UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA Sede Manizales Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

´ DEL SISTEMA DE LAS REDUCCION ´ ECUACIONES BASICAS DE LA MHD USANDO LOS POTENCIALES DE EULER

TESIS MAESTR´IA EN CIENCIA F´ISICA Manizales 2008

´ DEL SISTEMA DE LAS REDUCCION ´ ECUACIONES BASICAS DE LA MHD USANDO LOS POTENCIALES DE EULER

Trabajo presentado por:

´ PARRA LEONEL LIBARDO PALOMA

Requisito para optar al t´ıtulo de

MAG´ISTER EN CIENCIA F´ISICA

DIRECTOR

Ph.D. ALFONSO DEVIA CUBILLOS.

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA Sede Manizales Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Manizales 2008

ABSTRACT The theory of magnetohydrodynamics is described by a system of nolinear partial differential equations (pde’s). Some of these pde’s are: Navier-Stokes equations relating dynamics of fluids, Maxwell equations in electromagnetism, the law of Ohm for the current and the equation that models Lorentz force. In this work we make a reduction to a more simple system of compact equations subject to specific conditions. This approach facilitates both the MHD equations analysis and their solution. After introducing a set of auxiliary variables and applying the rotational operator with its properties, we use the potentials of Euler-Monge of the fields of magnetic speed and we incorporate to the system the equations that model the specific characteristics of the fluid such as incompressibility, viscosity and resistively, the Hall effect and the thermoelectrial terms. We present the reduced equations in general form and a discussion of their characteristics in general curvilinear coordinates in three dimensions. After defining the main operators, we show the reduction for the helical case and to the case of orthogonal curvilinear coordinates in two variables. At the end we use some mathematical theorems about the reduced equations to find the definitive system.

´INDICE

i

´Indice 1. Resumen

1

2. Introducci´ on

1

3. Objetivos

5

4. Ecuaciones B´ asicas

6

5. Potenciales de Euler

15

6. Ecuaciones de la (MHD) para los potenciales de Euler

21

6.1. Configuraci´on en tres dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

6.2. Campo Magn´etico de la Forma h = gradψ × eγ . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

6.3. Operadores B´asicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

6.4. Fuerza de Lorentz de la forma J × h = gradΠ . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

7. Reducci´ on de las ecuaciones (MHD) sin una coordenada

31

7.1. Coordenadas Curvil´ıneas arbitrarias ignorando γ en gij . . . . . . . . . . . .

31

7.2. Coordenadas Curvil´ıneas Ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

7.2.1. Representaciones B´asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

7.2.2. Fuerza de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

7.2.3. Ecuaciones Fundamentales de la (MHD) . . . . . . . . . . . . . . . .

45

8. Algunas Integrales Exactas

47

8.1. Simetr´ıa Traslacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

8.2. Fluido Espiralado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

8.3. Fluidos en dos Dimensiones con un Punto de Estancamiento . . . . . . . . .

51

´INDICE

ii

9. Conclusiones

54

10.Bibliograf´ıa

55

1.

Resumen En el contexto de la teor´ıa de la magnetohidrodin´amica MHD, y a partir del sistema de

ecuaciones diferenciales parciales no lineales que la describen: Ecuaciones de Navier-Stokes de la din´amica de fluidos, las ecuaciones de Maxwell del electromagnetismo, la ley de Ohm para la corriente y la ecuaci´on que modela la fuerza de Lorentz, hacemos una reducci´on a un sistema m´as simple de ecuaciones compactas sujeta a condiciones espec´ıficas, que facilitan tanto el an´alisis de la MHD como su soluci´on. Despu´es de introducir un conjunto de variables auxiliares y aplicar el operador rotacional con sus propiedades, usamos los potenciales de Euler-Monge de los campos de velocidad y magn´etico e incorporamos al sistema las ecuaciones que modelan las caracter´ısticas espec´ıficas del fluido como la incompresibilidad, la viscosidad y la resistividad, el efecto Hall y los t´erminos termoel´ectricos. Presentamos las ecuaciones reducidas en general y una discusi´on de sus caracter´ısticas en coordenadas curvil´ıneas generales en tres dimensiones. Despu´es de definir los operadores principales se presenta la reducci´on para el caso helicoidal y el caso de coordenadas curvil´ıneas ortogonales, en dos variables. Al final utilizamos los teoremas matem´aticos sobre las ecuaciones reducidas para encontrar el sistema definitivo.

2.

Introducci´ on Magnetohidrodin´amica MHD es el campo de la ciencia f´ısica que estudia la din´amica de

fluidos provistos de carga el´ectrica en presencia de campos magn´eticos. El campo magn´etico puede tener su origen en corrientes el´ectricas externas al fluido, en cuyo caso se habla de campo aplicado, o puede ser inducido por el propio flujo. Este estudio fue iniciado por Hannes Alfv´en en 1942, cuyo trabajo le mereci´o el premio N´obel en 1970. Ejemplos de tales l´ıquidos

´ 2 INTRODUCCION

2

incluyen plasmas, metales l´ıquidos y el agua salada. La palabra magnetohidrodin´amica MHD se deriva de magneto que significa campo magn´etico, hidro que significa l´ıquido, y din´amica que significa movimiento. La forma m´as simple de MHD es el MHD ideal. En ´el se asume que el fluido se trata como un fluido homog´eneo, es un fluido conductor perfecto, por lo que posee una conductividad el´ectrica infinita y tiene una viscosidad nula. El MHD ideal se estudia dentro de los plasmas calientes, tales como los plasmas en astrof´ısica y los termonucleares de origen natural. Otra clase de fluidos MHD son los resistivos, fluidos ionizados d´ebilmente magnetizados con una resistencia el´ectrica no nula. Esta difusi´on conduce a una ruptura dentro de la topolog´ıa magn´etica, es decir, no hay reconexi´on de las l´ıneas de campo magn´etico. Dentro de un fluido considerado como conductor no perfecto, el campo magn´etico puede desplazarse a trav´es del fluido siguiendo una ley de difusi´on magn´etica donde la constante de difusi´on es la resistividad del fluido. Ello implica que las soluciones de las ecuaciones de la MHD ideal son aplicables solo por una duraci´on y una regi´on limitadas, pues m´as all´a de los l´ımites, la difusi´on se hace demasiado grande. Por ejemplo, en el Sol, se estima que el tiempo de difusi´on a trav´es de una regi´on activa (resistividad colisional) es cientos o miles de a˜ nos, tiene una duraci´on mucho m´as larga que la vida de una mancha solar, ah´ı se desprecia la resistividad (caso de la MHD ideal). Los plasmas pueden crearse artificialmente aplicando un campo el´ectrico a un gas a baja presi´on, como en los tubos fluorescentes o de ne´on. Tambi´en puede crearse un plasma artificial calentando un gas neutro hasta temperaturas muy altas. En general, las temperaturas son demasiado altas para aplicarlas externamente, por lo que se calienta el gas internamente inyectando en ´el iones o electrones de alta velocidad que pueden colisionar con las part´ıculas de gas y aumentar su energ´ıa t´ermica. Los electrones del gas tambi´en pueden ser acelerados por campos el´ectricos externos. Los iones procedentes de estos plasmas se emplean en la

´ 2 INTRODUCCION

3

industria de semiconductores para grabar superficies y producir otras alteraciones en las propiedades de los materiales. En los plasmas muy calientes, las part´ıculas adquieren suficiente energ´ıa como para producir reacciones nucleares al colisionar entre s´ı. Estas reacciones de fusi´on son la fuente de calor en el n´ ucleo del Sol. Actualmente los cient´ıficos intentan crear en los laboratorios plasmas artificiales donde las reacciones de fusi´on puedan producir energ´ıa para generar electricidad. En un flujo MHD, en general, el campo de velocidad del fluido y el campo magn´etico se encuentran acoplados. Esto quiere decir que el movimiento del fluido afecta el campo magn´etico en donde fluye, mientras que el campo altera a su vez el movimiento original del fluido. El origen de este acoplamiento proviene del hecho de que el movimiento relativo de un fluido y un campo magn´etico da lugar a la aparici´on de corrientes el´ectricas en el medio. Por un lado, al interaccionar las corrientes con el campo magn´etico se originan las llamadas fuerzas de Lorentz, que alteran el movimiento del fluido. Por otro lado, las corrientes el´ectricas dentro del medio inducen campos magn´eticos que se superponen al campo original. Adicionalmente, el flujo de corrientes el´ectricas dentro del fluido genera una fuente de disipaci´on de energ´ıa, conocida como calentamiento Joule, que se presenta siempre que una corriente el´ectrica fluye en un circuito. De hecho, los campos electromagn´eticos alteran radicalmente los fen´omenos de transporte en fluidos conductores de electricidad, y es precisamente esta alteraci´on la que ha dado origen a una gran cantidad de aplicaciones tecnol´ogicas. En el campo de la investigaci´on es de particular inter´es el desarrollo de herramientas anal´ıticas, num´ericas y experimentales para el estudio tanto de la din´amica de flujos MHD como de la transferencia de calor que se lleva a cabo en los mismos. Aplicaciones particulares se tienen como: En Geof´ısica Se piensa que el n´ ucleo fluido de la Tierra y otros planetas es una dinamo MHD enorme que genera el campo magn´etico de la Tierra por el movimiento de la roca fundida.

´ 2 INTRODUCCION

4

Tales dinamos trabajan estirando las l´ıneas de campo magn´etico en un volumen particular que determina la fuerza del campo magn´etico, por lo que al estirar la l´ıneas de campo aumenta el campo magn´etico. En Astrof´ısica, el MHD se aplica muy bien, pues cerca del 99 % del contenido de la materia bari´onica est´a hecha de plasma, como las estrellas, el medio interplanetario (espacio entre los planetas), el medio interestelar (espacio entre las estrellas), n´ebulas y los chorros relativistas. Muchos de los sistemas astrof´ısicos no est´an en equilibrio t´ermico local, y por lo tanto, requieren un tratamiento cinem´atico adicional para describir todos los fen´omenos dentro del sistema. Las manchas solares las causan los campos magn´eticos solares, como teoriz´o Joseph Larmor en 1919. El viento solar se rige por la MHD. La rotaci´on solar diferenciada puede ser el efecto a lo largo del tiempo por el arrastre magn´etico en los polos del sol, un fen´omeno de la MHD debido a la forma de espiral de Parker que toma el campo magn´etico extenso del Sol. El campo magn´etico en la regi´on activa del Sol sobre una mancha solar puede someterse a muchas tensiones con el tiempo, almacenando energ´ıa que se libera de repente como un haz en movimiento, rayos X y radiaci´on cuando colapsa la capa de corriente principal, reconectando el campo. En Ingenier´ıa la MHD se relaciona con problemas tales como confinamiento de plasma, enfriamiento por metales l´ıquidos de los reactores nucleares, y el moldeado electromagn´etico, entre otros. La generaci´on de energ´ıa a trav´es de MHD alimentada por la combusti´on de gas de carb´on con a˜ nadidos pot´asicos mostr´o potencial para una conversi´on eficiente de energ´ıa por la ausencia de partes s´olidas en movimiento, lo cual permite la operaci´on a temperaturas m´as altas, pero fall´o debido a los altos costos t´ecnicos para resolver las dificultades.

En cuanto al modelo matem´atico, el sistema de las ecuaciones diferenciales parciales no lineales que describen la magnetohidrodin´amica, en general, son una combinaci´on de las ecuaciones de Navier-Stokes de din´amica de fluidos, las ecuaciones de Maxwell del electro-

3 OBJETIVOS

5

magnetismo y la ley de Ohm para la corriente y la ecuaci´on que modela la fuerza de Lorentz Para el caso de MHD ideal tambi´en se tiene la ecuaci´on de continuidad, las leyes de la cantidad de movimiento, el teorema de Ampere (en la ausencia de campo el´ectrico y de difusi´on de electrones) y las ecuaciones de la termodin´amica, en las cuales el flujo de calor se efect´ ua v´ıa condiciones adiab´aticas o isot´ermicas. Estas ecuaciones diferenciales tienen que ser resueltas simult´aneamente, bien anal´ıticamente o bien num´ericamente, dependiendo las condiciones del fluido y condiciones iniciales.

