SEÑALES E IMÁGENES Profesor: Juan Pablo Marín Díaz Febrero 18 de 2011

TALLER 1 Parte Teórica Fecha de entrega 22 de Febrero 1. Pruebe que si dos variables aleatorias son independientes independientes entonces el conocimiento de una de las variables no me da información sobre la otra. 2. Modelemos el clima de Bogotá con 2 estados: Soleado y Lluvioso. Asumamos que si está Soleado en un día i, con probabilidad 0.9 será soleado en el día i+1 y con probabilidad 0.1 será lluvioso. Ahora, si un día i está Lluvioso, con probabilidad 0.5 seguirá Lluvioso el día i+1 y con probabilidad 0.5 será soleado. Si hoy es lunes y está soleado, ¿cuál es la probabilidad de que esté soleado y lluvioso para cada día hasta el domingo?. Consideremos la siguiente estadística H sobre una variable aleatoria binaria X con distribución P(x=0)= p y P(x=1)= 1-p. H(X) = - p log(p) - (1-p) log(1-p) Calcule H(X) para la distribución binaria de que esté soleado o lluevioso el día domingo. Si asumimos que el modelo está bien calibrado, cuál es el mes más probable en el que estamos? (TIP: http://wwis.inm.es/057/c00157.htm) 3. Considere el espacio vectorial euclídeo V de todas las palabras de 4 letras (incluyendo las vocales con tilde y excluyendo la ñ) asociado al campo escalar Z/pZ con p primo igual a 31 (Ver Tabla). En V el vector cero es la palabra aaaa. Además, las operaciones entre los elementos de V (suma entre vectores(+) y multiplicación por escalar (*)) se definen de la misma forma que en el espacio vectorial de dimensión 4 asociado al campo escalar Z/pZ que consta de los vectores de la forma v = (v1,v2,v3,v4) donde los elementos de cada coordenada pertenecen a Z/pZ con p primo igual a 31.

a

b

c

d

e

f

g

h

i

j

k

l

m

n

o

p

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

q

r

s

t

u

v

w

x

y

z

á

é

í

ó

ú

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

Tabla 1

El producto interior se define de la siguiente forma: = v1*w1 + v2*w2 + v3*w3 + v4*w4 Donde v y w son palabras cualesquiera en el espacio vectorial V, y vi representan la letra en la posición i-ésima de la respectiva palabra. a) ¿Es el siguiente conjunto de palabras base de V? B = {daga, gama, alma, lobo} b) ¿Es el conjunto de todas las palabras que terminan en “o” un subespacio vectorial de V? ¿Es el conjunto de todas las palabras que terminan en “a” un subespacio vectorial de V? Explique. c) Determine una base ortonormal para V. d) Usando la base ortonormal determine las sucesiones de coeficientes c1,c2,... para generar por medio de una combinación lineal la siguiente frase: DELMISMOMODOENELSENTIDOCONTRARIO ¿Si se quisiera enviar la frase a un receptor remoto cuál sería el menor número bits suficientes para enviar todo el mensaje sin pérdidas? (TIP: separar la frase en grupos de cuatro).

Parte Práctica Fecha de entrega 22 de Febrero. Para cada uno de los siguientes requerimientos, implemente una función en matlab y envíela por email a [email protected] con copia [email protected]. Todas las funciones serán recibidas y evaluadas con datos generados aleatoriamente o con datos de prueba previamente definidos, las soluciones válidas serán calificadas teniendo en cuenta el tiempo de ejecución. Por favor usar la siguiente convencion para nombrar las funciones que se piden: funcion_nombreapellido() Asegúrese de que la función mantenga el orden de los argumentos dados en la descripción, y de usar “;” al final de cada línea para que no se produzcan salidas innecesarias.