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TRABAJO PRÁCTICO Nº 1: SUCESIONES Y SERIES ASIGNATURA: MATEMATICA 2 (ATH) - U.N.R.N. – AÑO: 2014
1) Escriba los primeros 6 términos de la sucesión comenzando por n=1: b) b( n) =
a) a ( n) = 2n − 1
n+2 2n − 1
c) c( n) =
5−n (−1) n + 4
d) d ( n) =
− 2n + (−1) n 4
2) Hallar el termino general de las siguientes sucesiones: b) 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ...
a) 1; 1 ; 1 ; 1 ; 1 ;...
2
3
4
5
2 3 4 5 6 1 1 1 1 ; ... f) 1 ; ; ; ; 4 9 16 25
e) 10, 7, 4, 1, …
c) − 1;2;−3;4;−5;...
d) 3;−2; 5 ;− 3 ; 7 ;...
2 4 5 g) ; 1 ; ; ; ... 3 3 3
h) 0,1 ; 0,01 ; 0,001 ; …
3
2
5
3) Dada las siguientes sucesiones analizar si son monótonas crecientes o decrecientes, acotadas y convergentes. Hallar los primeros términos y graficarlas. a) a ( n) =
1 n
b) b( n) =
e) a (n) = n 2 − 1
2n − 5 n +1
f) a (n) = (−1) n (n + 2)
c) c( n) =
8+n 4+n
d) d (n) = 2 cos
g) a (n) =
n2 + 1 n
h) a (n) = n 2 ⋅ (−1) n
nπ 4
4) Dadas las siguientes sucesiones, analizar su convergencia: a) s (n) =
3n 2 n2 − 5
b) s (n) =
n+2 d) s (n) = 3n
2
3n − 7 3 2 n − 5n 2 + 3
c) s (n) =
8 − n3 5n + 3
f) s ( n) = 1 +
e) s ( n) = (− 1)
n
4 n
n
5) (Sucesión de Fibonacci) En una jaula se coloca una pareja de conejos recién nacidos. Cada pareja de conejos necesita un mes para hacerse adulta, durante el cual no se reproduce. Cada pareja origina mensualmente una nueva pareja, según la siguiente tabla: Mes Nro. de parejas
1º 1
2º 1
3º 2
4º 3
5º 5
6º
7º
8º
9º
10º
11º
12º
a) Completar la tabla y obtener el término general. (Se recomienda hacer un gráfico de árbol) b) ¿Cuántas parejas habrá después de un año y medio de comenzar la experiencia? 6) Dadas las siguientes sucesiones, encuentra los diez primeros términos, y el valor de a80 , a1215 y a10001 .
n 2
n si n es múltiplo de 3 b) a (n) = 1 n si n no es múltiplo de 3
si n es par − 1 si n es impar
a) a (n) =
7) Analizar la convergencia de las siguientes series geométricas. En cada caso, indicar el valor de la suma: ∞
1 a) ∑ ⋅ 5 n n =0 6
∞
1 b) ∑ n =0 3
n
∞
8 c) ∑ n =0 7
n
∞
d)
∑ 0,01
n
n =0
8) Expresar los siguientes números decimales periódicos como series geométricas, y expresar sus sumas como fracciones: a) 0,44444..... b) 0,75757575........ 9) Se deja caer una pelota desde una altura de 2 metros y después de cada rebote, la altura se reduce a la mitad de la anterior. a) Escribir la sucesión de las alturas alcanzadas, su término general, razonar si crece o decrece y su tendencia (límite). b) hallar la distancia recorrida por la pelota.
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RESPUESTAS TRABAJO PRÁCTICO Nº 1: SUCESIONES Y SERIES ASIGNATURA: MATEMÁTICA 2 (ATH) - U.N.R.N. – AÑO: 2014
1) a. b. c. d.
a(1)=1 ; a(2)=3 ; a(3)=5 ; a(4)=7 ; a(5)=9 ; a(6)=11 b(1)=3 ; b(2)=4/3 ; b(3)=1 ; b(4)=6/7 ; b(5)=7/9 ; b(6)=8/11 c(1)=4/3 ; c(2)=3/5 ; c(3)=2/3 ; c(4)=1/5 ; c(5)=0 ; c(6)=-1/5 d(1)=-3/4 ; d(2)=-3/4 ; d(3)=-7/4 ; d(4)=-7/4 ; d(5)=-11/4 ; d(6)=-11/4
2)
a ( n) =
1 n
n n +1 1 f ( n) = 2 n
b ( n) =
e(n)=13-3n 3) a. b. c. d. e. f. g. h.
(−1) n +1 (n + 2) n 1 h ( n) = n 10
c(n) = (−1) n .n
d ( n) =
n +1 3
g ( n) =
monótona decreciente acotada (-∞,0] [1,+∞) converge {1 , ½ , 1/3 , ¼ ,…} monótona creciente acotada (-∞,-3/2] [2,+∞) converge {-3/2 , -1/3 , ¼ ,3/5,…} monótona decreciente acotada (-∞,1] [9/5,+∞) convergente {9/5 , 5/3 , 11/7 ,3/2,…} oscilante acotada (-∞,-2] [2,+∞) {1,41 ; 0 ;- 1,41 ; -2 ; -1,41 ; 0 ;..} monótona creciente acotada inferiormente (-∞,0] divergente {0 , 3 , 8,…} oscilante no acotada {-3 ; 4 ;- 5 ; 6;…} monótona creciente acotada inferiormente (-∞,2] divergente {2 , 5/2 ,10/3 ,17/4,…} oscilante no acotada {1; 4 ;- 9 ; -2 ; 16 ; …}
4) a) converge a 3 e) oscilante
b)converge a 0 f) converge a e 4
si n ≤ 2 si n > 2
1 5) a) a n−1 + a n −2
c)divergente d)converge a 1/9
b) 2584
6) a) {-1 , 4 ,- 1 , 16 ,-1, 36, -1,64,-1,100,…} a(80)=6400 a(1215)=-1 a(10001)=-1 b) {1 , 1/2 , 3 , 1/4 , 1/5, 6 , 1/7 , 1/8 , 9 , 1/10,…} a(80)=1/80 a(1215)=1215 a(10001)=1/10001 7)
a) a=1/6 c) a=1 ∞
8)
9)
4 1 a) ∑ . n = 0 10 10
r=5 divergente r=8/7 divergente n
1 a) S(n)= 2. 2 b) 6
b) a=1 r=1/3 d) a=1 r=1/100 ∞
Suma=4/9
75 1 b) ∑ . n = 0 100 100
Suma=3/2 Suma=100/99
n
Suma=25/33
n −1
{2, 1, 1/2 , 1/4,…}
converge a 0
monótona decreciente
