I.S.P.I. Nº 9009 “SAN JUAN BAUTISTA DE LA SALLE” PROFESORADO DE MATEMÁTICA

Superficies I SUPERFICIES ESFÉRICAS, SUPERFICIES CILÍNDRICAS, SUPERFICIES CÓNICAS, SUPERFICIES REGLADAS Y SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN

TÓPICOS DE GEOMETRÍA

Prof. Roberto Biraghi / Año 2014

I.S.P.I. Nº 9009 “SAN JUAN BAUTISTA DE LA SALLE” TÓPICOS DE GEOMETRÍA (Prof. Roberto Biraghi / Año 2014)

Superficies I

Indice 1. Introducción

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2. Superficies esféricas

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3. Superficies cilíndricas

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4. Superficies cónicas

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5. Superficies regladas

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6. Superficies de revolución

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Bibliografía

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Superficies I

1. Introducción Esta unidad la dedicaremos al estudio de la ecuación rectangular en tres variables 𝐹𝐹(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 0, donde el conjunto de los puntos 𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) que la verifican pertenece al espacio ℝ3 .

Definición: Sistema de coordenadas rectangulares para ℝ3

En el estudio de la geometría analítica del espacio ℝ3 se emplean diversos sistemas de coordenadas, uno de estos sistemas, el más usual, es el sistema de coordenadas rectangulares. Este sistema se construye con tres planos mutuamente perpendiculares que se denominan planos coordenados. Los planos coordenados se intersecan por pares, determinando tres rectas denominadas ejes coordenados: eje 𝑥𝑥, eje 𝑦𝑦 y eje 𝑧𝑧. En función de los ejes coordenados, los planos coordenados se denominan: plano 𝑥𝑥𝑥𝑥, plano 𝑥𝑥𝑥𝑥 y plano 𝑦𝑦𝑦𝑦. Los ejes coordenados son ortogonales por pares e incidentes en un punto llamado origen de coordenadas (𝑂𝑂). A partir del punto 𝑂𝑂 es posible graduar los ejes con un sistema de coordenadas para determinar dos sentidos: positivo y negativo. Cada terna de ejes que se considere define una región del espacio que se denomina octante. El octante formado por las semirrectas positivas de los ejes coordenados se llama primer octante, y no se acostumbra a asignar número a los octantes restantes. De esta forma, queda establecido el sistema de coordenadas rectangulares para el espacio tridimensional ℝ3 . Cada punto 𝑃𝑃0 (𝑥𝑥0 , 𝑦𝑦0 , 𝑧𝑧0 ) de este espacio está caracterizado por una terna ordenada de números reales y, recíprocamente, cada terna ordenada de números reales caracteriza un punto 𝑃𝑃0 (𝑥𝑥0 , 𝑦𝑦0 , 𝑧𝑧0 ) en el espacio.

A continuación, vamos a extender al espacio tridimensional algunos de los conceptos fundamentales relativos a la ecuación 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 0, como representación analítica de un lugar geométrico en ℝ2 . De esta manera, un plano se representará analíticamente por una única ecuación lineal de la forma: 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐𝑐𝑐 + 𝑑𝑑 = 0 Mientras que una recta, al ser la intersección de dos planos, quedará definida por un par de ecuaciones del tipo anterior: 𝑎𝑎 𝑥𝑥 + 𝑏𝑏1 𝑦𝑦 + 𝑐𝑐1 𝑧𝑧 + 𝑑𝑑1 = 0 � 1 𝑎𝑎2 𝑥𝑥 + 𝑏𝑏2 𝑦𝑦 + 𝑐𝑐2 𝑧𝑧 + 𝑑𝑑2 = 0

Así, un plano es un caso particular de lo que entendemos por una superficie y la recta, uno de lo que entendemos por una curva. Geométricamente, una curva en el espacio es la intersección de dos superficies diferentes.

Definición: Curva plana y curva alabeada Si todos los puntos de una curva en el espacio están contenidos en un mismo plano, se dice que la curva es plana. En caso contrario, se la denomina alabeada.

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Superficies I Definición: Generatriz Cuando una superficie se obtiene por el movimiento de una curva plana, se dice que la superficie es generada por esa curva. A esta curva se la denomina curva generatriz o simplemente generatriz de la superficie.

Definición: Ecuaciones paramétricas de una curva en el espacio Como en la representación paramétrica de curvas en el plano, este concepto puede extenderse a las curvas del espacio de manera que las coordenadas (𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) de cualquier punto de la curva estén expresadas como una función de una cuarta variable o parámetro. Así, las ecuaciones paramétricas de una curva del espacio pueden escribirse de la forma 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓2 (𝑡𝑡), 𝑧𝑧 = 𝑓𝑓3 (𝑡𝑡) 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓1 (𝑡𝑡), en donde, las coordenadas de un punto genérico 𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) quedan determinadas para cada valor asignado al parámetro 𝑡𝑡 ∈ ℝ. Así, las ecuaciones paramétricas para una recta en el espacio serán de la forma 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥0 + 𝑢𝑢1 𝑡𝑡 o también: 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥0 + 𝑢𝑢1 𝑡𝑡, 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦0 + 𝑢𝑢2 𝑡𝑡, 𝑧𝑧 = 𝑧𝑧0 + 𝑢𝑢3 𝑡𝑡 �𝑦𝑦 = 𝑦𝑦0 + 𝑢𝑢2 𝑡𝑡 𝑧𝑧 = 𝑧𝑧0 + 𝑢𝑢3 𝑡𝑡 donde se describe la recta que pasa por el punto 𝑃𝑃(𝑥𝑥0 , 𝑦𝑦0 , 𝑧𝑧0 ) y es paralela al vector 𝑢𝑢(𝑢𝑢1 , 𝑢𝑢2 , 𝑢𝑢3 ).

Como hemos visto antes, un plano es un caso particular de lo que entendemos por una superficie. De una manera más general podemos decir que, si existe una representación analítica de una figura geométrica considerada como una superficie, tal representación consistirá en una única ecuación rectangular de la forma 𝐹𝐹(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 0. Por ejemplo, se puede demostrar fácilmente por medio de la fórmula de la distancia euclidiana entre dos puntos, que la superficie esférica de radio 𝑟𝑟 y con centro en el origen de coordenadas se representa analíticamente por la única ecuación 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 + 𝑧𝑧 2 = 𝑟𝑟 2.

Definición: Superficie

Se denomina superficie al conjunto de los puntos 𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) pertenecientes al espacio ℝ3 cuyas coordenadas satisfacen una única ecuación de la forma 𝐹𝐹(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 0.

Esta definición implica que si una única ecuación de la forma 𝐹𝐹(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 0 representa un lugar geométrico en ℝ3 , ese lugar geométrico es una superficie. Y recíprocamente, si una superficie puede representarse analíticamente, esa representación es una única ecuación de la forma 𝐹𝐹(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 0.

