ECUACIONES DIFERENCIALES Y ÁLGEBRA LINEAL

CAPÍTULO 2 ESPACIOS VECTORIALES REALES

1

2.1 Definición Decimos que conjunto no vacío V , con operaciones  : V  V  V y  : R V  V , es espacio vectorial real (o sobre R ) si y sólo si son cumplidas todas propiedades siguientes: 1) x  y  y  x , x, y V 2) x  y   z  x   y  z , x, y, z V 3) existe un elemento en V , denotado por 0 , tal que x  0  x , para todo x V 4) para cada x V existe un elemento en V , denotado por  x , tal que x   x   0 5) 1 x  x , x V 6)     x      x ,  ,   R, x V 7)   x  y     x    y ,   R, x, y V 8)      x    x    x ,  ,   R, x V .

2

2.2 Notas 1) Propiedades primera hasta octava arriba son llamadas axiomas de espacios vectoriales; o sea: ninguna de ellas es demostrable desde aquéllas otras. 2) En general, hablamos de espacio vectorial sobre un campo, finito o infinito, que no es necesariamente aquél de números reales. O sea: conjunto no vacío V , con operaciones  : V V  V y  : K  V  V , es espacio vectorial sobre K , si y sólo si son cumplidos todos axiomas de espacios vectoriales. 3) Elementos de un espacio vectorial sobre R (o sobre cualquier campo otro) son llamados vectores; elementos de R (o, en general, de campo subyacente) suelen ser llamados escalares. 4) Propiedades primera y segunda son respectivamente llamadas conmutativa y asociativa. Propiedad tercera es llamada de existencia de elemento neutro ( 0 denota elemento neutro de V ); aquélla cuarta de existencia de elementos inversos (  x es elemento inverso de x ). Propiedades (7) y (8), que vinculan ambas operaciones, son llamadas distributivas; primera respecto vectores, segunda respecto escalares. 5) Un espacio vectorial es llamado trivial si su elemento neutro es único elemento suyo. 6) Operaciones  y  son respectivamente llamadas adición (de vectores) y multiplicación (de vectores) por escalares. Ambas son operaciones cerradas, en sentido que sendas imágenes genéricas x  y y   x están en V ; o sea: V es universo para ambas operaciones, pues “no hay escapes” desde V . 7) Símbolo  suele ser suprimido para indicar multiplicación de escalares por vectores; o sea: salvo ambigüedades,  x denota en adelante multiplicaciones tales. 8) Símbolo 0 denota indistintamente escalar nulo y vector nulo. En general hay un cúmulo de abusos notativos en el texto; es de esperar que contextos cancelen ambigüedades. 9) Es frecuente que hablemos de operación sustracción en un espacio vectorial; es denotada por  , y es definida así:

x  y  x   y , x, y V

En adelante, salvo mención en contrario, queda subentendido que todo espacio vectorial es sobre R . 3

2.3 Teorema Sea V espacio vectorial. Luego: 1) elemento neutro de V es único (unicidad de elemento neutro). 2) x  z  y  x  x  y (ley de cancelación). 3) elementos inversos en V son únicos (unicidad de elementos inversos). 4) 0 x  0 , x V . 5)  x   1x , x V . 6)  0  0 ,   R . 7)  x  0    0  x  0 . Demostración 1) Supongamos que z V sea otro elemento neutro; luego z  z  0  0 , lo que es contradictorio.  x  z  y  z   x  z    z    y  z    z    x  z   z   y  z   z  2)    x0 y0 x  y  3) Dado x V , supongamos que y V sea otro inverso de x ; luego x   x   0  x  y , lo que implica contradicción  x  y según ley de cancelación. 4) 0 x  0  0x  0 x  0 x  0  0 x  0 x  0 x  0  0 x . 5) Como x   1x  1x   1x  1   1x  0 x  0 , entonces  1x es inverso aditivo de x ; luego, por unicidad de elementos inversos, 1x  x es forzoso. 6)  0   0  0   0   0  0   0   0   0  0   0 . 7) Supongamos x  0 ; debemos demostrar que   0 . Pero: si fuese   0 , entonces sería contradicción x  1x   1 x   1 x    1 0  0 .

