Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional Buenos Aires Departamento de Ingeniería Industrial
ANALISIS NUMERICO Y CALCULO AVANZADO EXAMEN FINAL – 20/12/2012 Cursos i4001 (Jueves 11:00 – 12:30) e i4002 (Viernes 11:00 – 12:30) – Prof. Marcelo A. Castro
Comentario: El examen final se aprueba con 4, lo cual equivale a responder correctamente 3 preguntas. Si el examen está aprobado, la nota final se computa como el promedio entre la nota del examen final, el promedio de las notas de los parciales, y el promedio de las notas de los proyectos computacionales.
1) Explique Método de Bisección para hallar aproximaciones numéricas a las raíces de funciones escalares, mencione las condiciones que deben cumplirse, deduzca la fórmula que establece la relación entre el error de la aproximación y el número de iteraciones, y muestre cómo funciona con un ejemplo sencillo.
2) Explique cuál es el objetivo de realizar un ajuste polinómico por cuadrados mínimos polinomio ajustado por cuadrados mínimos. Para 6 pares de valores (x,y), ¿cuántos polinomios ajustados por cuadrados mínimos distintos se pueden encontrar? Justifique. 3) Explique el Método del Gradiente para buscar puntos óptimos de campos escalares. Muestre con un ejemplo sencillo cuyo extremo sea calculable analíticamente, cómo se encuentra la recta de búsqueda a partir de un punto inicial. ¿Qué rol juega el Método de la Razón Aurea? Justifique. 4) Se tiene una serie de valores equiespaciados medidos (x0,y0) , (x1,y1) , (x2,y2) , (x3,y3) , . . . . . , (xn,yn). Si bien no se conoce la función y(x), se quiere calcular P(x3), donde P(x) = y “ (x) / y ‘ (x), utilizando esquemas de diferencias centrales de orden 4 para la discretización de la derivada primera y la derivada segunda. Exprese P(x3) en función de los datos. Si quisiese que el error de la aproximación fuese 16 veces menor, ¿qué le recomendaría a quienes adquieren los datos? Justifique. 5) Explique qué son las cuadraturas Gaussianas y en qué se diferencian de las cuadraturas de NewtonCotes. ¿Qué relación hay entre el número de puntos de integración y la precisión de la cuadratura? Elija una función integrable en el intervalo [-1,1] que cumplan la condición de que las cuadraturas Gaussianas de 2 y 3 puntos no sean exactas. Calcule la integral exacta, y las aproximaciones numéricas utilizando ambas cuadraturas. Calcule el error relativo porcentual de ambas aproximaciones.
