TOPOLOGIA Designamos por R al conjunto de los números reales: -

Un conjunto de números reales o de puntos de una recta recibe el nombre de conjunto lineal. Dados dos números reales a y b, se llama distancia entre los puntos a y b al número real a − b .

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Sean a y b dos números reales tales que a < b. Se llama intervalo abierto de extremos a y b al conjunto de números reales o puntos x que cumplen a < x < b y se representa por (a, b). El conjunto de puntos x, tales que a ≤ x ≤ b, recibe el nombre de intervalo cerrado y se representa por [a , b]. Gráficamente, el intervalo (a, b) es el conjunto de puntos del segmento ab, excluidos los extremos, y el intervalo cerrado [a , b] es el conjunto de puntos de dicho segmento, incluidos los extremos. El número a − b se llama amplitud del intervalo.

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Al conjunto de números reales x tales que x > a se considera como intervalo abierto, se representa por (a , +∞) y se dice que es un entorno de +∞. Al conjunto de números reales x tales que x < a se considera intervalo abierto, se representa por (–∞, a) y se dice que es un entorno de −∞. El conjunto de números reales x, tales que a < x ≤ b, se representa (a , b ] . El conjunto de

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números reales x, tales que a ≤ x < b, se representa [a , b ) . Los conjuntos (a , b] y [a, b ) se llaman intervalos semiabiertos Un conjunto lineal E se dice que esta acotado inferiormente si existe un numero real k tal que para todo x ∈ E, x ≥ k. Al numero k se le denomina cota inferior de E. Todo número inferior a k, es también cota inferior de E. Un conjunto de lineal E se dice que esta acotado superiormente si existe un numero real K tal que para todo x ∈ E, x ≤ K . Al numero k se le denomina cota superior de E. Todo numero superior a K es también cota superior de E. Un conjunto acotado superior e inferiormente se llama conjunto acotado.

Entorno de un punto Cualquier intervalo abierto (a, b) que contiene un punto xo se dice que es un entorno de xo. Frecuentemente se consideran entornos de xo de la forma E (x o , ε ) = (x o − ε, x o + ε ) , en cuyo caso xo se llama centro y ε radio del entorno. Entorno reducido( E’ ) de xo es todo entorno de xo excluido xo. E' (x o , ε ) = E(x o , ε) − {x o }

Clasificación de los puntos de un conjunto lineal. DEFINICIONES: Sea E un conjunto lineal: - Se dice que un punto x ∈E es punto interior de E si existe un entorno de x tal que todos sus puntos pertenecen a E. - Se dice que un punto x ∈ E es un punto aislado de E si existe un entorno reducido de x cuyos puntos no pertenecen a E. - Un punto x se dice que es un punto de acumulación de E si en todo entorno reducido de x hay puntos de E. El punto x puede pertenecer o no pertenecer a E. Es evidente que todo punto interior de E es punto de acumulación. - Un punto x se llama punto adherente de un conjunto lineal E, si en todo entorno de x hay puntos de E. Sí x ∈ E, x es adherente, si x ∉ E pero es adherente, entonces x es un punto de acumulación. Por lo tanto los puntos adherentes de E son todos sus puntos interiores más todos sus puntos de acumulación que no pertenezcan a E.

Clasificación de los conjuntos lineales Definiciones: - Un conjunto lineal E se llama conjunto abierto si todos sus puntos son interiores, esto es, sí ∀ x ∈ E existe un entorno ( x − ε , x + ε ) de x tal que todos los puntos del mismo pertenecen a E. - Dado un conjunto lineal E se llama complementario de E, y se representa por E al conjunto ℜ − E , donde ℜ es el conjunto de números reales. - El conjunto formado por los puntos de acumulación de un conjunto lineal E se llama conjunto derivado de E, y se representa por E’. - Un conjunto lineal E se llama conjunto cerrado cuando su complementario E = ℜ − E es abierto.

Supremo e ínfimo de un conjunto lineal. Definición: Sea E un conjunto lineal. Sí E está acotado superiormente se llama supremo de E ó extremo superior de E, a la menor de sus cotas superiores. Sí E está acotado inferiormente se llama ínfimo de E ó extremo inferior de E, a la mayor de sus cotas inferiores. Sí E está formado por un número finito de elementos, E tiene supremo e ínfimo, los cuales son, respectivamente, el mayor y el menor de los elementos de E. Si E consta de un número infinito de términos y está acotado superiormente, E tiene supremo. Sí está acotado inferiormente E tiene ínfimo. Los extremos superior ó inferior de un conjunto lineal E, si existen, pueden pertenecer ó no pertenecer a E. Sí los extremos de un conjunto E pertenecen a él, se llaman máximo el supremo y mínimo el ínfimo. Teorema Todo conjunto cerrado y acotado superiormente tiene máximo, es decir, el supremo de E, pertenece a E. Teorema Todo conjunto cerrado y acotado inferiormente tiene mínimo, es decir, el ínfimo de E, pertenece a E.