UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A ESTUDIOS UNIVERSITARIOS (LOGSE) JUNIO 2011 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II INSTRUCCIONES: El alumno deberá elegir una de las dos opciones A o B que figuran en el presente examen y contestar razonadamente a los cuatro ejercicios de que consta dicha opción. Para la realización de esta prueba puede utilizarse calculadora científica, siempre que no disponga de capacidad de representación gráfica o de cálculo simbólico. TIEMPO: 90 minutos.

OPCIÓN A Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 3 puntos) Se considera el sistema lineal de ecuaciones dependiente del parámetro real a: ax + y + z = a  ay + z = 1  ax + y + az = a  a) Discútase el sistema según los diferentes valores de a b) Resuélvase el sistema en el caso en que tenga infinitas soluciones. c) Resuélvase el sistema para a = 3. Solución. a. El sistema esta definido por la matriz de coeficientes (A) y por la ampliada (A*). a 1 1 a 1 1 a      A =  0 a 1  A* =  0 a 1 1  A ⊂ A* ⇒ rg A ≤ rg A* ≤ 3 ; n = 3 a 1 a  a 1 a a      Si el A ≠ 0 , rg A = 3 = rg A* = n. Sistema compatible determinado, por lo que se discute el sistema para los valores del parámetro que anulan la matriz de coeficientes.

a 1 1 a 2 = 0 : a = 0 0 a 1 = a 3 + a + 0 − a 2 + a + 0 = a 3 − a 2 = a 2 (a − 1) : A = 0 :   a − 1 = 0 : a = 1 a 1 a

(

i. ii.

)

Discusión: Si a ≠ 0, 1. A ≠ 0 Sistema compatible determinado.

0 1 1   Si a = 0. A = 0 rg A < 3. A =  0 0 1  Hay que buscar un menor de orden dos distinto de cero. 0 1 0   0 1 1 0    1 1 1 1 = 1 ≠ 0 rg A = 2. A* =  0 0 1 1  Partiendo del menor ≠ 0 , en la matriz ampliada 0 1 0 1 0 1 0 0   solo queda un menor orlado por estudiar, el formado por las columnas 2ª, 3ª y 4ª. 1 1 0 0 1 1 = 1 ≠ 0 ⇒ rg A* = 3 1 0 0 rg A ≠ rg A * . Sistema incompatible

1

iii.

 1 1 1   Si a = 1. A = 0 rg A < 3. A =  0 1 1 Hay que buscar un menor de orden dos distinto de cero.  1 1 1    1 1 1 1   1 1 1 1 = 1 ≠ 0 rg A = 2. A* =  0 1 1 1 Partiendo del menor ≠ 0 , en la matriz ampliada solo 0 1 0 1  1 1 1 1   queda un menor orlado por estudiar, el formado por las columnas 1ª, 2ª y 4ª. 1 1 1 0 1 1 = 0 ⇒ rg A* < 3 1 1 1 rg A = rg A* < n = 3. Sistema compatible indeterminado x + y + z = 1 Sistema equivalente: S' ≡  y + z = 1  x + a = 1: S' ≡  

b.

y + z = 1 y + z = 1

Restando las ecuaciones se obtiene el valor de x = 0.

= 0 z = λ x = 0 x  →  y + z = 1 y = 1 − λ Solución: (0, 1 ‒ λ, λ) ∀ λ ∈ R 3x + y + z = 3  a = 3. Sistema compatible de terminado (Cramer):  3y + z = 1 3x + y + 3z = 3 

c.

A = a 3 − a 2 = 33 − 32 = 18 3 3 1

3 1 1

0 1 1

1 3 1 x=

Ax A

=

3 1 3 18

3 1 3

=

Ay

16 8 = ; y= = 18 9 A

0 3 1

3 3 3

=

18

Az

3 1 3 6 1 0 = ; z= = = =0 18 3 A 18 18

8 1  Solución:  , , 0  9 3 

Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 3 puntos) Se considera la función real de variable real definida por: f (x ) =

3x

x −2 a) Especifíquese su dominio de definición y los puntos de corte de la gráfica de f con los ejes coordenadas. Determínense las asíntotas de f. b) Determínese la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1. c)

Calcúlese la integral definida

2

3

∫2 f (x ) dx

Solución. a. Por ser una función racional, el dominio son todos los números reales excepto los que anulan el denominador.

