UNIDAD 3 Momento de Inercia

por Javier L. Mroginski

3.1 3.1.1

Momentos de segundo orden de superficies. Momento de Inercia. Definiciones.

Dada la superficie que se muestra en la figura 3.1a y dos ejes cualesquiera x e y contenidos en el mismo plano. Sea adem´as un diferencial de superficie dΩ, cuya distancia a dichos ejes es y y x, respectivamente. Se define como momento de segundo orden del elemento de superficie dΩ respecto del par de ejes x, y al producto del a´rea de superficie elemental por las distancias a ambos ejes: dIxy = xy dΩ

(3.1)

Figura 3.1: Momento de centr´ıfugo y momento de inercia Luego, integrando la expresi´ on (3.1) en toda la superficie se obtiene el momento de segundo orden de la superficie respecto de los ejes considerados, tambien llamado momento de centr´ıfugo o producto de inercia de superficie. 1

Estabilidad 1 Facultad de Ingenier´ıa. UNNE.

 Ixy =

xy dΩ

(3.2)

Ω

Por otro lado, siendo el a´rea una magnitud (escalar) positiva, el momento centr´ıfugo tendr´ a un signo que depender´ a del signo de las coordenadas de los elementos de superficie. As´ı por ejemplo, las superficies que se encuentres en el primer y tercer cuadrante tendr´an momento centr´ıfugo positivo, mientras que aquellas ubicadas en el segundo y cuarto cuadrante tendr´ an momento centr´ıfugo negativo (ver figura 3.2).

Figura 3.2: Signo del momento centr´ıfugo Supongamos por un momento que el eje x de la figura 3.1a sufre una rotaci´ on hasta superponerse con el eje y, como se observa en la figura 3.1b. En este caso la distancia x, al eje y, coincide con la distancia y, al eje x, dado que ambos ejes son coincidentes. En consecuencia la expresi´ on (3.2) se transforma en  Ixx =

x2 dΩ

(3.3)

Ω

que define el momento de inercia de superficie respecto del eje x. Es decir, el momento de inercia de una superficie respecto de un eje cualquiera es igual a la integral de superficie del producto del diferencia de superficie por la distancia al cuadrado al eje respectivo. El momento de inercia definido por (3.3) ser´ a siempre positivo independientemente de la posici´ on de la superficie respecto del sistema coordenado, dado que el elemento de superficie dΩ y el cuadrado de cualquier distancia son magnitudes positivas. Excepcionalmente podr´ a considerarse un momento de inercia negativo para facilitar el calculdo del momento de inercia de superficies compuestas como se ver´a m´as adelante. Consideremos ahora un punto cualquiera O en el plano que contiene a la superficie Ω de la figura 3.1b, y sea ρ la distancia del diferencial de superficie dΩ a dicho punto. Se denomina momento de inercia polar del elemento dΩ respecto del centro O, al producto de dΩ por la distancia ρ al cuadrado dIp = ρ2 dΩ

(3.4)

luego, la integral de la expresi´ on (3.4) dar´ a el momento de inercia polar de la superficie Ω respecto del centro O, llamado tambien polo 2

Unidad 3 Momento de Inercia

 Ip =

ρ2 dΩ

(3.5)

Ω

por las mismas razones que en el caso anterior, el momento de inercia polar ser´a siempre positivo. Haciendo un an´ alisis de las unidades de las magnitudes que intervienen en el c´ alculo de los tres tipos de momentos de segundo orden definidos anteriormente se concluye que el mismo tiene dimensiones [longitud]4 , por ejemplo cm4 . Por otro lado, dividiendo el momento de inercia por la superficie en la cual es calculado, se obtiene como resultado una magnitud cuya unidad correspondiente es [longitud]2 , es decir, es una magnitud que podr´ıa interpretarse como el cuadrado de una longitud que se denomina radio de giro de la superficie respecto del eje considerado, y esta definido por I i = Ω 2

3.1.2

 o bien,

i=

I Ω

(3.6)

Momento de segundo orden de superficie respecto a ejes paralelos. Teorema de Steiner.

Sea la superficie de la figura 3.3 referida a un par de ejes ortogonales x, y de origen O, y consideremos otro par de ejes xG , yG paralelos a los ejes anteriores y cuyo origen coincide con el baricentro G de la superficie.