3.

Objetivos Basado el el art´ıculo ”The Reduce Equation of Dissipative Imcompressible Magneto-

hydrodynamics and Some of their Exact Integrals”de Fausto Gratton and Martin F. Heyn, 1986, el prop´osito de este trabajo es hacer el desarrollo matem´atico detallado de la reducci´on del sistemas de ecuaciones diferenciales que modelan el fen´omeno MHD. Es decir, .a partir del sistema de ecuaciones diferenciales parciales no lineales que modelan el fen´omeno de la MHD, obtener un sistema de ecuaciones compactas y adecuadas m´as simple que permitan el an´alisis de propiedades u ´tiles y faciliten la b´ usqueda de soluciones de estos sistemas, que involucren caracter´ısticas especificas del fluido como la resistividad, la viscosidad e incompresibilidad en la Magnetohidrodin´amica (MDH). Introduciendo los potenciales de Euler, el n´ umero de ecuaciones y de variables dependientes se reduce a un sistema de ecuaciones equivalente al sistema original de MHD. El formalismo es desarrollado en coordenadas curvil´ıneas en general para as´ı cubrir una amplia gama de geometr´ıas. Las ecuaciones reducidas son tratadas a partir de las configuraciones que muestran dependencia entre tres coordenadas, para los cuales se observan algunas caracter´ısticas generales.

´ 4 ECUACIONES BASICAS

6

Se tratan los sistemas en el caso particular de ignorar una variable, donde se presentan las ecuaciones para las tres simetr´ıas b´asicas: De traslaci´on, de rotaci´on y la helicoidal. Se describe la reducci´on de una manera ordenada, pasando de lo general a los casos particulares, es decir, con la introducci´on de las hip´otesis de simetr´ıa o suposiciones especiales de la separaci´on de las variables. Las ecuaciones reducidas a trav´es de los potenciales de Euler, facilitan otros estudios sistem´aticos de integrales exactas de la magnetohidrodin´amica. Aqu´ı se contribuye a la l´ınea de la investigaci´on anal´ıtica dando algunos ejemplos de las nuevas soluciones para los flujos de la magnetohidrodin´amica. Las integrales exactas se definen como un sistema de las funciones v, B, y P , que satisfacen las ecuaciones de la magnetohidrodin´amica id´enticamente. Las funciones dadas pertenecen a una familia de funciones elementales y funciones especiales de f´ısica matem´atica, incluyendo las definidas por las ecuaciones diferenciales no lineales ordinarias, estudiadas eventual por la integraci´on num´erica.”

4.

Ecuaciones B´ asicas El sistema de ecuaciones que modela el fen´omeno de la MHD esta compuesto, en primer

lugar, por las ecuaciones de Navier-Stokes, que reciben su nombre en honor a Claude-Louis Navier y George Gabriel Stokes. Se trata de un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones gobiernan la atm´osfera terrestre, las corrientes oce´anicas y el flujo alrededor de veh´ıculos o proyectiles y, en general, cualquier fen´omeno en todo tipo de fluidos. Se obtienen aplicando los principios de conservaci´on de la mec´anica y la termodin´amica a un volumen fluido, deduciendo as´ı la llamada formulaci´on integral de

´ 4 ECUACIONES BASICAS

7

las ecuaciones. Aplicando diferentes teoremas y manipulaci´on algebraica se encuentra la formulaci´on diferencial, que generalmente es m´as u ´til para la resoluci´on de los problemas que se plantean en la mec´anica de fluidos. No se dispone de una soluci´on general para este conjunto de ecuaciones, y salvo ciertos tipos de flujo y situaciones muy concretas no es posible hallar una soluci´on anal´ıtica, por lo que en muchas ocasiones hemos de recurrir al an´alisis num´erico para determinar una soluci´on. A la rama de la mec´anica de fluidos que se ocupa de la obtenci´on de estas soluciones mediante el ordenador se le denomina mec´anica de fluidos computacional (CFD, de su acr´onimo anglosaj´on Computational Fluid Dynamics). En segundo lugar est´an las ecuaciones de Maxwell que describen los fen´omenos electromagn´eticos. La gran contribuci´on de James Clerk Maxwell fue reunir en estas ecuaciones largos a˜ nos de resultados experimentales, debidos a Coulomb, Gauss, Ampere, Faraday y otros, introduciendo los conceptos de campo y corriente de desplazamiento, y unificando los campos el´ectricos y magn´eticos en un solo concepto. El campo electromagn´etico. De las ecuaciones de Maxwell se desprende la existencia de ondas electromagn´eticas propag´andose con velocidad vf : El valor num´erico de esta cantidad, que depende del medio material, coincide con el valor de la velocidad de la luz en dicho medio, con lo cual Maxwell identific´o la luz con una onda electromagn´etica, unificando la ´optica con el electromagnetismo. La formulaci´on moderna de las ecuaciones de Maxwell es debida a Oliver Heaviside y Josiah Willard Gibbs quienes en 1884 reformularon las ecuaciones originales de Maxwell en un sistema abreviado utilizando una notaci´on vectorial. La formulaci´on original de Maxwell data de 1865 y contiene 20 ecuaciones de 20 variables. En 1873 Maxwell intent´o una formulaci´on simplificada que finalmente no result´o popular. La formulaci´on vectorial resultaba especialmente atractiva porque remarcaba las simetr´ıas intr´ınsecas en las ecuaciones haciendo m´as f´acil su utilizaci´on e inspirando aplicaciones posteriores. Otra parte de las ecuaciones

´ 4 ECUACIONES BASICAS

8

la contempla la inclusi´on de la fuerza de Lorentz, producida por las partııculas cargadas que se mueven a trav´es de una regi´on en la que coexiste un campo el´ectrico y un campo magn´etico. Esta fuerza esta dada por la expresi´on F = qE + qv × B. Para nuestro caso particular asumimos un fluido ideal el cual no tiene fricci´on (incompresibilidad, densidad uniforme, y adem´as la viscosidad y la resistividad son isotr´opicas en el proceso de transporte del fluido, las ecuaciones de la Magnetohidrodin´amica, (MHD), son: div v = 0 −grad P =

(4.1)

∂v 1 + ω × v − j × B + ν rotω ∂t cρ

(4.2)

1 1 mi mi j =E+ v×B− j × B + grad( pe ) σ c ρqc ρq

(4.3)

4π j = rot B c

(4.4)

1 ∂B = rot E c ∂t

(4.5)

div B = 0.

(4.6)

−

Aqu´ı rot v = ω,

P =

p 1 2 + |v| + V ρ 2

(4.7)

P esta expresado en t´erminos de la energ´ıa debida a la velocidad del fluido, potencial de presi´on o energ´ıa que el fluido contiene debido a la presi´on que posee y la energ´ıa potencial gravitatoria por unidad de masa.

´ 4 ECUACIONES BASICAS

9

Las otras variables son: v

Velocidad del fluido

B

Campo magn´etico

E

Campo el´ectrico

j

Densidad de la corriente el´ectrica

p

Presi´on del fluido

pe

Presi´on electr´onica del fluido.

c

Velocidad de la luz en el vac´ıo.

ρ

Densidad de masa

ν

Viscosidad cin´etica

mi , q

Masa i´onica y carga del plasma

σ

Conductividad electr´onica.

V

Potencial gravitacional.

Usamos el sistema de unidades de medida CGS, que simplifican las f´ormulas del electromagnetismo y las unidades el´ectricas ues. Las restricciones para el anterior conjunto de ecuaciones son: La densidad del plasma es uniforme, ρ, ν, y σ las asumimos como constantes. La ecuaci´on (4.3) incluye el efecto Hall, que ocurre cuando un flujo transmite una corriente el´ectrica y se halla situada en un campo magn´etico perpendicular a la direcci´on de la corriente, entonces se desarrolla por encima de la placa un campo el´ectrico transversal, es decir, perpendicular al sentido de la corriente. Este campo, denominado campo de Hall, es el resultante de fuerzas ejercidas por el campo magn´etico sobre las part´ıculas de la corriente el´ectrica, sean positivas o negativas, o positivas en un sentido y negativas en el otro. Para el desarrollo matem´atico se usa el potencial electrodin´amico A con las siguientes condiciones: B = rot A ,

(4.8)

donde A es el potencial electrodin´amico vectorial libre de fuentes, es decir div A = 0.

(4.9)

´ 4 ECUACIONES BASICAS

10

Sustituyendo B en la ecuaci´on(4.5),por la Ley de Amper, se deduce la siguiente expresi´on rot(E +

∂ A) = 0, ∂t

lo que significa que existe un campo escalar φe tal que E=−

1∂ A − grad Φe . c ∂t

(4.10)

Para facilitar los c´alculos, introduciendo las siguientes campos auxiliares espacio-temporales en las variables (x, y, z, t), y considerando la constantes que multiplican cada uno de los campos originales, como adimensionales. 1 B, h= √ 4πρ

cE = √ , 4πρ

A a= √ , 4πρ

c Φe φc = √ , 4πρ

r J=

4π j, ρc2

(4.11)

que nos permiten deducir las siguientes identidades 1 j×B =J ×h cρ ∂a − grad φe ∂t √ mi mi 4πρ j×B = J ×h= J ×h ρqc q ck √ 1 4πρ v×B = v×h c c =−

E + grad(

mi pe 1 ∂A mi pe )=− − grad Φe + grad( ) qρ c ∂t qρ =−

1p ∂a 1 p mi pe 4πρ − 4πρ grad φe + grad( ) c ∂t c q ρ

=−

h ∂a pe i 1p mi c √ grad( ) 4πρ − grad φe − ρ c ∂t q 4πρ

(4.12) (4.13) (4.14)

(4.15)

´ 4 ECUACIONES BASICAS

E + grad(

11

h ∂a mi pe 1p 1 pe i )=− 4πρ − grad φe − grad( ) qρ c ∂t k ρ =−

h ∂a 1p pe i 4πρ − grad(φe − ) c ∂t kρ

h ∂a  1p 4πρ − grad Q =− c ∂t

(4.16)

1 1 c j= √ rot B σ σ 4π =

1 c p √ 4πρ rot h σ 4π

(4.17)

La identidad (4.12), aparece en la ecuaci´on (4.2), la identidad (4.13) sustituye la ecuaci´on (4.10), las identidades (4.14-4.17) corresponden a los t´erminos de la ecuaci´on (4.3). Cabe anotar que (4.17) representa la difusividad del campo magn´etico. Se define: 1 c mi = √ k q 4π ρ νm =

c2 Difusividad del campo magn´etico 4πσ

Q = φe −

pe , kρ

(4.18)

(4.19) (4.20)

se sustituyen estas expresiones en (4.2) y (4.3), se obtiene: −grad P =

∂v + ω × v + ν rot ω − J × h ∂t

(4.21)

−grad Q =

∂a 1 + h × v + νm rot h − J × h. ∂t k

(4.22)

Se sabe que v y ω son campos solenoidales, es decir div v = 0 y div ω = 0, usando la propiedad rot (ω × v) = (v · grad)ω − v(grad · ω) − (ω · grad)v + ω(grad · v)

´ 4 ECUACIONES BASICAS

12

se cumple que rot ω × v = (v · grad)ω − (ω · grad)v = {v, ω}

(4.23)

llamado el conmutador de v y ω. Teorema 1 La componente i − esima contravariante del conmutador en alg´ un sistema de coordenadas curvil´ıneas provisto de las componentes contravariantes v i , ω j es i

{v, ω} =

3 X j=1

∂ω i vj j ∂x

−

3 X

ωj

j=1

∂v i ∂xj

(4.24)

