Trabajo Práctico N◦ 2: Número reales - Parte II Asignatura: Razonamiento y resolución de problemas Curso cuatrimestral 2017 - EEAyT - UNRN 1) Calcular utilizando la definición: (a) loga a (b)

log2 21

(c) loga 1

(j) ln e

(d) log10 100

(g) log 1 5

(e) log10 1000

(h) log 1 125

(f) log10 0.1

(i) log6

5

(k) ln(e2 )

5

1 36

(l) ln(e4 · e5 )

2) Exprese en forma logarítmica: 1

(a) 53 = 125

(c) 81 2 = 9

(e) 73 = 343

(g) e3 = y

(b) 10−4 = 0.0001

(d) 8−1 =

(f) ex = 2

(h) e0.5x = t

1 8

3) Realizar las siguientes operaciones sin usar la calculadora, aplicando propiedades: (a) log45 5 + 2 log45 3

(d) log3

49 4

· log 7 3 2

1 3

(e) log 1 20 − log 1 125

(b) log3 5 · log5 3

2

1 2

4 9

(f) log 3

(c) 2 log10 4 + 2 log10 5 − log10 16

5

2

· log 3 2

25 9

4) Realizar los siguientes ejercicios, sin usar calculadora, aplicando propiedades del logaritmo: 729 27 64 3log3 (5)

(a) log 125 (b) (c)

25 16

· log 2 3

27 125

5 7

(f) log 1 5

+ 2 log 1

√

5

√

28 − 2 log 1 ( 2 5 5 ) 5

(g) log 1 ( 34 ) · log 4 (32)

log 4 ( 16 25 )

2

3

5

r

(d) log10

√
10 10 10

(h) ln( 1e )

q

(e) log 1 2 + log 1 8 + 2 log 1 9

9

9

3 4

(i) ln( e13 )

5) Sabiendo que log2 3 = 1, 585 y log2 5 = 2.322, hallar log2 6) Sabiendo que log3 7 ≈ 1.771 y log3 5 = 1.465, hallar log3

√
8·27 √ 3 7 60· 900 √ 4
441−2 ·21 105−5

7) Sabiendo que loga X = 2, loga Y = 3 y loga Z = 4 Hallar: q √ 3 √ (a) loga XY (e) loga XZ 2·Y (c) loga X · Z √ √ √ 3 X· Y (b) loga XY (d) loga XY (f) log a Z Z

(g) logZ X (h) loga

aX 3 Y2

8) Reescribir las siguientes expresiones: ab (a) ln( √ 3 c)

(c) ln(x3 y 5 )

(b) ln(a2 b) + 2ln(a)

c ) + ln(3) (d) ln( √ e

(e) ln(5x2 ) + ln(5)

3

6

√ ) (f) ln( CD B

9) Un espectrofotómetro mide la concentración de una muestra disuelta en agua al hacer brillar una luz a través de ella y registrar la cantidad de luz que emerge. En otras palabras, si sabemos la cantidad de luz que es absorbida, podemos calcular la concentración de la muestra. Para cierta sustancia, la concentración (en moles por litro) se encuentra usando la fórmula C = −2500 ln

I I0




donde I0 es la intensidad de la luz incidente e I es la intensidad de la luz que emerge. Encuentre la concentración de la sustancia si la intensidad I es 70% de I0 . 10) La edad de un artefacto antiguo puede ser determinada por la cantidad de carbono 14 radiactivo restante en una muestra. Si D0 es la cantidad original de carbono 14 y D es
la cantidad restante, entonces la edad A del artefacto (en años) está dada por A = −8267 ln DD0 Encuentre la edad de un objeto si la cantidad D de carbono 14 que queda en el objeto es 73% de la cantidad original D0 . 11) Cierta cepa de bacterias se divide cada 3 horas. Si una colonia se inicia con 50 bacterias, entonces el tiempo t (en horas) necesario para que la colonia crezca a N bacterias está dado por t=3

N ) log( 50 2

Encuentre el tiempo necesario para que la colonia crezca a un millón de bacterias. 12) El tiempo necesario para duplicar la cantidad de una inversión a una tasa de interés r capitalizado continuamente está dado por ln 2 t= r Encuentre el tiempo necesario para duplicar una inversión al 6%, 7%, 8%. 13) La rapidez a la que se carga una batería es más lenta cuanto más cerca está la batería de su carga máxima C0 . El tiempo (en horas) necesario para cargar una batería completamente descargada a una carga C está dado por t = −k ln 1 −

C C0




donde k es una constante positiva que depende de la batería. Para cierta batería, k = 0.25. Si esta batería está completamente descargada, ¿cuánto tomará cargarla al 90% de su carga máxima C0 ? 14) La dificultad en “alcanzar un objetivo” (por ejemplo usar el mouse para hacer clic en un icono en la pantalla de la computadora) depende de la distancia a la que está el objetivo y el tamaño de éste. De acuerdo con la Ley de Fitts, el índice de dificultad (ID) está dado por ID =

log( 2A ) W log 2

donde W es el ancho del objetivo y A es la distancia al centro del objetivo. Compare la dificultad de hacer clic en un icono de 5 mm de ancho con hacer clic en uno de 10 mm de ancho. En cada caso, suponga que el mouse está a 100 mm del icono. 15) Expresa los siguientes intervalos como conjuntos y grafica: (a) [5; 9] (b)



0; 13





− ∞; − 21





− ∞; 14



(c) (2; 3]

(e)

(d) [−1, 5; 4)

(f) (2; +∞)

(h) (−6; +∞)

(g)

