Dos jugadores lanzan consecutivamente 2 dados a la vez y gana aquel que obtenga en sus dados un numero múltiplo de 4. a) Halla la probabilidad de que gane el 2 jugador b) Halla la probabilidad de que gane en el quinto lanzamiento. Solución. a. En principio entiendo que el suceso que se pide es que la suma de las caras superiores de los dados sea múltiplo de 4. El espacio muestral es: 1 : 1 1 : 2  1 : 3 E= 1 : 4 1 : 5  1 : 6

2 :1

3 :1

4 :1

5 :1

2 : 2 3: 2 4 : 2 5: 2 2 :3 3:3 4 :3 5:3 2 : 4 3: 4 4 : 4 5: 4 2 :5 3:5 4 :5 5:5 2 :6 3: 6 4 :6 5: 6

6 : 1 6 : 2 6 : 3  6 : 4 6 : 6  6 : 6 

Los casos favorables son: A = {1 : 3 2 : 2 3 : 1 2 : 6 3 : 5 4 : 4 5 : 3 6 : 2 6 : 6} La probabilidad de que en un lanzamiento se saque una suma múltiplo de 4 es: p(A ) =

Casos favorables 9 1 = = = 0,25 Casos posibles 36 4

Los lanzamientos de los jugador son independientes entre si, el resultado de un jugador no influye en el resultado del otro, y los lanzamientos de cada jugador también son independientes entre si, el resultado del lanzamiento de un jugador no está influenciado por lo que obtuvo en el lanzamiento anterior y tampoco influye en su siguiente lanzamiento. Para que gane el segundo jugador, el primero deberá no obtener múltiplo de 4 en sus n lanzamientos y el segundo deberá hacer lo mismo excepto en el último, donde deberá obtener múltiplo de cuatro. Si denominamos Ai al suceso el primer jugador obtiene múltiplo de cuatro en el lanzamiento i, y Bi al suceso el segundo jugador obtiene múltiplo de cuatro en el lanzamiento i, se pide:   p = p  A1 ∩ B1 ∩ A 2 ∩ B 2 ∩ A 3 ∩ B3 ∩ ........ { ∩ A n ∩ Bn  = n −1 veces   = p A1 ∩ B1 ⋅ p A 2 ∩ B 2 ⋅ p A 3 ∩ B3 ⋅{ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ p A n ∩ Bn =

(

) (

) (

)

(

)

(

) ( ) ( ) ( ) n −1 veces = p(A1 ) ⋅ p(B1 ) ⋅ p(A 2 ) ⋅ p(B 2 ) ⋅ p(A 2 ) ⋅ p(B 2 ) ⋅{ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ p(A n ) ⋅ p(B n ) = n −1 veces

Teniendo en cuenta que la probabilidad de no sacar múltiplo de cuatro es igual para cada jugador (p(A1 ) = p(B1 ) = p(A 2 ) = p(B2 ) = .... = p(A ))

( ( ))n ⋅ (p(B))n −1 ⋅ p(A ) = (p(A ))2n −1 ⋅ p(A ) = (0,75)2n −1 ⋅ 0,25

= pA

b.

n = 5. p = (0,75)2⋅5−1 ⋅ 0,25 = 0,75 9 ⋅ 0,25 = 0,0188