{

}

D[f (x )] = x ∈ R / x 2 − 2 ≠ 0

x2 − 2 = 0 : x = ± 2

{ }

D[f (x )] = R − ± 2

2

3x

= 0 : 3x = 0 : x = 0 La función corta a los ejes en el punto (0, 0), x −2 y como la eje OY solo lo puede cortar una vez, no es necesario volver a calcular el punto de corte con OY. Cortes con los ejes. OX (y = 0):

2

Asíntotas. • Verticales. De existir asíntotas verticales estarán en los puntos excluidos del dominio, siempre y cuando en esos puntos el límite sea infinito.

x=− 2:

Lím

x →− 2

x= 2:

b.

3x

=

x −2 2

3x

Lím

x→ 2

x −2 2

(

3⋅ − 2

(− 2 )

2

=

)

−2

3⋅ 2 2

2 −2

=

−3 2 = −∞ Asíntota vertical x = − 2 0

=

3 2 = ∞ Asíntota vertical x = 2 0

•

Horizontal. Una función tiene asíntota horizontal si el límite cuando x tiende a infinito es finito. 3x 3x 3 3 Lím 2 ≈ Lím 2 = Lím = = 0 Asíntota horizontal y = 0 ±∞ x → ±∞ x − 2 x → ±∞ x x → ±∞ x

•

Oblicua. No tiene, una función no puede tener simultáneamente asíntota horizontal y oblicua. La ecuación de la recta tangente a la función en x = 1 en forma punto-pendiente. y − f (1) = f ′(1) ⋅ (x − 1) 3 ⋅1 f (1) = 2 = −3 1 −2

f ′(x ) =

(

)

3 ⋅ x 2 − 2 − 3x ⋅ 2 x

(x

2

−2

)

2

=

− 3x 2 − 6

(x

2

−2

: f ′(1) == 2

)

− 3 ⋅ 12 − 6

(1 − 2) 2

2

= −9

Sustituyendo y despejando “y”, se obtiene la ecuación de la tangente en forma explícita: y − (− 3) = (− 9) ⋅ (x − 1) y = −9 x + 6

c.

Integral inmediata del tipo logarítmico:  f ′(x )  3 3 3 3x dx = Ln f (x ) + C  3 3 2x  3  2 f (x ) dx = dx = dx = Ln x − 2 = f ( x )     = 2 2 2 x2 − 2 2 2 f (x ) = x 2 − 2 : f ′(x ) = 2x  2 2 x − 2   3 3 3 3 7 = Ln 32 − 2 − Ln 2 2 − 2 = (Ln 7 − Ln 2) = Ln 2 2 2 2 2

∫

∫

∫

∫

Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 2 puntos) En un edificio inteligente dotado de sistemas de energía solar y eólica, se sabe que la energía suministrada cada día proviene de placas solares con probabilidad 0’4, de molinos eólicos con probabilidad 0’26 y de ambos tipos de instalaciones con probabilidad 0’12. Elegido un día al azar, calcúlese la probabilidad de que la energía sea suministrada al edificio: a) por alguna de las dos instalaciones, b) solamente por una de las dos. Solución. • A ≡ La energía es suministrada por placas solares, p(A) = 0’4 • B ≡ La energía es suministrada por molinos eólicos, p(B) = 0’26 • A ∩ B ≡ La energía es suministrada por placas solares y por molinos eólicos, p(A∩B) = 0’12 a. La energía es suministrada por placas solares o por molinos eólicos. p(A∪B) = p(A) + p(B) ‒ p(A∩B) = 0’4 + 0’26 ‒ 0’12 = 0’54

b.

La energía es suministrada solo por placas solares o solo por molinos de viento

3

(

(

))

(

(

))

(

)

p (A ∩ B ) ∪ A ∩ B = p(A ∩ B ) + p A ∩ B = p(A ) − p(A ∩ B ) + p(B ) − p(A ∩ B )

p (A ∩ B ) ∪ A ∩ B = p(A ) + p(B) − p(A ∩ B) − p(A ∩ B) = p(A ∪ B) − p(A ∩ B) 1444 424444 3

(

(

))

p (A ∪ B )

p (A ∩ B ) ∪ A ∩ B = p(A ∪ B) − p(A ∩ B) = 0,54 − 0,12 = 0,42

Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 2 puntos) Se supone que el tiempo medio diario dedicado a ver TV en una cierta zona se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media µ, y desviación típica igual a 15 minutos. Se ha tomado una muestra aleatoria simple de 400 espectadores de TV en dicha zona, obteniéndose que el tiempo medio diario dedicado a ver TV es de 3 horas. a) Determínese un intervalo de confianza para µ con un nivel de confianza del 95%. b) ¿Cuál ha de ser el tamaño mínimo de la muestra para que el error en la estimación de µ sea menor o igual que 3 minutos, con un nivel de confianza del 90%? Solución. a. El intervalo de confianza para la media poblacional (µ) a partir de una media muestral (x o ) , viene dado por la siguiente expresión:  σ σ   x o − z α ⋅  , xo + zα ⋅ 2 2 n n  Donde z α es el valor crítico de z que se obtiene del nivel de confianza que se especifica, σ es la 2