Algunas observaciones…

→ Una condición necesaria, pero no suficiente: Toda ecuación de la forma 𝐹𝐹(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 0, bajo determinadas circunstancias, puede no representar necesariamente una superficie. Por ejemplo, la ecuación 4𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 + 4𝑧𝑧 2 + 7 = 0 tiene un número infinito de soluciones o ternas de valores para (𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧). Pero en ninguna de esas ternas los tres valores son números reales y por lo tanto, en nuestra geometría en ℝ3 , no representa un lugar geométrico. → La ecuación 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 + 𝑧𝑧 2 = 0 tiene solamente una solución real, que es 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦 = 𝑧𝑧 = 0 y por lo tanto, el lugar geométrico está constituido por un solo punto, el origen de coordenadas. → Aunque la ecuación 𝐹𝐹(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 0 contiene tres variables, la ecuación de una superficie puede contener solamente una o dos variables. Por ejemplo, una ecuación de la forma 𝑥𝑥 = 𝑘𝑘, donde 𝑘𝑘 es una constante real cualquiera, representa un plano paralelo al plano 𝑦𝑦𝑦𝑦. Además, como veremos más adelante, una ecuación de la forma 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 = 4, considerada en el espacio ℝ3 , representa una superficie cilíndrica circular recta. → Para representar en ℝ3 una curva plana cuya ecuación bidimensional en el plano xy se conoce, se debe considerar simultáneamente la ecuación conocida y la ecuación de un plano que la intersecte (por ejemplo, 𝑧𝑧 = 0):

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Superficies I 2 2 �𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 = 1 , o también de la forma: 𝑥𝑥 2 + 4𝑦𝑦 2 = 1, 𝑧𝑧 = 0 𝑧𝑧 = 0

Definición: Estudio elemental de una superficie

Una de las partes más importantes de la geometría analítica es la construcción de figuras a partir de sus ecuaciones. La construcción de una superficie se facilita considerablemente mediante su estudio en base a los siguientes parámetros:

1. Intersecciones con los ejes coordenados Llamamos intersección de una superficie con un eje coordenado, a la coordenada correspondiente del punto de intersección de la superficie y el eje coordenado.

2. Trazas sobre los planos coordenados Llamamos traza de una superficie sobre un plano coordenado a la curva de intersección de la superficie y el plano coordenado. De acuerdo a la definición ya vista, se tratará de una curva plana.

3. Simetría con respecto a los planos coordenados, a los ejes coordenados y al origen Consideremos primero, las siguientes definiciones:

Definición: Puntos simétricos respecto a un plano Se dice que dos puntos diferentes 𝑃𝑃1 y 𝑃𝑃2 son simétricos con respecto a un plano 𝛿𝛿, si y sólo si el plano es perpendicular al segmento que los une en su punto medio. En tal caso, el plano 𝛿𝛿 se denomina plano de simetría.

Definición: Superficie simétrica respecto a un plano

Se dice que una superficie 𝑆𝑆 es simétrica con respecto a un plano de simetría 𝛿𝛿, si el simétrico de cada punto de la superficie 𝑆𝑆, respecto del plano 𝛿𝛿, es también un punto de la superficie 𝑆𝑆.

Teorema

Una superficie 𝑆𝑆 que es simétrica respecto a dos planos perpendiculares, también es simétrica respecto a la recta intersección de los mismos.

Teorema

Una superficie 𝑆𝑆 que es simétrica respecto a tres planos perpendiculares, también es simétrica respecto al punto intersección de los mismos.

Con estas definiciones y teoremas se pueden establecer los siguientes teoremas:

Teorema 1 Si la ecuación de una superficie 𝑆𝑆 se sigue verificando aún cuando se cambia el signo de una de las variables, la superficie 𝑆𝑆 es simétrica con respecto al plano coordenado a partir del cual se mide esa variable, y recíprocamente. En símbolos, por ejemplo, ∀𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) ∈ 𝑆𝑆 ∃𝑃𝑃′ (−𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) / 𝐹𝐹(−𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 0 ⇔ 𝑆𝑆 es simétrica respecto del plano 𝑦𝑦𝑦𝑦

Teorema 2

Si la ecuación de una superficie 𝑆𝑆 se sigue verificando aún cuando se les cambia el signo a dos de sus variables, la superficie 𝑆𝑆 es simétrica con respecto al eje coordenado a lo largo del cual se mide la variable cuyo signo no se cambió, y recíprocamente. En símbolos, por ejemplo, ∀𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) ∈ 𝑆𝑆 ∃𝑃𝑃′ (𝑥𝑥, −𝑦𝑦, −𝑧𝑧) / 𝐹𝐹(𝑥𝑥, −𝑦𝑦, −𝑧𝑧) = 0 ⇔ 𝑆𝑆 es simétrica respecto del eje 𝑥𝑥

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Superficies I Teorema 3 Si la ecuación de una superficie 𝑆𝑆 se sigue verificando aún cuando sus tres variables cambian de signo, la superficie 𝑆𝑆 es simétrica con respecto al origen de coordenadas, y recíprocamente. En símbolos, ∀𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) ∈ 𝑆𝑆 ∃𝑃𝑃′ (−𝑥𝑥, −𝑦𝑦, −𝑧𝑧) / 𝐹𝐹(−𝑥𝑥, −𝑦𝑦, −𝑧𝑧) = 0 ⇔ 𝑆𝑆 es simétrica respecto al origen de coordenadas.

Estos tres últimos teoremas pueden resumirse en la siguiente tabla: Teorema 1

∀𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) ∈ 𝑆𝑆 se verifica…

𝐹𝐹(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 𝐹𝐹(−𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 0

⟺

𝑆𝑆 es simétrica con respecto a… 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑦𝑦𝑦𝑦 (𝑥𝑥 = 0) 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑥𝑥𝑥𝑥 (𝑦𝑦 = 0)

𝐹𝐹(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 𝐹𝐹(𝑥𝑥, −𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 0

𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑥𝑥𝑥𝑥 (𝑧𝑧 = 0)

𝐹𝐹(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 𝐹𝐹(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, −𝑧𝑧) = 0

2

3

𝐹𝐹(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 𝐹𝐹(−𝑥𝑥, −𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 0

𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑧𝑧 (𝑥𝑥 = 𝑦𝑦 = 0)

𝐹𝐹(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 𝐹𝐹(−𝑥𝑥, −𝑦𝑦, −𝑧𝑧) = 0

𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 (𝑥𝑥 = 𝑦𝑦 = 𝑧𝑧 = 0)

𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑦𝑦 (𝑥𝑥 = 𝑧𝑧 = 0)

𝐹𝐹(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 𝐹𝐹(−𝑥𝑥, 𝑦𝑦, −𝑧𝑧) = 0 𝐹𝐹(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 𝐹𝐹(𝑥𝑥, −𝑦𝑦, −𝑧𝑧) = 0

𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑥𝑥 (𝑦𝑦 = 𝑧𝑧 = 0)

4. Secciones por planos paralelos a los planos coordenados

Se puede obtener una buena idea de la forma de una superficie estudiando la naturaleza de sus secciones planas. Tales secciones pueden determinarse cortando la superficie por una serie de planos paralelos a los planos coordenados. Por ejemplo, los planos paralelos al plano coordenado 𝑥𝑥𝑥𝑥 tienen una ecuación del tipo 𝑧𝑧 = 𝑘𝑘, donde 𝑘𝑘 ∈ ℝ es una constante arbitraria o parámetro. Entonces, tenemos que 𝐹𝐹(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 0 � 𝑧𝑧 = 𝑘𝑘 Son las ecuaciones de la curva de intersección del plano con la superficie, correspondiendo a cada valor de 𝑘𝑘 una curva determinada. Como estas curvas se encuentran en el plano 𝑧𝑧 = 𝑘𝑘, resultan ser curvas planas y pueden estudiarse como se venía haciendo en la geometría del plano o bidimensional.

