Universidad de Antioquia Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Instituto de Matematicas Cursos de Servicios para Ude@

Geometr´ıa Vectorial Taller-Parcial 3

1. Responda Falso o Verdadero. Justifique una Verdadera y d´e un contrajemplo de las propiedades Falsas: → − − → − → − → − − − − −c . a) Si → a , b ,→ c ∈ E3 si, → a · b =→ a · b entonces b = → → − − → − − − −c es un vector geom´etrico. b) Si → a , b ,→ c ∈ E3 entonces (→ a · b)×→ → − → − → − − − − c) Si → a , b ∈ E 3 entonces → a × b = b ×→ a → − → − − → − − − d ) Si → a , b ∈ E2, → a = 6 b y→ a ∦ b entonces

→ − − − − (→ a − pr(→ a / b )) ⊥ → a

− e) Dada la recta L cuya ecuaci´ on cartesiana es y = 3x − 5 entonces → v ↔ (3, −5) representa un vector normal a L.       2 −1 −1 2. El plano π pasa por A 4, B  0  y C  4  1 1 2 

 1 a) Calcule la distancia del punto P −2 al plano π. 1 b) Calcule las coordenadas del punto P 0 , proyecci´on de ortogonal de P sobre π.  → − → − − − 3. Dadas L1 (A, → a ), L2 B, b , con → a no paralela a b , se tiene que: −−→ → −  − AB, → a , b d (L1 , L2 ) = → −

. → −

a × b Calcule la d (L1 , L2 ), siendo:   x=4−β x = 1 + 2λ   λ∈R L2 : y = −1 + 3β β ∈ R. L1 : y = −2 + 3λ   z = 2 − 2β z = −λ √ √ 4. Dados ~a = 3~i + ~j, ~b = 2 3~i − 2~j. Determinar: a) La proyecci´ on Pr(~a/~b) del vector ~a sobre el vector ~b y kPr(~a/~b)k; b) El ´ angulo entre los vectores ~a y ~b. 5. Considere la recta L que pasa por los puntos A(1, 0, 2) y B(−2, 3, 4). a) Hallar unas ecuaciones param´etricas de la recta L. b) Determinar si el punto P (−1, 4, 1) pertenece a L. c) Calcular la distancia del punto Q(3, −2, 2) a la recta L.

6. Considere el plano π que pasa por los puntos A(−1, 1, 2), B(2, 0, 1) y C(3, 1, 2). a) Hallar un vector ~n normal al plano π. b) Hallar una ecuaci´ on cartesiana del plano π. c) Determinar si el punto P (6, 2, 3) pertenece a π. d ) Calcular la distancia del punto Q(−2, 5, 2) al plano π.

7. Demuestre que los puntos P (1, 1, 0), Q (1, 2, 0) y R (1, 1, 1) son los v´ertices de un tri´angulo rect´angulo. Adem´ as, hallar el area del tri´ ´ angulo.

8. Sean ~a y ~b dos vectores de R3 . Demuestre el teorema de Pit´agoras. Es decir,

2

2



2 ~a⊥~b ⇔ ~a + ~b = k~ak + ~b .

9. Calcular el volumen del paralelep´ıpedo determinado por los vectores ~a = (2, 3, 1), ~b = (2, −3, 3) y ~c = (1, 2, 1). 10. Indique cual de las siguientes argumentaciones es falsa o verdadera. Justifique su respuesta. ) Para todo ~a, ~b en E3 se cumple que (~a − ~b)2 = ~a2 − 2~a.~b + ~b2 b) ( ) El producto escalar es asociativo, es decir ~a.(~b.~c) = (~a.~b).~c c) ( ) Si {~a, ~b} entonces ~a x ~b es un vector libre ortonormal a ~a y ~b

a) (

d) (

) Tres vectores libres cooplanares y no colineales siempre formar´an un conjunto L.I e) ( ) El producto vectorial es asociativo, es decir ~a × (~b × ~c) = (~a × ~b) × ~c

