Taller de Olimpiadas - 01 IMA Pontificia Universidad Cat´ olica de Valpara´ıso - IMA. S. Herrero, F. Riquelme, R. Saghin, F. Valenzuela 23–04–2019

1. Muestre que para n ≥ 3, 2n + 1 ≤ 2n . 2. Muestre que para todo n´ umero natural n, 1 + 2 + 3 + ··· + n =

n(n + 1) . 2

3. Muestre que para todo n´ umero natural n, 12 + 2 2 + 3 2 + · · · + n2 =

n(n + 1)(2n + 1) . 6

4. Muestre por inducci´ on, que la suma de los primeros n n´ umeros impares 2 es igual a n . 5. Muestre que para todo n´ umero natural n ≥ 4, n! > 2n , donde n! es el factorial de n y denota al n´ umero n! = 1 · 2 · 3 · · · n. 6. Muestre que para todo n´ umero natural n ≥ 3, n! > 3n−2 . 7. Sea Fn el n–´esimo n´ umero de Fibonacci. Muestre que Fn < 2n . Observaci´ on: Los n´ umero de Fibonacci se definen por la regla: F1 = 1,

F2 = 1,

Fn = Fn−2 + Fn−1 para todo n 6= 3.

As´ı, los primero n´ umero de Fibonacci son 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, . . .