5. Extensión de la superficie

Con el término extensión se quiere expresar la determinación de los intervalos para los cuales los valores de 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 y 𝑧𝑧 son valores reales. Despejando una de las variables en función de las otras dos, por ejemplo, despejando 𝑧𝑧 en función de 𝑥𝑥 e 𝑦𝑦, obtendremos una ecuación de la forma 𝑧𝑧 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦), que nos permitirá obtener los intervalos de valores reales que cada una de las variables pueden tomar. Esta información es útil para determinar la localización general de la superficie en el espacio coordenado. También nos indica si la superficie es cerrada o indefinida en su extensión.

6. Gráfica de la superficie

Con los datos obtenidos en el estudio, se obtiene suficiente información como para realizar un esbozo de la gráfica de la superficie, indicando en el mismo sus principales características.

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Superficies I

2. Superficies esféricas Definición

Una superficie esférica es el lugar geométrico de los puntos del espacio ℝ3 que equidistan de un punto fijo, denominado centro. A la distancia entre un punto 𝑃𝑃 de la superficie y el centro se la denomina radio y, obviamente, no puede ser nula. Entonces, si 𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) es un punto cualquiera perteneciente a la superficie y 𝐶𝐶(𝑥𝑥0 , 𝑦𝑦0 , 𝑧𝑧0 ) es el centro, se tiene que

𝑆𝑆 = �𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧): �𝑃𝑃𝑃𝑃� = 𝑟𝑟, 𝑟𝑟 > 0� Por medio de la fórmula de la distancia euclidiana entre los puntos 𝑃𝑃 y 𝐶𝐶, 𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) ∈ 𝑆𝑆 ⇔ (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0 )2 + (𝑦𝑦 − 𝑦𝑦0 )2 + (𝑧𝑧 − 𝑧𝑧0 )2 = 𝑟𝑟 2

Teorema

Una superficie esférica cuyo centro es el punto 𝑂𝑂(𝑥𝑥0 , 𝑦𝑦0 , 𝑧𝑧0 ) y cuyo radio es la constante 𝑟𝑟, tiene por ecuación (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0 )2 + (𝑦𝑦 − 𝑦𝑦0 )2 + (𝑧𝑧 − 𝑧𝑧0 )2 = 𝑟𝑟 2

que se denomina forma ordinaria de la ecuación de la superficie esférica.

Corolario

La superficie esférica cuyo centro es el origen y cuyo radio es la constante dada 𝑟𝑟 tiene por ecuación 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 + 𝑧𝑧 2 = 𝑟𝑟 2

que se denomina forma canónica de la ecuación de la superficie esférica.

Al desarrollar la forma ordinaria de la ecuación y ordenando los términos, se obtiene una forma equivalente 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 + 𝑧𝑧 2 − 2𝑥𝑥𝑥𝑥0 − 2𝑦𝑦𝑦𝑦0 − 2𝑧𝑧𝑧𝑧0 + 𝑥𝑥0 2 + 𝑦𝑦0 2 + 𝑧𝑧0 2 − 𝑟𝑟 2 = 0 que es un caso particular de la ecuación general de segundo grado en tres variables 𝐴𝐴𝑥𝑥 2 + 𝐵𝐵𝑦𝑦 2 + 𝐶𝐶𝑧𝑧 2 + 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 + 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹 + 𝐺𝐺𝐺𝐺 + 𝐻𝐻𝐻𝐻 + 𝐼𝐼𝐼𝐼 + 𝐾𝐾 = 0

Ahora bien, para que esta última ecuación sea la de una superficie esférica, es condición necesaria que 𝐴𝐴 = 𝐵𝐵 = 𝐶𝐶 ≠ 0 y 𝐷𝐷 = 𝐸𝐸 = 𝐹𝐹 = 0, entonces 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 + 𝑧𝑧 2 + 𝐺𝐺′𝑥𝑥 + 𝐻𝐻′𝑦𝑦 + 𝐼𝐼′𝑧𝑧 + 𝐾𝐾′ = 0

que se denomina forma general de la ecuación de la superficie esférica.

Algunas observaciones… → Condiciones necesarias, pero no suficientes: Si bien se han determinado cuáles son las condiciones necesarias para que un ecuación de segundo grado en tres variables sea la ecuación de la superficie esférica, estas no son condiciones suficientes, como podemos notar en el siguiente ejemplo: 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 + 𝑧𝑧 2 + 1 = 0 donde vemos que la ecuación satisface las condiciones necesarias, pero no hay punto del espacio ℝ3 que la verifique. Entonces, ¿cómo se debe proceder para saber si una ecuación de segundo grado en tres variables es o no la ecuación de una superficie esférica? Veámoslo en este otro ejemplo, donde se verifican las condiciones necesarias: 3𝑥𝑥 2 + 3𝑦𝑦 2 + 3𝑧𝑧 2 − 6𝑦𝑦 + 12𝑧𝑧 = 0

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Superficies I El proceso a seguir ahora es el de completar cuadrados: 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 + 𝑧𝑧 2 − 2𝑦𝑦 + 4𝑧𝑧 = 0 2 𝑥𝑥 + (𝑦𝑦 − 1)2 − 1 + (𝑧𝑧 + 2)2 − 4 = 0 𝑥𝑥 2 + (𝑦𝑦 − 1)2 + (𝑧𝑧 + 2)2 = 5

Podemos decir entonces, que el lugar geométrico representado por la ecuación dada es una superficie esférica de centro 𝐶𝐶(0,1, −2) y radio 𝑟𝑟 = √5.

→ Puede notarse que la forma general de la ecuación contiene cuatro constantes arbitrarias independientes, por lo que la ecuación de una esfera quedará determinada por cuatro condiciones independientes. Se puede decir entonces que cuatro puntos no coplanares determinan una superficie esférica.