11. Sean los vectores libres ~a y ~b Demuestre que: 1 ~a • ~b = (||~a + ~b||2 − ||~a − ~b||2 ) 4 12. Sea el tri´ angulo ABC donde: A(−1, 0, 2); B(3, 1, 5); C(5, −2, −3) a) Utilice el producto escalar para calcular el ´area del tri´angulo. b) Utilice el producto vectorial para calcular el ´area del tri´angulo. 13. Halle el radio de la esfera cuyo centro est´ a en el punto (0, −1, 1) sabiendo que el plano 2x − 3y + 4 = −4 es tangente a ella 14. Calcule el volumen del tetraedro cuyos v´ertices ABCD son: A(−5, 0, 1); B(2, 1, 3); C(1, −2, 0); D(0, 3, 4) 15. Dadas las afirmaciones siguientes, indique si son verdaderas o falsas. Justifique su respuesta para las afirmaciones falsas mediante un contraejemplo. n → n → −o − − → −o − − a) ( ) Si → a , b es un conjunto L.I. entonces → a , b ,→ a × b es un conjunto L.I. b) ( c) ( d) (

→ − → − − − − −c entonces → − ) Si → a · b =→ a ·→ a es paralelo a b − → c. ) El producto escalar es asociativo.  → n → − − − −o − − ) Si → a , b ,→ c = 0 entonces el conjunto → a , b ,→ c es L.D.

f) (

→ − → − − − ( a ). ) La proyecci´ on es conmutativa para todo par de vectores en E 3 , proy→ b = proy→ a b  ) El conjunto M = (x, y, z) ∈ R3 : (x, y, z) = (2λ, 3λ − 1, 4λ + 5) representa una recta en el espacio.

g) (

) Siempre dos vectores determinan un plano.

e) (

16. Rectas y planos en el espacio. a) Los puntos M (2, 5, 0), N (−1, 2, 1) y P (0, 2, 1) determinan el plano π(M, N, P ). Halle las ecuaciones: vectorial, param´etrica y cartesianas de dicho plano siempre que existan. b) Determine la posici´ on relativa del plano π (literal anterior) con la recta L cuya ecuaci´on sim´etrica es 17. Los puntos A(3, 2, −2), B(11, 2, −2), C(8, 6, −2) y C(5, 6, −2) determinan un trapecio. a) Halle el ´ area del trapecio ABCD. b) Halle la ecuaci´ on del plano π que contiene a dicho trapecio. 18. Calcule la distancia entre las rectas con ecuaciones param´etricas son:

19. Relaci´ on de Gibbs

x =8 − 4λ

x = − 3 + 20β

y =2 − 3λ

y = − 2 + 15β

z =8λ

z =1 − 40β

x+3 −2

= y−1 =

2−z −5 .

→ − − −c = (0, −3, 4). a) Compruebe la relaci´ on de Gibbs con los vectores → a = (3, 1, 0), b = (−4, −2, −1) y → →    − − → − → − − −c × → − −c × → − − b) Demuestre la relaci´ on de Jacobi → a × b ×→ c + b × (→ a)+→ a × b =→ o. 20. Determine si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos (justifique). a) Si el producto vectorial de dos vectores es cero entonces alguno de los dos es cero. n → n → −o − − → −o − − b) Si → a , b es un conjunto L.I. entonces → a , b ,→ a × b es un conjunto L.I.. c) El producto mixto de vectores es conmutativo. d ) El producto vectirial de dos vectores paralelos es otro vector no nulo que es ortogonal a ambos. e) El producto escalar es asociativo. 21. Encuentre el valor de λ que hace que los planos π1 : 3x − 4y + λz = 0 y π2 : 2x − 3y + 6z − 1 = 0 sean ortogonales. 22. Calcule la distancia entre las rectas L(A, B) y L(C, D), sabiendo que A = (1, 2, 3), B = (−1, 0, 2), C = (0, 1, 7) y D = (2, 0, 5). 23. (25 %) Calcule el area del trapecio ABCD sabiendo que A = (3, 2, −2), B = (11, 2, −2), C = (8, 6, −2) y D = (5, 6, −2). 24. Indique cual de las siguientes argumentaciones es falsa o verdadera. Justifique su respuesta. a) (