Demostraci´ on: Sea ω = (ω 1 , ω 2 , ω 3 ),

v = (v 1 , v 2 , v 3 ),

∇=(

∂ ∂ ∂ , , ) ≡ grad, 1 2 ∂x ∂x ∂x3

y rotω × v = (v · ∇)ω − v(∇ω) − (ω · ∇)v + ω(∇ · v). Entonces (v.∇)ω = (v 1

1 2 2 3 3 3 ∂ω 1 ∂ω2 2 ∂ω 3 ∂ω1 2 ∂ω 3 ∂ω 1 ∂ω 2 ∂ω 3 ∂ω + v + v , v + v + v , v + v + v ), 1 ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂x1 ∂x2 ∂x3

de donde la componente i − esima contravariante de este vector es i

{(v · ∇)ω} =

3 X j=1

vj

∂ω i . ∂xj

De igual forma se obtiene {(−ω.∇)v}i , lo que demuestra el teorema. Definici´ on 1 : Al conmutador {v, ω} se le llama la derivada de Lie del vector ω a lo largo del vector v y lo notamos Lv (ω)

´ 4 ECUACIONES BASICAS

13

(Ver SHUTZ,1980) Si aplicamos el operador rotacional a (4.21), (rot Z = ∇ × Z),y teniendo en cuenta que rot gra Z ≡ 0,esta ecuaci´on se transforma en 0 = rot(

∂v ) + rotω × v + ν rot rotω − rot(J × h). ∂t

Como ω = rotv, conmutamos el operador derivada parcial con el operador rot, para obtener 0=

∂ω + rotω × v + ν rot rotω − {J, h}. ∂t

Trabajando de forma an´aloga sobre la ecuaci´on (4.23), se obtienen las siguientes ecuaciones: ∂ω + {v, ω} + ν rot rot ω = {h, J} ∂t ∂h 1 + {v, h} + νm rot rot h = − {h, J}. ∂t k

(4.25) (4.26)

Los dos primeros t´erminos de estas ecuaciones caracterizan la convecci´on del fluido en el tiempo(Ver TRUESDELL y TOUPIN, 1960). Definici´ on 2 : Definimos un nuevo operador

D como Dt

Dω ∂ω = + {v, ω} Dt ∂t denominado la derivada de Lie en un espacio Ecuclideo-temporal, en las variables (X, t). Cuando despreciamos los t´erminos disipativos e ignoramos los t´erminos del efecto Hall, es decir: 1 → 0, k dado que 1 √ mi = νm , k q

´ 4 ECUACIONES BASICAS

14

entonces νm → 0. Usando la equivalencia para h contemplada en (4.11) y (4.26) se cumple que DB = 0, Dt que es el caso de la conservaci´on del flujo (MHD) ideal. Por otro lado si se conservan el efecto Hall, pero ν = νm = 0, se suman las ecuaciones (4.25) y (4.26), para obtener   ∂h ∂ω + {v, ω} + k + {v, h} = 0 ∂t ∂t ∂ (ω + kh) + {v, ω + kh} = 0 ∂t D (ω + Ω) = 0 Dt

(4.27)

qB . Esta f´ormula expresa la invariancia del flujo de ω + Ω en (MHD) mi c incluyendo el efecto Hall (TURNER, 1986). donde Ω = kh =

El conmutador {h, J} es el rotacional de la fuerza de Lorentz y determina la variaci´on del flujo de ω y Ω adicionando los efectos de difusi´on. Existen casos especiales en los que la fuerza de Lorentz se origina de un potencial Π, es decir J × h = grad Π,

en tal caso {h, J} = 0.

(4.28)

Es decir que para dicha configuraci´on del campo magn´etico, si ellos son compatibles con el flujo de plasma, el conmutador {h, J} es cero, y se tienen propiedades similares al equilibrio est´atico (MHD). Por lo tanto la ecuaci´on (4.25) se desacopla de la ecuaci´on (4.26) y se puede hallar el campo de la velocidad separadamente, para luego calcular h.

5 POTENCIALES DE EULER

15

En efecto, todas las soluciones conocidas para fluidos viscosos ordinarios, aplican aqu´ı. Sin embargo, para obtener una soluci´on valida (MHD) a trav´es de este conjunto de ecuaciones, debemos hallar las soluciones del sistema simultaneo (4.25) y (4.28) para el campo magn´etico.

5.

Potenciales de Euler

Teorema 2 Si ξ y ζ son campos escalares diferenciables con continuidad en un conjunto abierto S de E3 , existe una campo vectorial F tal que: rot F = grad ξ × grad ζ en todo E3 . Demostraci´on Apostol Tom, Vol. II, pagina 552. Tomando el teorema 2, se encuentra que dos posibles soluciones para F son: F = ξ grad ζ

F = −ζ grad ξ,

(5.1)

adem´as, como v es un campo solenoidal, sus l´ıneas de campo las podemos representar como la interseccin de dos superficies ξ = const y ζ = const. tal que v = grad ξ × grad ζ.

(5.2)

ξ y ζ son llamados P otenciales de Euler. Las superficies equipotenciales deben satisfacer las ecuaciones diferenciales parciales v.grad ξ = 0

v.grad ζ = 0,

es decir que estas superficies deben ser ortogonales a v. Ahora, si se aplica el teorema de Stokes, Apostol Tom y se usan los teorema 3, 4, y (5.1),

5 POTENCIALES DE EULER

16

se encuentra que el flujo de v a trav´es de una superficie abierta S acotada por un contorno cerrado C, est´a dado por Z Z Z v ds = grad ξ × grad ζ ds = rot F ds S

S

S

Z

Z

=

Z ξgrad ζ dα = −

F dα =

ζ grad ξ dα.

(5.3)

C

Dos casos particulares son. i) ζ = z ii.) ζ = θ

ξ(x, y), en coordenadas cartesianas. ξ(r, z) en coordenadas cil´ındricas.

Que nos da la representaci´on com´ un de la corriente para movimientos sim´etricos sobre planos, y para los flujos sim´etricos axiales, respectivamente. Para el primer caso (i), se tiene en coordenadas cartesianas que: vx =

∂ξ ∂y

vy = −

∂ξ ∂x

vz = 0,

entonces es el flujo de v a trav´es de la superficie determinada por alg´ un segmento de recta que une los puntos A = (x1 , y1 ) y B = (x2 , y2 ) y un segmento vertical de altura z es Z Z Z B vds = − ζ grad ξ dα = −z grad ξ dα = {(ξ(x2 , y2 ) − ξ(x1 , y1 ))}z. s

A

El segundo caso, usando las componentes contravariantes de v en coordenadas cil´ındricas se cumple que ∂ξ = rv r ∂z

rv z = −

∂ξ ∂r

v θ = 0,

y por lo tanto, Z

Z vds =

s

ξgradζdα = 2πξ(r, z), C

5 POTENCIALES DE EULER

17

es el flujo de v a trave´s del disco de radio r situado en el plano z = const. Teniendo en cuenta que ω es un campo solenoidal, introducimos otro par de potenciales de Euler, Σ y Θ que satisfacen ω = grad Σ × grad Θ,

(5.4)

y sabiendo que ω = rot v, se cumple en general que, v = grad Φ + Σ grad Θ,

(5.5)

donde Φ es un campo escalar arbitrario. Al conjunto de funciones Φ, Σ, Θ se le llama los potenciales de Monge para el campo vectorial v, o variables de CLEBSEH (LAMB,1957; ROBERTS, 1967) Como v es solenoidal, de (5.5), se obtiene div v = div grad Φ + div(Σ grad Θ), 0 = ∇2 Φ + grad Σ.grad Θ + Σ div grad Θ,

(5.6)

es decir que Φ debe satisfacer ∇2 Φ = −grad Σ.grad Θ − Σ ∇2 Θ.

(5.7)

Es de anotar que la representaci´on en Potenciales de Euler no es u ´nica, la selecci´on de estos puede ser guiada por conveniencia o por el requerimiento de un problema particular. A la representaci´on de la ecuaci´on (5.2) podemos adicionar otro campo , con divergencia cero, de la siguiente forma: Sea (α, β, γ) escrito en un sistema de coordenadas curvil´ıneas, con x1 = α,

x2 = β,

x3 = γ,

5 POTENCIALES DE EULER

18

y, ei =

∂X ∂xi

ei = grad xi ,

bases covariante y contravariante respectivamente, X el vector posici´on, con la m´etrica |dX|2 = gij dxi dxj ,

g = Det(gij ),

wei En estos t´erminos √ es un campo vectorial solenoidal, con el campo de l´ıneas alineadas g i con la coordenada e , tal que la funci´on w(xk ) no depende de xi . As´ı, podemos escribir en lugar de la ecuaci´on (5.2), la ecuaci´on 1 v = gradξ × gradζ + √ weγ , g

(5.8)

con w = w(α, β), para un campo vectorial con divv = 0. En forma similar a (5.4), introducimos los potenciales de Euler ψ y χ para h, h = grad ψ × grad χ.

(5.9)

a = grad κ + ψgrad χ,

(5.10)

Se deduce la f´ormula

en t´erminos de los potenciales de Monge para a. Usando estos potenciales las ecuaciones (4.21 - 4.22) y (4.25 - 4.26) se pueden expresar en forma sim´etrica m´as simple.

5 POTENCIALES DE EULER

19

Primero se hacen las siguientes deducciones: ω × v = (grad Σ × grad Θ) × v ω × v = (v.grad Σ)grad Θ − grad Σ (v.grad Θ) ∂ ∂v = {grad Φ + Σ grad Θ} ∂t ∂t ∂v ∂Φ ∂Σ ∂Θ = grad( ) + grad Θ + Σ grad( ) ∂t ∂t ∂t ∂t =

∂Σ ∂Φ ∂Θ ∂Θ grad Θ + grad{ +Σ }− grad Σ ∂t ∂t ∂t ∂t

(5.11)

∂Σ ∂v +ω×v = grad Θ + (v.grad Σ)grad Θ − grad Σ(v.grad Θ) ∂t ∂t + grad{

∂Φ ∂Θ ∂Θ +Σ }− grad Σ ∂t ∂t ∂t

∂v ∂Σ ∂Θ +ω×v ={ + v.gradΣ}grad Θ − { + v.grad Θ}grad Σ ∂t ∂t ∂t + grad{

∂Φ ∂Θ +Σ } ∂t ∂t

(5.12)

Si se define el operador derivada total como d ∂ = + v.grad, dt ∂t se cumple la identidad: ∂v dΣ dΘ ∂Φ ∂Θ +ω×v = grad Θ − grad Σ + grad{ +Σ }. ∂t dt dt ∂t ∂t

(5.13)

5 POTENCIALES DE EULER

20

De otro lado, se tienen que: ω = grad Σ × gradΘ

(5.14)

∂ω ∂Σ ∂Θ = grad( ) × gradΘ − grad( ) × gradΣ ∂t ∂t ∂t

(5.15)

{v, ω} = rot (ω × v) = rot ((gradΣ × gradΘ) × v) = rot ((gradΣ · v)gradΘ) − rot ((gradΘ · v)gradΣ) {v, ω} = grad (v · gradΣ) × gradΘ − grad(v · gradΘ) × gradΣ

(5.16)

∂ω ∂Σ + {v, ω} = {grad(v · gradΣ) + grad( )} × gradΘ ∂t ∂t − {grad(v · gradΘ) + grad( = grad{v · gradΣ +

∂Θ )} × gradΣ ∂t

∂Σ ∂Θ } × gradΘ − grad{v · gradΘ + } × gradΣ ∂t ∂t

∂ω dΣ dΘ + {v, ω} = grad × gradΘ − grad × gradΣ ∂t dt dt

(5.17)

Para simplificar el otro t´ermino de la ecuaci´on (4.25), se procede as´ı: v = grad ξ × grad ζ ω = rotv ω = rot(grad ξ × grad ζ)

ω = (grad ζ∇)grad ξ − gradζ(∇.gradξ) − (grad ξ.∇)grad ζ + grad ξ(∇.grad ζ) ω = ∇2 ζ grad ξ − ∇2 ξ grad ζ + P(ζ, ξ)

(5.18)

6 ECUACIONES DE LA (MHD) PARA LOS POTENCIALES DE EULER

21

con P(ζ, ξ) = (grad ζ∇)grad ξ − (grad ξ.∇)grad ζ, aplicando el operador rotacional a (5.14) una y dos veces rotω = ∇2 ΘgradΣ − ∇2 ΣgradΘ + {gradΘ, gradΣ} rot(rotω) = rot(∇2 ΘgradΣ) − rot(∇2 ΣgradΘ) − rot{gradΘ, gradΣ} = grad(∇2 Θ) × gradΣ − grad(∇2 Σ) × gradΘ + rot{gradΘ, gradΣ}

6.

