Trabajo Práctico N◦ 6: Polinomios Asignatura: Razonamiento y resolución de problemas Escuela de Economía, Administración y Turismo - UNRN - 2018

1) Completar la tabla. Luego ordenar y completar los polinomios que estén incompletos. Polinomio

Grado

Coeficiente

Coeficiente

Término

¿Está

¿Está

principal

lineal

independiente

completo?

ordenado?

P (x) = −5x2 + x + 9 A(x) = 6x − x7 − 1 Q(x) = x5 + 4x3 M (x) =

x 4

B(x) = 12 J(x) = −x2 −

2 5

T (x) = x − 3 − x4 + 2x6

2) Hallar M (4) , M −

2 3




, M (0) y M (−2) siendo M (x) = (x − 5)2 (x − 7) − x + 12.

3) Dar ejemplos de polinomios que cumplan cada una de estas características: (a) Un cuatrinomio de grado 3. (b) Un trinomio con término independiente igual a 1. (c) Un binomio de grado 2 con coeficiente principal igual a − 31 y con coeficiente lineal igual a -3. 4) Determinar los valores de a, b, c y d para que P (x) sea igual a Q(x). 1 P (x) = 2x3 − 1 + x − x4 Q(x) = d + c x + (a + d)x3 + (a + b)x4 2 1 3 2 5) Dados: P (x) = x4 − 3x + 1; T (x) = x − 2; B(x) = 3x4 − 5x3 + 6x2 − , hallar: 2 2 5 6 1 1 (a) − P − B (b) T − 2P − 5B (c) 2P + B + T 5 2 4 6) Dados: M (x) = −6x5 + 2x2 − 1; (a) M · N

N (x) = 1 + x3 ;

R(x) = 9x2 + x + 21 , hallar: (c) N 2 · R

(b) (M · R − N )/N

7) Si P (x) es un polinomio de grado 2 y Q(x) un polinomio de grado 3, determinar cual es el grado de los siguientes polinomios sin realizar las operaciones. (b) xQ(x) − P (x)

(a) P (x) + Q(x)

(d) P (x) − 2x5

(c) Q(x) · P (x)

8) Operar: (a) (2x2 + 3)(x − 1) − x(x − 2)2 

(b) (c)

1 1 2 5 x + x+ (6x − 12) 2 3 6

(x3



+

1)(x2

1 1 − 3x)x + x5 − x2 3 2

(d) (x2 − 5x + 3)(x2 − x) − x(x3 − 3)2 2 (e) x3 + 5 (f) (x −



x5 )

1 3 x − x3 x2 − x5 2 4





1 − 3 + x2 3



9) Utilizando la regla de Ruffini, halla el cociente y el resto de cada división:

1 −x− 2



(d) (x3 − 27) : (x − 3)

(a) (3x4 − 2x2 + 5x − 2) : (x − 2)     3 3 2 (b) 2x − x + 3 : x − 2 4 3 2 (c) (3x − 2x − x) : (x + 2)

(e) (x4 − x2 ) : (x + 1)     3 4 3 3 1 (f) x + x + 2x2 + x + 3 : x + 4 8 2

10) Hallar los restos de las divisiones del ejercicio anterior, aplicando el Teorema del Resto. 11) Sin hacer la división, determinar cuál es el resto de dividir el polinomio P (x) por x − a: (a) P (x) = −x3 + 3x − 4, a = 3

(c) P (x) = x3 − x2 + 1, a = −2, √ (d) P (x) = x4 − 2x2 − 4, a = 2

(b) P (x) = 5x2 − x − 40, a = −5

12) Los siguientes polinomios son divisibles por x − a. Calcula el valor de b en cada caso. 1 (b) P (x) = x4 + bx2 − x, a = 1 4

(a) P (x) = x3 + 2xb − 1 + x2 , a = −1

13) Determinar el valor de b ∈ R para el cual el polinomio Q(x) = x5 + bx3 + x − 3 tiene resto 2 en la división por x + 1. 14) Dados los siguientes polinomios, averiguar cuáles de los siguientes valores de x son raíces del mismo. (a) P (x) = x2 − 8x + 7, x = 1, x = 2, x = −2, x = 7, x = 0 5 1 3 x = , x = 3, x = −3, x = 0, x = 1 (b) P (x) = − x + x3 + x2 , 2 2 2 15) De cada una de los polinomios graficados a continuación, indicar la expresión que corresponde a cada uno. y

(a)

(b)

y

2.5

x −3 −2 −1

x −1

1

2

3

4

1

2

3

4

−10

−2.5 −20 −5 −30

−7.5 (a) P (x) = x(x − 0, 5)(x + 3)

(a) P (x) = x(x + 4)(x − 1)(x + 3)

(b) P (x) = (x − 0, 5)(x + 1)(x + 3)

(b) P (x) = (x − 4)(x − 1)(x + 3)

(c) P (x) = (x + 1)(x − 0, 5)(x − 3)

(c) P (x) = x(x + 4)(x + 1)(x − 3)

(d) P (x) = x(x + 1)(x − 0, 5)(x − 3)

(d) P (x) = x(x − 4)(x − 1)(x + 3)

16) (a) Se sabe que un polinomio de grado 4 tiene el 2 como coeficiente principal y que tiene las siguientes raíces: 1, –1, 3 y 5. Escribir el polinomio en forma factorizada y polinómica. (b) Se sabe que un polinomio de grado 3 cuyo coeficiente principal es 1 tiene como raíces el 4 (raíz doble) y el –2. Escribir el polinomio en forma factorizada y polinómica.

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