4

2.4 Ejemplos de espacios vectoriales 1) R es espacio vectorial sobre sí con operaciones usuales de adición y de multiplicación de números reales. Ello es obvio porque todos axiomas de espacio vectorial son también axiomas de números reales. 2) R n , conjunto de todas de números reales, es espacio vectorial sobre R con operaciones x  y  x1 ,, xn    y1 ,, yn   x1  y1 ,, xn  yn , x, y  R n

y

x   x1 ,, xn    x1 ,, xn ,   R, x  R n Estas operaciones son aquéllas usuales en R n ; de hecho, cuando hablemos de R n , como espacio vectorial, es subentendido que lo es con estas operaciones. Elemento neutro de R n es n -upla 0,,0; elemento inverso de x1 ,, xn  es  x1 ,, xn  . 3) R mn , conjunto de todas matrices reales de orden m n , es espacio vectorial con operaciones usuales A  B  a ij mn  bij mn  a ij  bij mn , A, B  R mn y

 A   a ij mn   a ij mn ,   R, A  R mn

Elemento neutro de R mn es matriz 0mn ; elemento inverso de a ij mn es  aij mn . 4) Sean X conjunto no vacío y V espacio vectorial; denotemos F  X ,V  a conjunto de todas funciones desde X hacia V . O sea: F  X ,V   f : X  V f es función  F  X ,V  es espacio vectorial con operaciones usuales  f  g x  f x  g x, x  X , f , f  F  X ,V  y  f x   f x, x  X ,   R, f  F  X ,V  Elemento neutro de F  X ,V  es función 0 : x  0 , x  X ; elemento inverso de f es  f : x   f x , x  X . ¿Qué es F  X ,V  cuando X es a) 1 ? b) 1,, n? c) 1,, m 1,, n? d)  ? 5

2.5 Definición (subespacio vectorial) Decimos que S , subconjunto no vacío de espacio vectorial V , es subespacio vectorial de V si y sólo si S , con operaciones  SS y  RS es espacio vectorial (o sea: si y sólo si S es universo para operaciones en V cuando éstas son restringidas hasta S ). 2.6 Nota Dado cualquier espacio vectorial V , subconjuntos 0 y V de V son obviamente subespacios vectoriales de V (si no es obvio, entonces demostrarlo); son llamados subespacios triviales de V .

En adelante diremos brevemente subespacio en lugar de subespacio vectorial.

2.7 Teorema S , subconjunto no vacío de espacio vectorial V , es subespacio de V si y sólo si  SS y  RS son operaciones cerradas. O sea: si y sólo si son cumplidas dos propiedades siguientes: 1) x, y  S  x  y  S 2)   K  x  S    x  S . Demostración  Es trivial.  Operaciones  SS y  RS son cerradas. Axiomas (1), (2) y (5) hasta (8) son obviamente cumplidos. Hace solamente falta verificar que axiomas (3) y (4) también son cumplidos. De hecho: 0 está en S , pues no vacuidad de S implica que existe x  S , y, según (2), 0  S , pues 0  0 x . De otro lado, dado cualquier x  S , tenemos, también según (2), que  x  S , pues  x   1x .

6

2.8 Ejemplos de subespacios 1) No hay subespacio de R que no sea  0  o R . De hecho: Sea S subespacio de R tal que S   0 ; demostremos que S  R es forzoso. Como S   0 , entonces existe x  S que no es el elemento neutro; luego, porque S es subespacio, dado cualquier   R , tenemos que  x  S . Pero esto nos dice que todos números reales están en S ; o sea: S  R . 2) Si S es subespacio no trivial de R 2 , entonces S es recta que pasa por el origen. De hecho: Como S   0 , entonces existe x  S que no es el elemento neutro; luego , porque S es subespacio, dado cualquier   R , tenemos que  x  S . Esto nos dice que S contiene una recta que pasa por el origen: aquélla que pasa por el origen y por x . Denotemos L a esta recta, y supongamos que S contenga a un vector, digamos y , que no está en L . Como S es subespacio de R 2 , entonces cualquier vector z   x   y de R 2 está en S . Pero, dado cualquier z  R 2 , ¿no existen acaso escalares  y  tales que z   x   y ? Sí. De hecho: Como z   x   y   z1 , z 2    x1   y1    x1   y1   x y1     z1   1      z  x y   2  2 2   x y1  y matriz  1  es inversible, pues y  L ; entonces x y  2 2 existen escalares tales. Concluimos que todo elemento de R 2 está en S ; o sea: S  R 2 , que es contradictorio porque hemos partido desde premisa de que S es subespacio no trivial de R 2 . Es pues forzoso S  L ; o sea: S es recta que pasa por el origen. ¿Cuáles son subespacios no triviales de R 3 ? Son rectas y planos que contienen al origen; demostración queda como ejercicio.

