Trabajo de Investigación
Tema: Aplicaciones Función Logarítmica Nombre y apellido: Cortés Ayusa, Paloma Materia: Matemática Aplicada
Fecha: 29/03/2010
Introducción: En este trabajo se va a investigar las distintas aplicaciones de la función logarítmica en los distintos ámbitos de ciencia, luego a desarrollar en profundidad una de ellas.
Aplicaciones Logarítmicas
La
escala
de
Richter
es
un
ejemplo
de
Escala
Logarítmica
Dentro del campo de las ciencias, los logaritmos son una herramienta fundamental a la hora de resolver ecuaciones, de analizar ciertos fenómenos mediante la función logarítmica (función recíproca de la función exponencial). Pero dejando lo estrictamente matemático, una de las mayores aplicaciones de los logaritmos son las Escalas Logarítmicas. ¿Qué son y para qué se utilizan las escalas logarítmicas? En la Naturaleza se dan situaciones en que se tienen que utilizar medidas de órdenes muy diferentes. Por ejemplo, Los pesos de los seres vivos: un hombre puede pesar 90 kg = 90.000 gr = 10 elevado a 4,96 gr un rotífero (el menor animal pluricelular): 0,00000000603 gr = 10 elevado a –8,22 gr una ballena (el mayor de todos los animales): 120 Tm = 120.000.000 gr = 10 elevado 8,08 gr . Así que si tenemos que referirnos a diferentes animales por sus pesos o hacer una gráfica con los mismos, es un gran inconveniente que haya tan enormes diferencias entre unos y otros. Una solución para abreviar la expresión de esas diferencias es asignar a cada animal el logaritmo decimal de su peso, al que llamaremos el “orden de magnitud”. Por
ejemplo: El rotífero:-8'22, la mosca:-5'30 , el escarabajo gigante (mayor insecto): 2'00, el hombre: 4'96, el avestruz: 5'20, el cocodrilo: 6'25, el elefante: 6'99, la ballena: 8'08 Ahora ya podemos hacer una escala con todos los animales que no sea excesiva. El orden de cada animal será un número entre –8 y 8 y llamaremos: • • • • •
muy pequeños, a los animales de órdenes entre -8 y –5 pequeños, entre –5 y –2 medianos, entre –2 y 2 grandes, entre 2 y 5 muy grandes, entre 5 y 8.
Esto es lo que se llama una Escala Logarítmica. En un rango pequeño, en este caso de -8 a 8, que consigue expresar realidades muy diferentes. Ejemplos famosos de escalas logarítmicas son: 1. La escala para la medición de la intensidad del sonido. La presión del sonido que llega hasta nuestros oídos se mide en pascales. El intervalo de sonidos que puede percibir el ser humano oscila entre 0’00002 y los 100 pascales (umbral del dolor), es un intervalo tan amplio que resulta inmanejable, por lo que se adopta un escala logarítmica expresada en decibelios desde 0 a 180 db. 2. El PH Que es una medida de la acidez de una concentración (número de iones H3O+). 3. La escala Richter. Mide la intensidad de los terremotos que es una magnitud que oscila entre 3’5 (casi imperceptible) y 8 (Gran terremoto) 4. La magnitud aparente. La magnitud aparente de una estrella, planeta o de otro cuerpo celeste es una medida de su brillo aparente, es decir, la cantidad de luz que se recibe del objeto (el brillo aparente no es igual al brillo real, porque un objeto muy brillante puede estar muy muy lejos). Así por ejemplo, en esta escala al sol le corresponde una magnitud aparente de –26’8, a la luna –12’6, y a las estrellas más débiles visibles por el ojo humano +6. ¿Qué es la Escala de Richter?
La Escala Sismológica de Richter, también conocida como escala de magnitud local, es una escala logarítmica arbitraria que asigna un número para cuantificar el efecto de un terremoto, denominada así en honor del sismólogo estadounidense Charles Richter (1900-1985).
A continuación se muestra una tabla con las magnitudes de la escala de Richter y su equivalente en energía liberada.
Magnitud Richter
Equivalencia de la energía TNT
Referencias
–1,5
1g
Rotura de una roca en una mesa de laboratorio
1,0
170 g
Pequeña explosión en un sitio de construcción
1,5
910 g
Bomba convencional de la II Guerra Mundial
2,0
6 kg
Explosión de un tanque de gas
2,5
29 kg
Bombardeo a la ciudad de Londres
3,0
181 kg
Explosión de una planta de gas
3,5
455 kg
Explosión de una mina
4,0
6t
Bomba atómica de baja potencia.
5,0
199 t
Terremoto en Albolote de 1956 (Granada, España)
5,5
500 t
Terremoto en Colombia (El Calvario, Meta, Colombia; 2008
6,0
1.270 t
Terremoto de Double Spring Flat de 1994 (Nevada, Estados Unidos)
Terremoto de Morón (2009) (Venezuela) Estado Carabobo
6,2
31.550 t
Terremoto de Northridge de 1994 (California, Estados Unidos)
7,0
199.000 t
Terremoto de Hyogo-Ken Nanbu de 1995 (Japón) Terremoto de Puerto Príncipe de 2010 (Haití)
7,2
250.000 t
Terremoto de Spitak 1988 (Armenia) Terremoto en Puerto Rico 21 enero2
7,5
750.000 t
Terremoto de Santiago de 1985 (Chile) Terremoto de Caucete 1977 (Argentina)
7,8
1.250.000 t
Terremoto de Sichuan de 2008 (China)
8,0
5.850.000 t
Terremoto del Perú de 2007 (Pisco, Perú)
8,1
6.450.000 t
Terremoto de México de 1985 (Distrito Federal, México)
8,5
31,55 millones de t
Terremoto de Sumatra de 2007
8,8
100 millones de t
Terremoto de Chile de 2010 (150 kilómetros al noroeste de Concepción)
9,0
150 millones de t
Terremoto de Lisboa de 1755
9,2
220 millones de t
Terremoto del océano Índico de 2004 Terremoto de Anchorage de 1964 (Alaska, Estados Unidos)
9,5
260 millones de t
Terremoto de Valdivia de 1960 (Chile)
6,5
Estimado para el choque de un meteorito rocoso de 2 km de diámetro que impacte a 25 km/s
10,0
6.300 millones de t
13,0
Impacto en la península de Yucatán que 10 megatones = 100 teratones causó el cráter de Chicxulub hace 65 Ma3 4 5 8
67
Función Logarítmica: Grafico
a>1
0
