1. Calcular por la definición las derivadas de las siguientes funciones en los puntos que se indican: Solución. La derivada de una función en un punto (f ’(xo)) es: f (x o + h ) − f (x o ) f ′(x o ) = Lím h h →0 f(x) = 3x2 + 5x − 4 en xo =2

i.

(

3(2 + h )2 + 5(2 + h ) − 4 − 3 ⋅ 2 2 + 5 ⋅ 2 − 4 f (2 + h ) − f (2 ) f (2 + h ) = 3(2 + h )2 + 5(2 + h ) − 4 = = Lím  h h h →0  h →0 f (2) = 3 ⋅ 2 2 + 5 ⋅ 2 − 4 

f ′(2 ) = Lím

( 0)

Desarrollando las potencias y quitando paréntesis se llega a una indeterminación del tipo 0

que se resuelve sacando factor común de h en el numerador y simplificando con la h del denominador:

(

)

(

)

3 2 2 + 2 ⋅ 2 ⋅ h + h 2 + 5(2 + h ) − 4 − 3 ⋅ 2 2 + 5 ⋅ 2 − 4 = h h →0

f ′(2 ) = Lím

0

12 + 12h + 3h 2 + 10 + 5h − 4 − 12 − 10 + 4 12h + 3h 2 + 5h 17h + 3h 2 0 = Lím = Lím = Lím = h h h h →0 h →0 h →0 (17 + 3h )h = Lím(17 + 3h ) = 17 + 3 ⋅ 0 = 17 = Lím h h →0 h →0 f(x) = x3 − 1 en xo = −1

ii.

(

)

(− 1 + h )3 − 1 − (− 1)3 − 1 f (− 1 + h ) − f (− 1) f (− 1 + h ) = (− 1 + h )3 − 1 = = Lím  3 h h h →0  f (− 1) = (− 1) − 1  h →0

f ′(− 1) = Lím

Desarrollando la potencia mediante el binomio de Newton y quitando paréntesis se llega a una indeterminación del tipo 0 que se resuelve sacando factor común de h en el numerador y 0 simplificando con la h del denominador:

( )

(

)

1 ⋅ (− 1)3 + 3 ⋅ (− 1)2 ⋅ h + 3 ⋅ (− 1) ⋅ h 2 + 1 ⋅ h 3 − 1 − (− 1)3 − 1 − 1 + 3h − 3h 2 + h 3 − 1 + 1 + 1 = Lím = h h h →0 h →0

f ′(− 1) = Lím

(

0

)

(

)

3 − 3h + h 2 h 3h − 3h 2 + h 3 0 = Lím = Lím = Lím 3 − 3h + h 2 = 3 − 3 ⋅ 0 + 0 2 = 3 h h h →0 h →0 h →0 iii.

f(x) = x + 1 en x =3

f (3 + h ) − f (3) f (3 + h ) = (3 + h ) + 1  =  = Lím h h →0  h →0 f (3) = 3 + 1 

f ′(3) = Lím

(3 + h ) + 1 −

3 +1

h

= Lím h →0

4+h −2 h

( 0 ) irracional, que se resuelve multiplicando y dividiendo por el

Indeterminación del tipo 0 conjugado de la expresión irracional. f ′(3) = Lím h →0

4+h −2 = Lím h h →0

= Lím h →0

h⋅

(

(

)(

4+h −2 ⋅ h⋅

(

h 4+h +2

)

4+h +2

4+h +2

= Lím h →0

)

) = Lím (

)2 − 22 = Lím 4 + h − 4 = h →0 h ⋅ ( 4 + h + 2 ) h →0 h ⋅ ( 4 + h + 2 )

1 4+h +2

1

=

4+h

1 4+0 +2

=

1 1 = 2+2 4

)

f (x ) =

iv.

3 en x = 2 x −1

3 3  3  3 − f (2 + h ) = −3  f (2 + h ) − f (2 )  ( 2 + h) −1 2 −1 ( ) + − 2 h 1 + 1 h = Lím = f ′(2 ) = Lím  = Lím 3 h h h h →0 h →0   h →0 f (2 ) =  2 −1 

( 0 ) , se opera el castillo de fracciones, se simplifica h y queda resuelta

Indeterminación del tipo 0

la indeterminación, y el valor de la derivada en 2.