7

3) Sea A  R mn ; denotemos CS a conjunto solución de sistema lineal Ax  0 (de m ecuaciones y n variables). Está claro que CS  Ø , pues 0  CS . Como x, y  CS  Ax  y   Ax  Ay  0  0  0  x  y  CS y   R  x  CS   A x    Ax   0  0   x  CS entonces CS es subespacio de R n . ¿Es conjunto solución de sistema lineal no homogéneo Ax  b (o sea: b  0 ) subespacio de R n ? No; ¿por qué? 4) Denotemos Poli R  a conjunto, no vacío, de todas funciones polinómicas desde R hacia R cuyos coeficientes son números reales; o sea: elemento genérico de Poli R  es f : x  c0  c1 x    cn x n , x  R donde todos ck  R , y n es número natural (salvo caso n  0 , cuando función polinómica es constante). Está claro que Poli R  es subconjunto de F R, R  , conjunto de todas funciones reales de variable real, que es espacio vectorial (ver 2.4, ejemplo 4). Demostremos que Poli R  es no solamente subconjunto de F R, R  , sino también subespacio de F R, R  . De hecho: a) adición de dos polinomios, uno de grado m y otro de grado n , es polinomio nulo (polinomio sin grado) o polinomio de grado menor o igual que máx m, n  . b) multiplicación de un escalar por un polinomio de grado n es polinomio nulo (cuando escalar es 0) o polinomio de mismo grado. Concluimos pues que Poli R  es subespacio de F R, R  . Denotemos ahora Poli n R  a subconjunto de Poli R  , aquél formado por función nula y por funciones polinómicas de grado menor o igual que n . Es fácilmente demostrable que Poli n R  es subespacio de Poli n R , y consecuentemente también de F R, R  . Finalmente, conjunto de todas funciones polinómicas de grado n , ¿es él espacio vectorial? 8

2.9 Teorema Sean S y T subespacios de espacio vectorial V . Luego: 1) S  T es subespacio de V . 2) S  T  x  y x  S  y  T  es subespacio de V . Demostración 1) Si x, y  S  T , entonces x, y  S y x, y  T . Como S y T son subespacios de V , entonces x  y  S y x  y  T ; luego x  y  S  T . De otro lado: si x  S  T , entonces x  S y x  T . Como S y T son subespacios de V ; entonces, para todo   R , tenemos que  x  S y  x  T . Luego  x  S T . 2) Si u, v  S  T , entonces existen xu , xv  S e yu , yv  T tales que u  xu  yu y v  xv  yv ; luego u  v  xu  yu   xv  yv   xu  xv    yu  yv  Como S y T son subespacios de V , entonces xu  xv  S e yu  yv  T ; luego u  v  S  T , pues u  v es suma de un elemento de S y un elemento de T . De otro lado: si u  S  T , entonces existen x  S e y  T tales que u  x  y . Como S y T son subespacios de V ; entonces, para todo   R , tenemos que  x  S y  x  T . Luego  u  S  T , pues  u   x  y    x   y es suma de un elemento de S y un elemento de T .

9

2.10 Otros ejemplos de subespacios vectoriales 1) Es fácilmente verificable que S1  a,0, b a, b  R y S2  a, b,2a  b a, b  R son subespacios de R 3 . A la luz de teorema 2.9, S1  S 2 también es subespacio de R 3 . Calculemos elemento genérico de esta intersección: Si x  S1  S2 ; entonces segunda coordenada de x tiene que ser nula, pues x  S1 . Luego, porque también x  S 2 , tercera coordenada de x tiene que ser dos veces primera coordenada de x . Como no hay otras exigencias sobre coordenadas de x , entonces concluimos que S1  S2  a,0,2a  a  R En términos geométricos, ¿qué son estos subespacios de R 3 ? S1 y S 2 son planos que pasan por el origen; de hecho S1 : x2  0 y S2 : 2 x1  x2  x3  0 ¿Qué objeto geométrico es, en general, intersección de dos planos? Es una recta. Aquí es una recta que pasa por el origen, pues el origen está contenido en ambos planos. Como S1  S2  a1,0,2 a  R, entonces S1  S 2 es recta en R 3 , aquélla que pasa por el origen según dirección 1,0,2 . Verificación de que S1  S2  R 3 queda como ejercicio.