16) Expresa en forma de intervalos y grafica: (a) 2 < x < 3

(c) 5 < x

(e) x < 5

(g) x > −3

(b) 2 ≤ x ≤ 3

(d) 5 ≥ x

(f) x ≤ 5

(h) −2 < x ≤ 4

17) Resuelve las siguientes situaciones usando desigualdades: (a) Mora es la hermana del medio. Su hermana menor tiene 20 años. Su hermano mayor tiene cinco años más que su hermana menor. ¿Cuántos años puede tener Mora? 2

(b) Una agencia de modelos tiene los siguientes requisitos para las jóvenes que deseen trabajar allí: i) la altura debe ser por lo menos de un metro y setenta centímetros; ii) el peso debe estar entre 55 y 58 kilogramos; iii) deben ser mayores de edad pero no superar los 25 años. a) Expresa con desigualdades todos estos requisitos; b) Aylén es una chica de 19 años que mide 1,72 m y pesa 60 kg, ¿puede trabajar en la agencia? (c) Jorge consiguió un trabajo para la temporada de verano en un restaurante. Le ofrecen por día $210. Además puede obtener hasta $500 de propina diarios, aunque hay días que quizás no consiga ninguna propina. Va a trabajar 15 días corridos. Indica cuánto es lo máximo y lo mínimo que puede llegar a cobrar en la quincena. 18) Calcula el porcentaje de los siguientes números mentalmente y luego en tu cuaderno. (a) 20% de 180

(b) 90% de 1200 (c) 110% de 2000 (d) 150% de 400 (e) 11% de 300

19) Completa la siguiente tabla: Porcentaje

Fracción

Expresión decimal

10% de x

1 10

0, 1x

Significado El 10% es la décima parte

20% de x 0, 25x 1 2

1 20) Si A, B y C indican las áreas de tres sectores circulares y se sabe que C = A, completa con 5 una fracción: (a) A = (b) B =

C C

(c) B = (d) A =

A B

(e) C =

B

B

A C

Ahora, completa usando expresiones decimales: (a) C =

A (b) A =

C (c) B =

C (d) B =

A (e) A =

B (f) C =

B

C (d) B =

A (e) A =

B (f) C =

B

Y por último usando porcentajes: (a) C =

A (b) A =

C (c) B =

21) El Sr. Moretti desea comprar un televisor. En un negocio el precio de lista del mismo es de $8650. Si lo paga de contado le descuentan $650. Si lo paga con tarjeta le recargan un 20%. Encuentra el porcentaje de descuento si paga de contado y cuánto terminaría pagando en cada caso. 22) ¿Cuáles de las siguientes expresiones indican el 25% de 5? ¿Cuáles son equivalentes entre sí? 25 +5 100 25 (b) ·5 100 (a)

25 100 25 (d) 5 · 100 (c) 5 ÷

25 ÷5 100 1 (f) 4

(e)

(g)

5 4

(h) 0, 25 · 5

(i) 1, 25 (j) 5 − 0, 25

23) Un teléfono celular cuyo precio era de $5000, cuesta en la actualidad $300 menos. ¿Cuál es el porcentaje de descuento? 24) Un par de zapatos que costaban $875 han aumentado y ahora su precio es $1172,50. ¿Cuál ha sido el porcentaje de aumento? 3

25) Resolver los siguientes problemas, explicando claramente todos los pasos: (a) El número de alumnos de una escuela descendió de 855 a 709. Expresa en porcentaje esta reducción. (b) Ana compró un terreno por $247.000. Ahora quiere venderlo y desea ganar un 20% con la venta. ¿A qué precio debe venderlo? (c) Ayer hubo 48 alumnos en la clase de Juan. La preceptora comentó que hubo un 20% de ausentismo. ¿Cuántos alumnos hay inscriptos en la clase de Juan? (d) El 28% de la producción de naranjas de una quinta se ha perdido a causa de un temporal. El productor ha recolectado 720kg. ¿Cuál hubiese sido la producción si no hubiera ocurrido el temporal? (e) Marta quiere comprar una camisa cuyo precio de lista es de $460. Si lo paga con tarjeta de débito le mantienen el precio de lista. Si lo paga de contado le hacen un descuento del 15%. Si lo paga con tarjeta de crédito le recargan un 10% y lo puede pagar en 6 cuotas iguales. Averigua: i)¿cuál es el valor que abonará si lo paga de contado? ii) ¿Cuál es el valor de cada cuota si lo paga con tarjeta de crédito? iii) Si lo paga con tarjeta de débito, el banco le devuelve el 4,13% del IVA. ¿Cuánto termina pagando en este caso? 26) De acuerdo al gráfico presentado que muestra la distribución de los gastos de un hogar, responder las siguientes preguntas: (a) ¿Cuántos grados tiene el ángulo central del sector alimentación? (b) Si la familia realizó un gasto de $8400 en alimentación, ¿cuál fue el gasto en cada ítem que se menciona?

27) La población de 3 distritos está distribuida según las gráficas presentadas. Según esta información, contestar las siguientes preguntas: (a) Si en el distrito “A” habitan 14000 personas, ¿cuántas habitan en “C”?, ¿cuántas en “B”? (b) Si, en cambio, en el distrito “B” fueran 24000 menores de edad, ¿cuántos habitantes tendría “A”? 28) El gráfico muestra la producción (en toneladas) de dos cereales, en el primer trimestre del año. De acuerdo a esta información: (a) ¿En qué porcentaje desciende la producción de cebada entre febrero y marzo? (b) ¿Qué porcentaje más de cebada, con respecto al arroz, se produce en enero? (c) Respecto al total de estos dos cereales en el primer trimestre, ¿qué porcentaje se produjo de cada uno?

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