(5.19)

Ecuaciones de la (MHD) para los potenciales de Euler

6.1.

Configuraci´ on en tres dimensiones

Usando la identidad J × h = J × (gradψ × gradχ) J × h = (J · gradχ)gradψ − (J · gradψ)gradχ

(6.1)

se encuentra que rot((J · gradχ)gradψ) = grad(J · gradχ) × gradψ rot((J · gradψ)gradχ) = grad(J · gradψ) × gradχ

{h, J} = rot(J × h) = grad(J · gradχ) × gradψ − grad(J · gradψ) × gradχ

(6.2)

6 ECUACIONES DE LA (MHD) PARA LOS POTENCIALES DE EULER

22

en total se obtiene dΣ dΘ ∂ω + {v, ω} + νrot rot ω = grad × gradΘ − grad × gradΣ ∂t dt dt + ν{grad∇2 Θ × gradΣ − grad∇2 Σ × gradΘ + rot P(Θ, Σ) = grad{

dΣ dΘ − ν∇2 Σ} × gradΘ − grad{ − ν∇2 Θ} × gradΣ dt dt

+ νrot P(Θ, Σ) ∂ω + {v, ω} + νrot rot ω = grad(J · gradχ) × gradψ − grad(J · gradψ) × gradχ. ∂t

(6.3)

Si se define L(Σ) =

dΣ − ν∇2 Σ, dt

(6.4)

la ecuaci´on (4.25) se transforma en gradL(Σ) × gradΘ − gradL(Θ) × gradΣ + νrotP(Θ, Σ) = grad(J · gradχ) × gradψ − grad(J · gradψ) × gradχ. Se procede de forma an´aloga, para la ecuaci´on (4.26) ∂h 1 + {v, h} + νm rot rot h = − {h, J}. ∂t k

(6.5)

6 ECUACIONES DE LA (MHD) PARA LOS POTENCIALES DE EULER

23

Obtenemos h = gradψ × gradχ ∂h = grad ∂t



∂ψ ∂t



 × gradχ − grad

∂χ ∂t

 × gradψ

{v, h} = grad(v · gradψ) × gradχ − grad(v · gradχ) × gradψ roth = rot(gradψ × gradχ) = ∇2 χgradψ − ∇2 ψgradχ + P(ψ, χ) rot rot h = grad∇2 × gradψ − grad∇2 ψ × gradχ + rot P(ψ, χ). Usando las anteriores identidades se cumple     ∂h ∂ψ ∂χ + {v, h} + νm rot rot h = grad × gradχ − grad × gradψ ∂t ∂t ∂t + grad(v · gradψ) × gradχ − grad(v · gradχ) × gradψ

(6.6)

+ νm {grad(∇2 χ) × gradψ − grad(∇2 ψ) × gradχ + rotP(ψ, χ). Haciendo 1 H(ψ) = Lm (ψ) − gradψ k

Lm (ψ) =

dψ − νm ∇2 ψ, dt

(6.7)

y usando (6.2) y (4.26), se deduce gradH(ψ) × gradχ − gradH(χ) × gradψ + νm rot{gradχ, gradψ} = 0.

(6.8)

6 ECUACIONES DE LA (MHD) PARA LOS POTENCIALES DE EULER

24

Ahora expresando J en funci´on de los potenciales de Monge Σ, Θ, ψ y χ,se obtiene J = rot(gradψ × gradχ) J = grad(χ · ∇)gradψ − gradχ∇gradψ − (gradψ · ∇)gradχ + gradψ · ∇gradχ = gradψ · ∇2 gradχ − gradχ∇2 ψ + (gradχ · ∇)gradψ − (gradψ · ∇)gradχ J = gradψ · ∇2 gradχ − gradχ∇2 ψ + {gradχ, gradψ}

6.2.

(6.9)

Campo Magn´ etico de la Forma h = gradψ × eγ

La estructura de esta representaci´on de la (MHD) permite fac´ılmente la proyecci´on sobre las superficies equipotenciales de Euler y sus normales, excepto quiz´as, para t´erminos de dific´ıl manejo, como los que contienen rot P(χ, ψ). Si Θ y χ son seleccionados de tal forma que que sean lineales en xi , estos t´erminos son cero. Para estudiar este caso, tomamos χ = γ en un sistema general de coordenadas curvil´ıneas (α, β, γ) tal que ninguna de ellas en principio, es ignorada en los campos v y h. Si tambi´en asumimos que h es de la forma h = gradψ × eγ , usando la definici´on de Jacobiano de las funciones s, t, u en las variables x, y, z grad s · (grad t × grad u) =

∂(s, t, u) ∂(x, y, z)

se proyecta la ecuaci´on (6.8) sobre eγ (gradH(ψ) × graχ) · eγ − (gradH(χ) × gradψ) · eγ = 0

(6.10)

Implica gradH(χ) × graψ) · eγ = 0 [H(γ, ψ] = 0

(6.11)

6 ECUACIONES DE LA (MHD) PARA LOS POTENCIALES DE EULER

25

de la misma forma se proyecta la misma ecuaci´on (6.8) sobre gradψ (gradH(ψ) × gradχ) · gradψ = 0 (gradH(ψ) × graψ) · eγ = 0 [H(ψ, ψ)] = 0

(6.12)

donde [f, g] =

∂( f, g) ∂(α, β)

(6.13)

expresi´on de las ecuaciones (6.11) y (6.12) es la notaci´on simplificada del Jacobiano de las funciones f y g con respecto a las variables α y β es decir

J(f, g) =

∂f ∂α

∂f ∂β

∂g ∂α

∂g . ∂β

Si H(ψ) = F1 (ψ, γ),

H(γ) = F2 (ψ, γ)

(6.14)

donde F1 , F2 son funciones arbitrarias. La primera ecuaci´on determina el tiempo de evoluci´on del flujo magn´etico para el campo de la forma h = gradψ × eγ , con ψ dependiendo de todas las coordenadas (α, β, γ). La segunda, por (6.7), nos da H(γ) = =

dγ J − νm ∇2 γ − · grad γ dt k dγ Jγ − νm div eγ − dt k

(6.15)

con 1 ∂ √ γk ( gg ) ∇2 γ = div eγ = √ g ∂xk

(6.16)

6 ECUACIONES DE LA (MHD) PARA LOS POTENCIALES DE EULER

26

que establece una relaci´on entre v γ y ψ. Finalmente, tomando el producto vectorial de la ecuaci´on (6.8) con eγ , se encuentra que (gradH(ψ) × gradχ) × eγ − (gradH(γ) × grad ψ) × eγ = 0 (gradH(ψ) · eγ )eγ − (eγ · eγ )gradH(ψ) − (gradH(γ) · eγ )gradψ + (gradψ · eγ )gradH(γ) = 0 ∂H(ψ) γ ∂H(γ) ∂ψ e − gradH(ψ) = gradψ − gradH(γ) ∂γ ∂γ ∂γ

(6.17)

Si se toma γ constante en F1 (ψ) entonces ∂F1 (ψ) = 0, ∂γ

∂ψ = 0, ∂γ

en este caso, la ecuaci´on (6.17) se reduce a −gradF1 =

∂F2 gradψ ∂γ

equivalente a  ∂F ∂ψ ∂F ∂ψ  ∂F 1 1 2 − , = gradψ ∂ψ ∂α ∂ψ ∂β ∂γ −

∂F1  ∂ψ ∂ψ  ∂F2 , = gradψ ∂ψ ∂α ∂β ∂γ −

∂F1 ∂F2 gradα,β ψ = gradψ, ∂ψ ∂γ

ecuaci´on que conduce a "

∂F1 ∂ψ



 + γ

∂F2 ∂γ

 # grad(α,β) ψ = 0, ψ

es decir, se cumple 

∂F1 ∂ψ



 =− γ

∂F2 ∂γ

 (6.18) ψ

6 ECUACIONES DE LA (MHD) PARA LOS POTENCIALES DE EULER

donde (

27

∂F1 )γ indica la derivada de F1 con respecto a ψ, haciendo γ constante. ∂ψ

Si F1 y F2 son funciones de ψ u ´nicamente, entonces F1 es constante.

6.3.

Operadores B´ asicos

Para escribir la ecuaci´on (6.14) en forma expl´ıcita, con h = (hα , hβ , hγ ), y   ∂hγ ∂hβ ∂hα ∂hγ ∂hβ ∂hα roth = − , − , − , ∂β ∂γ ∂γ ∂α ∂α ∂β se definen los siguientes operadores: S(ψ) = J · gradψ = roth · gradψ 

  ∂ψ ∂hβ ∂hα ∂ψ = + − ∂β ∂α ∂β ∂γ   ∂hγ ∂ψ ∂hβ ∂ψ ∂hα ∂ψ ∂hγ ∂ψ ∂hβ ∂hα ∂ψ = − + − + − ∂β ∂α ∂γ ∂α ∂γ ∂β ∂α ∂β ∂α ∂β ∂γ   ∂hγ ∂ψ ∂hγ ∂ψ ∂hα ∂ψ ∂hβ ∂ψ ∂hβ ∂hα ∂ψ = − + − + − ∂β ∂α ∂α ∂β ∂γ ∂β ∂γ ∂α ∂α ∂β ∂γ   ∂hα ∂ψ ∂hβ ∂ψ ∂ψ γ 1 − + J S(ψ) = [ψ, hγ ] + √ g ∂γ ∂β ∂γ ∂α ∂γ ∂hγ ∂hβ − ∂β ∂γ



∂ψ + ∂α



∂hα ∂hγ − ∂γ ∂α



(6.19)

6 ECUACIONES DE LA (MHD) PARA LOS POTENCIALES DE EULER

28

donde [ψ, hγ ] esta definido en (6.13). J (ψ) = j γ = roth · eγ = ∇ × h · eγ = ∇ · (h × eγ ) = div((gradψ × eγ ) × eγ ) = div((gradψ · eγ )eγ ) − div(g γγ gradψ) = G(hγ ) −

1 2 D (ψ), gγγ

(6.20)

donde G(hγ ) = div(

i eγ × eγ 1 h ∂ gγβ ∂ gγα hγ ) = √ ( hγ ) − ( hγ ) gγγ g ∂α gγγ ∂β gγγ

(6.21)

1 2 1 D ψ = div(α,β) grad(α,β) ψ gγγ gγγ √ √ √ √ 1 h ∂ g αα g ∂ψ g αβ g ∂ψ ∂ g αβ g ∂ψ g ββ g ∂ψ i ( + )+ ( + ) , =√ g ∂α gγγ ∂α gγγ ∂β ∂β gγγ ∂α gγγ ∂β

(6.22)

expresi´on que se obtiene usando las componentes covariantes de h gγα ∂ψ gγβ ∂ψ −√ hγ = (eγ × eγ ).grad ψ = √ g ∂β g ∂α

(6.23)

hα,β = (eγ × eγ,β )grad ψ. Las expresiones div(α,β) y grad(α,β) indican la aplicaci´on de estos operadores omitiendo los t´erminos correspondientes al las componentes covariante y contravariante de γ respectivamente.