Figura 3.3: Teorema de Steiner Llamando x e y a las coordenadas de un elemento de superficie dΩ, el momento de inercia centr´ıfugo respecto del par de ejes x, y puede ser calculado con la expresi´ on (3.2). Sin embargo, si se denominan a y b a las distancias que separan respectivamente a los ejes baricentricos xG , yG del sistema coordenado x, y se tiene x = a + xG y = b + yG Multiplicando entre s´ı ambas expresiones se tiene 3

(3.7)

Estabilidad 1 Facultad de Ingenier´ıa. UNNE.

x y = xG yG + a yG + b xG + a b

(3.8)

Introduciendo esta expresion en (3.2) se tiene  Ixy =





xy dΩ = Ω

Ω

xG yG dΩ + a

Ω

 yG dΩ + b

Ω

 xG dΩ + ab

dΩ

(3.9)

Ω

donde 

 Ω

xG yG dΩ = IxG yG

;

 dΩ = Ω

;

Ω

Ω

 yG dΩ = 0

; Ω

xG dΩ = 0

(3.10)

Las ultimas dos expresiones de (3.10) se anulan por tratarse del momento est´atico de la superficie respecto de ejes baric´entricos, es decir, recordando las expresiones para obtener las coordenadas baricentricas de una superficie,  xdΩ xG = Ω Ω dΩ

;

 ydΩ yG = Ω Ω dΩ

(3.11)

cuando el sistema de ejes cartesianos x, y coinciden con los ejes baric´entrico xG , yG las coordenadas del baricentro de la superficie son justamente el origen de coordenadas (0, 0), y dado que la integral de superficie Ω dΩ en (3.11) no puede ser nula queda demostrado que las dos u ´ltimas ecuaciones de (3.10) deben ser nulas. Por lo tanto, reemplazando (3.10) en (3.9) se tiene Ixy = IxG yG + a b Ω

(3.12)

En efecto, el momento de inercia centr´ıfugo, o en general cualquier momento de segundo orden, de una superficie respecto de un par de ejes cualesquiera puede obtenerse como la suma del momento de inercia baric´entrico mas el producto del a´rea de la superficie por la distancia medida desde el baricentro de la misma hasta los ejes considerados. Particularmente, cuando el par de ejes son coincidentes, el momento centr´ıfugo se transforma en el momento de inercia, y la expresi´ on (3.12) toma la forma gen´erica: I = IG + d2 Ω

(3.13)

donde I es el momento de inercia respecto de un eje cualquiera, IG es el correspondiente a un eje baric´entrico paralelo al anterior y d es la distancia que separa ambos ejes. La expresi´on (3.13) se conoce como Teorema de Steiner y establece lo siguiente El momento de inercia de una superficie respecto de un eje cualquiera de su plano, es igual al momento de inercia de la misma respecto de un eje baric´entrico paralelo al anterior m´ as el producto del a´rea de la superficie por el cuadrado de la distancia que separa ambos ejes. Dividiendo la expresi´ on (3.13) por el a´rea de la superficie se tiene I IG = + d2 Ω Ω 4

(3.14)

Unidad 3 Momento de Inercia

y recordando la definici´ on de radio de giro se tiene i2 = i2G + d2

(3.15)

La interpretaci´ on gr´ afica de (3.15) permite inferir que el radio de giro de una superficie respecto de un eje puede obtenerse como la hipotenusa de un tri´ angulo rect´ angulo cuyos catetos son: el radio de rigo respecto del eje baric´entrico paralelo al eje en cuesti´on, iG , y la distancia que separa ambos ejes, d, (ver figura 3.4). Como consecuencia de este enunciado se puede afirmar que el radio de giro de una superficie respecto de un eje cualquiera ser´ a siempre superior al radio de giro de la misma superficie respecto de un eje baric´entrico paralelo al eje considerado.