3 − 3 ⋅ (1 + h ) 3 −3 (1 + h ) = Lím − 3h = Lím − 3 = − 3 = −3 = Lím f ′(2 ) = Lím 1 + h h h h →0 h →0 h →0 h ⋅ (1 + h ) h →0 (1 + h ) (1 + 0 )

2. Calcular haciendo uso de la definición las siguientes derivadas: Solución. Por definición de función derivada f (x + h) − f (x) f ' ( x ) = lím h →0 h Nota. “Estos límites son respecto de la variable h, por lo tanto x se toma como constante, debiendo obtener como resultado una expresión en x ó una constante numérica”

Aplicando a cada apartado: f(x) = x2 − 3x + 2  ( x + h ) 2 − 3( x + h ) + 2 − x 2 − 3x + 2 f ( x + h ) − f ( x )  f ( x ) = x 2 − 3x + 2 lím = = f ' ( x ) = lím  h h h →0 f ( x + h ) = ( x + h )2 − 3( x + h ) + 2 h →0 i.

(

Desarrollando el cuadrado, quitando paréntesis y ordenando se llega a una indeterminación del

( 0 ) que se resuelve sacando factor común de h y simplificando la fracción ( x + h ) − 3( x + h ) + 2 − (x − 3x + 2) x + 2hx + h − 3x − 3h + 2 − x f ' ( x ) = lím = lím

tipo 0

2

2

2

h

h →0

2

2

+ 3x − 2

h

h →0

=

2hx + h 2 − 3h h (2 x + h − 3) = lím = lím (2 x + h − 3) = 2x + 0 − 3 = 2 x − 3 h h h →0 h →0 h →0

= lím

f ' (x ) = 2x − 3

f (x ) =

ii.

1 x −1

1 1 1   − f (x ) =   f (x + h ) − f (x )  ( x + h − 1) x − 1  x −1 f ' ( x ) = lím =  = lím 1 h h h →0 h → 0  f (x + h ) = ( x + h ) − 1  

( 0 ) que se resuelve simplificando h

Operando el castillo se llega a una indeterminación del tipo 0 en la fracción.

1 1 1 ⋅ ( x − 1) − 1 ⋅ ( x + h − 1) − x −1− x − h +1 ( x + h − 1) x − 1 ( x + h − 1) ⋅ ( x − 1) f ' ( x ) = lím = lím = lím = h h h →0 h →0 h →0 h ⋅ ( x + h − 1) ⋅ ( x − 1)

−h −1 −1 −1 −1 = = = = lím ( x + 0 − 1) ⋅ ( x − 1) ( x − 1) ⋅ ( x − 1) ( x − 1) 2 h →0 h ⋅ ( x + h − 1) ⋅ ( x − 1) h →0 ( x + h − 1) ⋅ ( x − 1)

= lím

f ' (x) =

−1 ( x − 1)2

2

)

f (x ) = x 2 − 1

iii.

 ( x + h )2 + 1 − x 2 + 1 f (x + h ) − f (x )  f (x ) = x 2 + 1  = lím =  2 h h h →0 h →0 f (x + h ) = ( x + h ) + 1  Indeterminación del tipo 0 irracional, que se resuelve multiplicando y dividiendo por el 0 conjugado de la expresión irracional. f ' ( x ) = lím

( )

 ( x + h )2 + 1 − x 2 + 1  ⋅  ( x + h )2 + 1 + x 2 + 1      (x + h )2 + 1 − x 2 + 1   = = lím  h   h →0 2 2 h ⋅  (x + h) + 1 + x + 1   

f ' ( x ) = lím

h →0

2

2

 (x + h) 2 + 1  −  x 2 + 1      (x + h) 2 + 1 − x 2 + 1     = lím = lím = h →0 h →0     2 2 2 2 h ⋅  (x + h) + 1 + x + 1  h ⋅  (x + h) + 1 + x + 1      = lím

h →0

(x + h) 2 − x 2 h ⋅  ( x + h ) 2 + 1 + x 2 + 1   

= lím

h →0

2hx + h 2

= lím

h →0

ii.