6 ECUACIONES DE LA (MHD) PARA LOS POTENCIALES DE EULER

6.4.

29

Fuerza de Lorentz de la forma J × h = gradΠ

Cuando h = gradψ × eγ , la ecuaci´on (6.1) se reduce a J × h = J × (gradψ × eγ ) = (J · eγ )gradψ − (J · gradψ)eγ = J (ψ)gradψ − S(ψ)eγ rot(J × h) = rot{(J · eγ )gradψ} − rot{(J · gradψ)eγ } = grad(J.eγ ) × gradψ + (J.eγ ) × rot(gradψ) -grad(J · gradφ) × eγ + (J · gradφ)roteγ = grad(J · eγ ) × gradφ − grad(J · gradψ) × eγ + (J · gradψ)roteγ = grad(J · eγ ) × gradψ − grad(J · gradψ) × eγ = gradJ (ψ) × gradψ − gradS(ψ) × eγ .

(6.24)

Si adem´as el campo magn´etico esta configurado de tal manera que la ecuaci´on (4.28) se cumpla, su rotacional sea cero, se proyecta la ecuaci´on (6.24) sobre eγ , para obtener

gradJ (ψ) × gradψ · eγ = gradS(ψ) × eγ · eγ
gradJ (ψ) × gradψ · eγ = 0,

6 ECUACIONES DE LA (MHD) PARA LOS POTENCIALES DE EULER

30

y proyectando sobre gradψ, la misma ecuaci´on (6.24)

gradJ (ψ) × gradψ · gradψ = gradS(ψ) × eγ · gardψ
gradS(ψ) × eγ · gardψ = 0  gradS(ψ) × gardψ · eγ , = 0 se obtiene as´ı las siguientes identidades [J (ψ), ψ] = 0

J (ψ) = f1 (ψ, γ),

[S(ψ), ψ] = 0

S(ψ) = f2 (ψ, γ).

(6.25)

Por otro lado, la igualdad que se obtienen al multiplicar la ecuaci´on (6.24), producto cruz, con eγ es

gradJ (ψ) × gradψ × eγ = gradS(ψ) × eγ × eγ



gradJ (ψ) · eγ gradψ − gradψ · eγ gradJ ψ = gradS(ψ) · eγ eγ − eγ · eγ gradS(ψ) ∂ψ ∂f2 (ψ) γ ∂f1 (ψ) gradψ − gradf1 (ψ) = e − gradf2 (ψ) ∂γ ∂γ ∂γ

tomando γ constante ∂f1 (ψ) gradαβ ψ = −gradf2 (ψ) ∂γ  ∂f ∂ψ ∂f ∂ψ  ∂f1 (ψ) 2 2 gradαβ ψ = − , ∂γ ∂ψ ∂α ∂ψ ∂β ∂f1 (ψ) ∂f2 gradαβ ψ = − gradαβ ψ ∂γ ∂ψ

´ DE LAS ECUACIONES (MHD) SIN UNA COORDENADA 7 REDUCCION

31

equivalente a "

∂f2 ∂ψ



 + γ

∂f1 ∂γ

 # gradα,β ψ = 0, ψ

luego se debe cumplir 

∂f2 ∂ψ



 =− γ

∂f1 ∂γ

 .

(6.26)

ψ

Si f1 y f2 son funciones de la variable ψ u ´nicamente, f2 es contante.

7.

Reducci´ on de las ecuaciones (MHD) sin una coordenada En est´a secci´on presentamos las ecuaciones generales del fluido (MHD) en coordenadas

curvil´ıneas (α, β, γ) cuando una de ellas es ignorada, por ejemplo γ. Consideremos primero un conjunto de coordenadas no ortogonales, el cual incluye el caso de coordenadas helicoidales con simetr´ıa tanto rotacional como traslacional.

7.1.

Coordenadas Curvil´ıneas arbitrarias ignorando γ en gij

Para obtener una representaci´on completa del campo de velocidades, a partir de la ecuaci´on (5.2) se toma ξ = ξ(α, β) y ζ = γ + m(α, β) como potenciales de Euler, donde m es una funci´on arbitraria de α y β u ´nicamente, por tanto:

´ DE LAS ECUACIONES (MHD) SIN UNA COORDENADA 7 REDUCCION

32

 ∂ξ ∂ξ gradξ = , ,0 ∂α ∂β   ∂m ∂m gradζ = , ,1 ∂α ∂β   ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂m ∂ξ ∂m gradξ × gradζ = ,− , − ∂β ∂α ∂α ∂β ∂β ∂α   ∂ξ ∂ξ 1 = , − , 0 + (0, 0, √ [ξ, m]) ∂β ∂α g 

v = gradξ × eγ + v γ eγ 1 v γ = √ [ξ, m] g

(7.1) (7.2)

Donde [ξ, m] es el Jacobiano definido en (6.13). Cabe anotar que estas funciones dependen del tiempo pero no lo escribimos expl´ıcitamente. Se obtiene de (7.1) una representaci´on de (5.8) donde ξ es la funci´on corriente para la componente de la velocidad del fluido contenido en la superficie γ = const., donde existe una componente de velocidad v γ a lo largo de la l´ınea de la coordenada γ En este punto se puede trabajar directamente con v γ dejando m de lado como cantidad secundaria. Se debe recalcar que solo hay tres selecciones para la l´ınea γ 1. L´ınea paralela al eje z, simetr´ıa traslacional. 2. C´ırculos sobre planos normales a z con centro sobre el eje z, simter´ıa rotacional. 3. H´elices con ecuaci´on aΘ − z = const., r = const. con longitud del paso 2πa, usando coordenadas cil´ındricas para el caso de simetr´ıa rotacional traslacional.

´ DE LAS ECUACIONES (MHD) SIN UNA COORDENADA 7 REDUCCION

33

Ahora, calculando ω = rot(vi ei ) y, usando la ecuaci´on (6.20), se obtiene ω = rot(v) 

 ∂vγ ∂vβ ∂vα ∂vγ = − , − , 0 + ω γ eγ ∂β ∂γ ∂γ ∂α   ∂vγ ∂vγ = ,− , 0 + ω γ eγ ∂β ∂α ω = gradvγ × eγ + G(vγ ) −

1 2
D ξ eγ gγγ

(7.3)

donde el operador G y D han sido definidos en las ecuaciones (6.21) y (6.22), adem´as de vγ = (gradξ × eγ ).eγ + vγ g γγ vγ = gγγ v γ − (eγ × eγ ).gradξ se obtiene, una relaci´on entre los potenciales de Euler de v y ω. De hecho, vγ =

(7.4) P (α, β) es

el potencial Σ, introducido en la ecuaci´on (5.4). Igualmente ω γ dado en la ecuaci´on (7.3), est´a relacionado con Θ, de la misma forma que v γ est´a relacionada con ζ, esto es ω γ = 1 √ [Σ, n], Θ = γ + n(α, β), con n una funci´on arbitraria. g Siguiendo la estructura de las ecuaciones (7.3) y (7.4), la relaci´on entre ω y rot ω esta dada por rot ω = grad ωγ × eγ + (G(wγ ) −

1 2 D vγ )eγ . gγγ

(7.5)

´ DE LAS ECUACIONES (MHD) SIN UNA COORDENADA 7 REDUCCION

34

Multiplicando (7.3) por eγ , producto punto, se encuentra que ωγ = (gradvγ × eγ ) · eγ + (G(ωγ ) −

1 2 D (ξ))eγ · eγ gγγ

= (eγ × eγ ) · gradvγ + gγγ G(vγ ) − D2 (ξ)      ∂ gγα gγγ ∂ gγβ =√ vγ − vγ − D2 (ξ) + (eγ × eγ ) · gradvγ g ∂α gγγ ∂β gγγ       gγγ ∂ gγβ gγβ ∂vγ ∂ gγα gγα ∂vγ =√ vγ + − vγ − g ∂α gγγ gγγ ∂α ∂β gγγ gγγ ∂β − D2 (ξ) + (eγ × eγ ).gradvγ        gγγ ∂ gγβ ∂ gγα 1 ∂vγ ∂vγ =√ − vγ − √ gγα − gγβ g ∂α gγγ ∂β gγγ g ∂β ∂α − D2 (ξ) + (eγ × eγ ).gradvγ ωγ = −D2 ξ + vγ Γ

(7.6)

En la deducci´on anterior se debe tener en cuenta que  
∂vγ ∂vγ 1 γ − gγβ . e × eγ · gradvγ = √ gγα g ∂β ∂α Tambi´en cabe anotar que la componente Γ definida en (7.7) es caracter´ıstica de las m´etricas no ortogonales,      ∂ gαγ gγγ ∂ gβγ − Γ= √ g ∂α gγγ ∂β gγγ

(7.7)

es decir, Γ = gγγ G(1). Iterando este procedimiento se obtiene rot rot ω = grad (rot ω)γ × eγ + (rot rot ω)γ eγ ,

(7.8)

´ DE LAS ECUACIONES (MHD) SIN UNA COORDENADA 7 REDUCCION

35

por tanto, se puede escribir (rot ω)γ = (grad ωγ × eγ ) .eγ + gγγ G(wγ ) − D2 vγ = (eγ × eγ )grad ωγ + gγγ G(ωγ ) − D2 vγ      gγγ ∂ gγβ ∂ gγα =√ ωγ − ωγ − D2 (vγ ) + (eγ × eγ )grad ωγ g ∂α gγγ ∂β gγγ          gγγ ∂ gγβ gγβ ∂ωγ ∂ gγα gγα ∂ωγ =√ ωγ + − ωγ − g ∂α gγγ gγγ ∂α ∂β gγγ gγγ ∂β − D2 vγ + (eγ × eγ )grad ωγ           ∂ gγα gγγ gγβ ∂ωγ gγα ∂ωγ gγγ ∂ gγβ =√ − ωγ + √ − g ∂α gγγ ∂β gγγ g gγγ ∂α gγγ ∂β − D2 vγ + (eγ × eγ )grad ωγ 

gγα = Γ(−D ξ + vγ Γ) − √ g 2



∂ωγ ∂β



gγβ −√ g



∂ωγ ∂α



− D2 vγ + (eγ × eγ )grad ωγ

(rot ω)γ = −D2 vγ + (vγ Γ − D2 ξ)Γ.