desviación típica de la variable, n es el número de elementos de la muestra y x o es la media muestral expresada en minutos (la media y la desviación deben ir expresadas en las mismas unidades). 0,05   α   Nivel de confianza : 1 − α = 0,95 −1  −1 z α = φ −1 1 −  =   = φ (0,9750) = 1,96  = φ 1 − 2 α = 0,05 2 2       Sustituyendo en la expresión:  15 15  180 − 1,96 ⋅  = (178'5 , 181'5) , 180 + 1,96 ⋅ 400 400   Con un nivel de confianza del 95% se puede estimar que el tiempo medio diario dedicado a ver TV en dicha zona estará comprendido entre 178’5 y 181,5 minutos.

b.

El tamaño muestral esta relacionado con el error máximo por la expresión: σ ε máx > z α ⋅ 2 n Despejando el número de elementos: 2

zα

2

 σ   n >  z α ⋅  2 ε máx  0,1   α   Nivel de confianza : 1 − α = 0,90 −1  −1 = φ −1 1 −  =   = φ (0,95) = 1,645  = φ 1 − α = 0,1 2   2    2

15   n > 1,645 ⋅  = 67,65 ⇒ n ≥ 68 elementos 3 

4

OPCIÓN B Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 3 puntos) Se consideran las matrices:

 −1 0 1  3 1     A =  3 k 0 ; B =  0 3  − k 1 4  2 0     a) Calcúlense los valores de k para los cuales la matriz A no tiene inversa. b) Para k = 0, calcúlese la matriz inversa A−1. c) Para k = 0 resuélvase la ecuación matricial AX = B Solución. a. La condición necesaria y suficiente para que una matriz tenga inversa es que su determinante sea distinto de cero. −1 0 1 A = 3 k 0 = −4k + 0 + 3 − − k 2 + 0 + 0 = k 2 − 4k + 3 −k 1 4

(

)

k = 1 A = 0 : k 2 − 4k + 3 = 0 :  k = 3 Si k = 1 o k = 3, el determinante de A es nulo y por tanto A no tiene inversa

b.

−1 0 1   1 Para k = 0: A =  3 0 0  Por definición: A −1 = (adj A )t A  0 1 4   k =0

A = k 2 − 4k + 3 = = 0 2 − 4 ⋅ 0 + 3 = 3  +   adj A =  −   +  

0 0 1 4 0 1 1 4 0 1 0 0

− + −

3 0   0 1   0 − 12 3   −1 0    − = 1 − 4 1 0 1  0 3 0  −1 0    + 3 0 

3 0

+

0 4 −1 1 0 4 −1 1 3

0

1 0  0   (adj A ) =  − 12 − 4 3   3 1 0   t

Sustituyendo se obtiene la inversa

1 0  1 0   0  0 3   1 1 t A −1 = (adj A ) =  − 12 − 4 3  =  − 4 − 4 3 1  A 3 1 1 0   1 0  3 3  

c.

AX = B Para despejar la matriz X hay que tener en cuenta que el producto de matrices no es conmutativo y que el producto de una matriz con su inversa es igual a la matiz unidad, elemento neutro del producto de matrices.

AX = B ; A −1 ⋅ AX = A −1 ⋅ B ; I ⋅ X = A −1 ⋅ B ; X = A −1 ⋅ B

X=A

−1

1 0  3 1 0 ⋅1 + 1⋅ 3 + 0 ⋅ 0   0  0 ⋅ 3 + 1⋅ 0 + 0 ⋅ 2    1  1 ⋅ B =  − 12 − 4 3  ⋅  0 3  =  − 12 ⋅ 3 + (− 4) ⋅ 0 + 3 ⋅ 2 − 12 ⋅ 1 + (− 4) ⋅ 3 + 3 ⋅ 0  = 3 3 1 0   2 0  3 ⋅ 1 + 1 ⋅ 3 + 0 ⋅ 0   3  3 ⋅ 3 + 1⋅ 0 + 0 ⋅ 2

5

3   0 1   0    1 =  − 30 − 21 =  − 10 − 8  3 6   3 2   9

Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 3 puntos) Se considera la función real de variable real definida por:  a si x ≤ −1  f (x ) =  2x  x − b si x > −1  4 a) Calcúlense a, b para que f sea continua y derivable en x = −1. b) Para a = 1, b = 3, represéntese gráficamente la función f. c)

