Una inecuación es una expresión matemática que se caracteriza por tener los signos de desigualdad. Esta relacionada con el orden relativo. • > mayor que. a > b significa que a es mayor que b. Inecuación estricta. • < menor que. a < b significa que a es menor que b. Inecuación estricta. • ≥ mayor o igual que. a ≥ b significa que a es mayor o igual que b. Inecuación no estricta • ≤ menor o igual que. a ≤ b significa que a es menor o igual que b. Inecuación no estricta El resultado de una inecuación es un conjunto de números reales, denominado intervalo, del que la variable puede tomar cualquier valor cumpliendo la inecuación. •

•

•

Los intervalos utilizados en la resolución de las inecuaciones pueden ser: Abiertos, no incluyen los extremos, van asociados a ±∞ o a las desigualdades mayor que (>) o menor que (> b quiere decir que a "es mucho mayor que" b.

Propiedades i.

Tricotomía. Para dos números reales cualquiera, a y b, sólo se cumplirá una de las siguientes afirmaciones:

ab ii.

Simetría. Las relaciones en inecuaciones pueden ser invertidas, queriendo decir esto que para dos números reales, a y b:

Si a > b ⇒ b < a Si a < b ⇒ b > a iii.

Transitiva. Para tres números reales, a, b, y c:

Si a > b y b > c ⇒ a > c Si a < b y b < c ⇒ a < c Si a > b y b = c ⇒ a > c iv.

Adición y sustracción. Si a los dos miembros de una desigualdad se suma o resta una misma cantidad, el signo de la cantidad no varia. Sean los números reales, a, b, y c: Si a > b ⇒ a + c > b + c y a ‒ c > b ‒ c Si a < b ⇒ a + c < b + c y a ‒ c < b ‒ c

1

v.

Multiplicación y división. Para tres números reales, a, b, y c:

a b > c c a b < Si c es positivo y a < b entonces a × c < b × c y c c a b < Si c es negativo y a > b entonces a × c < b × c y c c a b > Si c es negativo y a < b entonces a × c > b × c y c c Si c es positivo y a > b entonces a × c > b × c y

Nota: Si ambos términos de una inecuación se multiplican o dividen por la misma expresión negativa, el símbolo de la desigualdad CAMBIA, pero siempre hay que tener en cuenta que el resultado debe cumplir la condición dada. vi.

Aplicación de una función. A una inecuación puede aplicarse cualquier función monótona creciente a ambos lados de una inecuación manteniendo el mismo signo de desigualdad.

Valor absoluto o módulo

|a| ≤ b ⇔ ‒b ≤ a ≤ b |a| ≥ b ⇔ a ≥ b o a ≤ ‒b

Notación encadenada La notación a < b < c establece que a < b (a menor que b) y que b < c (b menor que c) y aplicando la propiedad transitiva anteriormente citada, puede deducirse que a < c (a menor que c). Aplicando las leyes anteriores, puede sumarse o restarse el mismo número real a los tres términos, así como multiplicarlos o dividirlos todos por el mismo número (distinto de cero) invirtiendo las inecuaciones según su signo. Debe tenerse cuidado de utilizar en todos los casos el mismo número.

a < b + e < c ⇔ a ‒ e < b < c ‒ e. Esta notación se puede extender a cualquier número de términos:

a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an establece que ai ≤ ai+1 para i = 1, 2, ..., n−1. Ocasionalmente, la notación encadenada se usa con inecuaciones en diferentes direcciones. En ese caso el significado es la conjunción lógica de las desigualdades entre los términos adyacentes.

a < b > c ≤ d significa que a < b, b > c, y c ≤ d. Inecuaciones de primer grado. Se opera de forma análoga a las ecuaciones pero teniendo en cuenta las propiedades de las inecuaciones. Conviene dejar la variable a la izquierda, de esa forma, es más sencilla la interpretación del resultado.

Ejemplo: Resolver:

x − 3 2 x +1 − ≥ −x 2 3 4

2

Se multiplica toda la inecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores.

{

}

x − 3 2 x +1 x −3 2 x +1 − ≥ − x : m.c.m. = 2 2 ⋅ 3 = 12 : 12 ⋅ − 12 ⋅ ≥ 12 ⋅ − 12 ⋅ x 2 3 4 2 3 4 6 ⋅ (x − 3) − 4 ⋅ 2 ≥ 3 ⋅ (x + 1) − 12x

6x − 18 − 8 ≥ 3x + 3 − 12x

: 6x − 26 ≤ 3 − 9x : 6x + 9 x ≤ 3 + 26 : 15x ≤ 29 29 15

x≤

: x ∈  − ∞, 

29  15 

Inecuaciones de grado superior. Se resuelven desigualando la expresión a cero y factorizando y se estudian los signos de los factores. Ejemplo:

Resolver: x 2 − 2 x − 3 ≥ 0

(x + 1) ⋅ (x − 3) ≥ 0

Para que el producto de dos factores sea positivo existen dos posibilidades, o los dos negativos o los dos positivos.  x + 1 ≤ 0 x ≤ −1 : (− ∞, − 1] :  : (− ∞, − 1] ∩ (− ∞, 3] = (− ∞, − 1] x − 3 ≤ 0  x ≤ 3 : (− ∞, 3]  x + 1 ≥ 0 x ≥ −1 : [− 1, + ∞ ) +:  :  : [− 1, + ∞ ) ∩ [3, + ∞ ) = [3, + ∞ ) x − 3 ≥ 0  x ≥ 3 : [3, + ∞ )

•

‒· ‒: 

•

+·

Solución: (− ∞, − 1] ∪ [3, + ∞ )

Otra forma de resolver la inecuación es mediante una tabla de signos, tomando un valor de cada intervalo, sustituyendo en la expresión y comprobando el signo que toma cada factor, así como el signo de toda la expresión: (‒∞, ‒1) x = ‒2 ‒· ‒=+

x = ‒1 0

(‒1, 3) x=0 +· ‒=‒

x=3 0

(3, +∞) x=4 +· +=+

Mayor o igual que cero se cumple en los positivos o en cero, por lo tanto la solución es: Solución: (− ∞, − 1] ∪ [3, + ∞ )

Inecuaciones racionales. Al igual que en las de grado superior, la inecuación se resuelve desigualando la expresión con cero y se estudian los signos de los factores. Ejemplo: Resolver:

2x − 1 ≥1 x −3 2x − 1 2x − 1 2x − 1 − 1 ⋅ (x − 3) x+2 ≥1 : −1 ≥ 0 : ≥0 : ≥0 x −3 x −3 x −3 x −3

Para que el cociente de dos factores sea negativo, se presentan dos opciones: • •

 x ≤ −2 : − x + 2 ≤ 0 :  :  + x − 3 > 0  x > 3:  x ≥ −2 : + x + 2 ≥ 0 :  :  − x − 3 < 0  x