(7.9)

finalmente (rot rot ω)γ = G((rot ω)γ ) −

1 2 D ωγ gγγ


1 2 = G −D2 vγ + (vγ Γ − D2 ξ)Γ − D (−D2 ξ + vγ Γ) gγγ
1 2 2 Γ 2 (rot rot ω)γ = G −D2 vγ + (vγ Γ − D2 ξ)Γ + D D ξ− D vγ . gγγ gγγ

(7.10)

Para escribir las ecuaciones (4.25) y (4.26) se necesita la forma expl´ıcita de la derivada con respecto al tiempo del flujo convectivo, calculada en la ecuaci´on (5.17), que es

´ DE LAS ECUACIONES (MHD) SIN UNA COORDENADA 7 REDUCCION

Dω ∂ω dΣ dΘ = + {v, ω} = grad × grad Θ − grad × grad Σ, Dt ∂t dt dt

36

(7.11)

como vγ = Σ(α, β) Θ = γ + n(α, β)   dΣ ∂ ∂Σ ∂Σ grad = , ,0 dt ∂t ∂α ∂β   ∂n ∂n grad Θ = , ,1 ∂α ∂β   ∂ ∂n ∂n dΘ = , ,1 grad dt ∂t ∂α ∂β      dΣ d ∂Σ ∂Σ 1 dvγ grad × grad Θ = , , 0 + 0, 0, √ ,n dt dt ∂α ∂β g dt   dvγ 1 dvγ γ = grad ×e + √ , n eγ dt g dt  2    dΘ ∂ n ∂2n ∂Σ ∂Σ grad × grad Σ = , ,1 × , ,0 dt ∂t∂α ∂t∂β ∂α ∂β   1 dn , vγ eγ =√ g dt   ∂ω γ ∂ ∂vγ ∂n ∂vγ ∂n = − ∂t ∂t ∂α ∂β ∂β ∂α =

(7.13)

∂ 2 vγ ∂n ∂ 2 n ∂vγ ∂ 2 vγ ∂n ∂ 2 n ∂vγ + − − ∂t∂α ∂β ∂t∂β ∂α ∂t∂β ∂α ∂t∂α ∂β

∂ 2 vγ ∂n ∂ 2 vγ ∂n − + ∂t∂α ∂β ∂t∂β ∂α     dvγ dn = , n + vγ , − dt dt =

(7.12)

∂ 2 n ∂vγ ∂ 2 n ∂vγ − ∂t∂β ∂α ∂t∂α ∂β 1 √ [v γ , vγ ] , g

(7.14)

´ DE LAS ECUACIONES (MHD) SIN UNA COORDENADA 7 REDUCCION     Dω dvγ 1 dvγ 1 dn γ γ = grad ×e + √ , n eγ − √ v + , vγ eγ . Dt dt g dt g dt Usando la identidad [a, b][c, d] − [a, c][b, d] = [a, d][c, d],( note que [vγ , n] =

√1 ω γ ), g

37

(7.15) se halla

que dvγ Dω = grad × eγ + Dt dt



 dω γ 1 γ − √ [v , vγ ] eγ . dt g

(7.16)

Siguiendo las mismas reglas, las f´ormulas para el campo magn´etico son deducidas partiendo del vector potencial a = grad A × eγ + aγ eγ , donde A(α, β), es una funci´on arbitraria. As´ı se puede escribir   1 2 γ D A eγ h = grad ψ × e + G(ψ) − gγγ

(7.17)

(7.18)

donde ψ(α, β) = aγ = gγγ aγ − (eγ × eγ ).grad A.

(7.19)

Para la corriente el´ectrica se tiene  1 2 J = grad hγ × e + G(hγ ) − D ψ eγ , gγγ γ



(7.20)

con las relaciones hγ = −D2 A + ψΓ,

Jγ = −D2 ψ + hγ Γ.

(7.21)

 dhγ 1 γ − √ [ν , ψ] eγ . g dt

(7.22)

Igual que (7.11), se puede deducir Dh dψ = grad × eγ + Dt dt



´ DE LAS ECUACIONES (MHD) SIN UNA COORDENADA 7 REDUCCION Se da ahora una expresi´on para para el rotacional de la fuerza de Lorentz,   1 1 {h, J} = grad √ [hγ , ψ] × eγ + √ ([j γ , ψ] − [hγ , hγ ]) eγ . g g

38

(7.23)

As´ı las ecuaciones (MHD) pueden ser escritas en detalle, dado que todos los t´erminos que intervienen est´an divididos en una componente tendida sobre la superficie γ, y otra paralela a eγ . Se efectua el producto escalar con eγ y el producto vectorial con eγ en las ecuaciones (4.25), (4.26), y se hacen las siguientes reducciones.
dvγ dω γ 1 Dω = grad × eγ + − √ [v γ , vγ ] eγ Dt dt dt g
Γ 2 1 2 2 D D ξ− D vγ (rot rot (ω))γ = G − D2 vγ + (vγ − D2 ξ)Γ + gγγ gγγ  1   1  γ γ γ {h, J} = grad √ [hγ , ψ] × e + √ [j , ψ] − [h , hγ ] eγ g g

(7.24)

(7.25) (7.26)

Dω γ dω γ 1 ·e = − √ [v γ , vγ ] Dt dt g =

1 2  1 d G(vγ ) − D ξ − √ [v γ , vγ ] dt gγγ g

 1  {h, J} · eγ = √ [j γ , ψ] − [hγ , hγ ] , g

(7.27)

(7.28)

as´ı la ecuaci´on (4.25) se transforma en 
1 2 2 Γ 2  d 1 2  1 D D ξ− D vγ G(vγ ) − D ξ − √ [v γ , vγ ] + ν G − D2 vγ + (vγ Γ − D2 ξ)Γ + g gγγ gγγ dt gγγ  1  = √ [j γ , ψ] − [hγ , hγ ] . g

(7.29)

´ DE LAS ECUACIONES (MHD) SIN UNA COORDENADA 7 REDUCCION

39

Para el producto externo o cruz con eγ se tiene:      dvγ dvγ γ  dvγ Dω × eγ = grad × eγ × eγ = grad · e eγ − grad · eγ eγ Dt dt dt dt     rot rot ω × eγ = grad (rot ω)γ × eγ × eγ     = grad (rot ω)γ · eγ eγ − grad (rot ω)γ · eγ eγ

(7.30)

 
1 {h, J} × eγ = grad √ [hγ , ψ] × eγ × eγ g    

1 1 = grad √ [hγ , ψ] · eγ eγ − grad √ [hγ , ψ] · eγ eγ . g g Usando (7.30) la ecuaci´on (4.25) se transforma en       dvγ γ  dvγ · e eγ − grad · eγ eγ + ν{ grad (rot ω)γ · eγ eγ − grad (rot ω)γ · eγ eγ } dt dt    

1 1 − grad √ [hγ , ψ] · eγ eγ − grad √ [hγ , ψ] · eγ eγ = 0 g g



grad

{grad


1 dvγ γ · e + νgrad (rot ω)γ · eγ − grad √ [hγ , ψ] · eγ }eγ dt g

− {grad {grad {


dvγ 1 .eγ + νgrad (rot ω)γ · eγ − grad √ [hγ , ψ] · eγ }eγ = 0 g dt


dvγ 1 + ν(rot ω)γ − √ [hγ , ψ] } · eγ }eγ g dt

− {grad {


dvγ 1 + ν(rot ω)γ − √ [hγ , ψ] } · eγ }eγ = 0 g dt

que implica dvγ 1 + ν(rot ω)γ = √ [hγ , ψ] + f1 (t) g dt

´ DE LAS ECUACIONES (MHD) SIN UNA COORDENADA 7 REDUCCION

40

Usando la ecuaci´on (7.9) se obtiene   dvγ 1 + ν − D2 vγ + (vγ Γ − D2 ξ)Γ = √ [hγ , ψ] + f1 (t) dt g Realizando operaciones an´alogas en la ecuaci´on (4.26) se obtiene:  dhγ  Dh dψ 1 = grad × eγ + − √ [v γ , ψ] eγ Dt dt dt g rot roth = grad ((rot h)γ ) × eγ + (rot rot h)γ eγ 1 2 (rot roth) = G((rot h)γ ) − D hγ gγγ

(7.31)

γ

(rot roth)γ = G(D2 ψ + hγ Γ) −

1 2 D hγ gγγ

multiplicando (7.31), producto punto, por eγ se obtiene   dhγ 1 1 2  1  − √ [v γ , ψ] + νm G(−D2 ψ + hγ Γ) − D hγ = √ [j γ , ψ] − [hγ , hγ ] dt g gγγ k g Ahora multiplicando (7.31), producto cruz, con eγ    dψ × eγ × eγ + νm grad (rot )γ × eγ × eγ dt   1 1 = − {grad √ [hγ , ψ] × eγ } × eγ g k



grad

equivalente a {{grad

  1 dψ 1 + νm grad (rot h)γ + grad √ [hγ , ψ] } × eγ } × eγ = 0 g dt k grad

  1 dψ 1 + νm grad (rot h)γ + grad √ [hγ , ψ] = 0 g dt k dψ 1 + νm (rot h)γ = − √ [hγ , ψ] + f2 (t) dt k g

(7.32)

´ DE LAS ECUACIONES (MHD) SIN UNA COORDENADA 7 REDUCCION

41


dψ 1 + νm hγ Γ − D2 ψ = − √ [hγ , ψ] + f2 (t) dt k g En resumen se encuentra el siguiente sistema de cuatro ecuaciones con cuatro inc´ognitas b´asicas ξ, νγ , ψ,

y

hγ .     d 1 2 1 γ Γ 2 1 2 2 G(vγ ) − D ξ − √ [v , vγ ]+ν D D ξ− D vγ dt gγγ g gγγ gγγ +ν G −D2 vγ + Γ vγ Γ − D2 ξ





1 = √ ([j γ , ψ] − [hγ , hγ ]) g

(7.33)

  dhγ 1 γ 1 2 1 2 − √ [ν , ψ] + νm G(−D ψ + hγ Γ) − D hγ = − √ ([j γ , ψ] − [hγ , hγ ]) , (7.34) dt g gγγ k g
dνγ 1 − νD2 νγ + ν νγ Γ − D2 ξ Γ = √ [hγ , ψ] + f1 (t) dt g dψ 1 − νm D2 ψ + νm hγ Γ = − √ [hγ , ψ] + f2 (t). dt k g Las otras cantidades, J γ , ν γ

(7.35)

(7.36)

hγ se pueden escribir en t´erminos de las b´asicas a trav´es de

las ecuaciones (7.20) y (7.4). Aqu´ı se involucran dos funciones arbitrarias del tiempo f1 y f2 , constantes espacialmente. Aunque las ecuaciones (7.33) y (7.36) est´an acopladas, estas describen esencialmente el tiempo de evoluci´on de la funci´on corriente y del flujo magn´etico respectivamente. Las otras dos ecuaciones determinan las componentes γ, νγ y hγ . Definici´ on 3 La derivada total

d de una cantidad escalar es definida por dt dψ ∂ψ 1 − √ [ξ, ψ]. g dt ∂t

El an´alisis helicoidal del flujo (MHD) puede ser hecho partiendo de este conjunto de ecuaciones usando las coordenadas: α = r,

β = aθ − z,

γ = z, equivalente r = α θ =

´ DE LAS ECUACIONES (MHD) SIN UNA COORDENADA 7 REDUCCION β+γ a

z = γ con dγ = dα,

dθ = a1 dβ + a1 dγ,

42

dz = dγ, por lo tanto

d2 x = (dr)2 + (rdθ)2 + (dz)2 2r2 r2 r2 2 (dβ) + dβdγ + (dr)2 + (dr)2 2 2 2 a a a   2r2 r2 r2 2 2 2 d x = (dα) + 2 (dβ) + 2 dβdγ + 1 + 2 (dr)2 , a a a = (dα)2 +

as´ı se obtiene el tensor m´etrico   1 0 0     2 2 gij = 0 ρ ρ    0 ρ2 1 + ρ2

  1 0 0     ij 1 g = 0 1 + ρ2 −1   0 −1 −1

(7.37)

(7.38)

donde r √ = ρ = g, a en este caso 2 1 , a 1 + ρ2  2  a ∂ r νγ , G(νγ ) = r ∂r a2 + r2      1 2 a2 ∂ r ∂ξ ∂ 1 ∂ξ D (ξ) = + gγγ r ∂r a2 + r2 ∂r ∂β r ∂β Γ=

7.2.