10

2) Es fácilmente verificable que S1  a,0,2b, b,0 a, b  R y S2  a, b,2a  b,a, c  a, b, c  R son subespacios de R 5 . A la luz de teorema 2.9, S1  S2 también es subespacio de R 5 ; ¿cuál es su elemento genérico? Este cálculo es más exigente que cálculo en ejemplo anterior; pongamos S2  a, b,2a  b,a, c a, b, c  R Luego: Si x  x1 , x2 , x3 , x4 , x5  es elemento genérico de S1  S2 , entonces  x1  a  a  x  b  2  x3  2b  2a  b  x  b  a  4  x5  c Observemos que x4  x2  x3  / 2 ; luego x  x1 , x2 , x3 , x2  x3  / 2, x5  Como no hay otros vínculos entre coordenadas de x como aquél arriba, entonces S1  S2  x1 , x2 , x3 , x2  x3  / 2, x5  x1 , x2 , x3 , x5  R o equivalentemente S1  S2  a, b, c, b  c  / 2, d  a, b, c, d  R Como ejemplo, presentemos  2,1,3,1,5  S1  S2 como suma de un elemento de S1 y un elemento de S 2 . Tomamos  4,0,2,1,0 S1 y 2,1,5,2,5 S2 ; tenemos  2,1,3,1,5   4,0,2,1,0  2,1,5,2,5 ¿Es ésta única presentación de  2,1,3,1,5 cómo suma de un elemento de S1 y un elemento de S 2 ? Respuesta es no; demostrarlo mostrando otra presentación tal de este vector? Finalmente, ¿cuál es subespacio S1  S 2 ? 11

3) Tomemos R nn , espacio vectorial de matrices cuadradas de orden n  n (o brevemente de orden n ). Recordemos que, según definición, una matriz cuadrada, digamos A , es a) simétrica si y sólo si AT  A (o sea: si y sólo si es igual a su transpuesta). b) es antisimétrica si y sólo si AT   A . Denotemos S n  a conjunto de todas matrices simétricas de orden n , y An  a conjunto de todas matrices antisimétricas de orden n . Demostremos que primero es subespacio de R nn . De hecho: si A, B  S n , entonces  A  BT  AT  BT  A  B  A  B  S n De otro lado: si   R y A S n , entonces  AT   AT   A   A  S n Es análogamente demostrable que An  también es subespacio de R nn . 1 Dada cualquier matriz A  R nn , tenemos que  A  AT  es 2 1 matriz simétrica y que  A  AT  es matriz antisimétrica 2 (verificar ambos enunciados). Luego cualquier matriz A  R nn puede ser presentada como suma de una matriz simétrica y una antisimétrica, pues 1 1 A   A  AT    A  AT  2 2 nn lo que nos dice que R  S n  An . ¿Es ésta única presentación de A como suma de una matriz simétrica y una matriz antisimétrica? Dicho sea de paso, ¿cuál es subespacio S n  An ?

12

2.11 Definición Sea A  x1 ,, x m  subconjunto de espacio vectorial V . Decimos que x V es combinación lineal de elementos de A si y sólo si existen escalares 1 ,,  m tales que x  1 x1     m x m Conjunto de todas combinaciones lineales de elementos de A es llamado generado por A , y es denotado por Gen  A . O sea: Gen  A  1 x1     m x m 1 ,, m  R 2.12 Teorema Sea A subconjunto finito, no vacío, de espacio vectorial V . Luego Gen  A es subespacio de V , y es aquél “más pequeño” en que A está incluido (o sea: si S es subespacio de V y A  S , entonces Gen  A  S ). Demostración Pongamos A  x1 ,, x m . Tenemos: 1) Si x, y  Gen  A; entonces existen escalares 1 ,,  m tales que x  1 x1     m x m , y existen escalares 1 ,,  m tales que y  1 x1     m x m . Luego x  y  1 x1     m x m   1 x1     m x m 

 1  1 x1     m   m x m lo que nos dice x  y  Gen  A . 2) Si x  Gen  A, entonces existen escalares 1 ,,  m tales que x  1 x1     m x m . Luego, cualquiera sea   R , tenemos  x   1 x1     m x m   1 x1    m x m lo que nos dice  x  Gen  A. Hemos demostrado que Gen  A es subespacio de V ; demostremos ahora que es aquél “más pequeño” en que A está incluido. De hecho: Si S es subespacio de V y A  S , entonces cualquier suma finita de elementos de A , o equivalentemente cualquier combinación lineal de elementos de A está en S . Esto nos dice que cualquier elemento de Gen  A es también elemento de S ; o sea: Gen  A  S . 13

2.13 Ejemplos de subespacios generados por 1) Sea A  1,1,0, 0,1,1; ¿cuál es subconjunto de R 3 , aquél generado por A ? Tenemos que Gen  A   1,1,0   0,1,1  ,   R   ,    ,    ,   R

Pongamos

 x1     x2     x    3 luego x1 , x2 , x3  Gen  A  x2  x1  x3 . Podemos pues decir que Gen  A es descrito por ecuación x1  x2  x3  0 ; o sea: Gen  A es plano que pasa por el origen cuyo vector normal (en verdad uno de una infinidad de vectores paralelos) es 1,1,1. Tomemos conjunto A  1,1,0, 0,1,1, 1,0,1 en que A está propiamente incluido (o sea: A es superconjunto propio de A ); calculemos Gen  A. Es razonable suponer que A  A implique Gen  A  Gen  A ; pero no es así. Lo cierto es A  A  Gen  A  Gen  A; precisamente caso en estudio es ejemplo de ello. De hecho: Gen  A   1,1,0   0,1,1   1,0,1  ,  ,   R     ,    ,      ,  ,   R Como x1 , x2 , x3   Gen  A  x2  x1  x3 ; entonces plano generado por A es aquél generado por A . Tomemos ahora conjunto A  1,1,0, 0,1,1, 1,0,1, que también es superconjunto propio de A . Pero, a diferencia de A , conjunto A genera un superconjunto propio de Gen  A ; de hecho Gen  A  R 3 . ¿Qué es lo que hace la diferencia? Observemos que vector añadido en A es combinación lineal de elementos de A ; pero vector añadido en A no lo es. ¿Es ello lo que hace la diferencia?

14

2) Retomemos espacio vectorial Poli R  , visto en 2.8, ejemplo cuarto. Este espacio vectorial es generado por A  1, I n n   pues f  c01  c1 I    cn I n función polinómica de grado n , es elemento genérico de Poli R . Observemos que hace falta infinidad de generadores para generar Poli R  . De hecho: Supongamos Poli R  sea generado por conjunto finito A ; o sea: A contiene número finito de funciones polinómicas, digamos f1 ,, f p . Denotemos nk a grado de f k ; como conjunto n1 ,, n p  es finito, entonces existe n  máx n1 ,, n p . Esto nos dice que no hay funciones polinómicas de grado n  1 en Gen  A ; o sea: Gen  A  Poli R , que es contradicción. ¿Hace falta infinidad de generadores para generar Poli n R ?

15

2.14 Definición Decimos que A  x1 ,, x m  subconjunto de espacio vectorial V es 1) linealmente independiente, o brevemente l.i., si y sólo si 1 x1     m x m  0  1     m  0 2) linealmente dependiente, o brevemente l.d., si y sólo si A no es l.i. 2.15 Nota Si A , subconjunto finito de espacio vectorial V , tiene único elemento, digamos A  x; entonces A es l.d. si y sólo si x es elemento neutro de V . Si esto no es obvio, entonces demostrarlo. 2.16 Nota Si A , subconjunto finito de espacio vectorial V , tiene dos elementos, digamos A  x, y; entonces A es l.d. si y sólo si uno de sus elementos es múltiplo escalar de aquél otro. O sea: si y sólo si existe escalar  tal que x   y  y   x . Si esto no es obvio, entonces demostrarlo. 2.17 Teorema Sea A subconjunto finito de espacio vectorial V tal que #  A  2 . Luego A es l.d. si y sólo si existe un elemento de A que es combinación lineal de elementos de A \ x. Demostración Pongamos A  x1 ,, x m .  Como A es l.d.; entonces cuanto menos uno de escalares en m

ecuación   i x i  0 es no nulo, digamos  j  0 . Luego i 1

i i x , lo que nos dice que i 1  j ii1j  j i j combinación lineal de elementos otros de A .  Queda como ejercicio. xj  

1

m

m

 i xi   

xj

es

2.18 Corolario Si A , subconjunto finito de espacio vectorial V , contiene a elemento neutro de V ; entonces A es l.d. Demostración Queda como ejercicio. 16

