valores del parámetro que anulen simultáneamente todos los menores de orden 2. Si partimos del menor α1.2 = 1 ≠ 0, se estudian sus menores orlados. m 1 m = −1 = m2 − 1 = 0 :  1 m  m =1

m

m = 0 = m2 − m = 0 :  m m m = 1 Solución común es m = 1. Discusión. i. Si m ≠ 1, existen menores de orden 2 distintos de cero, rg A = rg A* = 2 = n. Sistema compatible determinado, siendo su única solución la trivial (x = y = 0) 1 1   ii. Si m = 1 A = 1 1 , rg A = rg A* = 1 ≠ n = 2. Sistema compatible indeterminado 1 1  

b.

1

x + y = 0 x = −λ  y=λ → ∀ λ ∈ℜ x + y = 0 ≅ {x + y = 0   y=λ x + y = 0 

8