Calcúlese el valor de b para que

∫0 f (x )dx = 6 3

Solución. a. Para que la función sea continua en x = ‒1, se debe cumplir: f (− 1) = Lím f (x ) x → −1

Teniendo en cuenta la definición de límite: f (− 1) = Lím f (x ) = Lím f (x ) x → −1−

f (− 1) =

x → −1+

a a a x 2 − b (− 1)2 − b 1 − b = −a ; Lím f (x ) = Lím = = −a ; Lím f (x ) = Lím = = −1 −1 4 4 4 x → −1− x → −1− x x → −1+ x → −1+

Igualando se obtiene una ecuación con dos incógnitas. 1− b −a = 4 Para que la función sea derivable en x = ‒1, se debe cumplir:

( ) ( )

f ′ − 1− = f ′ − 1+ ′

 a     x f ′(x ) =  ′ 2  x − b   4   

si x < −1  − a  2 =x  x si x > −1  2

Igualando se obtiene el valor de a:

−a =

1 1 : a=− 2 2

Sustituyendo en la 1ª ecuación se calcula b. −1 1 − b − = : b = −1 2 4

 −1 si x ≤ −1  2x f (x ) =  2  x + 1 si x > −1  4

6

( ) ( )

−a  − = −a  f ′ − 1 = (− 1)2 : 1 si x > −1 f ′ − 1+ =  2

si x < −1

 1 si x ≤ −1  f (x ) =  2x  x − 3 si x > −1  4

b.

•

•

1 Hipérbola equilátera, con asíntota x horizontal y = 0; asíntota vertical y = 0. y=

x2 − 3 Parábola de eje vertical desplazada 4 verticalmente hacia abajo y deformada. Vértice  3   − ,0  , cortes con OX: − 3 ,0 ; + 3 ,0  4  y=

(

) (

)

Por último, para dibujar la gráfica de la función es conveniente calcular los valores que toman ambas expresiones en el punto frontera.

( )

( )

(− 1)2 − 3 = − 1 1 f − 1− = = 1 ; f − 1+ = 1 4 2

c.

Teniendo en cuenta la definición de la función: 3x2

3

∫0 f (x ) dx = ∫0

−b 1 dx = 4 4

∫(

3 2 x 0

3

)

3

 1  x3  − b dx =   − bx  = 6  4 3  0  

 1  x3   1  03  1  33   − bx  =  − b ⋅ 3  −  − b ⋅ 0  = 6      4 3  0 4  3  4 3    1 2 −15 3 − b ⋅ 3 = 6 : 9 − 3b = 24 : 3b = −15 : b = = −5 4 3

(

)

7

Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 2 puntos) En un cierto punto de una autopista está situado un radar que controla la velocidad de los vehículos que pasan por dicho punto. La probabilidad de que el vehículo que pase por el radar sea un coche es 0,5, de que sea un camión es 0,3 y de que sea una motocicleta es 0,2. La probabilidad que cada uno de los tres tipos de vehículos supere al pasar por el radar la velocidad máxima permitida es 0,06 para un coche, 0,02 para un camión y 0,12 para una motocicleta. En un momento dado, un vehículo pasa por el radar. a) Calcúlese la probabilidad de que este vehículo supere la velocidad máxima permitida. b) Si el vehículo en cuestión ha superado la velocidad máxima permitida, ¿cuál es la probabilidad de que se trate de una motocicleta? Solución. Sucesos y datos: • A ≡ Por el radar pasa un coche; p(A ) = 0,5 • •

C ≡ Por el radar pasa una motocicleta; p(C ) = 0,2

•

S ≡ El vehículo que pasa por el radar supera la velocidad máxima permitida Probabilidad de superar la velocidad máxima si es un coche; p S = 0,06 A S Probabilidad de superar la velocidad máxima si es un camión; p = 0,02 B Probabilidad de superar la velocidad máxima si es una motocicleta; p S = 0,12 C

• • •

a.

B ≡ Por el radar pasa un camión; p(B) = 0,3

( ) ( )

( )

Los vehículos que superan la velocidad máxima pueden ser coches, camiones o motos: p(S) = p((A ∩ S) ∪ (B ∩ S) ∪ (C ∩ S)) = p(A ∩ S) + p(B ∩ S) + p(C ∩ S) =

( A )+ p(B) ⋅ p(S B)+ p(C)⋅ p(S C) = 0,5 ⋅ 0,06 + 0,3 ⋅ 0,02 + 0,2 ⋅ 0,12 = 0,06

= p(A ) ⋅ p S

b.

