Autor: Oc. Virginia Sepúlveda Física II - Fac. Ciencias Naturales - Sede Trelew

EL POTENCIAL ELÉCTRICO La electrostática y las fuerzas gravitatorias Las semejanzas entre las fuerzas electrostáticas y gravitatorias nos permiten escribir:

 m m F G 1 2 r1

 F

1 4 0



q1  q 2 r2

También existe semejanza para calcular la intensidad de campo gravitatorio y eléctrico: F F G E m0 q0 La diferencia de energía potencial U cuando una partícula se mueve entre dos  puntos a y b bajo la influencia de una fuerza F es:

U  Wab

Wab es el trabajo realizado por la fuerza cuando la partícula se mueve de a a b. Solo es aplicable si la fuerza es conservativa. También se puede escribir:

  U b  U a    F  ds

  ( F es opuesta a ds )

b

a

Para definir la energía potencial es necesario determinar la naturaleza conservativa de la fuerza. La fuerza gravitatoria es conservativa. El trabajo realizado por la fuerza gravitatoria cuando una partícula se desplaza de a a b es independiente de la trayectoria seguida entre esas posiciones. Este mismo argumento se puede aplicar para la fuerza electrostática: “La fuerza electrostática es conservativa y puede representarse por una energía potencial”. Existe una propiedad importante en la que la fuerza electrostática difiere de la gravitatoria: Las fuerzas gravitatorias son siempre de atracción, mientras que las fuerzas electrostáticas pueden ser de atracción o de repulsión. Esa diferencia puede afectar el signo de la energía potencial.

Energía potencial eléctrica Podemos asociar una energía potencial a todo sistema en el que una partícula cargada esté situada en un campo eléctrico y reciba la acción de una fuerza electrostática.

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b

b

a

a

U b  U a    F  ds  q  E  ds La integral es independiente de la trayectoria, solo depende de los puntos a y b. Consideremos dos partículas de carga q1 y q2 separadas por una distancia r.

Si las cargas tienen signos opuestos y desplazamos q2 hacia la derecha, la fuerza eléctrica realiza un trabajo negativo, el lado derecho de la ecuación es positivo y la energía potencial aumenta. Si soltamos las cargas desde la separación mayor, la separación disminuye hasta llegar al valor inicial; la energía potencial del sistema disminuye mientras que la energía cinética del sistema aumenta. Si las dos cargas tienen el mismo signo, al mover q2 hacia la izquierda, la energía potencial del sistema aumenta (porque la fuerza eléctrica realiza trabajo negativo). Si soltamos las cargas su separación aumenta. La disminución resultante en la energía potencial está acompañada de un aumento correspondiente a la energía cinética al separarse las dos cargas. Cálculo de la energía potencial Suponemos q2 moviéndose en la dirección del eje X entre las dos cargas. La componente Ex del campo eléctrico debido a q1 es

Ex 

q1 4 0  r 2

El signo depende de q1   El vector r sitúa a q2 en relación con q1 y el vector ds indica el desplazamiento de q2. E  ds  E x  dr rb

U b  U a  q2   E x  dr   ra

rb

1 4 0

dr 1 1 1   q1  q2  (  ) 2 4 0 rb ra ra r

 q1  q2 

Si elegimos un punto de referencia a tal que ra corresponda a una separación  de las partículas y definimos a la energía potencial Ua como cero, la ecuación queda:

U (r ) 

1 4 0

2



q1  q 2 r

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Energía potencial de un sistema de cargas Se puede calcular la energía potencial total de un sistema de cargas usando la ecuación anterior mediante una suma algebraica de cantidades escalares. Si hay tres cargas:

U

1 4 0



q1  q 2 1 q1  q3 1 q 2  q3     4 0 r13 4 0 r23 r12

La energía potencial es una propiedad del sistema y no de alguna carga individual. Este enfoque de energía para analizar el sistema resulta más simple que calcular el campo eléctrico para lo cual deberíamos considerar una suma vectorial. Potencial eléctrico Se define como “Energía potencial por unidad de carga de prueba” Es una cantidad escalar. Para determinar el potencial en un punto P cualquiera, teniendo un conjunto de cargas, situamos una carga de prueba q0 positiva en el  donde el campo es cero. Desplazamos q0 hasta P; en ese proceso la energía potencial cambia de 0 a Up. El potencial eléctrico Vp en P debido al conjunto de cargas se define: Up Cantidad escalar. Vp  q0 En lugar de hacer referencia a un punto en el , es útil determinar la diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos a y b en un campo eléctrico. Movemos una carga de prueba q0 desde a hasta b. La diferencia de potencial eléctrico se define como U Ua V  Vb  Va  b q0 El potencial en b puede ser >, < ó = que el potencial en a. Unidad (SI): Volt 