Figura 3.4: Interpretaci´ on gr´ afica del radio de inercia A continuaci´ on nos planteamos el siguiente interrogante: ¿Ser´ a v´ alido el Teorema de Steiner cuando el momento de inercia conocido no pasa por el baricentro de la superficie?. Para dilusidar esta cuesti´on consideremos la figura 3.5 y los ejes x y x’ paralelos entre si y separados por una distancia d, inmediatamente puede observarse que ningun de ellos es un eje baric´entrico. Supongamos que el momento de inercia Ix cuya expresi´on ser´a la siguiente

Figura 3.5: Teorema de Steiner para ejes no baric´entricos  Ix =

y 2 dΩ

(3.16)

Ω

pero y  = y + d . Luego, elevando y  al cuadrado y reemplazando en (3.16), resulta  Ix =

Ω

y 2 dΩ + 2d

 Ω

5

y dΩ + d2

 Ω

y 2 dΩ

(3.17)

Estabilidad 1 Facultad de Ingenier´ıa. UNNE.



 Siendo y dΩ  = Sx el momento est´atico de la superficie respecto del eje x (no baric´entrico), y 2 dΩ = Ix y dΩ = Ω, se tiene Ix = Ix + 2 d Sx + Ω d2

(3.18)

Por lo tanto, como se observa de (3.18) el Teorema de Steiner no es aplicable, extrictamente, al referirnos a ejes no baric´entricos.

3.1.3

Momentos de inercia y radios de giro polares

En la secci´ on 3.1.1 el momento de inercia polar fue definido como la integral de los productos de los elementos de superficie dΩ por sus respectivas distancias al punto del plano denominado polo. Consideremos ahora a la superficie de la figura 3.6 y el par de ejes coordenados x, y. El momento de inercia polar de la misma, respecto del centro O, que corresponde al origen de coordenadas, ser´a

Figura 3.6: Radios de giro polares  Ip =

ρ2 dΩ

(3.19)

Ω

Sin embargo, de la figura 3.6 se observa que ρ2 = x2 + y 2 ,  Ip =



2

x dΩ + Ω

y 2 dΩ

(3.20)

Ω

es decir, Ip = Ix + Iy

(3.21)

As´ı mismo, dividiendo (3.21) por el a´rea de la superficie se tendr´ a una expresi´ on que permite calcular el radio de giro polar partiendo de los radios de giro correspondientes a dos ejes ortogonales i2p = i2x + i2y

(3.22)

Analicemos ahora si el Teorema de Steiner puede ser aplicado a momentos de inercia polares. Para ello, consideremos al figura 3.7 y el par de ejes baric´entricos ortogonales xG , yG . Conocidos 6

Unidad 3 Momento de Inercia

Figura 3.7: Teorema de Steiner aplicado a momento de inercia polar los momentos de inercia de superficie respecto a dichos ejes, el momento de inercia polar respecto al origen de coordenadas (que coincide con el baricentro de la superficie) est´ a determinado por IpG = IxG + IyG

(3.23)

Supongamos ahora otro polo O donde se ubica otro sistema de ejes ortogonales x’, y’ paralelos a los anteriores y separados por las distancias a y b, respectivamente. Seg´ un Steiner se tiene: Ix = IxG + a2 Ω Iy = IyG + b2 Ω

(3.24)

Sumando miembro a mienbro las ecuaciones (3.24) se tiene   Ix + Iy = IxG + IyG + a2 + b2 Ω

(3.25)

De donde se sabe a partir de (3.21) Ix + Iy = Ip y IxG + IyG = IpG = Ip . Adem´as, de la figura 3.7 se observa que a2 + b2 = d2 , siendo d la distancia entre el polo O y el O . En consecuencia, la ecuaci´on (3.25) se reduce a Ip = Ip + d2 Ω

(3.26)

La expresion anterior puede considerarse como la extensi´ on del Teorema de Steiner al caso de momentos de inercia polares dado que establece que el momento de inercia polar respecto de un centro que dista una distancia d del baricentro de la superficie, es igual al momento de inercia polar baric´entrico mas el producto del a´rea de la superficie por el cuadrado de la distancia entre ambos polos. Por otro lado, si se tratara de dos polos, ninguno de los cuales fuera baric´entrico (ver figura 3.8), la expresi´ on que resulta ser´ a similar a la obtenida al intentar extender el Teorema de Steiner a momento de inercia respecto de ejes no baric´entricos, expresi´on (3.18), Ix = Ix + 2 a Sx + a2 Ω Iy = Iy + 2 b Sy + b2 Ω donde, sumando miembro a miembro (3.27) se tiene 7

(3.27)

Estabilidad 1 Facultad de Ingenier´ıa. UNNE.

