Transformada de Laplace

El par de funciones transformada y antitransformada de Fourier son, según vimos:

La condición de existencia de la transformada es: Como en general F() es una función compleja, tenemos que:

Como vimos, si f(t) es una función real, resulta R() una función par y X() una función impar. Al tratar de encontrar la transformada de Fourier de un pulso de duración infinita, es

decir, de la función escalón u(t), se encuentra con la siguiente dificultad.

Si se tiene en cuenta que e-jt = cos(t) - j sen(t)

Se observa que hay problema en la evaluación del límite superior de la integral, pues no

se aproxima a valor alguno. Para evitar este inconveniente, se recurre a otro factor de convergencia: con  = real positivo

Usando e-.t como factor de convergencia se puede deducir que:

Sí F(ω) = F[f(t)] y f1(t) = f(t) . e-σt, con  = real positivo, entonces:

Aplicando el límite de σ:

La introducción del factor de convergencia, permite trabajar con la variable compleja s =  + j, siendo  un número real positivo (constante); su diferencial es ds = j d.

La variable de Laplace s =  + j, tiene dimensión de frecuencia [1/s]. Si se utiliza “s” en la definición anterior, se llega a la expresión:

Esta ecuación define la transformada bilateral de Laplace de f(t). Incluye tanto valores positivos como negativos de t. En forma similar a lo visto en transformadas de Fourier, se puede escribir la expresión

de la transformada inversa de Laplace.

Es decir que f(t) está representada como la sumatoria (integral) de términos de la forma:

Debe tenerse en cuenta que la expresión ǀF0 . ejθǀ . e-st, representa un fasor senoidal con variación de amplitud exponencial. La función f(t).e-t es absolutamente integrable para casi cualquier función f(t). La transformada bilateral de Laplace se puede calcular para una clase más amplia de funciones f(t), que la transformada de Fourier.

Transformada unilateral de Laplace Gran parte de las funciones de excitación y respuesta, en circuitos eléctricos, sólo existen a partir de un instante inicial que se puede considerar como t=0.

Cuando f(t) no interesa para t < 0 se puede escribir “f(t) . u(t)” . Para esta función, la integral de definición de la transformada de Laplace es:

Esta expresión es la transformada unilateral de Laplace. La expresión de la transformada inversa no cambia pero debe recordarse que es sólo válida para t > 0.

Resumiendo:

Las notaciones para las variables que más se utilizan, en la resolución de circuitos eléctricos, son:

Las condiciones que garantizan la convergencia absoluta de la integral de Laplace para R(s) =  > 0 son: 

f(t) es integrable en todo el intervalo finito t1 < t < t2 donde 0 ≤ t1 < t2