2.19 Ejemplo Retomemos 2.13, ejemplo primero. Conjunto A  1,1,0, 0,1,1 es l.i., pues ninguno de sus elementos es múltiplo (subentendido escalar) de aquél otro. Conjunto A  1,1,0, 0,1,1, 1,0,1 es l.d., pues 1,0,1, vector añadido a conjunto A para formar conjunto A , es combinación lineal de elementos de A . De hecho 1,0,1  11,1,0   10,1,1 o simplemente 1,0,1  1,1,0  0,1,1 Conjunto A  1,1,0, 0,1,1, 1,0,1 es l.i., pues 1,0,1 , vector añadido a conjunto A para formar conjunto A , no es combinación lineal de elementos de A . De hecho:     0   1,1,0   0,1,1   1,0,1  0,0,0      0     0  Como matriz de sistema lineal (homogéneo) de ecuaciones obtenido es inversible, pues 1 0 1 1 1 0 20 0 1 1 33 entonces única solución está dada por       0 . Observemos que columnas de determinante arriba no son otras que vectores de conjunto A , lo que no ha sido fortuito. Esto da pie a teorema abajo.

17

2.20 Teorema Sean A conjunto formado por m vectores de R n , y M A matriz cuyos vectores-columna son los vectores de A (puestos en cualquier orden). Luego A es l.i. si y sólo si m  n y rango de M A es m . Demostración Es consecuencia inmediata de teoremas sobre sistemas lineales homogéneos de ecuaciones. 2.21 Nota Matriz M A es cuadrada solamente cuando m  n . En tal caso A es l.i. si y sólo si det M A   0 .

2.22 Ejercicios Sea A subconjunto finito, no vacío, de R n . Demostrar que: 1) si A es l.i., entonces cualquier subconjunto no vacío de A también es subconjunto l.i. de R n . 2) si A es l.d., entonces cualquier superconjunto de A también es subconjunto l.d. de R n . 3) si x  R n , entonces Gen  A  x  Gen  A  x  Gen  A

18

2.23 Definición Decimos que B , subconjunto finito, no vacío, de espacio vectorial V , es base de V si y sólo si B es l.i. y Gen B   V . 2.24 Nota Si V es espacio vectorial trivial, entonces no existe base de V (¿por qué?). 2.25 Nota Si hay una base de espacio vectorial V , entonces hay infinidad de bases en V . Ello es consecuencia de que hay infinidad de números reales. 2.26 Ejemplos de bases de espacios vectoriales 1) Sea a cualquier número real no nulo; luego conjunto a es base de R , lo que es fácilmente verificable. ¿Hay alguna base de R que tenga dos o más elementos? No. De hecho: Supongamos que a y b estén en una base de R , digamos B . Como ninguno de ellos es 0, entonces existe escalar  tal que b   a , lo que nos dice contradictoriamente que B es l.d. Dicho sea de paso, base de R , aquélla llamada canónica, es 1. 2) Base canónica de R n es  1 ,,  n , donde  k es aquél vector cuya coordenada k –ésima es 1 y todas coordenadas otras son nulas. Como ejemplos, 1,0, 0,1 es base canónica de R 2 , y 1,0,0, 0,1,0, 0,0,1 es base canónica de R3. Subconjunto b1 ,, b n  de R n , donde b k    j , para cada k

j 1

k  1,, n , ¿es él base de R ? 3) Dados i  1,, m y j  1,, n, denotemos Aij a matriz de orden m n , aquélla cuya casilla i, j  es 1 y todas casillas otras son nulas. Es fácilmente demostrable que Aij i 1,, m, j 1,, n es base de R mn ; tengamos en cuenta que hay mn matrices en ella. n

19

2.27 Definición Sean B  b1 ,, b n  base de espacio vectorial V , y x elemento de V . Una representación de x en B es cualquier combinación lineal de elementos de B que dé x . O sea: si x  1b1     nb n entonces 1b1    nb n es representación de x en base B . 2.28 Ejemplo Demostremos que B0  1,0, 0,1 es base de R 2 . Tenemos: 1 0 1) B0 es l.i., pues 1  0. 0 1 2) B0 genera R 2 , pues, para cada x1 , x2   R 2 , tenemos x1 , x2   x1 1,0  x2 0,1 que nos dice x1 , x2  Gen B0  . Como ejemplo,  51,0  40,1 es representación de  5,4 en base B0 , pues  51,0  40,1   5,4 ¿Hay otra representación de  5,4 en esta base? Respuesta es no (verificarlo). Dicho sea de paso, B0 es llamada base canónica de R 2 . 2.29 Teorema Sean B  b1 ,, b n  base de espacio vectorial V , y x elemento de V . Luego existe única representación de x en base B. Demostración Supongamos existan representaciones diversas de x en base B , sean 1b1    nb n y 1b1     nb n dos cualesquiera de ellas. Luego 1b1     nb n  1b1     nb n  1  1b1   n   n b n  0 Como B  b1 ,, b n  es base de V ; entonces  j   j  0 , para todo j  1,, n , lo que nos dice contradictoriamente que ambas representaciones son iguales. Concluimos pues que existe única representación de x en base B . 20

2.30 Nota En adelante, avalados por teorema arriba, hablaremos de la representación de un elemento, digamos x , de un espacio vectorial V en base B de V . Pero hay que tener en cuenta que: si B es otra base de V y x  0 , entonces sendas representaciones de x no son iguales (es obvio que representación de elemento neutro de V es igual en todas bases de V ). 2.31 Definición Sean B  b1 ,, b n  base de espacio vectorial V , x elemento de V , y 1b1    nb n la representación de x en base B . Decimos por ello que 1 ,, n , en este orden, son las coordenadas de x en base B , y escribimos x  1 ,,  n B . 2.32 Nota Si x  R n y escribimos x  x1 ,, xn  , sin especificar base; entonces es subentendido que hemos escrito las coordenadas de x en base canónica de R n .

2.33 Nota Bases de un espacio vectorial son conjuntos digamos ordenados. Como ejemplo, B0  1,0, 0,1 y B1  0,1, 1,0, bases de R 2 , son iguales como conjuntos (pues tienen mismos elementos), pero no como bases. Para darse cuenta de ello observemos que  51,0  40,1 es la representación de x   5,4 en primera de bases, y 40,1   51,0 en segunda; luego x   5,4B y x  4,5B . Si estas bases fuesen iguales, entonces coordenadas de x serían iguales en cada una de ellas. 0

1

21

2.34 Ejemplo Sean B  u, v base de espacio vectorial V , y a, b, c, d números reales. ¿Cuándo B  au  bv, cu  dv es base de V ? Hace falta que B sea l.i. Tenemos  au  bv    cu  dv   0  a  c u  b  d v  0 Como B es l.i., pues es base de V ; entonces a  c  0  b  d  0 Como existencia de única solución de este sistema, dada por     0 , se da solamente cuando ad  bc  0 ; entonces B es l.i. si y sólo si ad  bc  0 . Hace también falta que B genere V . Basta pues demostrar que V  Gen B (inclusión otra es obvia). De hecho: Tomemos cualquier x  R 2 ; luego x  x1 , x2 B . Supongamos que B genere V ; luego existen escalares  y  tales que  au  bv    cu  dv   x1u  x2 v  a  c  x1 u  b  d  x2 v  0 Como B es l.i., pues es base de V ; entonces a  c  x1  b  d  x2 Como ad  bc  0 , pues B es l.i.; entonces existen sendos valores (únicos) de  y de  que resuelven sistema arriba. O sea: está en Gen B , lo que da término a demostración.

22

2.35 Ejemplo Sea B base de espacio vectorial V tal que # B   2 . ¿Existe base de V que tenga tres o más elementos? Supongamos que sí. Sean B una base tal y u, v, w  B . Luego u  u1 , u2 B , v  v1 , v2 B y w  w1 , w2 B ; pero u1 , u2 , v1 , v2 , w1 , w2  es conjunto de tres vectores de R 2 , y como tal es l.d. según teorema 2.20. Esto es contradicción, pues u, v, w es subconjunto de un conjunto l.i, y como tal es l.i. Conclusión: no hay base de V que tenga tres o más elementos. La pregunta es ahora: ¿existe base de V que contenga único elemento? Pongamos B  u, v, y supongamos que B  w también sea base de V . Luego existen escalares  y  tales que u   w y v   w ; pero esto contraviene independencia lineal de B. Conclusión: Si una base de espacio vectorial V tiene dos elementos, entonces toda base de V tiene dos elementos. Esto es en general válido cuando una base de un espacio vectorial tiene n elementos; pero todo espacio vectorial, no trivial, ¿tiene él una base?

23

2.36 Teorema Todo espacio vectorial, no trivial, tiene una base. Demostración Excede alcance de este texto.

2.37 Dimensión de un espacio vectorial Teorema 2.36 es válido para cualquier espacio vectorial. De momento decimos que un espacio vectorial es: 1) de dimensión infinita si y sólo si cualquier conjunto que lo genere tiene infinidad de elementos (lo que implica que cualquier base de él tiene infinidad de elementos). 2) de dimensión finita si y sólo si no es de dimensión infinita (lo que implica que cualquier base de él tiene número finito de elementos). Espacio vectorial Poli R  es de dimensión infinita (ver 2.13, segundo ejemplo). De otro lado, ejemplo típico de espacio vectorial de dimensión finita es R n . 2.38 Teorema Si B y B son bases de mismo espacio vectorial, entonces # B   # B. Demostración Excede alcance de este texto. 2.39 Nota Símbolo # B  en teorema 2.38 es leído “cardinalidad de conjunto B ”. Cardinalidad de un conjunto finito es su número de elementos; cardinalidad de un conjunto infinito es noción más elaborada.

2.40 Definición Decimos que es espacio vectorial V es 1) de dimensión finita si y sólo si cualquier base de él es finita. En tal caso escribimos dim V   n , donde número natural n es cardinalidad de cualquiera de sus bases. 2) de dimensión infinita si y sólo si V no es de dimensión finita. 24

2.41 Dimensión de algunos espacios vectoriales 1) Dimensión de cualquier espacio vectorial trivial es 0; ello porque en tales espacios no hay conjuntos l.i. 2) Dimensión de espacio vectorial R es 1 (ver 2.26, ejemplo primero). 3) Dimensión de espacio vectorial R n es n (ver 2.26, ejemplo segundo). De hecho cualquier subconjunto l.i. de R n , de n elementos, es base de R n (demostración queda como ejercicio). 4) ¿Cómo calculamos dimensión de un subespacio de R n ? Sean S subespacio de R n y x su elemento genérico. Nos preguntamos ¿cuántas coordenadas de x basta conocer para conocer cabalmente a x ? Respuesta es dimensión de S . Como ejemplo, sea S  r , r  s,0, s, t  r , s, t  R. Está claro que S es subespacio de R 5 ; ¿cuál es su dimensión? Como su elemento genérico r , r  s,0, s, t  queda cabalmente conocido cuando conocidas sus coordenadas primera, cuarta y quinta; entonces dim S   3 . 5) Dimensión de espacio vectorial R mn es mn (ver 2.26, ejemplo tercero) 6) Dimensión de Poli n R  (ver 2.8, ejemplo cuarto) es n  1, pues su base canónica es 1, I ,, I n . 7) Hemos también visto espacios de dimensión infinita, como Poli R , cuya base canónica 1, I n n   tiene infinidad de elementos, como cualquier base otra de este espacio vectorial; de hecho cualquier base de Poli R  es conjunto infinito contable. De otro lado, espacio vectorial F R, R  (ver 2.4, ejemplo cuarto) de todas funciones reales de variable real, cuyo dominio es R , también es de dimensión infinita, pues contiene (propiamente) a Poli R  ; pero cualquier base de F R, R  es conjunto infinito no contable (conjunto “enorme”). En general, en caso que espacio vectorial V sea de dimensión infinita podemos escribir dim V    ; pero tengamos en cuenta que ello es impreciso a la luz de dos ejemplos arriba de espacios vectoriales de dimensión infinita. 25

2.42 Ejercicios 1) Sean v vector no nulo de R n , y  número real; pongamos H v,   x  R n v  x    H v,  es llamado hiperplano en R n cuyo vector normal es v y su nivel es  . Observemos que hiperplanos en R 2 son rectas y que hiperplanos en R 3 son planos. Demostrar que H v,  es subespacio de R n si y sólo si   0 (o equivalentemente, si y sólo si H v,  contiene al origen de R n ). ¿Cuál es dimensión de H v,0 ? 2) Sabemos que S n , conjunto de todas matrices simétricas de orden n , y An , conjunto de todas matrices antisimétricas de orden n , son subespacios de R nn (ver 2.10, ejemplo tercero). ¿Cuáles son dim S n y dim  An? 3) Sea S subespacio de Poli n R , aquél formado por todas funciones polinómicas f  x  que cumplen f 0  f 1  0 . ¿Cuál es dim S  ?

26