Trabajo Práctico Nº 7 Factorización RRP – UNRN – Profesor: Martin Goin Factorizar un número consiste en expresarlo como producto de dos de sus divisores. Ejemplo: Factoriza 20 en dos de sus divisores: 4 · 5 , es decir 20 = 4  5 Cuando realizamos las multiplicaciones algebraicas:

i) ii)

2x(x2 – 3x + 2) = 2x3 – 6x2 + 4x (x + 7)(x + 5) = x2 + 12x + 35

Vemos que las expresiones de la izquierda son los factores y las de la derecha son las expresiones a factorizar, es decir, la factorización es el proceso inverso de la multiplicación. Existen varios casos de factorización: Nosotros veremos algunos. 1 - FACTOR COMÚN Es el factor que está presente en cada término del polinomio: Ejemplo 1: ¿cuál es el factor común de 12x + 18y - 24z ? Entre los coeficientes es el 6, o sea, 6·2x + 6·3y - 6·4z = 6(2x + 3y - 4z ) Ejemplo 2: ¿Cuál es el factor común de : 5a2 - 15ab - 10ac ? El factor común entre los coeficientes es 5 y entre los factores literales es a: por lo tanto

5a2 - 15ab - 10 ac = 5a·a - 5a·3b - 5a · 2c = 5a(a - 3b - 2c ) Ejemplo 3: ¿Cuál es el factor común en 6x2y - 30xy2 + 12x2y2 ? El factor común es 6xy porque 6x2y - 30xy2 + 12x2y2 = 6xy(x - 5y + 2xy ) 2 – FACTOR COMÚN POLINOMIO Es el polinomio que aparece en cada término de la expresión: Ejemplo 4:

Factorizar x(a + b ) + y( a + b ) =

El factor común es (a + b ) ,entonces x(a + b ) + y( a + b ) = ( a + b )( x + y ) Ejemplo 5:

Factorizar

2a(m - 2n) - b(m - 2n ) =

2a (m - 2n) - b(m - 2n ) = (m - 2n )( 2a - b ) 3 – FACTOR COMÚN EN GRUPOS Página 1

Trabajo Práctico Nº 7 Factorización RRP – UNRN – Profesor: Martin Goin Se trata de extraer un doble factor común. Ejemplo 6:

Factorizar ap + bp + aq + bq =

Se extrae factor común p de los dos primeros términos y q de los dos últimos

p(a + b ) + q( a + b ) Se saca factor común polinomio ( a + b ) ( p + q ) 4 – DIFERENCIA DE CUADRADOS Ejemplo 7:

Factorizar

9x2 - 16y2 =

Se observa que los dos términos se pueden expresar como cuadrados: por un lado 3x·3x = 9x2 (primer término) y por el otro +4y · -4y = -16y2 (segundo término) Obteniendo 9x2 - 16y2 = ( 3x + 4y )( 3x - 4y ) , es decir que se factoriza multiplicando la suma de las bases por la resta de las bases. Ejemplo 8:

Factorizar

𝑥2 −

9 25

=

En este caso los dos términos cuadrados son: X·X y Por lo tanto

𝑥2 −

9 25

3

3

5

5

3

3

5

5

(+ ) ∙ (− )

= (𝑥 + ) ∙ (𝑥 − )

5 – TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Ejemplo 9:

Factorizar

9x2 - 30x + 25 =

1 Acomodar los términos de modo decreciente de acuerdo a la potencia de la variable X 2º Hallar la raíz principal del primer término 9x2 = 3x · 3x 3 Hallar la raíz principal del tercer término 25 con el signo del segundo término -5 · -5 luego la factorización de 9x2 - 30x + 25 = (3x - 5 )( 3x - 5 ) = ( 3x - 5 )2

Ejercicios Prácticos 1) Hallar el factor común de los siguientes ejercicios a) 6𝑥 − 12 =

b) 4𝑥 − 8𝑦 =

c)

24𝑎 − 12𝑎𝑏 =

d) 24𝑎 − 12𝑎𝑏 =

e) 10𝑥 + 15𝑥 2 𝑎 =

f) 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥 =

g) 14𝑎2 𝑏 + 7𝑎𝑏 =

h) 8𝑎3 − 6𝑎2 =

i) 𝑏 4 − 𝑏 3 =

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Trabajo Práctico Nº 7 Factorización RRP – UNRN – Profesor: Martin Goin 4𝑎3 𝑏𝑥 − 4𝑏𝑥 =

j) m)

3 4

l) 10𝑝2 𝑞 3 + 14𝑝3 𝑞 2 − 18𝑝4 𝑞 3 − 16𝑝5 𝑞 4 =

k) 3𝑎𝑏 + 6𝑎𝑐 − 9𝑎𝑑 =

8

𝑥 2 𝑦 − 9 𝑥𝑦 2 =

n)