Práctica 1) Demostrar que cada ecuación dada es la ecuación de una superficie esférica, encontrar su centro y su radio, y esbozar su gráfica: a) 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 + 𝑧𝑧 2 + 4𝑥𝑥 − 6𝑦𝑦 + 2𝑧𝑧 + 6 = 0 b) 9𝑥𝑥 2 + 9𝑦𝑦 2 + 9𝑧𝑧 2 − 36𝑥𝑥 + 12𝑦𝑦 − 18𝑧𝑧 + 13 = 0 c) 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 + 𝑧𝑧 2 − 4𝑥𝑥 + 6𝑦𝑦 + 4𝑧𝑧 + 16 = 0 d) 2𝑥𝑥 2 + 2𝑦𝑦 2 + 2𝑧𝑧 2 − 6𝑥𝑥 − 4𝑦𝑦 − 2𝑧𝑧 − 6 = 0 e) 2𝑥𝑥 2 + 2𝑦𝑦 2 + 2𝑧𝑧 2 − 8𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 − 2𝑧𝑧 + 7 = 0

2) Encontrar las ecuaciones ordinarias de las siguientes esferas:

Centro en (2, 3, 5), radio 6. Centro en (6, −2, −3), radio 4. Centro en (2, 7, −1), pasa por (−4, 5, 2). Centro en (4, 0, 2), pasa por (−2, 2, 5). Centro en la intersección de 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = 6, 2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 − 3𝑧𝑧 = −6, 𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 − 𝑧𝑧 = 1, pasando por (5, −11, −1). f) Centro en la intersección de 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = 0, 3𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 − 𝑧𝑧 = 13, 2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 + 3𝑧𝑧 = −10, pasando por (0, 0, 5). g) Pasando por (5, 3, 6), (−4, 3, 3), (4, −5, 3) y (10, 4, −6). h) Pasando por (4, 1, 5), (5, 2, 3), (−1, −4, −3) y (4, −5, −3).

a) b) c) d) e)

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Superficies I

3. Superficies cilíndricas Definición

Se denomina superficie cilíndrica o simplemente cilindro, a la generada por una recta que se mueve de tal manera que se mantiene siempre paralela a una dirección fija dada y pasa siempre por una curva plana fija dada. La recta móvil se la denomina generatriz y la curva fija, directriz de la superficie cilíndrica. Veamos cómo hallar la ecuación rectangular de una superficie cilíndrica 𝑆𝑆, cuando 𝑔𝑔 es una generatriz cualquiera paralela a un vector 𝑢𝑢 dado y 𝐶𝐶 es la directriz dada por las ecuaciones 𝐹𝐹 (𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 0 𝐶𝐶 = � 1 𝐹𝐹2 (𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 0 Sea 𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) un punto cualquiera de la superficie, y supongamos que la generatriz que pasa por 𝑃𝑃 corta a 𝐶𝐶 en el punto 𝑃𝑃0 (𝑥𝑥0 , 𝑦𝑦0 , 𝑧𝑧0 ). Entonces las ecuaciones paramétricas de esta generatriz son 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥0 + 𝑢𝑢1 𝑡𝑡 𝑔𝑔 = �𝑦𝑦 = 𝑦𝑦0 + 𝑢𝑢2 𝑡𝑡 (1) 𝑧𝑧 = 𝑧𝑧0 + 𝑢𝑢3 𝑡𝑡

Además, como 𝑃𝑃0 (𝑥𝑥0 , 𝑦𝑦0 , 𝑧𝑧0 ) ∈ 𝐶𝐶, sus coordenadas verifican las ecuaciones de la curva 𝐶𝐶 𝐹𝐹 (𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 , 𝑧𝑧 ) = 0 𝐶𝐶 = � 1 0 0 0 (2) 𝐹𝐹2 (𝑥𝑥0 , 𝑦𝑦0 , 𝑧𝑧0 ) = 0 Por la definición de superficie, el punto 𝑃𝑃 estará sobre la superficie si sus coordenadas (𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) verifican las ecuaciones (1) y (2), las cuales constituyen un sistema de cinco ecuaciones independientes. De (1) podemos despejar 𝑥𝑥0 , 𝑦𝑦0 , 𝑧𝑧0 considerándolas como parámetros, y reemplazamos en (2). El resultado es una sola ecuación en las variables 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧, que es la ecuación buscada de la superficie cilíndrica, 𝐹𝐹(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 0 (suponiendo que es posible eliminar el parámetro 𝑡𝑡). Veamos lo mismo, en símbolos: 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥0 + 𝑢𝑢1 𝑡𝑡 𝐹𝐹 (𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 , 𝑧𝑧 ) = 0 𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) ∈ 𝑆𝑆, 𝑃𝑃0 (𝑥𝑥0 , 𝑦𝑦0 , 𝑧𝑧0 ) ∈ (𝑔𝑔 ∩ 𝐶𝐶) ⇔ �𝑦𝑦 = 𝑦𝑦0 + 𝑢𝑢2 𝑡𝑡 , � 1 0 0 0 ⇔ 𝐹𝐹2 (𝑥𝑥0 , 𝑦𝑦0 , 𝑧𝑧0 ) = 0 𝑧𝑧 = 𝑧𝑧0 + 𝑢𝑢3 𝑡𝑡 𝑥𝑥0 = 𝑥𝑥 − 𝑢𝑢1 𝑡𝑡 𝐹𝐹 (𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 , 𝑧𝑧 ) = 0 ⇔ �𝑦𝑦0 = 𝑦𝑦 − 𝑢𝑢2 𝑡𝑡 , � 1 0 0 0 ⇔ 𝐹𝐹2 (𝑥𝑥0 , 𝑦𝑦0 , 𝑧𝑧0 ) = 0 𝑧𝑧0 = 𝑧𝑧 − 𝑢𝑢3 𝑡𝑡 𝐹𝐹 (𝑥𝑥 − 𝑢𝑢1 𝑡𝑡, 𝑦𝑦 − 𝑢𝑢2 𝑡𝑡, 𝑧𝑧 − 𝑢𝑢3 𝑡𝑡) = 0 ⇔� 1 ⇔ 𝐹𝐹(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 0 𝐹𝐹2 (𝑥𝑥 − 𝑢𝑢1 𝑡𝑡, 𝑦𝑦 − 𝑢𝑢2 𝑡𝑡, 𝑧𝑧 − 𝑢𝑢3 𝑡𝑡) = 0

Apliquemos este mismo procedimiento en un ejemplo:

Ejemplo Hallar la ecuación de la superficie cilíndrica cuya directriz 𝐶𝐶 es la curva dada por las ecuacio-

nes 4𝑥𝑥 2 + 𝑧𝑧 2 = 1 , 𝑦𝑦 = 0 y cuyas generatrices son paralelas al vector 𝑢𝑢 = (0, −1, 2).