Probabilidad de que el vehiculo sea una motocicleta si ha superado la velocidad máxima. S p(C ∩ S) p(C ) ⋅ p C 0,2 ⋅ 0,12 pC = = = = 0,4 S BAYES p(S) p(S) 0,06

( )

( )

El problema también se puede resolver mediante un cuadro de contingencia y la definición de probabilidad. Para hace el cuadro interesa tomar como base de calculo un valor que genere números enteros, dicho valor se puede obtener por tanteo o, como mínimo común múltiplo de las fracciones generatrices de los productos 0,5·0,06; 0,3·0,02; 0,2·0,12 (22·53 = 500) Si se toma como base de calculo 500 vehículos que pasen por el radar, el 50% serán coches (250), el 30% camiones (150) y el 20% motocicletas (100). De los 250 coches que pasan por el radar, el 6% (15) superan la velocidad máxima, de los 150 camiones, el 2% (3) la superan y de las 100 motocicletas el 12% (12). Estos datos quedan descritos en el siguiente cuadro: COCHE CAMIÓN 6 2 250 ⋅ = 15 150 ⋅ =3 SUPERA Vmáx 100 100 250 ‒ 15 = 150 ‒ 3 = NO SUPERA Vmáx = 235 = 147 50 30 500 ⋅ 500 ⋅ = 250 = 150 100 100

MOTOCICLETA 12 100 ⋅ = 12 100 100 ‒ 12 = = 88 20 500 ⋅ = 100 100

15 + 13 + 12 = = 30 500 ‒ 30 = = 470 Base de calculo

500

a.

Probabilidad de que este vehículo supere la velocidad máxima permitida. nº vehículos que superan v máx 30 p(S) = = = 0,06 n º vehículos totales 500

b.

Si el vehículo ha superado la velocidad máxima, ¿probabilidad de que sea una motocicleta? nº motos que superan v máx p(M ∩ S) 12 pM = = = = 0,40 S p(S) n º vehículos que superan v máx 30

( )

8

Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 2 puntos) Se supone que el precio (en euros) de un refresco se puede aproximar por una variable aleatorio con distribución normal de media µ y desviación típica igual a 0,09 euros. Se toma una muestra a1eatoria simple del precio del refresco en 10 establecimientos y resulta: 1,50 ; 1,60 ; 1,10 ; 0,90 ; 1,00 ; 1,60 ; 1,40 ; 0,90 ; 1,30 ; 1,20 a) Determínese un intervalo de confianza al 95 % para µ. b) Calcúlese el tamaño mínimo que ha de tener la muestra elegida para que el valor absoluto de la diferencia entre la media muestral y µ sea menor o igual que 0,10 euros con probabilidad mayor o igual que 0,99. Solución. a. El intervalo de confianza para la media poblacional (µ) a partir de una media muestral (x o ) , viene dado por la siguiente expresión:  σ σ   x o − z α ⋅  , xo + zα ⋅ 2 2 n n  Donde z α es el valor crítico de z que se obtiene del nivel de confianza que se especifica, σ es la 2

desviación típica de la variable, n es el número de elementos de la muestra y x o es la media de la muestra.

xo =

∑ x i = 1,50 + 1,60 + 1,10 + 0,90 + 1,00 + 1,60 + 1,40 + 0,90 + 1,30 + 1,20 = 1,25 n

10 Nivel de confianza : 1 − α = 0,95  0,05   α −1  −1 z α = φ −1 1 −  =   = φ (0,9750) = 1,96  = φ 1 − α = 0,05 2 2  2     Sustituyendo en la expresión:  0,09 0,09  1,25 − 1,96 ⋅  = (1,19 ; 1'31) , 1,25 + 1,96 ⋅ 10 10   Con un nivel de confianza del 95% se puede estimar que el precio medio (en euros) de un refresco estará comprendido entre 1,19 y 1,31 euros.

b.

El tamaño muestral esta relacionado con el error máximo por la expresión: σ ε máx > z α ⋅ 2 n Despejando el número de elementos:

 σ   n >  z α ⋅  2 ε máx 

2

0,01   α   Nivel de confianza : 1 − α = 0,99 −1  −1 z α = φ −1 1 −  =   = φ (0,995) = 2,58  = φ 1 − α = 0,01 2 2  2    

ε máx = 0,1 2

 0,09  n >  2,58 ⋅  = 5,39 ⇒ n ≥ 6 elementos 0,1  

9