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UNIDAD Nº 4:CINEMATICA DEL CUERPO RIGIDO. Concepto de trayectoria y corrimiento de un punto perteneciente a un cuerpo. Traslación y rotación de un cuerpo. Hipótesis de pequeñas rotaciones. Cupla de rotaciones. Sistema nulo de rotaciones. Traslación de una rotación. Reducción de un sistema de desplazamientos a un punto. Movimiento plano. Definición de Chapa. Trazado de diagramas de corrimientos (elásticas) de una chapa. Corrimiento relativo entre dos puntos del cuerpo rígido. CINEMATICA Es la parte de la física que estudia el movimiento de los cuerpos, sin tener en cuenta las causas que lo provocan. CONCEPTO DE TRAYECTORIA Y CORRIMIENTO DE UN PUNTO PERTENECIENTE A UN CUERPO.

El movimiento de un punto perteneciente a un cuerpo rígido permite la definición de los siguientes conceptos: Trayectoria: es la línea continua que recorre el punto desde su posición inicial hasta su posición final . Vector corrimiento: es el vector con origen en la posición inicial del punto y extremo en la posición final del mismo. Dado que cada punto del cuerpo puede experimentar un corrimiento distinto el mismo resulta ser un vector aplicado en el punto que se analiza. TRASLACION DE UN CUERPO RIGIDO. Se dice que un cuerpo se traslada cuando todos los puntos del mismo experimentan igual corrimiento. En este caso el corrimiento de todos los puntos del cuerpo puede ser representado por un único vector que denominamos vector traslación y como el mismo puede quedar aplicado en cualquier punto entonces se trata de un vector libre. Gráficamente:

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ROTACIÓN DE UN CUERPO RIGIDO ALREDEDOR DE UN EJE.

Se dice que un cuerpo experimenta una rotación alrededor de un eje, cuando al cortar al mismo con un plano perpendicular a dicho eje, los puntos del cuerpo ubicados en dicho plano describen trayectorias circunferenciales concéntricas manteniendo el ángulo central constante e igual a la intensidad de la rotación. La rotación resulta ser una magnitud vectorial, pues es necesario conocer dirección, módulo y sentido. Es además un vector axilmente libre. De la simple observación de la figura surgen dos conclusiones importantes: 1-Todos los puntos del cuerpo ubicados sobre una recta paralela al eje de rotación experimentan el mismo corrimiento en intensidad, dirección y sentido. 2-Particularmente, los puntos del cuerpo ubicados sobre el eje de rotación experimentan corrimiento nulo. HIPOTESIS DE PEQUEÑAS ROTACIONES. En lo que sigue trabajaremos bajo la hipótesis que los cuerpos experimentan pequeñas rotaciones Esta hipótesis se resume en la siguiente expresión:

Bajo esta hipótesis se justifica a continuación la siguiente afirmación: El vector corrimiento de un punto es tangente a la circunferencia en dicho punto y el mismo se obtiene como el producto vectorial entre el vector rotación y el vector con origen en un punto cualquiera del eje y extremo en el punto que experimenta el corrimiento. Gráficamente:

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Justificación

Para que quede justificado que bajo la hipótesis de pequeñas rotaciones del cuerpo, el vector corrimiento del punto A es tangente a la circunferencia en el punto, basta verificar que los puntos A1 y A2 son coincidentes. A continuación se efectúa el correspondiente desarrollo:

Entonces si el segmento A1A2 es aproximadamente igual a cero resulta A1 aproximadamente igual a A2 y por este motivo el vector corrimiento es aproximadamente tangente a la circunferencia en el punto A. En forma práctica el vector desplazamiento se considera tangente a la circunferencia en el punto.

Se puede observar que el vector corrimiento por ser tangente a la circunferencia en el punto A resulta perpendicular al plano ACE definido por el vector rotación y el vector con origen en E (punto del eje de rotación) y extremo en A (punto que experimenta el corrimiento).Es simple entonces justificar siguiendo la definición de producto vectorial que dicho vector corrimiento puede ser calculado según la expresión mas arriba indicada. Su módulo es el que también se indica y en términos simples es el producto de la intensidad de la rotación por el radio de la circunferencia. Debemos recordar que el vector corrimiento es un vector aplicado en el punto que experimenta el corrimiento y el sentido se encuentra referido en este caso a terna izquierda (giro horario es positivo).