Sea 𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) un punto genérico perteneciente a la superficie y 𝑃𝑃0 (𝑥𝑥0 , 𝑦𝑦0 , 𝑧𝑧0 ) ∈ 𝐶𝐶, entonces, las ecuaciones paramétricas de la generatriz 𝑔𝑔 paralela a 𝑢𝑢 que pasa por 𝑃𝑃0 son 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥0 , 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦0 − 𝑡𝑡 , 𝑧𝑧 = 𝑧𝑧0 + 2𝑡𝑡 además, como 𝑃𝑃0 pertenece también a la directriz, entonces debe ser 4𝑥𝑥0 2 + 𝑧𝑧0 2 = 1 , 𝑦𝑦0 = 0. 𝑥𝑥0 = 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦0 = 𝑦𝑦 + 𝑡𝑡 , 𝑧𝑧0 = 𝑧𝑧 − 2𝑡𝑡 , 4𝑥𝑥0 2 + 𝑧𝑧0 2 = 1 , 𝑦𝑦0 = 0 ⇔

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Superficies I ⇔ 4𝑥𝑥 2 + (𝑧𝑧 − 2𝑡𝑡)2 = 1 , 𝑦𝑦 + 𝑡𝑡 = 0 Despejando el parámetro de la segunda ecuación de la directriz 𝐶𝐶, se llega a que 𝑡𝑡 = −𝑦𝑦 , que puede reemplazarse entonces en la otra ecuación de la directriz 𝐶𝐶 4𝑥𝑥 2 + (𝑧𝑧 + 2𝑦𝑦)2 = 1 ⇔ 2 ⇔ 4𝑥𝑥 + 9(z 2 + 4zy + 4y 2 ) − 1 = 0 Después de operar y ordenar los términos, se llega a

4𝑥𝑥 2 + 36𝑦𝑦 2 + 9𝑧𝑧 2 + 36𝑦𝑦𝑦𝑦 − 1 = 0

que es la ecuación buscada de la superficie cilíndrica de directriz 𝐶𝐶 y generatrices paralelas al vector 𝑢𝑢.

Definición: Superficie cilíndrica recta y oblicua

Si las generatrices de una superficie cilíndrica son perpendiculares al plano que contiene a su directriz, la superficie se denomina superficie cilíndrica recta y, en caso contrario, se dirá que es una superficie cilíndrica oblicua.

Teorema Una ecuación representa una superficie cilíndrica recta, cuyas generatrices son perpendiculares al plano coordenado que contiene a la directriz, si y solamente si carece de la variable no medida en ese plano. Por ejemplo, la superficie cilíndrica recta cuya directriz es la circunferencia 𝑦𝑦 2 + 𝑧𝑧 2 = 9, 𝑥𝑥 = 0 se representa por la ecuación 𝑦𝑦 2 + 𝑧𝑧 2 = 9.

Algunas observaciones…

→ De acuerdo a la definición dada de superficie cilíndrica, un plano podría considerarse como una superficie cilíndrica cuya directriz es una recta. → A los efectos de simplificar el estudio de estas superficies, sólo consideraremos los casos cuyas directrices sean secciones cónicas. Así, si la directriz de una superficie cilíndrica es una circunferencia, la superficie se denominará superficie cilíndrica circular. Análogamente, tendremos superficies cilíndricas parabólicas, elípticas e hiperbólicas.

Práctica 1) Hallar la ecuación de las siguientes superficies cilíndricas: a) La directriz es una circunferencia en el plano 𝑥𝑥𝑥𝑥, con centro en el origen y radio 4, siendo la generatriz paralela al eje 𝑧𝑧. b) La directriz es la curva 𝑥𝑥 2 = 4𝑦𝑦, 𝑧𝑧 = 0; cuyas generatrices son paralelas al vector 𝑢𝑢 = (1, 1, 3). c) La directriz es la curva 𝑧𝑧 2 − 𝑦𝑦 2 = 1, 𝑥𝑥 = 5; y la generatriz es paralela al vector 𝑢𝑢 = (−3, 0, 2). 2) Dados la ecuación de la directriz y un vector paralelo a sus generatrices, hallar la ecuación de la superficie y esbozar su gráfica: a) 𝐶𝐶1 : 𝑦𝑦 2 = 4𝑥𝑥, 𝑧𝑧 = 0; 𝑢𝑢1 = (1, −1, 1). b) 𝐶𝐶2 : 𝑥𝑥 2 + 𝑧𝑧 2 = 1, 𝑦𝑦 = 0; 𝑢𝑢2 = (2, 1, −1). c) 𝐶𝐶3 : 𝑥𝑥 2 − 𝑦𝑦 2 = 1, 𝑧𝑧 = 0; 𝑢𝑢3 = (0, 2, −1). d) 𝐶𝐶4 : 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 = 1, 𝑧𝑧 = 0; 𝑢𝑢4 = (2, 0, 1). e) 𝐶𝐶5 : 4𝑥𝑥 2 + 𝑧𝑧 2 + 4𝑧𝑧 = 0, 𝑦𝑦 = 0; 𝑢𝑢5 = (4, 1, 0).

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Superficies I

4. Superficies cónicas Definición

Se denomina superficie cónica o simplemente cono, a la generada por una recta que se mueve de tal manera que pasa siempre por una curva plana fija y por un punto fijo, no contenido en el plano de esa curva. La recta móvil se denomina generatriz, la curva fija dada directriz y el punto fijo dado vértice de la superficie cónica. El vértice divide a la superficie en dos porciones distintas, cada una de las cuales se denomina hoja o rama de la superficie cónica. Si se conocen las ecuaciones de la directriz y las coordenadas del vértice, se puede obtener la ecuación de la superficie por el método paramétrico, análogamente como para las superficies cilíndricas. Nuestros datos son el vértice 𝑉𝑉(𝑥𝑥1 , 𝑦𝑦1 , 𝑧𝑧1 ) y la directriz 𝐶𝐶 dada por las ecuaciones 𝐹𝐹 (𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 0 � 1 𝐹𝐹2 (𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 0 Supongamos que la generatriz 𝑔𝑔, que pasa por un punto cualquiera 𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) de la superficie, intersecta a la directriz 𝐶𝐶 en el punto 𝑃𝑃0 (𝑥𝑥0 , 𝑦𝑦0 , 𝑧𝑧0 ). En símbolos, 𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) ∈ 𝑔𝑔, 𝑃𝑃0 (𝑥𝑥0 , 𝑦𝑦0 , 𝑧𝑧0 ) ∈ (𝑔𝑔 ∩ 𝐶𝐶).

Si definimos el vector 𝑉𝑉𝑉𝑉0 = (𝑥𝑥0 − 𝑥𝑥1 , 𝑦𝑦0 − 𝑦𝑦1 , 𝑧𝑧0 − 𝑧𝑧1 ), las ecuaciones paramétricas de la generatriz 𝑔𝑔 que pasa por 𝑉𝑉 y 𝑃𝑃0 , y que es paralela al vector 𝑉𝑉𝑉𝑉0 , serán 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥1 + (𝑥𝑥0 − 𝑥𝑥1 )𝑡𝑡 𝑔𝑔 = �𝑦𝑦 = 𝑦𝑦1 + (𝑦𝑦0 − 𝑦𝑦1 )𝑡𝑡 𝑧𝑧 = 𝑧𝑧1 + (𝑧𝑧0 − 𝑧𝑧1 )𝑡𝑡 Entonces, llamando 𝑆𝑆 a la superficie cónica, todo lo anterior puede resumirse en 𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) ∈ 𝑆𝑆, 𝑃𝑃0 (𝑥𝑥0 , 𝑦𝑦0 , 𝑧𝑧0 ) ∈ (𝑔𝑔 ∩ 𝐶𝐶) ⇔ 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥1 + (𝑥𝑥0 − 𝑥𝑥1 )𝑡𝑡 𝐹𝐹 (𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 , 𝑧𝑧 ) = 0 ⇔ �𝑦𝑦 = 𝑦𝑦1 + (𝑦𝑦0 − 𝑦𝑦1 )𝑡𝑡 , � 1 0 0 0 ⇔ 𝐹𝐹2 (𝑥𝑥0 , 𝑦𝑦0 , 𝑧𝑧0 ) = 0 𝑧𝑧 = 𝑧𝑧1 + (𝑧𝑧0 − 𝑧𝑧1 )𝑡𝑡