Figura 3.8: Teorema de Steiner aplicado a momentos de inercia polar para ejes no baric´entricos

Ip = Ip + 2 (a Sx + b Sy ) + d2 Ω

3.1.4

(3.28)

Rotaci´ on del sistema de coordenadas

Sea la superficie de la figura 3.9 y consideremos un par de ejes coordenado x, y de origen O. Para un elemento de superficie dΩ, respecto del sistema x, y se tiene:

Figura 3.9: Rotaci´ on de ejes dIx = y 2 dΩ

;

dIy = x2 dΩ

;

dIxy = xy dΩ

(3.29)

Luego, integrando en toda la superficie,  Ix =

Ω

y 2 dΩ

 ;

Iy =

x2 dΩ

 ;

Ω

Ixy =

xy dΩ

(3.30)

Ω

Supongase que se produce una rotaci´ on del sistema de ejes cartesianos x, y alrededor del origen de coordenadas O. Al a´ngulo formado por el nuevo sistema de coordenadas x’, y’ ser´ a α, como se observa en la figura 3.9. Con respecto a estos nuevos ejes, las coordenadas del elemento de superficie dΩ son: x = xcosα + ysenα y  = ycosα − xsenα 8

(3.31)

Unidad 3 Momento de Inercia

Del mismo modo que para los ejes x, y, los momentos de segundo orden para los ejes rotados x’, y’ ser´ an  Ix =

y

2

 dΩ

;

Iy =

Ω



2

x dΩ

;

Ω

Ix y =

x y  dΩ

(3.32)

Ω

Reemplazando ahora en las ecuaciones (3.32) las nuevas coordenadas (3.31) y desarrollando el cuadrado de los binomios, se tiene  I

x

=

Ix y =



2

2

y cos (α) dΩ + Ω

Iy =

2

Ω Ω

x2 cos2 (α) dΩ +

Ω



2

x sen (α) dΩ − 2

xy sen (α) cos (α) dΩ

(3.33)

Ω

y 2 sen2 (α) dΩ + 2 xy sen (α) cos (α) dΩ Ω    2  2 2 2 y sen (α) cos (α) dΩ − x sen (α) cos (α) dΩ + cos α − sen α xy dΩ

(3.34)

Ω

Ω

(3.35)

Ω

es decir, deacuerdo con las expresiones (3.30) y teniendo en cuenta las siguientes relaciones trigonom´etricas: 2 sen (α) cos (α) = sen (2α)

y

cos2 (α) − sen2 (α) = cos (2α)

(3.36)

las ecuaciones (3.33)-(3.35) pueden se expresadas como

Ix = Ix cos2 (α) + Iy sen2 (α) − Ixy sen (2α) 2

2

Iy = Iy cos (α) + Ix sen (α) + Ixy sen (2α) Ix y = Ixy cos (2α) + 1/2 (Ix − Iy ) sen (2α)

(3.37) (3.38) (3.39)

Estas expresiones permiten calcular los momentos de segundo orden de la superficie Ω respecto del sistema de ejes ortogonales x’, y’ en funci´ on del los correspondientes al sistema x, y. Adem´as, analizando las expresiones (3.37)-(3.39) se observa que las mismas son funciones del ´angulo de giro α. Es decir, se tendr´ an tantos valos de Ix , Iy y Ix y como valores de α, conocidos los momentos de inercia Ix , Iy y Ixy . En lo que respecta a los momentos de inercia, estos ser´an siempre positivos, mientras que el momento centr´ıfugo podr´ a ser negativo o incluso nulo. Aquellos pares de ejes para los cuales el momento centr´ıfugo se anula se denominan ejes conjugados de inercia. Existen infinitos pares de ejes conjugados de un mismo origen, pero entre ellos solo un par ser´ a ortogonal.