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CUPLA DE ROTACIONES. Se dice que un cuerpo se encuentra sometido a una cupla de rotaciones cuando sobre el mismo actúan dos rotaciones de igual módulo y dirección ,de sentido contrario y distinto eje. Gráficamente:

Si ahora determinamos el corrimiento del punto A resulta:

El resultado implica que el corrimiento del punto A es independiente de sus coordenadas y en consecuencia todos los puntos del cuerpo tienen el mismo corrimiento, es decir que el cuerpo experimenta una traslación cuya expresión de cálculo es:

Como conclusión diremos que cuando sobre un cuerpo actúa una cupla de rotaciones el mismo experimenta una traslación. SISTEMA NULO DE ROTACIONES. Cuando sobre un cuerpo rígido y según un mismo eje actúan dos vectores rotación de igual módulo pero de sentido contrario se dice que sobre el mismo actúa un sistema nulo de rotaciones. Bajo la acción de este sistema el cuerpo permanece en reposo.

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TRASLACIÓN DE UNA ROTACION Como se dijo, el vector rotación resulta ser axilmente libre. A continuación veremos que ocurre cuando el mismo se traslada desde un eje e sobre el que actúa hasta un eje e1 paralelo al anterior .

Para efectuar la operación ubicamos en el punto E1 un sistema nulo de rotaciones .De esta forma si bien el vector rotación queda ubicado en el nuevo eje se genera simultáneamente una cupla de rotaciones que provoca como sabemos una traslación del cuerpo. El vector traslación se obtiene como el producto vectorial entre el vector rotación y el vector con origen en E y extremo en E1.Como sabemos el vector traslación es un vector libre y por conveniencia lo dejaremos aplicado en E1 tal como se muestra en la figura que sigue:

En consecuencia podemos decir que si bien el vector traslación puede ubicarse en cualquier punto, toda vez que se traslade un vector rotación a un eje paralelo al que actúa se genera como consecuencia de esta operación una traslación del cuerpo.

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SISTEMA GENERALIZADO DE DESPLAZAMIENTOS Cuando sobre un cuerpo actúa un conjunto de traslaciones y un conjunto de rotaciones se dice que sobre el mismo actúa un sistema generalizado de desplazamientos, comúnmente denominado sistema de desplazamientos.

COMPARACIÓN ENTRE SISTEMAS DE DESPLAZAMIENTOS Si sobre un cuerpo actúan dos sistemas de desplazamientos a efectos de su comparación habrá que reducirlos a un mismo punto.

REDUCCIÓN DE UN SISTEMA DE DESPLAZAMIENTOS A UN PUNTO.

Dado el sistema generalizado de desplazamientos constituido por n traslaciones y m rotaciones actuando sobre un cuerpo rígido (ver figura), si se reduce el mismo a un punto C, se obtiene un sistema equivalente constituido por los siguientes elementos:

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Efectuando análisis similares a los efectuados al estudiar la reducción de un sistema de fuerzas a un punto es posible obtener las siguientes conclusiones que se enuncian pero no se demuestran: 1-El vector resultante de rotación es el invariante vectorial de la operación. 2-La proyección del vector resultante de traslación en la dirección del vector resultante de rotación es el invariante escalar de la operación. 3-Cuando el sistema se reduce a un vector traslación y a un vector rotación que forman entre si un ángulo cualquiera, entonces es posible obtener un sistema equivalente constituido por dos vectores rotación cuyos ejes asociados nunca se cortan. 4-Cuando el sistema se reduce a un vector traslación y a un vector rotación que son ortogonales entre sí (invariante escalar nulo), entonces es posible obtener un sistema equivalente constituido por un único vector rotación. 5-El lugar geométrico de los puntos que tomados como centros de reducción originan que el vector traslación resultante sea paralelo al vector rotación resultante se denomina eje central del sistema de desplazamientos. 6-Dos sistemas de desplazamientos actuantes sobre un cuerpo son equivalentes cuando reducidos ambos al mismo punto presentan idéntico vector resultante de traslación y de rotación. 7-Dos sistemas de desplazamientos actuantes sobre un cuerpo conducen al reposo del mismo cuando al reducir ambos al mismo punto la suma de los vectores resultantes de traslación y de rotación de ambos sistemas resulta nula.