También podemos escribir

Joule Coulomb

U  q  V

Cálculo del potencial a partir del campo Dado el campo eléctrico E podemos calcular el potencial V. Supongamos a y b dos puntos en un campo eléctrico uniforme E, separados una distancia L. Una carga de prueba positiva q 0 se mueve desde a hasta b en línea recta. La fuerza eléctrica sobre la carga es q0  E y apunta en la dirección X negativa. Cuando una 3

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carga de prueba se mueve desde a hasta b en la dirección ds , el trabajo realizado por el campo eléctrico constante es: Wab  Fx  x  (q0  E)  ( L)  q0  E  L Usando la definición de la diferencia de energía potencial, U  W

Vb  Va 

E

Ub U a W   ab  E  L q0 q0

Vb  Va L

Volt Joule que es idéntico a Coulomb m En la figura, b tiene un potencial más elevado que a ya que el campo eléctrico realiza un trabajo negativo sobre q0. La energía potencial de una carga positiva aumenta cuando se mueve en sentido opuesto al campo.

De aquí se deduce otra unidad para E en el SI:

La situación es comparable a levantar una piedra en el campo gravitatorio uniforme, cerca de la superficie terrestre: la energía aumenta cuando la piedra se mueve en sentido opuesto al de la fuerza de la gravedad, es decir, cuando su altura aumenta. Como la fuerza eléctrica sobre la carga negativa es opuesta al campo, su energía potencial aumenta cuando se mueve en el mismo sentido que el campo. El caso más común es que el campo no sea uniforme y que el cuerpo de prueba se mueva a lo largo de una trayectoria que no es recta.

⃗ sobre la carga de prueba. Un El campo eléctrico ejerce una fuerza desplazamiento infinitesimal a lo largo de la trayectoria se representa por ds. Para encontrar el trabajo total Wab realizado por el campo eléctrico cuando q0 se mueve desde a hasta b, integramos

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b

b

a

a

Wab   F  ds  q0  E  ds Integral lineal Vb  Va 

Ub Ua W   ab q0 q0 b

Vb  Va    E  ds a

Si ponemos a en el , podemos determinar el potencial en cualquier punto P p

Vp    E  ds 

Potencial debido a una carga puntual

Para simplificar elegimos q en una posición lineal y coincidiendo radialmente con los puntos a y b b

rb

a

ra

Vb  Va    E  ds    E  dr Tanto E como ds tienen únicamente componente radial. Con la expresión para el campo eléctrico de una carga puntual: E

Vb  Va  

q 4 0

1 4 0



q r2

rb

dr q 1 1  (  ) 2 4 0 rb ra ra r



Como el potencial es independiente de la trayectoria, la ecuación se cumple para cualquier trayectoria. Potencial debido a un conjunto de cargas puntuales

V  V1  V2  V3  ...  Vn 5

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qi

1

V  i 1Vi  N

r

4 0

i

i

Potencial eléctrico debido a un dipolo

V p  Vi  V1  V2  i

1  q q q r2  r1      4 0  r1 r2  4 0 r1  r2

r2  r1  d  cos  r1  r2  r 2

V

Pero q  d

q 4 0



d  cos  r2



p  cos  r2

es el momento dipolar p V

1 4 0

El potencial eléctrico de las distribuciones de carga continua Cada elemento dq puede considerarse como carga puntual con una contribución dV al potencial. 1 dq dV   4 0 r Para determinar el potencial debido a toda la distribución, integramos V   dV 

1 4 0



dq r

Superficies equipotenciales En cualquier punto de la superficie de una esfera imaginaria de radio r centrada en una carga Q, el potencial tiene el mismo valor V k

Q r

Una superficie sobre la cual el potencial vale lo mismo en cualquier punto se denomina superficie equipotencial. Por lo tanto, para una carga puntual, las 6

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superficies equipotenciales son esferas concéntricas. Las superficies equipotenciales de un campo eléctrico uniforme son planos perpendiculares a dicho campo. Cuando una carga se mueve formando un ángulo recto con el campo eléctrico no se realiza trabajo contra las fuerzas eléctricas, de modo que su energía potencial permanece constante. Por esta razón, las superficies equipotenciales son siempre perpendiculares a las líneas del campo eléctrico. Las cargas pueden moverse sobre una superficie equipotencial sin que varíe su energía potencial.