3.1.5

Ejes principales de inercia

Dado que en la secci´on anterior se demostro que el momento de inercia de superficie es var´ıa con el ´angulo del sistema de ejes coordenados, la pregunta que surge es la siguiente, ¿Existe un momento de inercia m´aximo y/o m´ınimo? y en caso de que exista ¿Como puede ser obtenido?. La respuesta al primer interrogante es positiva, dada una superficie cualquiera el momento m´aximo o m´ınimo se encuentra sobre el par de ejes conjugados ortogonales denominados ejes principales de inercia. 9

Estabilidad 1 Facultad de Ingenier´ıa. UNNE.

Para calcular la posici´ on de estos ejes principales de inercia es necesario recurrir, por ejemplo, a la expresi´ on (3.37) que permite calcular el valor de Ix en funci´ on de α. Es decir, la funci´ on a por un m´ aximo (o m´ınimo) cuando Ix = f (α) pasar´ dIx =0 dα

(3.40)

Por lo tanto, derivando la correspondiente expresi´ on e igualando a cero se tiene  dIx  = 2 Iy sen (α1 ) cos (α1 ) − 2 Ix sen (α1 ) cos (α1 ) − 2 Ixy cos (2α1 ) = 0 dα α=α1

(3.41)

de donde (Iy − Ix ) sen (2α1 ) − 2 Ixy cos (2α1 ) = 0

(3.42)

y finalmente se obtiene

tg (2α1 ) =

2 Ixy Iy − Ix

(3.43)

Esta u ´ltima expresi´ on establece que existen dos valores del ´angulo 2α1 que cumplen dicha a tambien dos valores de α1 que difieren en condici´ on y difieren en 180◦ . En consecuencia habr´ 90◦ que tambien satifacen la ecuaci´on (3.43). Los ejes que corresponden a estos dos valores de α1 ser´a ortogonales entre s´ı, siendo Ix m´aximo en uno de ellos y m´ınimo en el otro. Como se dijo anteriormente, estos ejes se denominan ejes principales de inercia y los momentos de segundo orden correspondientes ser´ an los momentos de inercia principales. La determinaci´ on anal´ıtica del los momentos de inercia principales conocidos de los momentos de inercia respecto de un sistema de ejes ortogonales cualquiera se realiza de la siguientes manera: En primer lugar recordemos las siguientes relaciones cos2 (α) = 1/2 (1 + cos (2α))

y

sen2 (α) = 1/2 (1 − cos (2α))

(3.44)

luego, reemplazando estos valores en la expresi´on (3.37) se tiene Ix = 1/2 (Ix + Iy ) + 1/2 (Ix − Iy ) cos (2α) − Ixy sen (2α)

(3.45)

por u ´ltimo, teniendo en cuenta la relaci´ on (3.43) se tiene 

Ix

2 Ixy = 1/2 (Ix + Iy ) + 1/2 (Ix − Iy ) cos (2α) 1 − tg (2α) Ix − Iy   = 1/2 (Ix + Iy ) + 1/2 (Ix − Iy ) cos (2α) 1 + tg2 (2α)

= 1/2 (Ix + Iy ) ± 1/2 (Ix − Iy ) 1 + tg2 (2α) 10

(3.46)

Unidad 3 Momento de Inercia

Reemplazando el valor de tg2α dado por (3.43), y teniendo en cuenta los dos signos del radical se llega a:

I1 = Imax = 1/2 (Ix + Iy ) + 1/2

2 (Ix − Iy )2 + 4 Ixy

= 1/2 (Ix + Iy ) − 1/2

2 (Ix − Iy )2 + 4 Ixy



I2 = Imin

(3.47)

que corresponde a los valores de los momentos de inercia principales. Por otro lado, si en la expresi´on (3.39) se reemplaza el valor de tg2α dado por (3.43), tenemos

I1,2

2 Ixy

Ix − Iy I −I  y x + =0 = Ixy  2 2 1 + tg 2α 1 + tg2 2α 1

(3.48)

Es decir, el momento centr´ıfugo respecto de un par de ejes principales de inercia es nulo. Se deduce de ello, que estos ejes constituyen el u ´nico par de ejes conjugados ortogonales, entre los infinitos pares que pasan por un punto. Veamos ahora para que pares de ejes el momento centr´ıfugo alcanza valores extremos. Para ello se procede de igual manera que los realizado para Ix . En primer lugar se iguala a cero la primer derivada de la expresi´ on (3.39),  dIx y  = −2 Ixy sen (2α2 ) + (Ix − Iy ) cos (2α2 ) = 0 dα α=α2