Importante: En función de lo analizado surge que el movimiento general de un cuerpo puede ser analizado como una traslación más una rotación respecto de determinado eje. Bajo dicho movimiento los puntos pertenecientes a dicho cuerpo experimentan corrimientos. MOVIMIENTO PLANO. DEFINICIÓN DE CHAPA. Si como consecuencia de la reducción de un sistema de desplazamientos a un punto surge que el vector traslación resultante es perpendicular al vector rotación resultante, entonces es posible definir un plano ortogonal al vector rotación resultante al cuál el vector corrimiento de cada punto resulta paralelo. Además todos los puntos del cuerpo ubicados sobre ejes paralelos al eje de rotación presentarán idéntico vector corrimiento. Si ahora proyectamos sobre el plano referido la totalidad de los puntos del cuerpo, el lugar geométrico definido por dichas proyecciones se denomina chapa del cuerpo. Cuando estas condiciones ocurren se dice que el cuerpo experimenta un movimiento plano y entonces el movimiento de dicho cuerpo se estudia mediante el de su correspondiente chapa.

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Gráficamente:

TRAZADO DE DIAGRAMAS DE CORRIMIENTOS (ELÁSTICAS) DE UNA CHAPA. Sea la chapa de la figura sometida a una traslación y a una rotación, ambas magnitudes de pequeño valor.

La expresión general para el cálculo del corrimiento de un punto cualquiera de la chapa será:

Puede observarse claramente en esta expresión que el punto C (proyección sobre el plano del centro de reducción ) experimenta un corrimiento igual al vector traslación resultante dado que al reemplazar en la misma el vector (P-C) es nulo. Por lo tanto si la chapa solo estuviera sometida a una rotación el corrimiento del punto C sería nulo. En estas condiciones el punto C se denomina PUNTO FIJO DE LA CHAPA

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Aplicando la expresión general del cálculo de desplazamientos a nuestro caso y teniendo en cuenta que el punto genérico P tiene coordenadas (x ;y ;z) será:

De esta manera las expresiones escalares de las componentes del vector corrimiento resultan:

Con estas expresiones es posible construir los diagramas de corrimientos verticales y horizontales de la chapa. Como las mismas son de variación lineal bastará definir el corrimiento de dos puntos para poder trazar dichos diagramas . A continuación se grafica:

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CORRIMIENTO RELATIVO ENTRE DOS PUNTOS DEL CUERPO RIGIDO. Se define como tal al siguiente vector:

La presente definición permite el siguiente análisis: 1-Si el cuerpo se traslada el corrimiento de todos sus puntos es el mismo y en consecuencia es imposible la existencia de corrimiento relativo entre los mismos. 2-Si el cuerpo rota alrededor de un eje si existirá corrimiento relativo entre los puntos del cuerpo pero la distancia entre los mismos se mantiene constante dada la condición de cuerpo rígido. Las expresiones algebráicas son las que siguen:

Esta última expresión permite suponer el corrimiento relativo del punto A respecto del punto B como el corrimiento absoluto del punto A debido a una rotación del cuerpo respecto de un eje paralelo a original pasante por el punto B. Como todos los puntos pertenecientes al eje de rotación tienen corrimiento nulo, en particular el punto B, entonces el corrimiento relativo del punto A respecto del punto B, puede ser interpretado como el corrimiento del punto A respecto del B supuesto fijo.

En general el movimiento relativo entre dos elementos supone fijo a uno de ellos. Finalmente diremos que el vector corrimiento relativo del punto A respecto del punto B es igual y de signo opuesto al vector corrimiento relativo del punto B respecto del punto A. O sea: