Edición digital para la Biblioteca Digital del ILCE Título original: Sophus Lie © De la traducción: Emilio Méndez Pinto Publicado por American Mathematical Society en Bulletin of the American Mathematical Society, Vol. 5, N. 7 (1899), 367-370. Prohibida su reproducción por cualquier medio mecánico o eléctrico sin la autorización por escrito de los coeditores.

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SOPHUS LIE nació el 17 de diciembre de 1842 en Nordfjordeid (cerca de Florö) donde su padre, Johann Herman Lie, era pastor. Los estudios de su niñez y juventud no revelaron en él aquella aptitud excepcional para las matemáticas que se manifiesta tan temprano en las vidas de los grandes geómetras: Gauss, Abel, y muchos otros. Incluso al dejar la Universidad de Christiania en 1865, seguía dudando entre la filología y las matemáticas. Fueron los trabajos de Plücker sobre geometría moderna los que lo hicieron plenamente consciente de sus habilidades matemáticas y despertaron en él un ardiente deseo por consagrarse a la investigación matemática. Superando todas las dificultades y trabajando con una energía indomable publicó su primer trabajo en 1869, y podemos decir que desde 1870 en adelante estuvo en posesión de las ideas que habrían de dirigir toda su carrera. En ese tiempo frecuentemente tuve el placer de encontrarme y conversar con él en París, donde había llegado con su amigo F. Klein. Un ciclo de conferencias ofrecido por Sylow reveló a Lie toda la importancia de la teoría de grupos de sustitución; ambos amigos estudiaron esta teoría en el gran tratado de nuestro colega Jordan, y vieron totalmente el papel esencial que habría de desempeñar en todas las ramas de las matemáticas en las que aún no había sido aplicada. Por medio de sus trabajos, ambos han tenido la buena fortuna de contribuir a imprimir en los estudios matemáticos la dirección que les pareció ser la mejor. Una breve nota de Lie, “Sur une transformation géométrique”, presentada a nuestra Academia en octubre de 1870, contiene un descubrimiento extremadamente original. Nada se asemeja menos a una esfera que una línea recta, y a pesar de ello, utilizando las ideas de Plücker, Lie encontró una transformación singular que hace que una esfera corresponda a una línea recta, y que consecuentemente hace posible la derivación de un teorema relativo a un conjunto de esferas desde cada teorema relativo a un agregado de líneas rectas, y viceversa. Es cierto que si las líneas son reales, las correspondientes esferas son imaginarias. Pero tales dificultades no bastan para desalentar a los geómetras. En este curioso método de transformación, cada propiedad relativa a líneas asintóticas de una superficie es transformada en una propiedad relativa a líneas de curvatura. El nombre de Lie permanecerá asociado con estas relaciones ocultas que conectan los dos elementos 3

esenciales y fundamentales de la investigación geométrica, la línea recta y la esfera. Las ha desarrollado a detalle en una memoria repleta de nuevas ideas que apareció en 1872 en Mathematische Annalen. Los trabajos que siguieron a este brillante comienzo confirmaron por completo todas las esperanzas a las que dio lugar. Desde 1872, Lie ha publicado una serie de memorias sobre las partes más difíciles y avanzadas del cálculo integral. Comienza con un estudio profundo de los trabajos de Jacobi sobre las ecuaciones diferenciales parciales de primer orden y, al principio, coopera con Mayer en perfeccionar esta teoría en un punto esencial. Después, continuando con el estudio de este bello tema, progresivamente llega a construir aquella imperiosa teoría de grupos de transformación continuos que constituye su trabajo más importante y en el que, al menos al principio, no se vio ayudado por nadie. Un análisis detallado de esta vasta teoría ocuparía mucho espacio aquí. No obstante, es conveniente señalar particularmente dos elementos absolutamente esenciales para estas investigaciones: primero, el uso de transformaciones de contacto, que arroja una vívida e inesperada luz sobre las partes más difíciles y oscuras de las teorías relativas a la integración de ecuaciones diferenciales parciales; segundo, el uso de transformaciones infinitesimales. La introducción de estas transformaciones se debe por completo a Lie; su uso, como el de la variación de Lagrange, naturalmente extiende en gran medida tanto la noción de diferencial como las aplicaciones del cálculo infinitesimal. La construcción de una teoría tan extendida no satisfizo la actividad de Lie. Con el fin de mostrar su importancia, la ha aplicado a un gran número de temas particulares, y en cada ocasión ha tenido la buena fortuna de encontrarse con nuevas y elegantes propiedades. Mi preferencia está en las investigaciones que ha publicado desde 1876 sobre superficies mínimas. La teoría de estas superficies, quizá la más atractiva que se presenta en la geometría, aún espera, y puede que espere por mucho tiempo, la solución completa del primer problema que se propone en ella, a saber, la determinación de una superficie mínima que pasa a través de un contorno dado. Pero, en cambio, se ha visto enriquecida por un gran número de proposiciones interesantes debidas a una multitud de geómetras. En 1866, Weierstrass dio a conocer un sistema muy preciso y simple de fórmulas que ha provocado toda una serie de nuevos estudios sobre estas superficies. En sus trabajos, Lie vuelve 4