(3.49)

de donde tg (2α2 ) = −

Iy − Ix 2 Ixy

(3.50)

expresi´on que se satisface para dos valores de 2α que difieren en 180◦ y por ende, para valores de α que difieren en 90◦ . Por otra parte, siendo tg (2α2 ) = −

1 tg (2α1 )

(3.51)

α1 y α2 difieren entonces en 45◦ , es decir que el par de ejes para los cuales el momento centr´ıfugo es m´aximo o m´ınimo bisecar´ a el ´angulo que forman entre s´ı los ejes principales de inercia. Calcularemos a continuaci´ on los valores m´ aximos y m´ınimos del momento centr´ıfugo. Para ello, expresemos la ecuaci´on (3.39) en funci´ on de tg2α, recordado tg 2α sen 2α =  1 + tg2 2α 1 cos 2α =  1 + tg2 2α se tiene, 11

(3.52)

Estabilidad 1 Facultad de Ingenier´ıa. UNNE.

Ix y = 

Ixy 1+

tg2 2α

+

1/2 (Ix − Iy ) tg 2α  =0 1 + tg2 2α

(3.53)

Reemplazando en la anterior el valor de tg 2α obtenido en (3.50) se llega a las siguientes expresiones para los momentos de inercia m´aximos y m´ınimos en funci´ on de los momentos de segundo orden respecto de un par de ejes ortogonales

2 + (I I )2 I12 = I12,max = + 4 Ixy x y

2 + (I I )2 I12 = I12,min = − 4 Ixy x y

(3.54)

A continuaci´ on analizaremos una situaci´ on particular de las superficies sim´etricas. Si una figura admite un eje de simetr´ıa, este es, a su vez, un eje principal de inercia. En efecto, sea el caso de la figura 3.10 y consideremos el par de ejes coordenados x, y haciendo coincidir el eje y con el eje de simetr´ıa de la superficie. Se observa que para cada elemento dΩ ubicado a una abscisa x y ordenada y, le corresponde su sim´etrico, de igual ordenada pero de abscisa −x. En consecuencia, a cada producto xy dΩ, que representa el momento centr´ıfugo elemental le corresponde otro producto −xy dΩ y al integrar en toda la superficie, que por definici´ on es una sumatoria de elementos diferenciales, dichos momentos centr´ıfugos elementales se anular´an mutuamente. Por otro lado, como esta integral representa el momento de inercia centr´ıfugo respecto de un par de ejes ortogonales, al ser nulo, implica que los ejes ser´ an conjugados y, como solo existe un par de ejes conjugados ortogonales que son precisamente los ejes principales de inercia, quedar´ a as´ı demostrado que cuando una figura admite un eje de simetr´ıa este es al mismo tiempo un eje principal de inercia.

Figura 3.10: Figura con eje de simetr´ıa

3.2 3.2.1

Ejemplos de aplicaci´ on Momentos de inercia de figuas geom´ etricas

Para la determinaci´ on del momento de inercia de figuras geom´etricas simples es posible resolver anal´ıticamente las integrales definidas deducidas en la secci´ on anterior. 12

Unidad 3 Momento de Inercia

Momentos de inercia del rect´ angulo Para el rect´ angulo interesa en primer lugar calcular el mom´ento de inercia respecto de un eje que pasa por la base. Para ello es necesario definir correctamente el elemento de superficie dΩ, que se muestra en la figura 3.11

dΩ = b dy

Figura 3.11: Momentos de inercia del rect´ angulo ahora, el momento de inercia del elemento de superficie respecto de eje x ser´a dIx = y 2 b dy Integrando esta expresi´ on entre 0 y h se consigue abarcar todo la superficie del rect´angulo  Ix =

h

0

h b y 3  b h3 y b dy = = 3 0 3 2

A continuaci´ on se proceder´ a a calcular el momento de inercia baric´entrico del rect´angulo. Para ello, cabe recordar la expresi´on general del Teorema de Steiner I = IG + d2 Ω donde I corresponde al momento de inercia de superficie respecto de un eje paralelo al eje baric´entrico, d es la distancia que separa ambos ejes y Ω es el ´area de la superficie. Por lo tanto, en este caso, es necesario despejar b h3 − IG = I − d Ω = 3 2

13

 2 b h3 h bh= 2 12

Estabilidad 1 Facultad de Ingenier´ıa. UNNE.

