INTEGRALES INDEFINIDAS Diferencial de una función Dada una función y=f(x) se llama diferencial de y a: dy =f''(x)dx y representa el incremento (variación) de la ordenada de la tangente, cuando la abscisa x aumenta dx Primitiva de una función Dada una función y = f(x) se llama primitiva de f (x) a una función F(x) tal que F´(x) = f(x). Una

función f(x) tiene infinitas primitivas puesto que si F(x) es una primitiva F(x) + c también lo es, puesto que la derivada de una constante es cero. Integral indefinida Se llama integral indefinida de una función f(x) al conjunto de todos sus primitivas. Se representa como:

∫ f (x)·dx = F(x) + C Como se puede observar la integración es la operación inversa de la derivación, siendo el teoema fundamental del cálculo integral:

∫

Si : f ( x )·dx = F( x ) + C ⇒ F′( x ) = f ( x ) Propiedades de los integrales indefinidas 1. 2. 3.

∫ K ⋅ f (x)·dx = K ⋅ ∫ f (x)dx ∀K ∈ ℜ ∫ (f (x) ± g(x))·dx = ∫ f (x)·dx ± ∫ g(x)·dx ∫ f (g(x))⋅ g ′(x) ⋅ dx = ∫ f (g(x))⋅ d(g(x))

Tabla de integrales inmediatas Integrales simples

Integrales compuestas

∫ λ·dx = λx + C ∫

∫ f ' (x)dx = f (x) + C

x n +1 + C ∀n ≠ −1 n +1

x n dx =

∫

f n ( x ) ⋅ f ' ( x )dx = f ' (x)

1

∫ x ·dx = Ln x + C ∫ ∫e

a x ·dx = x

∫ f (x) ·dx = Ln f (x) + C

ax +C Lna

∫ ∫e

a f ( x ) ·f ' ( x )·dx =

·dx = e x + C

∫ sen x·dx = − cos x + C ∫ cos x·dx = sen x + C 1 ∫ cos x ·dx = ∫ (1 + tg x )·dx = tg x + C 1 ∫ sen x ·dx = ∫ (1 + cotg x )·dx = −cotg x + C

2

2

2

2

2

a² − x 1

∫ a² + x

2

2

= arcsen

·dx =

·f ' ( x )·dx = e f ( x ) + C

2

2

dx

f (x)

a f (x) +C Lna

∫ sen f (x)·f ' (x)·dx = − cos f (x) + C ∫ cos f (x)·f ' (x)·dx = sen f (x) + C f ' (x) ∫ cos f (x) ·dx = ∫ (1 + tg f (x))·f ' (x)·dx = tg f (x) + C f ' (x) ∫ sen f (x) ·dx = ∫ (1 + cot g f (x))·f ' (x)·dx = −cotg f(x) + C

2

∫

f n +1 ( x ) + C ∀n ≠ −1 n +1

x +C a

∫

f ' (x) 2

a ² − f (x) f ' (x)

1 x arctg + C a a

·dx = arcsen

∫ a² + f

2

·dx =

f (x) +C a

f(x) 1 arctg +C a a

(x) Debemos tener en cuenta al aplicar la tabla de integrales inmediatas, que si falta una constante para completar la integral inmediata, se puede multiplicar y dividir por dicha constante y sacar fuera de la integral lo que nos sobre de la constante para la integral inmediata. Problemas propuestos: 2 i) Resolver: (1 − x ² )· x ·dx = ⋅ x x ⋅ 7 − 3x 2 + C 21 −4 8x ² +C ii) Resolver: ·dx = 3 2 3 (x ³ − 2) 3x −2

(

∫ ∫

(

3x ²

)

14 14 ⋅ x 3 arctg +C 14 7

iii)

Resolver:

∫ 7 + 2·x 6

iv)

Resolver:

∫ x + x·Ln x = Ln 1 + Ln x + C

v)

Resolver:

∫

·dx =

dx

3 − 5·x ·dx = −

)

2 15

(3 − 5x )3 + C