Un reto PARA HOY: Soluciones ´ ´ Lunes 14. Los puntos A, B y C son vertices de un triangulo cuyos lados miden ´ en el interior de un c´ırculo. Si cada uno de los vertices ´ 3, 4 y 5 cm y estan esta´ a ´ es su radio? una distancia de 1 cm de la circunferencia, ¿cual ´ ´ ´ Solucion lunes 14. Como A, B y C son vertices de un triangulo cuyos ´ ´ lados miden 3, 4 y 5 cm, entonces el triangulo es rectangulo. El c´ırculo que ´ ´ lo circunscribe1 tiene 2.5 cm de radio, y como cada vertice del triangulo esta´ a una distancia de 1 cm de la circunferencia el radio mide 3.5 cm. ´ Miercoles 16. Tres hermanos conversan acerca de sus edades. El mayor dice: “La suma de nuestras edades dividida por la edad de nuestro hermano menor da 4 como resultado”. El otro hermano expresa: “La suma de los cuadrados ´ peque no dice: “Mama´ me dijo que de las tres edades es igual a 200”. El mas ´ ten´ıa 2 a nos”. ¿Cuantos ´ tu´ naciste cuando el a nos tiene cada hermano? ´ miercoles ´ Solucion 16. Denotemos por a, b y c a las edades del hermano mayor, mediano y menor, respectivamente. Tenemos las siguientes ecuaciones: a+b+c =4 c a2 + b2 + c2 = 200 b = a − 2. Despejando c de (1) y utilizando (3), obtenemos c valor junto con (3) en (2) tenemos: )2 ( 2a − 2 2 2 a + (a − 2) + 3 2 − 8a + 4 4a a2 + a2 − 4a + 4 + 9 18a2 − 36a + 36 + 4a2 − 8a + 4 a2 − 2a − 80

(1) (2) (3) =

2a−2 3 .

Sustituyendo este

=

200

=

200

= =

1800 0.

´ anterior tenemos que a = 10, luego b = 8 y c = 6. Por Resolviendo la ecuacion lo tanto, los hermanos tienen, 10, 8 y 6 a nos. ´ ´ Viernes 18. Sea ABC un triangulo con ∠A = 60◦ y ∠B mayor que ∠C. ¿Cual ´ es el lado menor? es el lado mayor y cual ´ ´ viernes 18. Observemos que los angulos Solucion en B y en C no pueden ser los dos mayores de 60◦ , ni pueden ser los dos menores de 60◦ . Luego ´ deben cumplir, ∠C menor ∠A menor ∠B. Como en cualquier triangulo el lado 1 Ver en el apendice, ´ ´ ??. definici ´ on mayor se opone al angulo mayor, y rec´ıprocamente, tenemos que el lado mayor es CA y el lado menor es AB. 3