Cálculo del campo a partir del potencial

Si V está dada como una función de la posición, se puede dibujar un conjunto de superficies equipotenciales. Las líneas de fuerza se determinan trazando líneas perpendiculares a las superficies equipotenciales, describiendo así el  comportamiento de E .  En el punto P, el vector E es perpendicular a la superficie equipotencial V. q 0 es una carga de prueba que se mueve desde P a través del desplazamiento ds a la superficie equipotencial V  dV El trabajo realizado por el campo eléctrico es dW  q0  dV También dW  F  ds  q0  E  ds  q0  E  ds  cos 

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 q0  dV  q0  E  ds  cos 

De donde

E  cos   

Considerando E  cos   E  s , desplazamiento

dV ds

componente

de

 E

en

la

dirección

del

dV ds El signo – indica que E apunta en la dirección decreciente de V.  Volt La unidad de E será m dV Hay una dirección ds para la cual la cantidad  es máx ds dV Gradiente de potencial en ese punto E  ( ) máx ds dV La dirección en la que  toma un valor máximo forma un ángulo recto con la ds superficie equipotencial. Es  

Si consideramos que la dirección ds está a su vez en las direcciones de los ejes X, Y y Z podemos hallar: Ex  

dV dx

Ey  

dV dy

Ez  

dV dz

Unidades (SI) Potencial J Volt  C

Campo eléctrico N V 1 1 C m Energía Potencial

A menudo resulta más conveniente expresar las energías de los electrones u otras partículas atómicas mediante unidades electrovoltio (eV). Un electrovoltio es la energía cinética que adquiere una carga e cuando es acelerada por una diferencia de potencial de un voltio. Para una partícula de carga e, donde V  1Volt 1eV  1,6  10 19 J De interés para estudiantes de Ciencias Naturales Bioelectricidad: Campos eléctricos en células y organismos La estructura de los organismos vivos El término estructura debe entenderse en un sentido muy amplio, sin limitarse a los detalles visibles de los organismos biológicos. Además de la estructura 8

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morfológica, existen estructuras fundamentadas en otras propiedades físicas. Aplicando la definición de potencial eléctrico, y teniendo en cuenta su distribución en una proteína, una célula, un órgano, etc., se puede interpretar una “estructura eléctrica” de un sistema biológico. Desde un punto de vista físico se puede establecer un orden jerárquico de las estructuras, que se corresponde plenamente con la clasificación habitual en biología. Las interacciones atómicas pueden explicarse desde un enfoque de mecánica ondulatoria. La ecuación de Shcrödinger permite calcular los parámetros eléctricos a escala atómica, y determinar las energías de los enlaces químicos y de las interacciones moleculares. Es la base teórica para el cálculo de la función de onda de los electrones y la probabilidad de que estén localizados en un punto concreto del espacio, y relaciona la mecánica ondulatoria y el modelo postulado por Niels Böhr.

e4m E 8 0 n 2 h 2 Donde: m  9,109  10 31 kg es la masa del electrón e  1,60218  10 19 C es la carga del electrón h  6,626  10 34 J  s  4,136  10 15 eV  s es la constante de Planck  0  8,854  10 12 CV 1m 1 es la permitividad eléctrica en el vacío n = nº de capa a la que pertenece el electrón Las estructuras supramoleculares como las membranas, constituyen el siguiente nivel de jerarquía. Aquí tenemos en cuenta las cargas y los dipolos como elementos del sistema, y calculamos estructuras como dobles capas eléctricas, utilizando la ecuación de Poisson-Boltzmann de la termodinámica estadística, y explicamos las estructuras eléctricas en este nivel de organización. Esta ecuación posibilita el cálculo de la distribución de las cargas móviles en un campo eléctrico dado.

2  

F

 0



n

C i 0

i0

 Zi  e

Z i e KT

Donde:  2  es el operador nabla que indica la 2º derivada del potencial eléctrico respecto de las coordenadas del espacio. 9

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dE es la fuerza eléctrica dr C i 0 es la concentración iónica inicial kT se denomina ruido térmico  es la constante dieléctrica del agua Z i es el número de cargas de un ión F

El próximo nivel considera la célula como un sistema termodinámico que consta de varias fases con propiedades particulares. La ecuación de Nernst-Planck permite calcular los flujos de iones y los potenciales de difusión resultantes. Da la diferencia de potencial a través de la membrana en función de las actividades químicas del ión permeable, en equilibrio termodinámico en ambas fases (I y II).  

