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TEMA Nº 1 TEORÍA DE PROBABILIDADES

1.1.- COMPETENCIA DE TEMA:

HABILIDAD: Describe CONTENIDO: Los conceptos fundamentales de la teoría del cálculo de probabilidades. PROCESO: Mediante un proceso interactivo y el uso de diferentes fuentes de información. CONTEXTO: En el aula

1.2. PROBABILIDADES.- El cálculo de Probabilidades, es una rama de las matemáticas que se ocupa de medir o cuantificar la posibilidad de que ocurra un determinado suceso o evento. La probabilidad es una herramienta indispensable para toda clase de investigaciones que implican INCERTIDUMBRE. Si se está frente a experimentos cuyos resultados están completamente determinados, es decir de antemano se sabe qué suceso ocurrirá, entonces desaparece el problema de incertidumbre, por lo tanto no hay necesidad de recurrir al cálculo de probabilidades. Sin embargo, como hay una infinidad de fenómenos los cuales implican incertidumbre, la importancia de considerar la teoría de probabilidades en nuestro estudio, es realmente relevante. La creación de la Probabilidad se atribuye a los matemáticos franceses del siglo XVII Blaise Pascal y Pierre de Fermat, aunque algunos matemáticos como Gerólamo Cardano en el siglo XVI, habían aportado importantes contribuciones a su desarrollo. La probabilidad matemática comenzó como un intento de responder a varias preguntas que surgían en los juegos de azar, como ser los dados, los naipes y las monedas. A través de la historia, se han estructurado tres definiciones de probabilidad que son complementarias y su aplicación depende de la naturaleza del problema o fenómeno que se esté encarando o tratando de resolver. Estas definiciones son:

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a) Definición clásica b) Definición por Frecuencia Relativa

c) Definición Subjetiva

PROBABILIDAD OBJETIVA

PROBABILIDAD SUBJETIVA

a) DEFINICIÓN CLÁSICA: Fue estructurada por Simón Laplace en el año 1812, en su obra:” Teoría Analítica de las Probabilidades” y dice: “LA PROBABILIDAD DE UN EVENTO ES LA RAZÓN ENTRE EL NÚMERO DE CASOS O SUCESOS FAVORABLES A UN EVENTO Y EL NÚMERO TOTAL DE CASOS O SUCESOS POSIBLES, SIEMPRE Y CUANDO NADA OBLIGUE A CREER QUE ALGUNOS DE ESTOS SUCESOS DEBA TENER PREFERENCIA A LOS DEMÁS, LO QUE HACE QUE TODOS SEAN IGUALMENTE POSIBLES”.

En la definición anterior, se tiene:

N(

)

n

N ( A)

na

Número de elementos del espacio muestral (número total de sucesos). Número de elementos o sucesos favorables al evento A.

Entonces: PA

N (A) N( )

N ( A) n

Número de casos favorablesal eventoA Número de casos posibles

En la presente definición, está implícito un supuesto muy importante referido al Espacio Muestral , es el concepto de EQUIPROBABILIDAD. Según este principio, todos los elementos del espacio muestral deben tener la misma probabilidad de ocurrencia, de no ser así no es aplicable el concepto de Probabilidad Clásica. La probabilidad de un resultado se representa con un número que fluctúa entre 0 y 1, ambos inclusive. La probabilidad CERO indica que el resultado no ocurrirá nunca, y la probabilidad 1, que el resultado ocurrirá siempre. El cálculo matemático de probabilidades se basa en situaciones teóricas en las cuales puede configurarse un espacio muestral , cuyos sucesos elementales tengan todos la misma probabilidad. Por ejemplo: al lanzar un dado normal, la probabilidad de cada una de las caras es 1/6. Al lanzar dos dados, la probabilidad de cada uno de los resultados es de 1/36.

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EJEMPLO 1: Si se lanza un dado no cargado, debe considerarse que hay igual probabilidad que salga cualquiera de los números del espacio Muestral . = {1, 2, 3, 4, 5,6} La probabilidad de que salga cualquier número es = a 1/6 EJEMPLO 2: Sea el experimento que consiste en lanzar dos dados una vez y en condiciones normales. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los puntos que aparecen sea 12? b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea 7? c) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma no sea mayor que 3 ? SOLUCIÓN: a)

= {(1,1) (1,2) (1,3)..................................... (6,6)}

62

36

1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)

1 2 3 4 5 6

2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)

3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)

4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)

5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)

6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

a) La suma de los puntos es = 12 y solo existe una opción.

N(A) = {(6,6)} = 1 P( A) = 1/36 b) La suma de los puntos es 7

N(A) P( A)

6,1 5,2 4,3 3,4 2,5 1,6 6 36

6

1 6

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c) La suma de los puntos es < 4

P(A)

{(1,1)(1,2)(2,1)}

P( A )

3 36

3

1 12

EJERCICIOS PARA RESOLVER EN CLASES: 1.- Se lanza una moneda tres veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 3 caras? ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos caras y un sello?. 2.- Un lote consta de 10 artículos, 4 con pequeños defectos y 2 con defectos graves. Se elige un artículo al azar. Encontrar la probabilidad de que: a) No tenga defectos. b) Tenga un defecto grave. b)

DEFINICION POR FRECUENCIA RELATIVA:

El supuesto fundamental sobre el cual se apoya la definición clásica de probabilidad, es el referido a la equiprobabilidad de los elementos del espacio muestral , o sea que, todos los elementos del espacio muestral tengan la misma probabilidad de ser elegidos. Sin embargo no todos los fenómenos o problemas de la vida real cumplen necesariamente con dicho supuesto, para estos casos la ciencia de la estadística estructuró la Teoría de las probabilidades por Frecuencia Relativa o el concepto frecuencialista de Probabilidad, que toma en cuenta dos aspectos: 1.- No es necesario que los elementos de sean equiprobables. 2.- n debe ser grande, o tender al infinito. Si se cumplen las dos condiciones anteriores, se puede estimar la probabilidad de la ocurrencia de un evento cualquiera a partir de su Frecuencia Relativa:

P( A ) Donde:

P( A)

na n = Probabilidad de que ocurra el evento “A”.

