TRIANGULOS RECTANGULOS Sea el triángulo rectángulo ABC, rectángulo en A, representando por “a” la hipotenusa y por “b” y “c” los catetos.

Se cumple: (I)

(II)

(III)

(IV) (V)

Razones trigonométricas de los ángulos agudos. ! c ! b   sen B = a sen C = a !  ! b !  ! c Para B : cos B = Para C : cos C = a a  !  !  tg B = b  tg C = c c b   Un cateto es igual al producto de la hipotenusa por el seno del ángulo opuesto. ! c = a ⋅ sen C ˆ b = a ⋅ sen B Un cateto es igual al producto del otro por la tangente del ángulo opuesto. ! c = b ⋅ tg C ! b = c ⋅ tg B ! La suma de los ángulos es siempre 180º. Teniendo en cuenta que A = 90º ! ! B + C = 90º Teorema de Pitágoras: a 2 = b 2 + c 2

Tipos de problemas. (a) (b) (c) (d) (e)

Dado un ángulo agudo y la hipotenusa. Dado un ángulo agudo y un cateto. Dados la hipotenusa y un cateto. Dados los dos catetos. Método de la doble observación.

! ! (a) DATOS: a, C ; INCOGNITAS: b, c, B ! ! ! ! Solución: b = a ·cos C ; c = a·sen C ; B = 90º −C ! ! (b) DATOS: b, C ; INCOGNITAS: a, c, B ! ! ! b Solución: a = ! ; c = b·tg C ; B = 90º −C cos C ! ! (c) DATOS: a, b ; INCOGNITAS: c, C , B ! b ! b ; sen B = Solución: cos C = ; c² = a ² − b ² a a (d) DATOS: b, c ; INCOGNITAS: a, B, C ! !b ! Solución: a ² = b² + c ² ; sen B ; C = 90º −B a

e) Si la base de un objeto cuya altura queremos medir no es accesible ó no la podemos medir, puede calcularse por el método de la doble observación ó de la doble tangente. DATOS: Ángulos de observación (α, β), distancia entre los puntos de observación. Se pueden plantear tres casos diferentes a) DATOS; α, β y d. INCÓGNITAS; x, h

b) DATOS; α, β y d. INCÓGNITAS; x, h

c)

DATOS; α, β y d. INCÓGNITAS; x, h