x 2 + 2hx + h 2 − x 2 h ⋅  x 2 + 2hx + h 2 + 1 + x 2 + 1   

=

h ⋅ (2x + h )

x 2

x +1

3. Calcula las siguientes derivadas haciendo uso de las tablas y de las reglas principales: y = 2x3 −4x² +5x −8 y ′ = 3 ⋅ 2x 3−1 − 2 ⋅ 4x 2−1 + 1 ⋅ 5x 1−1 + 0 : x 0 = 1 y ′ = 6 x 2 − 8x + 5

(

y=

1

5

+ 3x − 7 x x2 Lo primero es expresar los cocientes como exponentes negativos. 4

−

)

y = x −4 − 5x −2 + 3x − 7 y ′ = −4x −4−1 − (− 2) ⋅ 5x −2−1 + 1 ⋅ 3x 1−1 + 0 = −4x −5 + 10 x −3 + 3 Por último hay que devolverla a su forma racional −4 10 y′ = + +3 x 4 x −3

iii.

)

= h →0 h ⋅  x 2 + 2hx + h 2 + 1 + x 2 + 1  h ⋅  x 2 + 2hx + h 2 + 1 + x 2 + 1      2x + h 2x + 0 2x = = = 2 2 2 2 2 2 2 x + 2hx + h + 1 + x + 1 x + 2 ⋅ 0 ⋅ x + 0 +1 + x +1 x +1 + x 2 +1 2x x = = 2 2 2 x +1 x +1 f ′(x ) =

i.

)(

= lím

h →0

= lím

(

y = 5 x² + 4 4 x³ Lo primero es expresar los radicales en forma de exponente fraccionario. y=x

2

5

2

+ 4x 3

3

4 3

1

−1 − 2 −1 3 2 − y ′ = x 5 + ⋅ 4 x 4 = x 5 + 3x 4 5 4 5

3

Por último hay que devolverla a su forma irracional 2 3 y′ = + 4 5 3 x 5 x iv.

y = 5(x −1)(2x3 −2)(x² +3) Producto de tres funciones, se aplica la regla del producto extendida a tres funciones. ′ ′  y ′ = 5 ⋅ (x − 1)′ 2 x 3 − 2 x 2 + 3 + (x − 1) 2 x 3 − 2 x 2 + 3 + (x − 1) 2 x 3 − 2 x 2 + 3  =  

(

)( ) ( )( ) ( = 5 ⋅ [1 ⋅ (2x − 2 )(x + 3)+ (x − 1) ⋅ 6x ⋅ (x + 3)+ (x − 1)(2x 3

2

2

2

)(

3

)

) ]

− 2 ⋅ 2x En este caso no tiene sentido simplificar ya que si hubiéramos querido obtener la derivada simplificada, habríamos operado la función para obtener un polinomio, y a continuación habríamos derivado el polinomio

y = 1+ 1+ x ² En esta derivada, el segundo sumando es una función compuesta a la que habrá que aplicar la regla de la cadena [f (g(x ))]′ = f ′(g(x )) ⋅ g ′(x ) siendo f la raíz cuadrad y g el polinomio.

v.

)

(

′ ′ 1 2x x y ′ = (1)′ +  1 + x 2  ⋅ 1 + x 2 = 0 + ⋅ (2x ) = =   2 1+ x 2 2 1+ x 2 1+ x 2

(

)

4

vi. y = x4 − x3 − x NOTA: Las raíces de índice superior a 2 es más fácil derivarlas como exponente fraccionario, en cambio las cuadradas es más fácil derivarlas como raíz, aunque también se pueden derivar como exponente fraccionario. En general cada uno elegirá la opción que le parezca más sencilla. ′ 1 3 1  ′  −1 − 1 1 y ′ = x 4 −  x 3 − x 4  = 4x 3 − x 3 − x 4 ⋅ 3x 2 − 1 = 4x 3 − x 3 − x 4 ⋅ 3x 2 − 1 = 4 4  

( ) (

)

(

= 4x 3 −

(

3x 2 − 1

4 x3 − x

vii.