(7.39)

(7.40)

(7.41)

Coordenadas Curvil´ıneas Ortogonales

Cuando las coordenadas son ortogonales las ecuaciones se simplifican considerablemente. Consideramos este caso particular en las ecuaciones (7.33-7.36). Escribimos las f´ormulas definitivas en forma expl´ıcita debido a la amplia gama de los problemas en las que ´estas se

´ DE LAS ECUACIONES (MHD) SIN UNA COORDENADA 7 REDUCCION

43

pueden aplicar. La m´etrica se expresa como ds2 = (lα dα)2 + (lβ dβ)2 + (lγ dγ)2 , donde lα , lβ , lγ √ son los factores de escala, con g = lα lβ lγ , y el tensor m´etrico esta dado por 



l2 α

0 0    2 gij =  0 lβ 0    2 0 0 lγ 7.2.1.

 ij

1 2  lα

 g = 0  0



0

0

1 2 lβ

  0 

0

1 lγ2

Representaciones B´ asicas

Para este caso particular,(el de coordenadas curvil´ıneas ortogonales), los operadores b´asicos se reducen asi: la ecuaci´on (6.20) en

1 j γ = − 2 D2 ψ, lγ

la ecuaci´on (6.21) en

G(hγ ) = 0,

la ecuaci´on (6.22) en

D2 =

la ecuaci´on (7.7) en

Γ = 0.

lγ h ∂ lβ ∂ ∂ lα ∂ i + , lα lβ ∂α lα lγ ∂α ∂β lβ lγ ∂β

Los otros campos vectoriales quedan as´ı: a = grad A × eγ +

1 γ ψe lγ2

J = grad hγ × eγ +

1 2 D ψeγ lγ2

rot rot h = −grad D2 ψ × eγ −

1 2 D hγ eγ lγ2

h = grad ψ × eγ + hγ = −D2 A

1 hγ eγ lγ2

                    

(7.42)

´ DE LAS ECUACIONES (MHD) SIN UNA COORDENADA 7 REDUCCION 1 v = grad ξ × e + 2 νγ eγ lγ γ

rot rot v = grad D2 ξ × eγ −

1 2 D νγ eγ , lγ2

rot rot ω = −grad D2 νγ × eγ +

 1 2  ω = grad νγ × e − 2 D ξeγ    lγ      

44

γ

(7.43)

         

1 2 2 D D ξχ eγ . lγ2

Para el caso de la Fuerza de Lorentz tomamos las siguientes identidades: 1 hγ lγ2 h1 i γ [h , hγ ] = 2 hγ , hγ lγ hγ =

(7.44)

=

∂  1  ∂hγ ∂  1  ∂hγ h − hγ γ ∂α lγ2 ∂β ∂β lγ2 ∂α

=

 ∂ 1 1 ∂hγ  ∂hγ  ∂  1  1 ∂hγ  ∂hγ h + − h + γ γ ∂α lγ2 lγ2 ∂α ∂β ∂β lγ2 lγ2 ∂β ∂α

=

 ∂  1  ∂h ∂  1  ∂hγ  1  ∂hγ ∂hγ ∂hγ ∂hγ  γ − h + − γ ∂α lγ2 ∂β ∂β lγ2 ∂α lγ2 ∂α ∂β ∂β ∂α

h 1 h2 i γ = 2, lγ 2

7.2.2.

(7.45)

(7.46)

Fuerza de Lorentz

En lo que corresponde a la fuerza de Lorentz, se tiene   1 2 1 1 γ J × h = − √ [ψ, hγ ]e + 2 D ψgrad ψ + 2 hγ grad hγ g lγ lγ  {h × J} = grad

      

.     1 2 1 h2γ 1 1  γ [ D ψ, ψ] + [ 2 , ] eγ  √ [hγ , ψ] × e − √   g lγ2 lγ 2 g 

(7.47)

´ DE LAS ECUACIONES (MHD) SIN UNA COORDENADA 7 REDUCCION 7.2.3.

45

Ecuaciones Fundamentales de la (MHD)

Tomando las identidades obtenidas en (7.42-7.47), junto con la definici´on (3), la ecuaci´on (7.33) se reduce a −


1 d1 2  1 1 D ξ − √ [v γ , vγ ] + ν 2 D2 D2 ξ = √ [j γ , ψ] − [hγ , hγ ] 2 dt lγ g lγ g

−


1 h 1 2 i 1 1 ∂ 2  2 2 γ γ γ D ξ + νD D ξ = ξ, D ξ + [v , v ] + [j , ψ] − [h , h ] √ √ γ γ lγ2 ∂t g lγ2 g

 i h 1 h2 i 1 2 ∂ 1 h 1 2 1 h 1 2 i h 1 vγ2 i γ 2 D ξ − νD ξ = D ψ, ψ + , − D ξ, ξ − 2 , √ √ lγ2 ∂t g lγ2 lγ2 2 g lγ2 lγ 2 1 1 hγ , v γ = 2 vγ se han sustituido en [hγ , hγ ] y [v γ , vγ ]. 2 lγ lγ Trabajando en forma an´aloga con la ecuaci´on (7.35) se encuentra la ecuaci´on

las identidades hγ =

∂νγ 1 − νD2 νγ = √ ([hγ , ψ] − [νγ , ξ]) + f1 (t), ∂t g

(7.48)

  lγ ∂ lβ ∂ ∂ lα ∂ D = + . lα lβ ∂α lα lγ ∂α ∂β lβ lγ ∂β

(7.49)

con 2

El operador D2 , denotado tambi´en por 4 en la literatura de equilibrio del plasma, coincide aqu´ı con las coordenadas cil´ındricas y esf´ericas introducidas por Stokes en trabajos cl´asicos de hidrodin´amica (LAMB,1957). Para el campo magn´etico, las ecuaciones (7.34) y (7.36) se reducen a   1 1 ∂ 1 2 − νm D ψ = εγ + √ [ξ, ψ] − √ [hγ , ψ], g k γ ∂t     1 1 2 1 2 1 ∂ 1 2 [ψ, 2 D ψ] + [ hγ , 2 ] . − νm D hγ = √ ([ξ, hγ ] − [ψ, νγ ]) − √ g k g lγ 2 lγ ∂t

(7.50)

(7.51)

´ DE LAS ECUACIONES (MHD) SIN UNA COORDENADA 7 REDUCCION

46

La componente covariante γ de la ley de Ohm esta dada por la ecuaci´on (7.51), donde εγ = f2 es la componente γ del campo electrost´atico el cual debe ser constante espacialmente, en general, puede ser variable en el tiempo. La componente total γ del campo el´ectrico, es decir el inducido por electrost´atica, esta dado por  γ = εγ −

∂ψ . ∂t

De la ecuaci´on (4.22), Ley de Ohm, se obtiene p = −grad

∂A × eγ − grad Q = ∂t

1 νm grad hγ × e + ν grad ψ + h grad ξ + 2 klγ γ

γ

γ



h2γ D ψgrad ψ + grad 2 2

 (7.52)

del cual se puede hallar el potencial electrost´atico (4.20) como una diferencial exacta tomando el producto escalar con δx = dαeα + dβeβ . Si introducimos un nuevo operador δ ∗ definido por δ ∗ = (δx × grad ).eγ =

lα ∂ lβ ∂ dα − dβ , lα lγ ∂β lα lγ ∂α

(7.53)

podemos escribir −dQ = δ

∗



∂A + νm hγ ∂t



1 − ν dψ + h dξ − 2 klγ γ

γ



h2γ D ψdψ + d 2 2

 (7.54)

El lado derecho de la ecuaci´on (7.54) debe ser, necesariamente, dada como una diferencial exacta. Similarmente, la proyecci´on del momentum (4.21) sobre el plano α, β es   ∂ 2 grad − νD ξ × eγ = ∂t     νγ2 h2γ 1 1 2 2 − grad P + 2 D grad ξ + grad − 2 D ψdψ + grad lγ 2 lγ 2

(7.55)

8 ALGUNAS INTEGRALES EXACTAS

47

Nuevamente tomando el producto escalar con δx obtenemos la diferencial exacta       νγ2 h2γ ∂ 1 1 ∗ 2 2 2 − νD ξ + 2 D ξdξ + d − 2 D ψdψ + d dP = −δ ∂t lγ 2 lγ 2

(7.56)

de donde se puede calcular la distribuci´on de presi´on , ecuaci´on (4.7).

8.

Algunas Integrales Exactas En esta secci´on damos algunos ejemplos de como usar los formalismos desarrollados

anteriormente para obtener soluciones especiales. Aqu´ı presentamos un conjunto de integrales exactas para simetr´ıa traslacional y rotacional, y para campos definidos en tres dimensiones. Estas soluciones son obtenidas sin tener en cuenta el efecto Halls (k = ∞) y la componente γ debe ser cero para el rotacional de la fuerza de Lorentz. Las componentes en coordenadas curvil´ıneas en f´ısica las notamos con indices en brackets, es decir vhαi = lα v α , hhγi =

8.1.

1 h lγ γ

Simetr´ıa Traslacional

Consideramos primero el caso de simetr´ıa planar, esto es ds2 = (lα dα)2 +(lβ dβ)2 +dz 2 , lγ = 1 incluyendoγ en la coordenada cartesiana z. EL operador D2 coincide con el Laplaciano en dos dimensiones, es decir      1 ∂ lβ ∂ξ ∂ lα ∂ξ 2 ∇ ξ = div grad ξ = + . lα lβ ∂α lα ∂α ∂β lβ ∂β

(8.1)

8 ALGUNAS INTEGRALES EXACTAS Las ecuaciones para el fluido (MHD) son     
1  2 ∂ 2 − ν∇ ∇2 ξ = √ ∇ ψ, ψ − ∇2 ξ, ξ , ∂t g   ∂ 1 2 − ν∇ ∇2 νz = √ ([ξ, νz ] − [ψ, hz ]) , ∂t g z = − 

∂ψ 1 + εz = −νm ∇2 ψ − √ [ξ, ψ] ∂t g

 ∂ 1 2 − ν∇ ∇2 hz = √ ([ξ, hz ] − [ψ, νz ]) . ∂t g

48

(8.2)

(8.3)

(8.4)

(8.5)

Estas ecuaciones son validas si α, β est´an en un sistemas de coordenadas en el plano x, y, es decir que la m´etrica esta dada por ds2 = gij dxi dxj + dz 2 donde i, j toman u ´nicamente los valores uno o dos, y x1 = α, x2 = β. Entonces el invariante ∇2 ψ esta dado por   1 ∂ √ ij ∂ψ 2 ∇ψ=√ gg g ∂xi ∂xj √ en lugar de la ecuaci´on 6.1, todos los otros t´erminos restantes son iguales y g pueden ser √ calculados de las coordenadas cartesianas x = x(α, β), y = y(α, β) con g = [x, y].

8.2.

Fluido Espiralado

Cuando ψ = ψ(α, t) es una funci´on de una variable espacial u ´nicamente, entonces   1 ∂ lβ ∂ψ 2 ∇ψ= . (8.6) lα lβ ∂α lα ∂α Si esta expresi´on en alg´ un sistema de coordenadas especial no depende de β entonces  2  ∂ ∂ψ ∇ ψ, ψ = − ∇2 ψ = 0, ∂β ∂α

(8.7)

y la ecuaci´on (8.4) se transforma en εz =

∂ψ 1 ∂ξ ∂ψ − νm ∇2 ψ + = 0. ∂t lα lβ ∂β ∂α

(8.8)

8 ALGUNAS INTEGRALES EXACTAS

49

Consistente con la hip´otesis para ψ, que requiere que el t´ermino

1 ∂ξ no debe contener a lα lβ ∂β

β. Estas condiciones se satisfacen, por ejemplo, en coordenadas polares. Si tomamos ds2 = dr2 + r2 dθ2 + dz 2 , α = r, β = θ

y

ψ = ψ(r, t).

entonces 1 ∂ ∇ψ= r ∂r 2



∂ψ r ∂r



es una funci´on de r y t u ´nicamente. Esto obliga ahora que

1 ∂ξ r ∂θ

sea una funci´on de r y t .