𝑥𝑥0 = (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1 )/𝑡𝑡 + 𝑥𝑥1 𝐹𝐹 (𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 , 𝑧𝑧 ) = 0 ⇔ �𝑦𝑦0 = (𝑦𝑦 − 𝑦𝑦1 )/𝑡𝑡 + 𝑦𝑦1 , � 1 0 0 0 ⇔ 𝐹𝐹2 (𝑥𝑥0 , 𝑦𝑦0 , 𝑧𝑧0 ) = 0 𝑧𝑧0 = (𝑧𝑧 − 𝑧𝑧1 )/𝑡𝑡 + 𝑧𝑧1 𝐹𝐹 [(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1 )/𝑡𝑡 + 𝑥𝑥1 , (𝑦𝑦 − 𝑦𝑦1 )/𝑡𝑡 + 𝑦𝑦1 , (𝑧𝑧 − 𝑧𝑧1 )/𝑡𝑡 + 𝑧𝑧1 ] = 0 ⇔� 1 ⇔ 𝐹𝐹(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 0 𝐹𝐹2 [(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1 )/𝑡𝑡 + 𝑥𝑥1 , (𝑦𝑦 − 𝑦𝑦1 )/𝑡𝑡 + 𝑦𝑦1 , (𝑧𝑧 − 𝑧𝑧1 )/𝑡𝑡 + 𝑧𝑧1 ] = 0

Es decir, eliminando 𝑡𝑡 entre 𝐹𝐹1 y 𝐹𝐹2 , se obtiene una ecuación del tipo 𝐹𝐹(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 0 que es verificada por todos los puntos de la superficie cónica y sólo por ellos. Podemos decir entonces que 𝐹𝐹(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 0 es la ecuación general de la superficie cónica. Veamos esto en un ejemplo:

Ejemplo Hallar la ecuación de la superficie cónica cuyo vértice es el punto 𝑉𝑉(1,1,3) y cuya directriz 𝐶𝐶 es la curva dada por las ecuaciones 4𝑥𝑥 2 + 𝑧𝑧 2 = 1, 𝑦𝑦 = 4.

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Superficies I Sea 𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) un punto genérico perteneciente a la superficie y 𝑃𝑃0 (𝑥𝑥0 , 𝑦𝑦0 , 𝑧𝑧0 ) ∈ 𝐶𝐶, entonces, las ecuaciones paramétricas de la generatriz 𝑔𝑔 que pasa por 𝑉𝑉, 𝑃𝑃 y 𝑃𝑃0 son 𝑥𝑥 = 1 + (𝑥𝑥0 − 1)𝑡𝑡 �𝑦𝑦 = 1 + (𝑦𝑦0 − 1)𝑡𝑡 𝑧𝑧 = 3 + (𝑧𝑧0 − 3)𝑡𝑡 Además, como 𝑃𝑃0 pertenece también a la directriz, entonces debe ser 𝑦𝑦0 = 4 4𝑥𝑥0 2 + 𝑧𝑧0 2 = 1 ,

Si operamos de acuerdo a la teoría, 𝑥𝑥0 = (𝑥𝑥 − 1)/𝑡𝑡 + 1 , 𝑦𝑦0 = (𝑦𝑦 − 1)/𝑡𝑡 + 1 , 𝑧𝑧0 = (𝑧𝑧 − 3)/𝑡𝑡 + 3 , 4𝑥𝑥0 2 + 𝑧𝑧0 2 = 1 , 𝑦𝑦0 = 4 ⇔ ⇔ 4[(𝑥𝑥 − 1)/𝑡𝑡 + 1]2 + [(𝑧𝑧 − 3)/𝑡𝑡 + 3]2 = 1 , (𝑦𝑦 − 1)/𝑡𝑡 + 1 = 4 Despejando el parámetro de la segunda ecuación de la directriz 𝐶𝐶, se tiene que 𝑡𝑡 = plazarse entonces en la otra ecuación de la directriz 𝐶𝐶 3(𝑥𝑥−1)

2

3(𝑧𝑧−3)

2

4 � (𝑦𝑦−1) + 1� + � (𝑦𝑦−1) + 3� = 1 ⇔ 4 �

3𝑥𝑥+𝑦𝑦−4 2 � 𝑦𝑦−1

+ 9�

(𝑦𝑦−1)

𝑧𝑧+𝑦𝑦−4 2 � 𝑦𝑦−1

⇔ 4(3x + y − 4)2 + 9(z + y − 4)2 − (𝑦𝑦 − 1)2 = 0

3

, que puede reem-

=1⇔

Después de operar y ordenar los términos, se llega a 36𝑥𝑥 2 + 12𝑦𝑦 2 + 9𝑧𝑧 2 + 24𝑥𝑥𝑥𝑥 + 18𝑦𝑦𝑦𝑦 − 96𝑥𝑥 − 102𝑦𝑦 − 72𝑧𝑧 + 207 = 0 que es la ecuación general de la superficie cónica de vértice 𝑉𝑉 y generatriz 𝐶𝐶.

Ahora bien, en el estudio de una superficie cónica, no se pierde generalidad tomando el vértice en el origen de coordenadas. Consideremos entonces una superficie cónica de vértice 𝑉𝑉 en el origen y cuya directriz sea la curva 𝐹𝐹1 (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 0, 𝑧𝑧 = 𝑘𝑘, donde 𝑘𝑘 ≠ 0.

Supongamos que la generatriz que pasa por un punto cualquiera 𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) de la superficie corta a la directriz en el punto 𝑃𝑃0 (𝑥𝑥0 , 𝑦𝑦0 , 𝑧𝑧0 ). Como esta generatriz 𝑔𝑔 pasa por el origen, sus ecuaciones son 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥0 𝑡𝑡 , 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦0 𝑡𝑡 , 𝑧𝑧 = 𝑧𝑧0 𝑡𝑡

Considerando además las ecuaciones de la directriz 𝐶𝐶 y despejando 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑧𝑧 𝑧𝑧 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑥𝑥0 = , 𝑦𝑦0 = , 𝑧𝑧0 = , 𝐹𝐹1 (𝑥𝑥0 , 𝑦𝑦0 ) = 0, 𝑧𝑧0 = 𝑘𝑘 (𝑘𝑘 ≠ 0) ⇔ 𝑡𝑡 = ⇔ 𝑥𝑥0 = , 𝑦𝑦0 = 𝑡𝑡 𝑡𝑡 𝑡𝑡 𝑘𝑘 𝑧𝑧 𝑧𝑧 Si sustituimos estos valores en las ecuaciones anteriores, obtenemos 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝐹𝐹 � , � = 0 𝑧𝑧 𝑧𝑧 que es la ecuación de la superficie cónica con vértice en el origen de coordenadas y directriz en un plano paralelo al plano 𝑥𝑥𝑥𝑥.