3

(

3x 2 − 1

= 4x 3 − 4

(

4 x3 − x

4

) (

)

3

x ² − 6x + 2 x +1 Aplicamos la regla del cociente. (x ² − 6x + 2)′ ⋅ (x + 1) − (x ² − 6x + 2)⋅ (x + 1)′ = (2x − 6) ⋅ (x + 1) − (x ² − 6x + 2)⋅1 = y= (x + 1)2 (x + 1)2 2x 2 − 6 x + 2x − 6 − (x ² − 6 x + 2 )

(x + 1)2

=

x 2 + 2x − 8

(x + 1)2

x3 +1 x Aplicamos la regla del cociente. ′ x 3 + 1 ⋅ x − x 3 + 1 ⋅ (x )′ 3x 2 ⋅ x − x 3 + 1 ⋅1 3x 3 − x 3 − 1 2x 3 − 1 y′ = = = = x2 x2 x2 (x )2 y=

(

ix.

)

)

y=

=

viii.

) (

)

(

)

(

y = x 5 − 3x 4 + 7 x − 12 y ′ = 5x 4 − 12 x 3 + 7

4

)

)

x.

x+6

y=

2

x − 3x + 5 Aplicamos la regla del cociente. ′ (x + 6)′ ⋅ x 2 − 3x + 5 − (x + 6) ⋅ x 2 − 3x + 5 = 1⋅ x 2 − 3x + 5 − (x + 6)⋅ (2x − 3) = y′ = 2 2 x 2 − 3x + 5 x 2 − 3x + 5

(

(

x

=

xi.

y=

2

)

(

)

)

) ( ) − 3x + 5 − (2x − 3x + 12x − 18) − x − 12 x + 23 = (x − 3x + 5) (x − 3x + 5) 2

2

2

2

2

2

x 2 +1

x 2 −1 Aplicamos la regla del cociente. ′ ′ x 2 +1 ⋅ x 2 −1 − x 2 +1 ⋅ x 2 −1 2x ⋅ x 2 − 1 − x 2 + 1 ⋅ 2x 2x 3 − 2x − 2x 3 − 2x y′ = = = = 2 2 2 x 2 −1 x 2 −1 x 2 −1

(

)(

)(

(

)

)(

)

(

=

xii.

(

y = (2x² +3x −1)4 Aplicamos la regla de la cadena

(

(

)(

)

)

(

−4 x

(x − 1)

2

2

)

(

3

)

y ′ = 4 2 x 2 + 3x − 1 ⋅ (4 x + 3) = (16 x + 12 ) 2x 2 + 3x − 1

xiii.

y=

)

3

x 3 −1

(x + 1)2

Aplicamos la regla del cociente y la de la cadena al binomio del denominador. ′ ′ x 3 − 1 ⋅ (x + 1)2 − x 3 − 1 ⋅ (x + 1)2 3x 2 ⋅ (x + 1)2 − x 3 − 1 ⋅ 2(x + 1) ⋅1 ′ = y = = 2 (x + 1)4 (x + 1)2

(

)

)(

(

( ) (x + 1) ⋅ (3x ⋅ (x + 1) − (x − 1)⋅ 2) = 3x = 2

3

2

(x + 1)4

xiv.

xv.

)

(

(

)

⋅ (x + 1) − x 3 − 1 ⋅ 2

(x + 1)3

=

)

3x 3 + 3x 2 − 2x 3 + 2

(x + 1)3

=

x 3 + 3x 2 + 2

(x + 1)3

12 x − 1 x+3 Aplicamos las reglas de la suma y del cociente. 12 ⋅ (x + 3) − (12 x − 1) ⋅1 12 x + 36 − 12 x + 1 37 = 14 x − 3 + y ′ = 14 x − 3 + = 14 x − 3 + 2 2 (x + 3) (x + 3)2 (x + 3) y = 7 x 2 − 3x +

y = x ⋅ x 2 +1 Aplicamos la regla del producto, y la de la cadena a la raíz. 2

y ′ = 1⋅ x 2 + 1 + x ⋅

1 2 x 2 +1

⋅ 2x = x 2 + 1 +

=

xvi.

y=

x

2

x 2 +1

x 2 +1+ x 2 x 2 +1

=

=

2

2

x +1 ⋅ x +1 + x x 2 +1

2

=

2x 2 + 1 x 2 +1

2x + 1

x −3 Aplicamos la regla del cociente, y la de la cadena a la raíz de denominador.

5

 x 2 +1 + x 2     x 2 +1

=

1

2 ⋅ x − 3 − (2x + 1) y′ =

( =

(2

x −3

x −3

)

2 x −3

⋅1 =

2

2x + 1

2 x − 3 ⋅ 2 x − 3 − (2 x + 1)

2 x −3 = x −3

2 x −3 x −3

2 x −3 −

)2 − (2x + 1) = 4(x − 3) − 2x − 1 = 4x − 12 − 2x − 1 =

(x − 3)⋅ 2

(x − 3) ⋅ 2

x −3

2 (x − 3)

x −3

3

=

2 x − 13 2 (x − 3)3

3x + 1 3x − 1 Aplicamos la regla de la cadena y a continuación la del cociente. 1 3 ⋅ (3x − 1) − (3x + 1) ⋅ 3 9x − 3 − 9x − 3 −6 −3 y′ = ⋅ = = = 2 3x + 1 3x + 1 3x + 1 (3x − 1) 2 2(3x − 1)2 2(3x − 1)2 (3x − 1)2 3x + 1 3x − 1 3x − 1 3x − 1 3x − 1

xvii.

y=

x 3 + 3 x La forma más sencilla de derivar esta función es expresarla como un polinomio con coeficientes fraccionarios y exponentes negativos. 1 y = x + 3x −1 3

xviii.

y=

y′ =

xix.

y = x² Ln x + x Ln x + 1 Aplicamos las reglas del producto y de la suma 1 1 y ′ = 2x ⋅ Ln x + x 2 ⋅ + 1 ⋅ Ln x + x ⋅ + 0 = 2 x Ln x + x + Ln x + 1 = x + 1 + (2x + 1) Ln x x 14 x 1442444 3 4244 3

(x 2Ln x )′

xx.

1 1 3 x2 −9 ⋅1 + 3 ⋅ (− 1)x − 2 = − = 3 3 x2 3x 2

(x⋅Ln x )′

y = x4 +4x +44 y ′ = 4x 3 + 4 x ⋅ Ln 4 + 0 = 4 x 3 + 4 x ⋅ Ln 4

xxi.

y=

1− x

1+ x 1 1 − ⋅ 1+ x − 1− x ⋅ 2 x 2 x

(

y′ =

)( (1 + x )2

)

=

(

− =

1 2 x

−2

2 x 1+ x

xxii.

(

y = Ln 1 + x 2

=

(

−1

x 1+ x

)] − [1 + =

x +1− x

(

2 x 1+ x

)2

) y′ =

xxiii.

)

2

[( ) ( (1 + x )2

⋅ 1+ x + 1− x

1 1+ x

2

⋅ 2x =

2x 1+ x 2

y = x ⋅ Ln x 1 x y ′ = (x )′ ⋅ Ln x + x ⋅ (Ln x )′ = 1 + Ln x + x ⋅ = Ln x + = Ln x + 1 x x

6

)

2

]=

xxiv.

y = e x−x

2 2

y ′ = e x − x ⋅ ( 1 − 2x )

xxv.

y = x ⋅ e1− x

( )

′ y ′ = (x )′ ⋅ e1− x + x ⋅ e1− x = 1 ⋅ e1− x + x ⋅ e1− x ⋅ (− 1) = ( 1 + x ⋅ (− 1)) ⋅ e1− x = ( 1 − x ) ⋅ e1− x 4. Estudiar la derivabilidad de las siguientes funciones en los puntos que se indican. Solución. Para que una función sea derivable en un punto xo debe ser continua y existir el siguiente límite: f (x o + h ) − f (x o ) lím h h →0 La existencia de este límite lleva consigo la existencia e igualdad de los límites laterales en el punto. f (x o + h ) − f (x o )  ∃ lím = f x o−  f (x o + h ) − f (x o ) f (x o + h ) − f (x o ) −  h h →0 : lím = lím  f (x o + h ) − f (x o ) − h h h →0 + ∃ lím = f x o+  h →0 +  h h →0 

( ) ( )

O lo que es lo mismo:

( ) ( )

f x o− = f x o+

Para que sea continua en xo:

f (x o ) = Lím f (x ) = Lím f (x ) x → x o−

x → x o+

Nota: La condición de continuidad es imprescindible para ser derivable, pero no es suficiente. La expresión de la derivada debe ser en intervalos abiertos. i.

x 2 + x Sí f (x ) =  x − x 2 Sí Continuidad en x = 0:

x 0 f ′(0 ) = 1 − 2 ⋅ 0 = 1 f ′ 0− = f ′ 0+

2 x + 1 Sí f ′(x ) =  1 − 2x Sí La función es derivable en x = 0

ii.

 2 x − 1 Sí f (x ) =  2 Sí  x Continuidad en x = 1:

x ≤1 x >1

−

−

+

en x = 1 f (1) = Lím f (x ) = Lím f (x ) x →1−

x →1+

2 ⋅1 − 1 = Lím (2x − 1) = Lím x 2 x →1−

x →1+

1 = 2 ⋅ 1 − 1 = 12

La función es continua en x = 1

7

+

Derivable en x = 1

( ) ( ) x < 1 f ' (1 ) = 2 : ⇒ f ' (1 ) = f ' (1 ) x > 1  f ' (1 ) = 2 ⋅1 = 2 f ′ 1− = f ′ 1+

 2 Sí f ′(x ) =  2x Sí La función es derivable en x = 1

iii.

 1  f (x ) =  x  x 2 − 2

Sí

x ≤ −1

Sí

x > −1

Continuidad en x = −1:

−

−

+

en x = −1

f (−1) = Lím f (x ) = Lím f (x ) x →−1−

x →−1+

(

1 1 = Lím = Lím x 2 − 2 − − 1 x →−1 x x →−1+ 1 −1 = = (− 1)2 − 2 −1 La función es continua en x = −1

Derivable en x = −1

+

)

( ) ( ) −1  = −1 x < −1 f ' (− 1 ) = : ⇒ f ' (− 1 ) ≠ f ' (− 1 ) (− 1) x > −1  f ' (− 1 ) = 2 ⋅ (− 1) − 1 = −3  f ′ − 1 − = f ′ − 1+

 −1  f ′(x ) =  x 2 2x − 1

Sí Sí

−

−

2

+

+

La función no es derivable en x = −1 5. Hallar el valor del parámetro a en cada una de las siguientes funciones para que sean continuas. Para el valor del parámetro hallado, comprobar si la función es derivable. ax 2 + 1 Sí x < −1 i. f (x ) =   4 x + 2 Sí x ≥ −1 Solución. Continuidad en x = −1: f (−1) = Lím f (x ) = Lím f (x ) x →−1−

x →−1+

(

)

4 ⋅ (− 1) + 2 = Lím ax 2 + 1 = Lím (4x + 2) x →−1−

x → −1+

− 2 = a ⋅ (− 1) + 1 = 4 ⋅ (− 1) + 2 a + 1 = −2 a = −3 2

La expresión de la función para que sea continua es: − 3x 2 + 1 Sí x < −1 f (x ) =   4x + 2 Sí x ≥ −1 Derivable en x = −1

( ) ( ) x < −1 f ' (− 1 ) = −6 ⋅ (− 1) = 6 : ⇒ f ' (− 1 ) ≠ f ' (− 1 ) x > −1 f ' (− 1 ) = 4 f ′ − 1 − = f ′ − 1+

− 6x Sí f ′(x ) =  Sí  4 La función no es derivable en x = −1

−

+

8

−

+