Adem´as ξ = A(r, t)θ + B(r, t), con 1 νhri = A(r, t), r

νhθi = −

∂A(r, t) ∂B(r, t) θ− . ∂r ∂r

(8.9)

∂A(r, t) = 0 cuando todos los valores de θ son ∂r permitidos; de otra manera, el flujo debe restringirse a un sector circular θ1 ≤ θ ≤ θ2 . En el Q(t) caso anterior A = es constante en r y Q(t) es el flujo neto radial del fluido. La funci´on 2r B(r, t) es calculada de la ecuaci´on (8.2)        1 ∂ ∂ ∂B 1 ∂ ∂B 1 ∂ 1 ∂ ∂B Q(t) r −ν r =− r . (8.10) r ∂r ∂r ∂r r ∂r ∂r r ∂r r ∂r ∂r 2π Para evitar multievaluaci´on de νhθi , fijamos

Esta es una ecuaci´on diferencial parcial lineal en B cuya soluci´on puede ser hallada con m´etodos usuales. Cuando el fluido tiene movimiento radial se cumple νhri =

Q , 2πr

(8.11)

8 ALGUNAS INTEGRALES EXACTAS

50

combinado con flujo rotacional νhθi =

∂Q , ∂r

(8.12)

cuya velocidad depende de la soluci´on de la ecuaci´on (8.10). Un ejemplo sencillo es la soluci´on irrotacional, ∇2 ξ = 0 con 2πr

∂B = −Γ = const, ∂r

(8.13)

donde Γ es la circulaci´on del campo velocidad. El movimiento del flujo es en espiral con νhθi Γ = = cost, νhri Q

(8.14)

es decir con direcci´on el campo de la velocidad constante sobre la l´ınea radial, θ = const. La ecuaci´on del flujo magn´etico, el cual no depende de B(r, t), es   ∂ψ νm ∂ ∂ψ ∂ψ − r + ∂Q(t)2πr = εz , ∂t r ∂r ∂ ∂r

(8.15)

que es una ecuaci´on lineal solucionable. Por ejemplo, en el caso de estado estable se obtiene hhθi = −

Q dψ εz r , = h0 r( 2πνm ) +  Q dr 2 − 2πνm

(8.16)

donde h0 es una constante de integraci´on. Las ecuaciones (8.3) y (8.5) pueden ser resueltas a posteriori, para νz y hz despu´es de conocer ξ y ψ. En particular, se puede suponer que νz = 0 si hz = hz (r, t), as´ı se obtiene ∂hz 1 ∂ − νm ∂t r ∂r



∂hz r ∂r

 =−

Q ∂hz , 2πr ∂r

(8.17)

por lo tanto se puede agregar una componente hz = hz (r, t) a la soluci´on del campo magn´etico.

8 ALGUNAS INTEGRALES EXACTAS

8.3.

51

Fluidos en dos Dimensiones con un Punto de Estancamiento

Las hip´otesis introducidas en las ecuaciones (8.6-8.8) se satisfacen en coordenadas cartesianas. Si asumimos ψ = ψ(y, t), entonces la componente z del rotacional de la fuerza de Lorentz es cero, adem´as 2

[∇ ψ, ψ] = 0

∂ξ ∂ψ [ξ, ψ] = ∂x ∂y

y

∂2ψ ∇ψ= , ∂y 2 2

entonces la ecuaci´on (8.4) se reduce a εz =

∂ψ ∂ 2 ψ ∂ξ ∂ψ − νm 2 − = 0. ∂t ∂y ∂x ∂y

(8.18)

Para que haya consistencia ∂ξ = f (y, t), ∂x con f (y, t) una funci´on no conocida. Integrando esta u ´ltima ecuaci´on se obtiene ξ = f (y, t)x + g(y, t), con g(y, t) otra funci´on desconocida.

Para la funci´on ξ(x, y, t) se obtienen las siguientes identidades: ∂ ξ(x, y, t) = f (y, t) ∂x ∂ ∂f (y, t) ∂g(y, t) ξ(x, y, t) = x+ ∂y ∂y ∂y ∇2 ξ(x, y, t) =

∂ 2 f (y, t) ∂ 2 g(y, t) x + ∂y 2 ∂y 2

(8.19)

8 ALGUNAS INTEGRALES EXACTAS ∇2 ∇2 ξ(x, y, t) =

52

∂ 4 g(y, t) ∂ 4 f (y, t) x + ∂y 4 ∂y 4

∂ 2 ∂ ∂ 2 f (y, t) ∂ ∂ 2 g(y, t) ∇ ξ(x, y, t) = x + ∂t ∂t ∂y 2 ∂t ∂y 2 ∂ 2 f (y, t)  ∂f (y, t) ∂g(y, t)  [∇ ξ(x, y, t), ξ(x, y, t)] = x+ ∂y 2 ∂y ∂y 2

 ∂ 3 f (y, t) ∂ 3 g(y, t)  − f (t, y) x+ ∂y 3 ∂y 3 De esta manera la ecuaci´on (8.2) se puede partir en dos ecuaciones separando t´erminos, uno con la variable x y otro sin ella. ν

∂4f ∂ ∂2f ∂f ∂ 2 f ∂3f = + − f , ∂y 4 ∂t ∂y 2 ∂y ∂y 2 ∂y 3

(8.20)

ν

∂4g ∂ ∂ 2 g ∂g ∂ 2 f ∂3g = + − f , ∂y 4 ∂t ∂y 2 ∂y ∂y 2 ∂y 3

(8.21)

La primera ecuaci´on esta desacoplada de g y puede ser resuelta para f (y, t). La segunda puede ser resuelta para g(y, t) cuando f es conocida. Otra forma de escribir la ecuaci´on (8.20) independiente del tiempo es ν

∂4f ∂f ∂ 2 f ∂3f = − f ∂y 4 ∂y ∂y 2 ∂y 3 =2

=

∂f ∂ 2 f ∂f ∂ 2 f ∂3f − ( + f ) ∂y ∂y 2 ∂y ∂y 2 ∂y 3

∂  ∂f 2 ∂  ∂2f  − f . ∂y ∂y ∂y ∂y

(8.22)

8 ALGUNAS INTEGRALES EXACTAS

53

La ecuaci´on de (8.21) independiente del tiempo es ν

∂g ∂ 2 f ∂3g ∂4g = − f ∂y 4 ∂y ∂y 2 ∂y 3 =

∂  ∂g ∂f   ∂ 2 g ∂f ∂3g  − + f ∂y ∂y ∂y ∂y 2 ∂y ∂y 3

∂  ∂2g  ∂  ∂g ∂f  = − f . ∂y ∂y ∂y ∂y ∂y 2

(8.23)

Integrando las ecuaciones (8.22) y (8.23) se encuentran: νf

000

000

0

00

= f 2 − f f − C1 0

0

(8.24)

00

νg = g f − f g − C2

(8.25)

donde C1 y C2 son constantes de integraci´on. Sistema al cu´al quer´ıamos llegar. Este sistema de ecuaciones pueden ser resuelto para casos particulares tanto num´erica como anal´ıticamente. En el caso de movimientos bidimensionales la soluci´on anal´ıtica irrotacional √ f (y) = C1 , g(y) = 0, fu´e tratada por SONNERUP y PPRIEST (1975), en el an´alisis del flujo magn´etico sin puntos de estancamiento. Es materia de investigaci´on la b´ usqueda de m´as soluciones anal´ıticas que incluyan diferentes condiciones iniciales y de frontera. Por ejemplo un problema a tratar ser´a el caso tridimensional de un fluido con dependencia lineal en la coordenada z. Problema que peuede servir para futuros trabajos de grado. 00

Para el caso de soluci´on num´erica, integrando (6.24) con f (0) = 0, se obtienen soluciones que modelan el fluido del plasma alrededor de otra regin de plasma, GRATTON (1988).

9 CONCLUSIONES

9.

54

Conclusiones El cambio de las variables originales a variables auxiliares definidas en 4.11 facilitan el

manejo algebraico de las ecuaciones. La destreza en el manejo matem´atico del c´alculo en varias variables en un sistema general de coordenadas curvil´ıneas y el uso adecuado de algunos teoremas facilitan el entendimiento del fen´omeno (MHD). El Concepto de los potenciales de Euler-Monge y su adecuado uso es una herramienta relevante en la ejecuci´on de este trabajo. La Metodolog´ıa que permite ir de lo general a lo particular, nos permite el mejor entendimiento del fen´omeno (MHD) y facilita de una manera sistem´atica, llegar a la reducci´on del sistema inicialmente planteado, identificando cada una de sus componentes desde el punto de vista f´ısico. Se ha deducido un sistema compacto de ecuaciones diferenciales parciales no lineales para el estudio de los flujos incompresibles disipantes de la magnetohidrodin´amica en t´erminos de potenciales de Euler, sujeto a condiciones espec´ıficas. Por ser este sistema de ecuaciones no lineal, su soluci´on puede ser tratada de forma num´erica o de forma an´alitica. Cada una de las posibilidades genera un campo de acci´on en la investigacin de soluciones de ecuaciones diferenciales no lineales.

10 BIBLIOGRAF´IA

10.

55

Bibliograf´ıa

1. Agim, Y. Z. and Tataronis J. O. General two-dimensional magnetohydrodynamic equilibria with mass flow. J. Plasma Phys., 34, 337-360 (1985). 2. R. M. Barron, O. P. Chandna, and M. R. Garg. Solution in viscous constantly-inlclined magnetohydrodynamics Jap. J. Appl. Phys.,28(1):167-172, 1981. 3. Berker, R.Fluid visqueux incomprenssible.In Handbuch der Physik, Band VII/2, Str¨ o mungsmechanik II, Springer-Verlag, Berlin, 1963. 4. J. L. Ericksen.Tensor field In Fl¨ ugge S., editor, Appendix to ”The Classical Field Theories”, volumen III/1 of Handbuch der Physik, Springer, Berlin, 1960. 5. O.P. Chandna and K. T. Chew.Viscous transverse-aligned (MHD) flows. Jap. J. Appl. Mth., 35:287-299, 1976. 6. M. R. Garg and O.P. Chandna.Viscous orthogonal (MHD) flows.Siam J. Appl. Math., 30(3):577-585, 1976. 7. F. T. Gratton and M. F. Heyn.The reduced Equations of Dissipative Incompressible Magnetohydrodynamics and Some of Their Excat Integrals.Technical Report IWF8903, Institut f¨ ur Weltraumforschung, Graz, 1989. 8. F. T. Gratton and M. F. Heyn, H. K. Biernat, R.P. Rijnbeek, and G. Gnavi. (MHD) stagnation point flows in the presence of resistivity and viscosity. J. Geophys. Res., 93, 7318 (1988). 9. M. Hesse and Schindler, K. A Theorical Foundation of General Magnetic Reconnction. J. Geophys., Res., 93:5558-5567 (1988)

10 BIBLIOGRAF´IA

56

10. W. F. Hughes and F. J. Young.The Electromagnetodynamics of Fluids.Wiley, New York, 1966. 11. H. K. Moffat. Magnetic field generation in electrically conducting fluids. Cambridge University Press, London,, 1978. 12. H. Lamb.Hydrodynamics. Cambridge University Press, 6th. edition, 1957. 13. E. N. Parker. Spontaneous current Sheets in Magnetic Field. Oxford University Pres, 1994. 14. E. N. Parker. The solar flare phenomenon and the Theory of reconnection and annihilation of magnetic field. Astrophys. J. Suppl. Ser., 8, 177 (1963). 15. P. H. Roberts, An Introduction to Magnetohydrodynamics. Longmans, 1967. ¨ Sonnerup. Magnetic fiel reconnection in a highly conducting incomprenssible 16. B. U. O. fluid. J. Plasma Phys., 4, 161 (1970) 17. Rosenau, P. Tree dimensional flow wiht neutral points. Phys. of Fluids (5):849-858 (1979). ¨ Sonnerup and E. R. Priest. Resistive (MHD) stagnation-point flows at acurrent 18. B. U. O. sheet. J. Plasma Phys.,14,283 (1975). 19. B. F. Shutz. Geometrical Methods of Mathematical Physics. Cambridge University Press, Cambridge, 1980. 20. V. M. Vasyliunas. Theoretical models of magnetic field merging. Rev. Geophys. Space Phys., 13, 303 (1975). 21. R. B. White. Rev. Mod. Phys., 58, 183 (1976).