Tarea 3 Geometría diferencial Entrega: 9 de abril 1. Escribe la definición de que una función entre superficies f : S1 → S2 sea un difeomorfismo y encuentra uno entre el eplisoide: E:

x2 y2 z2 + + =1 a2 b2 c2

y la esfera S 2 : x2 + y 2 + z 2 = 1, justificando por que lo es, de acuerdo a la definición. 2. Sea C una curva plana regular, la cual se encuentra de un solo lado de la recta r en el plano e intersecta a r en los puntos p y q. ¿Que condiciones debe satisfacer C para asegurar que la superficie obtenida al rotar C en torno a r genera una superficie regular? 3. Demuestra que las rotaciones de una superficie S de revolución en torno a su eje son difeomorfismos de S. 4. Muestra que la ecuación del plano tangente a una superficie S que es la gráfica de una función z = f (x, y) diferenciable, en p0 = (x0 , y0 ), es: z = f (x0 , y0 ) + fx (x0 , y0 )(x − x0 ) + fy (x0 , y0 )(y − y0 ), Recuerda la definición de la diferencial Dfp de una función f : R2 → R y muestra que el plano tangente es la gráfica de la diferencial. 5. Encuentra los coeficientes de la primer forma fundamental de una superficie S que es la gráfica de una función z = f (x, y) diferenciable, en p0 = (x0 , y0 ). 6. Muestra que los planos tangentes a la superficie dada por z = xf ( xy ), x 6= 0, donde f es una función diferenciable, pasan todos por el origen (0, 0, 0). 7. (Superficies tubulares) Sea α : I → R3 una curva regular parametrizada por longuitud de arco con curvatura distinta de cero en todos sus puntos. Sea, r > 0 fija, considera ϕ(s, v) = α(s) + r(cos(v)n(s) + sin(v)b(s)),

s ∈ I,

superficie parametrizada (el tubo de radio r alrededor de α), donde n y b son los vectores normal y binormal de α. Muestra que cuando ϕ es regular, su vector normal unitario es: N (s, v) = −(cos(v)n(s) + sin(v)b(s)). 8. Muestra que si todas las normales a una superficie conexa, pasan por un punto fijo, la superficie esta contenida en una esfera. 1

9. Calcula la primer forma fundamental de la esfera para la parametrización dada por la poroyección estereográfica. 10. Muestra que una superficie de revolución simpre puede ser parametrizada de tal forma que: E = E(v), F = 0, G = 1. 11. Sea S una superficie de revolución y C su curva generadora. Sea s la longuitus de arco de C; denota por p = p(s) la distancia del punto de C correspondiente a s, al eje de rotación. 1. (Teorema de Pappus) El area de S es Z

L

p(s)ds,

2π 0

donde L es la longuitud de C. 2. Usa lo anterior para encontrar el área de un toro de revolución. 12. (Gradiente en superficies) El gradiente de una función f : S → R diferenciable, es la aplicación diferenciable grad(f ) : S → R3 que le asigna a cada punto p ∈ S un vector grad(f )(p) ∈ Tp S ⊂ R3 tal que < grad(f )(p), v >p = dfp (v) para todo v ∈ Tp S. Demuestra que: 1. Si E, F, G son los coeficientes de la primer forma fundamental en la parametrización: ϕ : U ⊂ R2 → S, entonces grad(f ) en ϕ(U ) esta dado por grad(f ) =

fv E − fu F fu G − fv F ϕu + ϕv EG − F 2 EG − F 2

En particular, si S = R2 con coordenadas x, y grad(f ) = fx e1 + fy e2 , donde {e1 , e2 } es la base canonica de R2 (de tal manera que la definición coincide con la definicion usual de gradiente en un plano). 2. Sea p ∈ S fijo y v variando en el crculo unitario |v| = 1 en Tp S, grad(f ) entonces dfp (v) es máximo si y solo si v = |grad(f )| (asi, grad(f )(p) la dirección de máxima variación de f en p). 3. Si grad(f ) 6= 0 en todos los puntos de la curva de nivel C = {q ∈ S|f (q) = c}, entonces C es una curva regular en S y grad(f ) es normal a C en todos los puntos de C.

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