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na

= Frecuencia Absoluta de A

n

= Tamaño de la Muestra

Esta aproximación es más real cuando n es grande tiende al infinito. EJEMPLO Nº 1: En una muestra aleatoria de 10 fábricas que emplean un total de 10.000 trabajadores, se evidenció que ocurrieron 500 accidentes de trabajo durante un período reciente de 12 meses. Hallar la probabilidad de que ocurra un accidente de trabajo en una industria determinada. SOLUCION: En el problema anterior no se puede señalar que los casos posibles sean equiprobables por cuanto las condiciones de trabajo y seguridad industrial varían en cada empresa, por lo tanto no podemos hablar de equiprobable, por tanto no es posible aplicar el concepto de la probabilidad Clásica. Los datos con los que contamos son:

n

= 10.000 trabajadores

n a = Accidentes de trabajo ocurridos en un periodo de doce meses = 500 Entonces, se puede estimar la probabilidad de ocurrencia de un accidente a partir del concepto de Frecuencia Relativa:

P( A)

na n

500 10.000

0,05

EJEMPLO Nº 2: Sea la distribución de los miembros de los partidos políticos, el siguiente: PARTIDO NÚMERO TOTAL DE MILITANTES MILITANTES MUJERES

A 105

B 100

C 70

D 45

E 40

F 15

TOTALES 375

15

20

5

10

3

2

55

¿Cuál es la probabilidad de que un miembro seleccionado aleatoriamente : a) Sea una mujer ? TEXTO GUÍA DE ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II Preparado por el Lic. René Mamani Quisbert

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b) Pertenece al partido B? c) Sea un hombre miembro del partido C? SOLUCIÓN: a) n = total de militantes = 375 Sea: “A” : El militante seleccionado es una mujer.

na

55 375

0,147

a) Sea B: El seleccionado pertenece al partido “B”.

nb

100 375

0,27

c) Sea C: El seleccionado es hombre y pertenece al partido C.

nc

70

P( c)

nb n

5 65 375

65 0,17

c) PROBABILIDAD SUBJETIVA: Esta es una definición alternativa y se utiliza cuando existen muchas situaciones donde el concepto de Probabilidad Clásica ( equiprobable) y el de Frecuencia Relativa, carece de significado, o sea no se cumplen ninguna de las dos condiciones señaladas. En este caso se aplica el concepto de probabilidad subjetiva: EJEMPLO: ¿Cuál es la probabilidad de que una expedición tripulada desembarque en el planeta Marte en la próxima década ? El ejemplo anterior tratase de un evento único sin antecedente alguno, por tanto, no existe forma de que se pueda interpretar tal probabilidad a través de la probabilidad clásica ni la frecuencia relativa.

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En consecuencia, en estos casos, el ENFOQUE SUBJETIVO de probabilidad resulta ser el más adecuado, donde hay una sola oportunidad de ocurrencia del evento. DEFINICIÓN: Dado un experimento determinado, la probabilidad de un evento A es el grado de CERTEZA asignado a la ocurrencia de ese evento por un individuo particular, basado en toda la evidencia a su disposición, con las siguientes exigencias: 1.- P( A) 2.- P(A)

Representa la certeza de que el evento A no ocurrirá.

0

Representa la certeza de que el evento A si ocurrirá.

1

3.- 0 < P( A) < 1 Representa el grado de certeza de que el evento A ocurrirá, a partir de toda la información disponible en relación al evento analizado. 1.3 AXIOMAS DE PROBABILIDAD Y PROPIEDADES.- El tratamiento de las Probabilidades implica el empleo de axiomas y teoremas, las mismas que los podemos clasificar en tres axiomas y seis teoremas:

AXIOMA 1 0

1

PA

Para cada evento A que es parte de

AXIOMA 2: Probabilidad del Evento seguro.

P

1

AXIOMA 3: Para cualquier número finito k de eventos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos en

P

k k

 Ai i 1

P AB

P Ai

i 1

PA

PB

TEOREMAS:

TEOREMA 1: Si

es el evento imposible, entonces Demostración: Sabemos que: =

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P

0

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Por otro lado:

P

y

P

P

Por el Axioma 3

Por el axioma 2

1 1 P

P

son mutuamente excluyentes

11 0

TEOREMA 2: Para cada evento A, se cumple que:

PA

1 PA

PA

ó

1

PA

Demostración: Se sabe que: Por otro lado los eventos

_

AA y

A

_

A

son mutuamente excluyentes:

_

AA En consecuencia:

P 1

PA

PA

PA

PA

Por el Axioma 2

PA

1 PA

Por el Axioma 3

ó Viceversa

TEOREMA 3: Si A y B son eventos de

PA

, tales que A B

PB

DEMOSTRACIÓN: B

Ω

A

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B A  B A

y además:

A  B A

Ambos eventos son mutuamente excluyentes

Luego por el Axioma 3:

PB

PA

P BA 0

PB

PA

TEOREMA 4: Si A y B son dos eventos cualesquiera de

P AB

PA

PB

P AB

DEMOSTRACION: El evento A  B puede representarse como la unión de los eventos mutuamente excluyentes.

A

y A  B , y son

Empleamos la siguiente gráfica para explicar la demostración:

A

B

Ω

An B  AB

AB A AB

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Luego: (l)

P AB

PA

P/Axioma 3

P AB

Por otro lado, el Evento B también puede escribirse como la unión de los eventos mutuamente excluyentes: y

AB

B

AB  AB

PB ó

AB

P AB

P A B

P A B

PB

P/Axioma 3

P AB

Sustituyendo este resultado en (l), tenemos:

P AB

PA

PB

P AB

Como consecuencia, tenemos demostrado la igualdad.

TEOREMA 5: Si: A, B y C son tres eventos cualesquiera en

P ABC

PA

PB

PC

P AC

,

P AC

P CB

P ABC

DEMOSTRACION: Podemos escribir A  B  C que A  B es un evento.

AB C

y aplicamos el Teorema Nº 4, tomando en cuenta

TEOREMA 6: Si: A1 , A2 , A3 ,, AK es una colección de eventos cualesquiera en entonces:

P A1A2 A3 Ak

k i 1

P AI

k

P Ai  A j

i j2

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k

P Ai  A j  A r



1

k 1

 P A1A2 Ak

i j2

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,

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EJERCICIOS DE APLICACIÓN

EJERCICIO 1: La probabilidad de que llueva en una determinada ciudad el 12 de junio es 0,10; de que truene es 0,05 y que llueva y truene es 0,03. ¿ Cuál es la probabilidad que llueva ó truene ese día ? SOLUCIÓN: Definimos previamente los siguientes eventos: A = “Llueva el 12 de junio”. B = “Truene el 12 de junio”. C = “Llueva y truene ese día”.

P(A)

0,10

P(B)

0,05

PAB)

0,03

AB

C

PC

P AB

PC

PA

PB

P AB

0,10 0,05 0,03 0,12

EJERCICIO 2:

La probabilidad de que una señora reciba al año más 5 llamadas telefónicas en un día es 0,20 y por lo menor 9 llamadas en un día es 0,50 ¿ Cuál es la probabilidad de la dicha señora reciba 6,7 u 8 llamadas en un día ?. SOLUCIÓN: =

0, 1, 2, 3,4,........................

Definimos los siguientes eventos en

:

A: “Recibe a lo más 5 llamadas”. B: “Recibe por lo menos 9 llamadas”. C: “Recibe 6,7 u 8 llamadas”. Definimos ahora el sub espacio muetral para cada uno de los eventos: A

=

0, 1, 2, 3, 4,5

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= 9, 10, 11,12,................... 6, 7,8 C= Además sabemos que: B

PA

0,20

PB

0,50

PC

?

Los eventos A, B y C son mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos, A  BC P

PA

PB

PC

P/Axioma 3

Por axioma 2:

1 PA

PB

PC

Remplazando datos:

1 0,20 0,50 P C PC

PC

1 0,20 0,50

0,30

EJERCICIO 3: Una caja contiene 100 tubos de televisión. La probabilidad de que haya al menos un tubo defectuoso es 0,05 y de que haya al menos 2 tubos defectuosos es 0,01. ¿Cuál es la probabilidad de que la caja contenga?: a) Ningún tubo defectuoso? b) Exactamente un tubo defectuoso? c) A lo más un tubo defectuoso? SOLUCIÓN: : Ver cuantos tubos defectuosos hay en una caja que contiene 100 tubos de televisión. =

0, 1, 2, 3, 4,5,.............................., 100

Ahora definimos en los siguientes eventos: A: “Haya al menos un tubo defectuoso”. B: “Haya al menos dos tubos defectuosos”. C: “Ninguno de los tubos es defectuoso”. TEXTO GUÍA DE ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II Preparado por el Lic. René Mamani Quisbert

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D: “Exactamente un tubo es defectuoso”. E: “Hay a lo más un tubo defectuoso”. Los sub espacios muestrales asociados a cada evento son: = 1, 2, 3,4,.....................,100 2, 3, 4,5,.....................100 B = 0 C = 1 D = 0,1 E = A

Además tenemos los siguientes otros datos:

PA

0,05

PB

0,01

Finalmente calculamos las probabilidades solicitadas utilizando los axiomas y los teoremas:

? a) La Probabilidad de que ningún tubo es defectuoso: P C Teniendo en cuenta de que = AUC y que los dos eventos son mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos: AB P

PA

PB

P/Axioma 3

Despejamos P C PC P P `A PC

1

P/Axioma 2

PA

P C 1 0,05 0,95 b) La probabilidad de que haya exactamente un tubo defectuoso:

PD

?

De acuerdo a los eventos descritos, podemos escribir lo siguiente: A BD

PA

PB

PD

PD

PA

PB

PD

0,05 0,01 0,04

c) Probabilidad de a los más un tubo defectuoso:

PE

?

Podemos escribir, que: E CD

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PE PE

PC

P/Axioma 3

PD

0,95 0,04

PE

0,99

EJERCICIO 4: De un grupo de personas, el 30 % practica fútbol y el 40 % juega ajedrez. De los futbolistas el 50 % juega también ajedrez. Sise elige aleatoriamente una persona. ¿Cuál es la probabilidad de que?: a) Juegue fútbol y ajedrez? b) Practica sólo uno de estos deportes? c) No practica ni fútbol ni ajedrez? SOLUCION: Definimos los eventos en A: “la persona elegida practica fútbol”. B: “La persona seleccionada practica ajedrez”. DATOS:

PA

0,30

PB

0,40

a) Probabilidad de que juegue fútbol y ajedrez.

P AB

PA

PB

P AB

P/Axioma 4

Por otro lado sabemos que la P AB

P AB P AB

0,15

0,30 0,40 0,15

0,55

b) Probabilidad de que practique uno solo de estos deportes: GRAFICAMENTE: A

0,15

B

0,15

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0,25

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C: “Practica uno de los dos deportes”.

C

A  B  B A

Como los eventos A  B y B  A son mutuamente excluyentes, Entonces: Por el Axioma 3 tenemos:

PC

P AB

P BA

PC

0,15 0,25 0,40

1.4

PROBABILIDAD CONDICIONAL O CONDICIONADA

1.4.1. INTRODUCCIÓN: Llamada también probabilidad ligada o relativa; es un modelo de probabilidad de bastante aplicación práctica: Lo que se trata de determinar con la probabilidad condicional es la medida de la ocurrencia de un suceso dado que ha ocurrido otro suceso. En otras palabras, si se dispone de cierta información se pretende averiguar, tomando como base esa información, cuál es la probabilidad de la ocurrencia de algún suceso. EJEMPLO: Si se sabe que una carta extraída de una baraja de 52 cartas es un as, podemos estar interesados en saber si es un as de corazones. Deseamos saber la probabilidad de que un estudiante seleccionado sea varón, si se sabe que es uno de los reprobados en el examen. GRAFICAMENTE: Ω A

B

An B

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1.4.2. DEFINICIÓN: La probabilidad Condicional de que ocurra A, dado que ha ocurrido B, está dada por:

P AB PB

PA/B Siempre y cuando: P B Si :

PB

0

PA/ B

0

NOTA: En la probabilidad condicional se cumplen los axiomas y los teoremas planteados en los capítulos anteriores.

EJEMPLO 1: En una universidad de 10.000 estudiantes y 1.000 profesores, el 10 % de los profesores son de izquierda y el 90 % de derecha; mientras que en los estudiantes este porcentaje es al contrario. Se selecciona al azar un miembro de la universidad y se encuentra que es de derecha. a) ¿Cuál es la probabilidad de que se haya seleccionado un estudiante? b) ¿Un profesor? SOLUCION: TENDENCIA DERECHA IZQUIERDA CATEGORIA PROFESORES 900 100 ESTUDIANTES 1.000 9.000 TOTALES 1.900 9.100 = 11.000 D: “El miembro seleccionado es de derecha”. E: “El integrante seleccionado es estudiante”.

a)

P ED PD

PE/D

Sabemos que:

PD

PD

P ED

1.900 11.000

TOTALES 1.000 10.000 11.000

0

1.000 11.000

10 110

19 110

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10 110 19 110

PE/D

1.100 2.090

10 19

b) Que sea seleccionado un profesor:

E

900 11.00

9 110

P ED

PE/D

P ED

PD 9 110 19 110

PE/D

990 2.090

9 19

EJEMPLO 2: Un aparato electrónico consta de dos partes. La probabilidad de que falle la primera parte es 0,20 ; que fallen las dos partes es 0,15 y de que falle sólo la segunda parte es 0,45. Calcular la probabilidad de que: a) Falle sólo la primera parte. b) Falle la primera parte cuando se sabe que falló la segunda parte. SOLUCION: Definimos dos eventos en

:

A: “Falla sólo la primera parte”. B: “Falla la segunda parte”. DATOS: P

A

P

AB

0, 2 0 0,1 5

GRAFICAMENTE TENEMOS: A

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B

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Entonces: a) P A b)

0,05 0,15 0,60

PA/B

0,25

1.5 REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN.- Como una derivación de la definición de probabilidad condicional, es posible obtener una fórmula para hallar la probabilidad de la intersección o producto de los eventos A y B: P AB PB

PA/B

P

P B/ A

P

P AB PA

Si

PB

Si

PA

0

0

Despejando en ambas expresiones P AB

P AB

PB PA/ B

P AB

PB PA/ B

Este resultado en Teoría de Probabilidades, se denomina REGLA DE MULTIPLICACIÓN o Probabilidad conjunta, que dice: “ La probabilidad de que

ocurra los eventos A y B es igual a la probabilidad de la ocurrencia de uno de ellos multiplicado por la probabilidad condicional de que ocurra el segundo, dado que el primero ha ocurrido”. EJERCICIO 1: Una urna contiene 5 bolas blancas y 6 negras; se extrae al azar sucesivamente y sin reposición dos bolas. ¿ Cuál es la probabilidad de que las dos resulten blancas?. SOLUCIÓN: 1 bola

5B 6N

1 bola

= 11

A1 A2

= “La primera bola extraída es blanca”. = “La segunda bola extraída es blanca”. E: Las dos bolas son blancas.

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E A1  A2

A1 A2

P E P A1 A2 DATOS:

PA

P A1 P A2 / A1

5 11

P A 2 / A1

4 10

2

PE

5 4 11 10

4 22 11

2 11

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TEMA Nº 2 VARIABLES Y MODELOS ALEATORIOS DISCRETOS

2.1. COMPETENCIA DE TEMA:

HABILIDAD: Caracteriza CONTENIDO: La variable y los modelos aleatorios discretos más importantes. PROCESO: Mediante la resolución de ejercicios prácticos de aplicación. CONTEXTO: En el aula.

2.2. INTRODUCCIÓN: En los temas precedentes se ha hecho mención a que los elementos del espacio muestral podían expresarse o simbolizarse indistintamente con letras o mediante números, tal era el caso cuando analizábamos el experimento de lanzar una moneda al aire y esperar que salga un resultado; en este caso el espacio muestral estaba compuesto por C y S ; vale decir: cara o sello. Lo mismo sucedía cuando el experimento consistía en seleccionar un artículo defectuoso de un lote que contenía tanto defectuosos como no defectuosos, en este caso utilizábamos el siguiente espacio muestral: = { N , D }. En ambos casos la simbología utilizada son letras. Sin embargo, el propósito del tema de VARIABLES ALEATORIAS es el de expresar en todos los casos a los elementos del espacio muestral mediante números, que es el objeto de estudio del tema presente. 2.2. DEFINICIÓN DE VARIABLE ALEATORIA: Dado un experimento aleatorio y el Espacio Muestral asociado a , una función X, que asigna a cada elemento del Espacio Muestral , uno y solamente un número x que pertenece a los números reales R, se llama VARIABLE ALEATORIA. En otros términos: R X1 w1

X2 w2

X3

w3

DOMINIO TEXTO GUÍA DE ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II Preparado por el Lic. René Mamani Quisbert

RANGO O RECORRIDO R x Cobija – Pando - Bolivia

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El dominio de la Variable Aleatoria X es y el Rango o Recorrido de los números reales R, que lo denotamos por R x .

Rx

es un conjunto

En otras palabras, la Variable Aleatoria es una función que asigna un número real a cada suceso simple de un Espacio muestral, o sea cada elemento de . EJEMPLO 1: Si consideramos el juego más sencillo que consiste en lanzar una moneda, sabemos que puede resultar cara o sello, es decir que: = { C, S } Si definimos la Variable Aleatoria X como: El número de veces que aparece cara, entonces X es una función sobre , de manera que: X C 1 y X S 0 . Entonces X toma los valores 0 y 1. X = {0,1} EJEMPLO Nº 2: Sea el experimento que consiste en lanzar tres monedas al aire y sea la variable aleatoria: X: Número de caras Definir el Dominio y Rango de X. SOLUCION: El Espacio Muestral

asociado al experimento está dado por:

= {CCC, CCS, CSS, SSS, SSC, SCC, CSC, SCS Si la variable que nos interesa está referido al número de caras, entonces tenemos que: CCC, CCS, CSS, SSS, SSC, SCC, CSC, SCS 3

2 X CCC

3;

1

0 X CCS

2;

1 X CSS

2 1;

2 X SSS

1 0

En consecuencia, la Variable X toma los valores de: 0,1,2,3 Rx

0,1,2,3

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2.4. VARIABLE ALEATORIA DISCRETA: Si el Rango o Recorrido R x de la variable Aleatoria X es un conjunto finito o infinito numerable de elementos, se llama VARIABLE ALEATORIA DISCRETA. En este caso: Rx

x1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6

DISCRETO FINITO

Rx

x1 , x 2 , x 3 ,......... ........

DISCRETO INFINITO NUMERABLE

EJEMPLO: Un lote de artículos contiene artículos defectuosos (D) y no defectuosos (N), se extrae sucesivamente y sin reposición 4 artículos. Si definimos X: Número de artículos defectuosos. Determinar el Dominio y rango de la Variable Aleatoria X. SOLUCION: = {DDDD, DDDN, DDNN, DNNN, NNNN, NNND, NNDD, NDDD, DNND, NDDN, (4) (3) (2) (1) (0) (1) (2) (3) (2) (2) DDND, DNDD, NDND, DNDN, NDNN, NNDN (3) (3) (2) (2) (1) (1)

Entonces:

Rx

0,1,2,3,4

EJEMPLO 2: Ahora bien, en el ejemplo anterior consideremos la extracción de artículos hasta lograr un artículo defectuoso y definimos:

NUMERO NECESARIO DE EXTRACCIONES HASTA HALLAR UNO DEFECTUOSO. X:

Determinar el Dominio y Rango de X. SOLUCION: = {D, ND, NND, NNND, NNNND,............................... Rx

0,1,2,3,4,5,......... .......... ....

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2.5

FUNCION DE PROBABILIDAD PARA UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA O FUNCION DE CUANTIA

DEFINICION.- La función de probabilidad para una Variable Aleatoria Discreta X, es una función que asigna a cada valor que toma la variable Aleatoria X discreta, una probabilidad p x cuando X toma un valor particular xi. O sea: p

PX

x

P

x w

/X w

w x

Además esta función cumple las siguientes condiciones: 1.-

px

2.-

0

p

x Rx

PX

x

x Rx

x

1

x Rx

Esta función también recibe el nombre de FUNCION DE CUANTIA, que puede ser expresado mediante pares ordenados, tablas y gráficos. O sea:

x, p x ; x R x Por otro lado, si x

Rx

se trata de un evento imposible, por lo tanto

px

0

Al igual que en la definición de Variable Aleatoria, la Función de Cuantía tiene un dominio y un codominio o Rango, expresado por:

1,0

Rx

DOMINIO

RANGO

REPRESENTACION TABULAR DE LA FUNCION DE CUANTIA: xi px

Px

X

x1

x2

x3

p x1

p x2

p x3

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. .

. .

. .

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REPRESENTACION GRAFICA DE LA FUNCION DE CUANTIA: p(x)

p(x2) p(x3) (x1,p(x1)) p(x1) p(xn)

0

x2

x1

...........................

x3

xn

EJEMPLO: Sea el experimento que consiste en rodar dos dados simultáneamente por una sola vez. Sea X: La suma de los puntos que aparecen. Definir el dominio y el rango para la distribución de probabilidades de X. SOLUCIÓN:

= { ( i,j )/y = 1,2,.........,6 y j = 1,2,.........,6}

GRAFICAMENTE: 6 5 4 3

2 1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

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7

6

8

9

10

11

12

Rx

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Finalmente, de acuerdo a la definición de Función de Cuantía, asignamos probabilidades a cada uno de los elementos de R x , a partir de la definición de Probabilidades. PA

NA N

p x2

PX

1 36

2

Entonces:

Rx

= { 2, 1 36

3,

4,

5,

2 36

3 36

4 36

6, 5 36

7, 8, 9, 10, 11, 12 } 6 36

5 36

4 36

3 36

2 36

1 36

REPRESENTACION TABULAR: SUMA DE PUNTOS 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 SUMA

Nº DE VECES 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 36

PX

1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 1

Donde se cumplen las condiciones exigidas, o sea: 1.2.-

0 px

px

1

1

x Rx

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EJERCICIO PARA RESOLVER EN CLASES: Sea el experimento aleatorio , consistente en lanzar una moneda tres veces y definimos: X = nc - ns Donde: nc = Número de caras obtenidas ns = Número de sellos obtenidos Hallar la distribución de probabilidades o función de cuantía. 2.6.FUNCION DE DISTRIBUCION ACUMULADA DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA.- La Función de distribución Acumulada de la variable Aleatoria Discreta X, es un concepto de mucha importancia cuando se utilizan las Tablas de Cálculo de probabilidades, donde las funciones son acumuladas. DEFINICION.- Sea X una Variable Aleatoria Discreta con rango R x x1 , x 2 , x3 ,......... y función de probabilidad o cuantía p xi PX xi , entonces la Función de Distribución Acumulada de X denotada por F x , se define como:

Fx

PX

p xi

x

xi x

PX

xi

xi x

Donde la sumatoria se realiza para todos los valores de 1 tales que

xi

x

EJEMPLO Nº 1: Se lanzan tres monedas al aire y definimos X: Número de caras. Determinar la Función de cuantía y la Función de Distribución Acumulada de X. SOLUCION:

= {CCC, CCS, CSS, SSS, SSC, SCC, CSC, SCS Rx

p0

PX

0

p1

PX

1

p2

PX

2

p3

PX

3

1 3

= {0, 1, 2, 3}

8

8 3 8 1 8

Entonces, podemos expresar la Función de Cuantía y la Función de Distribución Acumulada de X a través de la siguiente tabla:

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Rx

px

Fx

0 1 2 3

1/8 3/8 3/8 1/8 1

PX

x

1/8 4/8 7/8 1 -.-

O sea: FUNCION DE CUANTIA: = 1/8 = 3/8 =0

Px

px

Si: x = 0 ó 3 x=1ó2 En cualquier otro caso

FUNCION DE DISTRIBUCIÓN ACUMULADA: Fx

Si: 0 1 2 x

0

= 1/8 = 4/8 = 7/8 =1

Fx

xr/n,p

P[X=r/n,p

PROBABILIDADES DADAS EN LA TABLA P[X r/n,p ESTA EN LA TABLA P[X r+1/n,p

P[X

r/n,p

- P[X

P[ X < r / n,p

1 - P[ X

P[ X

1 - P[ X

r / n,p

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r+1/n,p

r / n,p

r+1 / n,p

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EJEMPLO Nº 1 Calcular: P[X =2/4,0.23 = ? SOLUCION: Para resolver la interrogante a través del uso de Tablas debemos en primer lugar elegir la opción más conveniente para resolverlo; para ello observamos las posibilidades que nos ofrece la tabla anterior: Entonces empleamos la tercera opción, o sea:

P[X=r/n,p

P[X

r/n,p

- P[X

r+1/n,p

Luego remplazamos los valores para los parámetros n y p y buscamos el valor de la probabilidad solicitada en la Tabla Nº y P[X =2/4,0.23 = P[X

2/4,0.23

- P[X

3/4,0.23

= 0,2285 - 0,0403 = 0,1882 2.8.6.2. FORMA DE UTILIZAR LA TABLA TABLA BINOMIAL: P[X

r/n,p

n=4 p r 1 2 3 4 . . .

21

22

23

24

25

26

6105 1963 0312 0019 . . .

6298 2122 0356 0023 . . .

6485 2285 0403 0028 . . .

6664 2450 0453 0033 . . .

6836 2617 0508 0039 . . .

7001 2784 0566 0046 . . .

....

....

30

. . . . . . .

. . . . . . .

7599 3483 0837 0081 . . .

EJERCICIO N º 1 Calcular: P[X2/4,0.25 = P[X>2+1/4,0.25 = P[X>3/4,0.25 P[X>2/4,0.25 = 0,508 2.8.6.3. USO DE LA TABLA PARA p>0,5: Para utilizar la tabla Binomial, complementarios, como ser:

cuando p>0,5,

debemos considerar algunos aspectos

1.- No se tiene en la tabla valores para p>0,5 2.- Para ello se recurre a un procedimiento alternativo que toma en cuenta la asimetría de la Distribución Binomial. Para ello procedemos de la siguiente manera: a) Consideramos la ocurrencia de la Variable Aleatoria X como el número de éxitos. Luego consideramos la ocurrencia de X’ como el número de fracasos. b) Si p > 0,5 se hacen las siguientes adaptaciones o sustituciones: * Se sustituye r por n-r * Se sustituye p por 1-p * Luego se invierten las desigualdades de la siguiente manera:

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Se cambia por Se cambia por * Finalmente, empleamos el mismo procedimiento para calcular probabilidades con p EJEMPLO:

Calcular:

0,5

P[X

Luego remplazamos los datos: P[X 6/10,0.2 Esta fórmula cae en:

P[X>r/n,p

P[X’

r+1/n,p

Remplazamos valores: P[X’>6/10,0.2 = P[X’>7/10,0.2 = 0,0009 2) Calcular:

P[X

4/10,0.8

Remplazamos: P[X

4/10,0.8

= P[X’

P[X’

6/10,0.2

= 1 - P[X’

6/10,0.2

Esto cae en:

7/10,0.2

= 1 - 0,0009 = 0,9991

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2.9. MODELO DE DISTRIBUCION HIPERGEOMÉTRICO

CARACTERISTICAS DEL MODELO: Es una distribución similar a la Binomial, o sea: a) Admite dos resultados posibles: Éxito (E) y Fracaso (F) b) Se producen n ensayos c) Existe un lote N, donde r tiene una característica y N-r la otra característica. d) La probabilidad (p) de éxito no es constante para todos los ensayos. e) No se cumple la función de independencia. Los n ensayos se realizan SIN REPOSICION, en consecuencia no podemos hablar de independencia de eventos, por que los mismos no son independientes.

EXPLICACION: Si se tiene una población de N artículos, de los cuales r poseen una de las categorías, entonces habrán (N-r) que poseen la otra característica. Si seleccionamos n artículos aleatoriamente sin reposición de los N artículos, cada selección subsiguiente será dependiente, de manera que la probabilidad de que se obtengan éxitos cambia en cada ensayo simple.

Fracaso (N-r)

Se extraen n artículos sin reposición o devolución. Entonces cada extracción es dependiente de la anterior y así sucesivamente.

Éxito r

N Ahora bien, es posible que nos interese conocer la probabilidad de obtener exactamente x artículos de los r éxitos, en una muestra de tamaño n. En consecuencia, bajo estas condiciones, el número de éxitos en n pruebas dependientes corresponde a una Variable Hipergeométrica, cuya función de probabilidades está dada por:

px

r

N r

x

n x N

x= 0,1,2,3,...........,n

n

Donde: N= Número de artículos (lote)

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r = Número de elementos que tiene una de las características deseadas o esperadas ( Éxitos). N-r= Número de elementos que tiene la otra característica (Fracaso) n = Tamaño de la muestra ( son dependientes) x = Número de artículos de los r éxitos que deseamos calcular. EJEMPLO: Una caja contiene 12 latas de leche, 9 de las cuales son frescas (recién envasadas). Se seleccionan aleatoriamente 2 latas sin devolución. Sea X: el número de latas de leche no frescas que se seleccionan. Definir si la variable X es una Variable Hipergeométrica. SOLUCION: No frescas 3 Frescas 9

X: “Nº de latas de leche no frescas”

= 12

N = 12 latas r =3 Fracaso N-r = 9 Éxito n=2 Remplazamos datos en la fórmula general: 3 12 3 px

x

2 x 12

x= 0,1,2

2

=0 En otro caso a) Calcular la probabilidad de obtener una lata de leche no fresca, o sea x=1 Remplazamos este dato en la fórmula general de la Función de Cuantía: 3 9 p1

1 1 12 2

27 66

b) Calcular la probabilidad de que las dos latas sean frescas. o sea: x=0

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3 9 0 2

p0

36 66

12 2

6 11

2.9.1. ESPERANZA MATEMATICA, VARIANZA Y DESVIACIÓN STANDAR PARA LA VARIABLE HIPERGEOMÉTRICA: El Valor esperado o Esperanza Matemática para la variable Hipergeométrica está dado por: Ex

x

n

r N

Donde: N = Número total de la población estudiada r = Número de elementos que tiene una de las características deseadas (Éxitos) n = Tamaño de la muestra VARIANZA DE X: 2

Vx

x

n

r N r N n N N N 1

EJEMPLO: Para el ejercicio anterior: Ex

2 3 12

Vx

2

x

6 12

3 10 12 11

0,34

1 2

60 176

30 88

0,34

0,58

EJERCICIOS PARA RESOLVER EN CLASES: 1) Se extrae una muestra aleatoria de tamaño 2, una a una, sin reposición de un lote de 10 artículos que contiene 3 artículos defectuosos. Si X: representa el número de artículos defectuosos encontrados en la muestra. Determinar: a) La Función de Cuantía p(x) b) Calcular E(x), V(x) y Desviación standar c) Interpretar los resultados. SOLUCION: datos: N = 10 TEXTO GUÍA DE ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II Preparado por el Lic. René Mamani Quisbert

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r=3 N-r = 7 n=2 a) 3 x

px

7 2 x 10

x = 0,1,2

2

b)

Ex

Vx

2 3 10

2

6 10

0,60

3 7 8 10 10 9

84 225

2) Una urna contiene 5 bolas blancas y 6 rojas. Se extrae 4 bolas de la urna sin reposición, una tras otra,. Hallar la distribución de probabilidad del número de bolas extraídas y: a) Cual es la probabilidad de extraer exactamente 3 bolas rojas ?. b) Cuál es el número esperado de bolas extraídas ?. RESPUESTA:

a) 0,3

b) 2,18

2.10. MODELO DE DISTRIBUCIÓN DE POISSON 2.10.1. INTRODUCCION: El modelo de distribución de probabilidades de Poisson es una de las distribuciones discretas más importantes por que se aplica en muchos problemas prácticos. Una idea intuitiva del mismo se deriva a partir de un proceso de Poisson, que consiste en observar la ocurrencia de eventos discretos en un intervalo continuo. O sea trátase de un fenómeno que se presenta aleatoria e independientemente en el tiempo espacio en el que sólo interesa la ocurrencia del fenómeno un número contable de veces. “EN UN PROCESO DE POISSON SE OBSERVAN RESULTADOS DISCRETOS ENUN INTERVALO DE TIEMPO”. Ejemplos: a) La frecuencia de terremotos que ocurren en Méjico en un año. b) Observar la llegada de autos al estacionamiento de vehículos entre las 8 y 9 de la mañana. c) La cantidad de imperfecciones (agrietamientos) encontradas en un metro de alambre producidas por un proceso electrolítico continuo. d) Número de partículas de polvo encontrados en un metro cúbico de aire. TEXTO GUÍA DE ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II Preparado por el Lic. René Mamani Quisbert

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e) Número de accidentes de aviación u otras calamidades que aparecen aleatoria e independientemente en un intervalo de tiempo. f) Glóbulos rojos encontrados en una muestra de sangre. g) Número de llamadas telefónicas sobre una línea en una hora indicada. En esta clase de eventos interesa únicamente el número de éxitos del suceso y no así el número contrario. Interesa solamente p. Ejemplo: número de personas que llagan a pagar impuestos y no así otras personas, en una hora dada. VALORES DE LA VARIABLE ALEATORIA

X:

La variable aleatoria X, toma en consecuencia los siguientes valores: x= 0, 1, 2, 3,.......................... x representa la frecuencia con que ocurre un fenómeno en un intervalo de tiempo o en el espacio, un número contable de veces. 2.10.2. DEFINICION: La probabilidad de conseguir exactamente x éxitos, proceso de Poisson, está dada por: x

px

en un

x = 0, 1, 2, 3,....................

x !

= 0

En otro caso

Donde: = Promedio de éxitos en n pruebas, con probabilidad p e = 2,71828 base de los logaritmos naturales. En otros términos,

n = número de pruebas

n p

p

= Promedio de éxitos

EJEMPLO: Supóngase que el número de muertes por accidente en una ciudad es un proceso Poisson con = 3 por mes. Sea X: El número de muertes por accidente que ocurren entre el 1º de enero y el 31 de marzo inclusive de 1974. a) Determine si la variable X obedece a una distribución de Poisson. b) Anote la función de cuantía. TEXTO GUÍA DE ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II Preparado por el Lic. René Mamani Quisbert

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SOLUCION: * El número de muertes es una variable que asume valores discretos en un intervalo de tiempo. _ * Entonces: =3.3=9 n p Remplazamos valores en la fórmula general de la función de cuantía: px

e

9

9x x !

x= 1,2,3,.......

Calcular la probabilidad de que ocurra un accidente x=1

p1

x=2

p2

e

e

9

91 1!

92 2!

0,803

9

0,876

2.10.3. ESPERANZA MATEMATICA Y VARIANZA PARA LA DISTRIBUCION DE POISSON: Si X es una variable Poisson, entonces la esperanza Matemática y la Varianza es igual a . E(x) = V(x) = 2.10.4. USO DE TABLAS PARA LA DISTRIBUCION DE POISSON: Debido a que el uso de la ecuación es muy tediosa como alternativa se utiliza la función de distribución acumulada P[X x /p; para determinar probabilidades de cualquier tipo. Para ello se utiliza la Tabla Nº II, que otorga probabilidades acumuladas del tipo: P[X = x /p;

= x

px

P[X

x !

x /p;

EJEMPLO: Las personas llegan aleatoriamente a la ventanilla de un banco en promedio a una razón de 24 personas por hora durante el período de tiempo entre las 11:30 am y 12:00 am de cierto día. TEXTO GUÍA DE ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II Preparado por el Lic. René Mamani Quisbert

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a) Cuál es la probabilidad de que exactamente 5 personas lleguen durante un período de tiempo de 12 minutos? b) Cuál de que lleguen por lo menos 10 personas? c) Que lleguen a lo más 12 personas? SOLUCION: X = Número de personas que llegan a la ventanilla durante un período de 12 minutos. Rx = {0, 1, 2,3,...............} _ Determinamos ahora: =n.p p

n = 12

24 60

Finalmente:

24 12 60

4,8

Entonces X se distribuye a través de una Variable Poisson con la siguiente Función de Cuantía: PX

e x / 4 ,8

4 ,8

4,8 x x !

x = 0, 1, 2,3,..............

a) Cuál es la probabilidad de que 5 personas exactamente lleguen a la ventanilla del banco ?. 1

P[X = 5 = ? 0

1

2

3

4

5.

6.........................................................................................

P[X

6

P[X

5

∞.

P[X = 6 1 - P[ X

P[X = 5 /4,8 = P[X

5 /4,8

5

- P[X

6 /4,8

= 0,5237 - 0,3490 = 0,1747 b) Por lo menos 10 personas? P[X 10 /4,8 = 0,0251

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c) Que lleguen a lo más 12 personas? P[X

12 /4,8

= 1 - P[X 12 /4,8 = 1 - 0,0040 = 0,996

EJERCICIO Nº 1: Una compañía de seguros contra accidentes de tránsito sabe que el 0,005 % de la población fallece cada año por accidente de tránsito. ¿ Cuál es la probabilidad de que la Cia. Tenga que pagar a más de 3 de los 10.000 asegurados que tiene al año ?. SOLUCIÓN: Primeramente calculamos

=n.p

p = 0,005/100 = 0,00005 n = 10000 Entonces

= 10000 x 0,0005 = 0,5

Luego remplazamos este valor en la Función de Cuantía: e

px

0,5

0,5 x x !

x = 0, 1, 2,3,.........

La probabilidad de que la Cia. Tenga que pagar a más de 3 asegurados al año está dado por : P(X>3)

= 1 - P(X

3)

= 1 - [ P(0) + P(1) + P(2) + P(3) e

1

1

e

0,5

0,5

0,50 0!

1 0,5

e

0,5

0,5 2

0,51 1!

2

0,5 6

e

0, 5

0,52 2!

e

0, 5

0,53 3!

3

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EJERCICIO Nº 2: Solo uno de cada mil generadores ensamblados en una fábrica tienen unidades defectuosas y los generadores defectuosos se distribuyen independiente y aleatoriamente a través de la producción. ¿ Cuál es la probabilidad de que un embarque de 500 generadores no contenga ningun generador defectuoso ? SOLUCION: px

e 0

0,5 0 0!

= 1/1000 x 500 = 0,5

0,5

e

0,5

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TEMA Nº 3 VARIABLES Y MODELOS ALEATORIOS CONTINUOS

3.1. COMPETENCIA DE TEMA:

HABILIDAD: Caracteriza CONTENIDO: Los fundamentos teórico-prácticos de una variable aleatoria continua y Los modelos probabilísticas continuos más importantes, con énfasis en El modelo de Distribución Normal. PROCESO: Mediante la resolución de ejercicios prácticos de aplicación. CONTEXTO: En el Aula.

3.2. INTRODUCCION: Si el Recorrido o rango de la Variable Aleatoria X (Rx), está formado por un gran número finito de valores; por ejemplo: Todos los valores de X en el intervalo 0 x 1, de la forma 0,01 - 0,02 - 0,03 - 0,04 etc., etc., cuya suma total sea igual a 1. Ahora bien, con cada uno de estos valores de x, está asociado un número no negativo p (xi) = P[X=xi donde i= 1,2,3,4,.............. cuya suma, como se dijo anteriormente, es igual a 1. GRAFICAMENTE TENEMOS: p(x)

f(x)

0

1

Rx

Matemáticamente podrá ser más fácil idealizar la anterior descripción probabilística de X al suponer que la variable pude tomar todos los valores posibles entre 0 x 1. Si hacemos esto, nos preguntamos ¿Que le sucede a las probabilidades puntuales p(xi) ?. Los valores de X no son contables, por tanto no tendría sentido hablar del iésimo valor de X y, entonces p(xi) pierde significado. TEXTO GUÍA DE ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II Preparado por el Lic. René Mamani Quisbert

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Lo que se hace es sustituir p(x), definida sólo para x1, x2, x3, ..............., por una función f(x) definida para todos los valores de x/ 0 x 1 3.3.

DEFINICION: Sea X una variable Aleatoria Continua, si existe una función f(x), llamada FUNCION DE DENSIDAD DE PROBABILIDADES DE X, que satisfaga las siguientes condiciones:

a) b)

f(x)

0

x

Rx

f x dx 1

c) Para cualquier valor a y b, tal que P[ a

X

b

=

b

-

70. Dado que es un buen estimador de µ utilizaremos esta estadística para determinar la región crítica y la región de decisión de esta prueba. Puesto que estamos interesados en la discriminación entre µ = 70 y los valores de µ >70, parece razonable que debamos rechazar Ho si - 70 es muy grande, esto es si > K, siendo K un valor crítico que vamos a determinar. Si se supone verdadera la hipótesis Ho: µ = 70, entonces la distribución de la media es normal con media µ = 70 y desviación estándar σ = 3. En consecuencia, la distribución de: Z= - 70 3/√n Es normal N(0,1). Para una muestra aleatoria de tamaño n = 40 y la probabilidad de error de tipo I, α = 0,05 se tiene: 0,05 = P (

-70 > K-70) = P [ Z > k -70]

3/√n

3/√n

0,474

De la tabla normal N(0,1) se obtiene: K – 70 = 1,645

Luego k = 70 + 1,645x0,474 = 70,78

0,474 Por lo tanto, la región crítica en el rango de la variación de

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es el intervalo:

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RC = [ 70,78; + ∞ ] La regla de decisión establece que: Si x es el valor de obtenido a partir de la muestra aleatoria de tamaño 40, se rechazará Ho si x > 70,78. 4.6. PROCEDIMIENTO DE LA PRUEBA DE HIPOTESIS Los pasos generales para efectuar una prueba de hipótesis, son las siguientes: 1) Formular Ho y H1. 2) Prueba estadística 3) Nivel de significación 4) Distribución muestral 5) Región de rechazo 6) Toma de decisiones. Ejemplo: Se conoce que un cierto proceso de manufactura utilizado en una fábrica, rinde una producción promedio de 155 unidades por hora, con una desviación estándar de 8 unidades. Aparece en el mercado un nuevo tipo de máquina que realiza el mismo producto. El gerente de la fábrica estima que si el rendimiento de producción de las nuevas máquinas es en promedio mayor que 155 unidades/hora, éstas deberían comprarse no obstante de ser más caras. Se experimenta con 35 máquinas del nuevo tipo, con miras a utilizarlas en el proceso de manufactura, en lugar de las antiguas. La decisión final se hará de acuerdo al procedimiento de toma de decisiones visto. SOLUCIÓN 1.- Hipótesis de Nulidad.- Asumamos que el gerente está inclinado a creer que el promedio de producción es mayor que 155 y que quiere evitar la posibilidad de cometer el error de comprarlas cuando en realidad no sería conveniente hacerlo; entonces las hipótesis son: Ho: µ = 155 unidades/hora

H1: µ > 155 unidades/hora

2.- Prueba estadística. Para este caso el estadístico de prueba más adecuado es: z=

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- µo σx

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Donde z tiene distribución Normal Estándar. 3.- Nivel de significación. En este caso rechazar la hipótesis nula si es verdadera conduciría a serias consecuencias, puesto que se tomaría la acción equivocada de comprar máquinas más costosas siendo así que la producción promedio no diferirá mayormente de las que actualmente se están usando. A fin de prever una decisión errada como ésta, el gerente decide utilizar un nivel de significación de α = 0,01, ósea una probabilidad pequeña de rechazar Ho siendo verdadera. 4.- Distribución Muestral. Supongamos que las 35 máquinas (N=35) del nuevo tipo, constituyen una muestra aleatoria, y que se ha obtenido una producción media de =160 unidades por hora. Por otro lado, asumamos que la σx al de las máquinas antiguas, entonces con N=35, tenemos: Tenemos:

σx = 8/√35= 1,35

Luego:

z= 160 – 155/1,35 = 3,7

5.- Región de rechazo. Para α=0,01 y para una prueba de extremo derecho, la regla de decisión es: Rechazar Ho siempre y cuando z > 2,33, en otro caso, aceptar Ho.(Recurrir a la tabla A). 6.- Decisión. Como z = 3,7 > 2,33 entonces z cae dentro de la región de rechazo, por tanto se rechaza Ho, lo que implica aceptar H1. Por tanto, es recomendable comprar las nuevas máquinas y para utilizarlas en lugar de las de tipo antiguo.

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