Algunas observaciones…

→ A los efectos de simplificar el estudio de este tipo de superficies, sólo estudiaremos los casos cuyas directrices sean secciones cónicas contenidas en planos paralelos a los planos coordenados. Entonces, del mismo modo que con las superficies cilíndricas, si la directriz de una superficie cónica es una circunferencia, la superficie se llamará superficie cónica circular (análogamente, tendremos superficies cónicas parabólicas, elípticas e hiperbólicas).

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Superficies I → Una particularidad de la ecuación de la superficie cónica con vértice en el origen de coordenadas es su homogeneidad, es decir, que todos sus términos son de un mismo grado. Esto se puede comprobar fácilmente, reemplazando en la ecuación anterior 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧 por 𝑘𝑘′𝑥𝑥, 𝑘𝑘′𝑦𝑦, 𝑘𝑘′𝑧𝑧 (𝑘𝑘′ ≠ 0), respectivamente, y comprobando que la ecuación permanece invariable: (𝑘𝑘 ′ 𝑥𝑥)𝑘𝑘 (𝑘𝑘 ′ 𝑦𝑦)𝑘𝑘 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝐹𝐹 � ′ , � = 0 ⇔ 𝐹𝐹 � , � = 0 ′ 𝑘𝑘 𝑧𝑧 𝑘𝑘 𝑧𝑧 𝑧𝑧 𝑧𝑧 Esto da lugar al siguiente teorema:

Teorema

Una ecuación representa una superficie cónica con vértice en el origen de coordenadas, si y solamente si es homogénea en las tres variables 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧 y es de grado no menor que 2.

De acuerdo al teorema anterior, una ecuación lineal homogénea en tres variables no representa una superficie cónica, y recíprocamente. En este caso, representará un plano que pasa por el origen de coordenadas. No obstante, un plano no puede clasificarse como una superficie cónica de acuerdo con la definición que hemos visto, ya que se excluye el caso en que el vértice esté en el plano de la directriz. → Antes de clasificar una ecuación homogénea como una superficie cónica con vértice en el origen, se debe considerar que represente en realidad una superficie. Así la ecuación 𝑥𝑥 2 + 4𝑦𝑦 2 + 3𝑧𝑧 2 = 0 es homogénea en 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧 pero no representa una superficie cónica sino solamente un punto, el origen de coordenadas.

Práctica

1) Realizar el estudio elemental, identificar y esbozar la gráfica de la superficie 𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 2 𝑧𝑧 2 + − =0 𝑎𝑎2 𝑏𝑏 2 𝑐𝑐 2 2) Hallar la ecuación de la superficie cónica de acuerdo a su vértice y directriz: a) 𝐶𝐶1 : 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 = 4 , 𝑧𝑧 = 2 ; 𝑉𝑉1 (0, 0, 0) b) 𝐶𝐶2 : 𝑧𝑧 2 = 4𝑦𝑦 , 𝑥𝑥 = 0 ; 𝑉𝑉2 (2, 0, 0) c) 𝐶𝐶3 : 𝑦𝑦 2 + 𝑧𝑧 2 = 9 , 𝑥𝑥 = 2 ; 𝑉𝑉3 (−1, 1, 0) d) 𝐶𝐶4 : 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 − 𝑧𝑧 = 0 , 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 + 𝑧𝑧 2 − 4 = 0 ; 𝑉𝑉4 (2, 1, 4)

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5. Superficies regladas Vamos a considerar ahora un tipo más general de superficies del cual son ejemplo el plano, la superficie cilíndrica y la superficie cónica, entre otras.

Definición Una superficie reglada es aquella que puede ser generada por el movimiento de una línea recta. La línea recta en movimiento, en cualquiera de sus posiciones, se denomina generatriz de la superficie. Así, una superficie cilíndrica es una superficie reglada cuyas generatrices son todas paralelas, mientras que la superficie cónica es una superficie reglada cuyas generatrices son todas concurrentes en un punto fijo llamado vértice. Como en las superficies cilíndricas y cónicas, las ecuaciones de las superficies regladas pueden obtenerse por el método paramétrico.

Ejemplo 1 Hallar la ecuación de una superficie reglada generada por la familia de rectas 2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 + 𝑘𝑘𝑘𝑘 = 0, 2𝑘𝑘𝑘𝑘 + 𝑘𝑘𝑘𝑘 − 4𝑧𝑧 (1) Para cada valor del parámetro 𝑘𝑘, la recta correspondiente de la familia (1) debe estar en su totalidad en la superficie. Es decir, todos los puntos que verifican las ecuaciones (1) deben estar sobre la superficie, para cualquier valor de 𝑘𝑘. Por lo tanto, la ecuación de la superficie debe ser independiente de 𝑘𝑘 y puede obtenerse a partir de las ecuaciones (1), simplemente eliminando el parámetro 𝑘𝑘. Así, despejando de cada una de esas ecuaciones, obtenemos 4𝑧𝑧 𝑦𝑦 − 2𝑥𝑥 4𝑧𝑧 𝑦𝑦 − 2𝑥𝑥 𝑘𝑘 = , 𝑘𝑘 = ⇔ = ⇔ 4𝑥𝑥 2 − 𝑦𝑦 2 + 4𝑧𝑧 2 = 0 𝑧𝑧 2𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 𝑧𝑧 2𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 que es la ecuación buscada. Esta superficie reglada es una superficie cónica circular recta con vértice en el origen de coordenadas y cuyo eje se extiende a lo largo del eje 𝑦𝑦.

Ejemplo 2 Demostrar que la ecuación 𝑦𝑦𝑦𝑦 + 2𝑥𝑥 − 2𝑧𝑧 = 0 representa una superficie reglada.

Si en la ecuación dada se hace 𝑧𝑧 = 𝑘𝑘, se tiene que la intersección de la superficie dada y el plano es la recta 2𝑥𝑥 + 𝑘𝑘𝑘𝑘 − 2𝑘𝑘 = 0, 𝑧𝑧 = 𝑘𝑘 (2) puede verse que las rectas de la familia (2) verifican la ecuación de la superficie para todo valor de 𝑘𝑘, es decir, están sobre la superficie. Entonces, la superficie es una superficie reglada y tiene a las rectas (2) como generatrices.

Práctica

1) Hallar la ecuación de la superficie reglada generada por la familia de rectas: a) 𝑘𝑘𝑘𝑘 + 2𝑘𝑘𝑘𝑘 − 4 = 0, 𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 − 𝑘𝑘 = 0 b) 𝑥𝑥 + 𝑘𝑘𝑘𝑘 − 2𝑧𝑧 − 2𝑘𝑘 = 0, 𝑘𝑘𝑘𝑘 − 𝑦𝑦 + 2𝑘𝑘𝑘𝑘 = 2 2) Demostrar que la ecuación dada representa una superficie reglada: a) 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 − 2𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 2 b) 𝑧𝑧 2 − 2𝑥𝑥 2 − 2𝑦𝑦 = 0

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6. Superficies de revolución Veamos ahora otro conjunto de superficies.