Momentos de inercia del tri´ angulo Respecto del tri´angulo, lo que interesa fundamentalmente es conocer el momento de inercia respecto de un eje que pase por alguno de sus lados, que llamaremos base. Tambien ser´ an de interes el momento de inercia baric´entrico, y el momento de inercia respecto de un eje que pase por el vertice opuesto a la base considerada. Sea el tri´ angulo de lafigura 3.12, al igual que en el caso anterior, en primer lugar se debe establecer correctamente del elemento diferencia de superficie dΩ. En este caso se tiene,

Figura 3.12: Momentos de inercia del tri´ angulo

dΩ = by dy donde by no ser´ a una constante como lo fue en el caso del rect´angulo sino que var´ıa respecto de on f puede obtenerse por relaci´ on de tri´ angulos dado que por y, es decir, by = f (y). Esta funci´ semejanza de tri´angulos se debe cumplir: by b = h h−y de donde se puede despejar by como by =

b (h − y) h

Conocido by y habiendo definido el elemnto de superficie es posible obtener el momento de inercia del elemento diferencia respecto de un eje que pasa por la base dIx = y 2 dΩ = y 2 by dy = y 2

b (h − y) dy h

luego el momento de inercia de superficie se obtiene integrando  Ix =

2



y dΩ = Ω

0

h

b y b−y h 2

3



h b y 3 b y 4  b h3 dy = = − 3 4 h 0 12

Aplicando el Teorema de Steiner, y teniendo en cuenta que el baric´entro del tri´ angulo se encuentra a 1/3 de la altura tenemos 14

Unidad 3 Momento de Inercia

I = IG + d2 Ω donde I corresponde al momento de inercia de superficie respecto de un eje paralelo al eje baric´entrico, d es la distancia que separa ambos ejes y Ω es el ´area de la superficie. Por lo tanto, en este caso, es necesario despejar

IG = I − d2 Ω =

b h3 b h3 h − y2 b = 12 2 36

Conocido ahora el momento de inercia baric´entrico, es posible hallar el momento de inercia respecto de un eje que pasa por el v´ertice opuesto aplicando nuevamente Steiner

b h3 I = IG + d Ω = + 36 2



2 h 3

2 b

h b h3 = 2 4

A continuaci´ on se calcular´a el momento de inercia centr´ıfugo del tri´ angulo de la figura 3.13 respecto de ejes que pasan por ambos catetos ortogonales. Para ello se procede en primer lugar a definir el elemento de superficie

Figura 3.13: Momentos de inercia del tri´ angulo

dΩ = dx dy

siendo el momento de inercia centr´ıfugo de la superficie  Ixy =

  x ydΩ =

Ω

x y dxdy x

y

Al tratarse en este caso de una integral doble se resuelve de la siguiente manera 15

Estabilidad 1 Facultad de Ingenier´ıa. UNNE.

Ixy

h

y = x dx dy 0 0 b  h 2  h   h by b 2 y x2  y (h − y) dy = dy = y dy = = y 2 0 2 h 0 0 0 2   h 2 2 h2 3 4 h  2  b2 b 2hy y y = 2 yh − 2hy 2 + y 3 dy = 2 − +  = 2h 0 2h 2 3 4 0 

Ixy =



by

b2 h 2 24

y para calcular el momento de inercia centr´ıfugo respecto del baric´entro se emplea nuevamente el Teorema de Steiner I = IG + d2 Ω ⇒ IxG yG = Ixy − xG yG Ω

IxG yG

b 2 h2 = − 24

  h bh b b 2 h2 =− 3 3 2 72

El signo negativo en la ecuaci´ on del momento de inercia centr´ıfugo del tri´ angulo implica que la mayor parte del a´rea se encuentra en el segundo y cuarto cuadrante, como se observa en la figura 3.14.

Figura 3.14: Signo del momentos de inercia centr´ıfugo

16