simplemente a las fórmulas de Monge; ofrece su interpretación geométrica y muestra cómo su uso puede llevar a la teoría de superficies mínimas más satisfactoria. Da a conocer métodos que permiten determinar todas las superficies mínimas algebraicas de cierta clase y orden. Por último, estudia el siguiente problema: determinar todas las superficies mínimas algebraicas inscritas en una superficie desarrollable algebraica dada. Ofrece la solución completa para el caso en el que solamente se conoce una de estas superficies inscritas en la [superficie] desarrollable. De gran interés también son las investigaciones que le debemos sobre las superficies de curvatura constante, en cuyo estudio hace uso de un teorema de Bianchi sobre líneas y círculos geodésicos, e igualmente aquellas [investigaciones] sobre superficies de traslación, sobre las superficies de Weingarten, sobre las ecuaciones de segundo grado teniendo dos variables independientes, etcétera. Debo reprocharme el omitir, incluso en un resumen tan rápido, las aplicaciones que ha hecho Lie de su teoría de grupos a la geometría no euclidiana y al profundo estudio de los axiomas que se encuentran en la base de nuestro conocimiento geométrico. Estos extensos trabajos rápidamente atrajeron hacia el gran geómetra la atención de todos aquellos que cultivan la ciencia o que se interesan por su progreso. En 1877 se creó para él una nueva cátedra de matemáticas en la Universidad de Christiania, y la fundación de una revista noruega le permitió dedicarse a su trabajo y publicarlo por completo. En 1886 aceptó el honor de un llamado de la Universidad de Leipzig, y con el rango de profesor ordinario enseñó en esta universidad desde 1886 hasta 1898. A este periodo de su vida pertenece la publicación de sus trabajos didácticos, en los que ha reunido todas sus investigaciones. Hace seis meses regresó a su país natal para asumir en Christiania la cátedra que había sido reservada especialmente para él por el Parlamento Noruego, con el excepcional salario de diez mil coronas. Desafortunadamente, el exceso de trabajo había menguado su fuerza y murió de una anemia cerebral a la edad de cincuenta y seis años. En ningún lugar se ha sentido su pérdida de modo más penetrante que en nuestro país, donde tenía muchos amigos. Es cierto que, en 1870, le sucedió una desgracia cuyas consecuencias fui útil en advertir. Sorprendido en París por la declaración de guerra, se refugió en Fontainebleau. Ocupado incesantemente en las ideas que fermentaban en su 5

cerebro, iba todos los días al bosque, merodeando en los lugares más lejanos a los lugares comunes, tomando notas y trazando figuras. En ese entonces, no tardó mucho tiempo en levantar sospechas. Arrestado y encarcelado en Fontainebleau, en condiciones por lo demás muy cómodas, pidió la ayuda de Chasles, Bertrand, y otros; yo hice el viaje a Fontainebleau y no tuve problema en convencer al procurador imperial: todas las notas que habían sido incautadas y en las que figuraban sistemas ortogonales, complejos, y nombres de geómetras, de ninguna manera perforaban las defensas nacionales. Lie fue liberado, y su gran y generoso espíritu no guardó rencor a nuestro país. No solamente regresó voluntariamente a visitarlo, sino que recibió con gran bondad a estudiantes franceses, alumnos de nuestra École Normale que fueron a Leipzig a seguir sus lecciones. Es a la École Normale que dedicó su gran trabajo sobre la teoría de grupos de transformación. Un cierto número de nuestras tesis en la Sorbona han sido inspiradas por su enseñanza y le han sido dedicadas. Los admirables trabajos de Sophus Lie disfrutan de la distinción – muy rara hoy en día – de tener la admiración común de geómetras y analistas. Ha descubierto proposiciones fundamentales que protegerán su nombre del olvido, y ha creado métodos y teorías que, por mucho tiempo por venir, ejercerán su fructífera influencia en el desarrollo de las matemáticas. El país donde nació, y que ha sabido cómo honorarlo, puede poner con orgullo el nombre de Lie junto al de Abel, de quien fue un rival digno y cuyo próximo centenario habría sido feliz de celebrar.

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