Definición Una superficie de revolución es la generada por una curva plana al girar alrededor de una recta fija contenida en el plano de esa curva. La curva plana se denomina generatriz y la recta fija eje de rotación, o simplemente, eje de la superficie.

Definición: meridiano y paralelo Se denomina sección meridiana o meridiano a cualquier posición de la generatriz de una superficie de revolución. Se puede comprobar que toda sección meridiana o meridiano es congruente con la generatriz y es la intersección de la superficie con un plano que pasa por el eje de rotación. Por otra parte, se denomina sección paralela o paralelo a cada circunferencia descrita por un punto de la generatriz. Tenemos así que todo paralelo tiene su centro sobre el eje de rotación, y está contenido en un plano perpendicular a dicho eje. Por ejemplo, las superficies como la esférica, la cilíndrica circular recta y la cónica circular recta, que ya hemos estudiado, son también superficies de revolución. En la determinación de la ecuación de una superficie de revolución, no se pierde generalidad si para simplificar, se toma la generatriz en uno de los planos coordenados y como eje de rotación, uno de los ejes coordenados contenido en ese plano. Supongamos entonces que la generatriz 𝑔𝑔 contenida en el plano 𝑥𝑥𝑥𝑥 tiene por ecuaciones 𝐹𝐹(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 0, 𝑧𝑧 = 0 (1) y supongamos que el eje de rotación es el eje x, tal como aparece en la figura. Vamos a determinar la ecuación de esta superficie. Sea 𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) un punto cualquiera de la superficie. El paralelo que pasa por 𝑃𝑃 corta a 𝑔𝑔 en otro punto del plano 𝑥𝑥𝑥𝑥, que llamamos 𝑃𝑃0 (𝑥𝑥0 , 𝑦𝑦0 , 𝑧𝑧0 ), y su centro 𝐶𝐶 está sobre el eje 𝑥𝑥. Por ser radios del mismo paralelo, �𝐶𝐶𝐶𝐶� = �𝐶𝐶𝑃𝑃0 �. Como �𝐶𝐶𝐶𝐶� = �𝑦𝑦 2 + 𝑧𝑧 2 y �𝐶𝐶𝑃𝑃0 � = 𝑦𝑦0 , tenemos la relación 𝑦𝑦0 = �𝑦𝑦 2 + 𝑧𝑧 2 (2) También, como 𝑃𝑃 y 𝑃𝑃0 están en el mismo plano, 𝑥𝑥0 = 𝑥𝑥 (3) Además, como el punto 𝑃𝑃0 está sobre 𝑔𝑔, tenemos por (1), 𝐹𝐹(𝑥𝑥0 , 𝑦𝑦0 ) = 0 , 𝑧𝑧0 = 0 (4) Eliminando los tres parámetros 𝑥𝑥0 , 𝑦𝑦0 , 𝑧𝑧0 entre las cuatro ecuaciones (2), (3) y (4), obtenemos 𝐹𝐹 �𝑥𝑥, �𝑦𝑦 2 + 𝑧𝑧 2 � = 0

que es la ecuación buscada de la superficie de revolución con generatriz 𝑔𝑔 contenida en el plano 𝑥𝑥𝑥𝑥, con eje de rotación en el eje 𝑥𝑥.

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Superficies I Análogamente, haciendo girar la curva (1) alrededor del eje 𝑦𝑦, se obtiene que la ecuación de la superficie de revolución correspondiente es 𝐹𝐹(�𝑥𝑥 2 + 𝑧𝑧 2 , 𝑦𝑦) = 0

Se obtienen resultados análogos cuando la generatriz está en cada uno de los otros planos coordenados y se la hace rotar alrededor de un eje coordenado contenido en dicho plano.

Teorema Sea 𝑆𝑆 la superficie de revolución que tiene por generatriz a la curva 𝑔𝑔 (contenida en el plano coordenado 𝜋𝜋) y al eje coordenado 𝑒𝑒 (contenido también en 𝜋𝜋) por eje de rotación. Entonces, la ecuación de la superficie 𝑆𝑆 se obtiene, sustituyendo en la ecuación plana de la curva 𝑔𝑔, la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las dos variables no medidas a lo largo del eje 𝑒𝑒, en lugar de la variable no medida a lo largo del eje 𝑒𝑒 que aparece en la ecuación plana de 𝑔𝑔.

Para interpretar el enunciado de este teorema, analicemos el siguiente ejemplo:

Ejemplo Hallar la ecuación de una superficie de revolución donde la generatriz 𝑔𝑔 es la curva

𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 = 4, 𝑧𝑧 = 0, y el eje de rotación es el eje 𝑦𝑦. De acuerdo al teorema, la ecuación correspondiente será

2

𝐹𝐹 ��𝑥𝑥 2 + 𝑧𝑧 2 , 𝑦𝑦� = 0 ⇔ ��𝑥𝑥 2 + 𝑧𝑧 2 � + 𝑦𝑦 2 − 4 = 0 ⇔ ⇔ 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 + 𝑧𝑧 2 − 4 = 0

que como ya sabemos, es la ecuación de una superficie esférica con centro en el origen de coordenadas y radio 𝑟𝑟 = 2.

Consideremos ahora el problema recíproco: dada la ecuación de una superficie, determinar si representa una superficie de revolución. En ese caso, si el eje de revolución es uno de los ejes coordenados, la solución es bastante sencilla. De acuerdo a la definición, los planos perpendiculares al eje determinan circunferencias cuyos centros están sobre dicho eje (que es la definición de los paralelos). Se dice entonces que la superficie se extiende a lo largo del eje.

Práctica 1) Extender el teorema anterior a los casos en que la generatriz está en el plano indicado y con el eje de revolución correspondiente: a) 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑥𝑥𝑥𝑥; 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑥𝑥 c) 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑦𝑦𝑦𝑦; 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑦𝑦 b) 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑥𝑥𝑥𝑥; 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑧𝑧 d) 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑦𝑦𝑦𝑦; 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑧𝑧 2) En cada uno de los casos, hallar la ecuación de la superficie de revolución generada por el giro de la curva dada alrededor del eje especificado y luego, esbozar su gráfica: a) 𝑦𝑦 = 3𝑥𝑥, 𝑧𝑧 = 0; 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑦𝑦 c) 𝑥𝑥 2 − 2𝑧𝑧 2 = 1, 𝑦𝑦 = 0; 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑥𝑥 b) 𝑧𝑧 2 = 2𝑦𝑦, 𝑥𝑥 = 0; 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑧𝑧 d) 9𝑥𝑥 2 + 4𝑧𝑧 2 = 36, 𝑧𝑧 = 0; 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑦𝑦 3) Demostrar que cada una de las ecuaciones dadas representan una superficie de revolución, hallar su eje de rotación y las ecuaciones de la generatriz en uno de los planos coordenados que contenga al eje: a) 9𝑥𝑥 2 + 9𝑦𝑦 2 − 𝑧𝑧 2 = 9 b) 2𝑥𝑥 2 + 2𝑦𝑦 2 + 3𝑧𝑧 2 = 6 c) 𝑥𝑥 2 − 𝑦𝑦 2 − 𝑧𝑧 2 = 1

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Superficies I

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