RT a II A  ln I Z AF a A

A continuación abordamos el siguiente nivel jerárquico, analizando los campos eléctricos en el espacio extracelular, en los tejidos y en los órganos. Ésta es la región de la electrodinámica clásica, en la que, mediante las ecuaciones de Maxwell se calculan campos eléctricos en dieléctricos no homogéneos. Entonces surge una pregunta: ¿Cómo se distribuye el campo eléctrico dentro del cuerpo, que está formado por órganos con diferentes conductividades como huesos, tejidos suaves, cavidades llenas de aire, etc.? Miremos lo que sucede a nivel celular. En la mayoría de las células animales hay una diferencia de potencial entre el interior y el exterior de la célula. Esto es aún más notable en las células nerviosas y musculares donde, en estado de reposo, el potencial interior es de unos -85 mV con respecto al potencial exterior. Un impulso nervioso es un cambio en este potencial que se propaga a lo largo de una fibra nerviosa o axón. Los impulsos nerviosos llevan señales de información desde las células sensoriales al cerebro y mandan señales en sentido inverso desde el cerebro a las células musculares. Cuando un impulso nervioso alcanza una fibra muscular, produce cambios de potencial semejantes que se propagan a lo largo de la fibra, iniciando la contracción de la misma. Así, la electricidad juega un papel fundamental en la organización neuromuscular de los animales. Los músculos de algunos peces han perdido su capacidad para contraerse y son utilizados exclusivamente para producir un potencial eléctrico. Tal es el caso de la anguila eléctrica, que produce un gran potencial de acción que utiliza para su defensa. Estas células no son fibras largas y delgadas como la célula muscular normal, sino placas cortas y lisas, llamadas electroplacas. Están dispuestas unas encima de otras como las baterías de un flash. Al ser estimuladas por impulsos nerviosos, se inicia simultáneamente en un lado de cada célula un potencial de acción. Mientras que cada célula produce un potencial de acción de 0,1 V solamente, un bloque de cientos y miles de estas células produce un impulso de potencial momentáneo de muchos voltios. La anguila eléctrica (Electrophorus), produce un potencial momentáneo de 300 V, que es suficiente para aturdir a su presa o a sus posibles enemigos. 10

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Muchos peces producen un pequeño potencial que emplean para detectar objetos en las aguas circundantes. Algunas especies mantienen unas ininterrumpidas diferencias de potencial de unos pocos voltios entre la cabeza y la cola. Esta diferencia de potencial se produce en forma de pulsos, a una velocidad de varios cientos de pulsos por segundo. Se establece así, alrededor del pez un campo eléctrico pulsante y la carga eléctrica circula a lo largo de las líneas de fuerza de ese campo. Cuando el pez se desliza de un lado a otro, la corriente y el campo eléctrico se modifican por la presencia en el agua de objetos con diferente resistencia eléctrica. El pez eléctrico tiene células sensoriales en la piel y con ellas puede detectar las variaciones de corrientes debido a objetos de distinto tamaño y en distinta posición. Las células eléctricamente sensibles posiblemente se desarrollaron en un principio en algunos peces para detectar los potenciales de acción normales en otros peces. También se sabe que algunos peces utilizan estos campos para indicar sus intenciones agresivas y de apareamiento. Resumiendo: Energía Potencial eléctrica Se toma como referencia para medir U, aquella en que la partícula de prueba está muy lejos de las partículas fijas (U = 0)

U

q0 q  i 4 0 ri

Potencial eléctrico V 

V

V

1 4 0 1 4 0

 

qi ri

dq r

U con q 0 pequeña q0

para un sistema de partículas cargadas

para una distribución continua de cargas

Diferencia de potencial

Vb  Va 

Ub Ua q0

con q 0 pequeña 11

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b

Vb  Va    E  dl

en función del campo eléctrico

a

 Relaciones entre V y E p

V    E  dl 

Ex  

dV dx

Ey  

dV dy

Ez  

dV dz

Ejemplos 1º) (a) ¿Cuál es el potencial a una distancia de 3 m de la carga q 1 = 15.10-6 C? (b) Una carga q = +3 C se halla originalmente a 3 m de q 1. ¿Cuánto trabajo realiza sobre q el campo eléctrico cuando se desplaza esta carga hasta un punto situado a 5 m de distancia de q1? Respuestas: (a) 4,5.104 V; (b) 5,4.104 J 2º) En el tubo de rayos catódicos de un osciloscopio o en el tubo de imágenes de un televisor, los electrones son acelerados desde el reposo a través de una diferencia de potencial de +20000 V. ¿Cuál es su velocidad final? (m e = 9,11.10-31 kg; qe = -1,6.10-19 C). Respuesta: 8,38.107 m.s-1

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