1 2

1

1

1

𝑎2 𝑏 3 + 4 𝑎3 𝑏 4 − 8 𝑎2 𝑏 5 + 16 𝑎4 𝑏 2 =

2) Hallar el factor común polinomio a) 𝑎(𝑥 + 1) + 𝑏(𝑥 + 1) =

b) 𝑚(2𝑎 + 𝑏) + 𝑝(2𝑎 + 𝑏) =

𝑥 2 (𝑝 + 𝑞) + 𝑦 2 (𝑝 + 𝑞) =

c)

d) (𝑎2 + 1) − 𝑏(𝑎2 + 1) = e) 𝑎(2 + 𝑏) − (2 + 𝑏) =

f) (𝑎 + 1)(𝑎 − 1) − 2(𝑎 − 1) =

g) 𝑎(𝑥 + ℎ) + 𝑒(ℎ + 𝑥) =

i) 𝑥 3 (𝑦 − 1) − 𝑥(𝑦 − 1) =

h) 𝑎(𝑥 + 1) − 𝑏(−𝑥 − 1) =

3) Hallar el factor común en grupos a) 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 =

b) 𝑎𝑏 − 2𝑎 − 5𝑏 + 10 =

c) 𝑎𝑚 − 𝑏𝑚 + 𝑎𝑛 − 𝑏𝑛 =

d) 3𝑥 2 − 3𝑏𝑥 + 𝑥𝑦 − 𝑏𝑦 =

e) 3𝑎 − 𝑏 2 + 2𝑏 2 𝑥 − 6𝑎𝑥 =

f) 6𝑎𝑐 − 4𝑎𝑑 − 9𝑏𝑐 + 6𝑏𝑑 + 15𝑐 2 − 10𝑐𝑑 =

g) 18𝑥 − 12 − 3𝑥𝑦 + 2𝑦 + 15𝑥𝑧 − 10𝑧 =

h)

15 4

𝑥2 −

21 4

𝑥𝑧 −

10 3

𝑥𝑦 +

143 3

𝑦𝑧 + 5𝑥 − 7𝑧 =

4) Factorizar las siguientes diferencias de cuadrados a) 9𝑎2 − 25𝑏 2 =

b) 𝑚𝑥 2 − 1 =

c)

d) 49𝑥 2 − 64𝑦 2 =

e) 169𝑚2 − 169𝑛2 =

f) 25 𝑎2 − 36 𝑏 2 =

h) 121𝑥 2 − 144𝑘 2 =

i) 5 − 180𝑦 2 =

g)

1 25

9

𝑥 4 − 16 𝑦 4 =

36𝑚2 𝑛2 − 25 = 9

49

5) Factorizar Trinomios cuadrados perfectos a) 𝑏 2 − 12𝑏 + 36 =

c)

𝑛2 + 10𝑛 + 25 =

d) 16𝑚2 − 40𝑚𝑛 + 25𝑛2 = e) 4𝑚2 + 4𝑚 + 1 =

f)

1 + 6𝑎 + 9𝑎2 =

g) 𝑚2 − 2𝑚 + 1 =

i) 𝑥 2 + 2 − 2√2𝑥

j)

7 + 25𝑦 2 − 10√7𝑦

b) 25𝑥 2 + 70𝑥𝑦 + 49𝑦 2 =

h) 289𝑎2 + 68𝑎𝑏𝑐 + 4𝑏 2 𝑐 2 = k) 9𝑥 4 − 6√2𝑥 2 𝑦 + 2𝑦 2

6) Ejercicios diversos de factorización a) 2𝑎𝑏 + 4𝑎2 𝑏 − 6𝑎𝑏 2 =

b) 2𝑥𝑦 2 − 5𝑥𝑦 + 10𝑥 2 𝑦 − 5𝑥 2 𝑦 2 =

c)

𝑎2 + 6𝑎 + 8 =

d) 𝑏 2 − 3𝑏 − 28 =

e) 𝑏𝑥 − 𝑎𝑏 + 𝑥 2 − 𝑎𝑥 =

f)

𝑥 2 + 2𝑥 + 1 − 𝑦 2 =

g) 8𝑥 2 − 128 =

h) 𝑥 4 − 𝑦 2 =

i) 𝑥16 − 𝑦 16

k) 4 − 12𝑦 + 9𝑦 2

l) 𝑎2 + 12𝑎𝑏 + 36𝑏 2

j)

(𝑎 + 𝑏)2 − (𝑐 + 𝑑)2

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