) Sean ~a, ~b, ~c vectores libres, entonces: ~a.~b = ~a.~c −→ ~b.~c

b) (

) Todo ´ angulo inscrito en una semicircunferencia es recto. c) ( ) Si ~a, ~b son vectores libres, entonces: (~a + ~b)x(~a − ~b) = 2(~bx~a) d ) ( ) Sea ~a, ~b, ~c tales que ninguno es paralelo a otro, y que ~ax~b = ~bx~c = ~cx~a entonces ~a + ~b + ~c = ~0 25. Sea E 2 = gen{e~1 , e~2 }, con e~1 = [2, 1, −1], e~2 = [1, 0, 2] y sea ~a = [3, −1, 2]. Encuentre el vector pr(~ ~ a/E2 ) 26. Dados los vectores ~a = [1, −2, −2]; ~b = [1, 1, 4], construya una base ortonormal {e~1 , e~2 e~3 }, de modo que e~1 tenga la direcci´ on y el sentido de ~a 27. Calcule el ´ area del trapecio ABCD, sabiendo que: A(3, 2, −2), B(11, 2, −2), C(8, 6, −2), D(5, 6, −2) 28. Determine las ecuaciones vectorial, param´etricas, sim´etricas y cartesiana (esta u ´ltima cuando sea posible) para cada una de las rectas que se describen a continuaci´ on: a) Pasa por el punto B(−2, 1, 1) y es paralela al vector ~s = (2, −3, −2) b) Pasa por A(5, −1) y es paralela al vector ~u = (−3, 1) 29. Dadas las rectas L1 y L2 de ecuaciones,si λ, β, ∈ R

x = −1 + 5β

x = 2 + 3λ L1 :

determine e interprete el conjunto:

y = −5 + λ z = −7λ

L2 :

y = 2 − 8β z=β

L1 ∩ L2

30. (20 %) Dadas las afirmaciones siguientes, indique si son verdaderas o falsas. Justifique su respuesta para las afirmaciones falsas mediante un contraejemplo. → − − → − → − → − − − − −c . a) Si → a , b ,→ c ∈ E3 si, → a · b =→ a · b entonces b = → → − − → − − − −c es un vector geom´etrico. b) Si → a , b ,→ c ∈ E3 entonces (→ a · b)×→ → − → − → − − − − c) Si → a , b ∈ E 3 entonces → a × b = b ×→ a → − → − → → − → − − − 2 → d ) Si a , b ∈ E , a 6= b y a ∦ b entonces

→ − − − − (→ a − pr(→ a / b )) ⊥ → a

− e) Dada la recta L cuya ecuaci´ on cartesiana es y = 3x − 5 entonces → v ↔ (3, −5) representa un vector normal a L.

31. (20 %) Los puntos A(3, 2, −2), B(11, 2, −2), C(8, 6, −2) y C(5, 6, −2) determinan un trapecio. a) ¿Por qu´e determinan un trapecio? b) Halle el ´ area del trapecio ABCD. c) Halle la ecuaci´ on del plano π que contiene a dicho trapecio. d ) Determine la distancia del punto P (2, 0, 6) al plano π. 32. (20 %) Calcule la distancia entre las rectas con ecuaciones param´etricas x =2 − λ

x = − 1 + 10β

y =2 − 3λ

y = − 2 + 15β

z =8λ

z =1 − 40β

−−→ −→ 33. (20 %) Desde un v´ertice P de un cubo se trazan una diagonal del cubo (AB) y una diagonal de una de las caras (P A). Calcule el ´ angulo entre las dos diagonales. 34. (20 %) Relaci´ on de Gibbs → − − −c = (0, −3, 4). a) Compruebe la relaci´ on de Gibbs con los vectores → a = (3, 1, 0), b = (−4, −2, −1) y → b) Demuestre la relaci´ on de Jacobi →  − − → − → − − → − −c × → − −c × → − a × b ×→ c + b × (→ a)+→ a × b =→ o

EXITOS