Un reto PARA HOY: Soluciones ´ Lunes 2. ¿Cuantos numeros ´ formados unicamente ´ por cuatro unos y cuatro nueves existen tales que sean divisibles entre 11? ´ lunes 2. Para que el numero Solucion ´ sea divisible entre 11 se necesita ´ impar menos la suma de los que, la suma de d´ıgitos que ocupan una posicion ´ par sea multiplo d´ıgitos que ocupan una posicion ´ de 11. En este caso la suma ´ los podemos acomodar de manera total de d´ıgitos es 9 × 4 + 1 × 4 = 40 y solo que las sumas de los d´ıgitos pares sea igual a la suma de los d´ıgitos impares, es decir, necesitamos dos unos y dos nueves en las posiciones pares y lo mismo en las posiciones impares. Las combinaciones que se pueden hacer con dos unos y dos nueves son: 1, 1, 9, 9 9, 9, 1, 1

1, 9, 1, 9 9, 1, 9, 1

1, 9, 9, 1 9, 1, 1, 9

Por cada una de estas seis combinaciones que tenemos en las posiciones pares tendremos seis combinaciones posibles en las posiciones impares, por ´ 6 × 6 = 36 numeros. lo que en total seran ´ ´ ´ Miercoles 4. Descubre el valor del angulo x en la siguiente figura, para des´ encontrar los angulos ´ ´ pues del triangulo. 5x

2x

x

´ ´ ´ miercoles ´ Solucion 4. Llamemos a, c y x a los angulos del triangulo ABC como se muestra en la figura: 5x

A

a

B

x

2x

c C

´ ´ Como la medida de un angulo exterior es igual a la suma de los angulos no adyacentes, tenemos que 2x = a + x, luego x = a. Como 5x + a = 180◦ , entonces 5x + x = 6x = 180◦ , de donde x = a = 30◦ . Por lo tanto, x = 30◦ , a = 30◦ y c = 120◦ . ´ Viernes 6. ¿Cuantas cifras son necesarias para escribir todos los numeros ´ del 1 al 2011? 1 ´ Solucion viernes 6. Del 1 al 9 son necesarias 9 cifras, del 10 al 99 se usan 180, del 100 al 999 se requieren 2, 700, del 1000 al 1999 se utilizan 4, 000 y finalmente del 2000 al 2009 son 10 numeros ´ de 4 d´ıgitos cada uno entonces ´ 8 cifras para escribir 2010 y 2011. Sumando tenemos en total 40 cifras, mas estas cantidades tenemos que son 9 + 180 + 2, 700 + 4, 000 + 48 = 6, 937 cifras.