SEPTIEMBRE 1998 INSTRUCCIONES: El examen presenta dos opciones A y B; el alumno deberá elegir una de ellas y contestar razonadamente a los cuatro ejercicios de que consta dicha opción en 1 h. 30 min.

OPCIÓN A 1° (Calificación máxima: 2 puntos). En cada uno de los siguientes apartados indicar un ejemplo que muestre que el enunciado es falso. Justificar la respuesta a) (1 punto)La suma de dos funciones discontinuas es una función discontinua b) (1Punto)Toda función continua es derivable 2° (Calificación máxima: 2 puntos). Calcular: sen x·(1 − sen x) a) Lím π cos ² x x→ 2

2

b)

∫1Ln x·dx

3° (Calificación máxima: 3 puntos). Se dispone de tres cajas A, B y C con monedas de 100 pesetas. Se sabe que en total hay 3600 pesetas. El número de monedas A excede en 2 a la suma de monedas de las otras dos cajas. Si se traslada una moneda de la caja B a la caja A, ésta tendrá el doble de monedas que B. Averiguar cuántas monedas había en la caja 4° (Calificación máxima: 3 puntos).  y = 1+ x , que diste del punto B (1,0,1) doble (1’5 puntos) Hallar un punto A que esté sobre la recta  z = 1 + 2 x que del punto C (0, 0, 0) y que esté por debajo del plano XY b) (1’5 puntos) Hallar la proyección ortogonal de C sobre la recta BP, donde P es el punto en el que la recta dada en el apartado anterior corta al plano YZ.

a)

OPCIÓN B

1° (Calificación máxima: 2 puntos). Determinar, en función de los distintos valores de λ, la posición relativa de los planos: π1 ≡ x + y + λz = 1 π3 ≡ λx + y + z = 1 π2 ≡ 2x + λy = 1 2° (Calificación máxima: 2 puntos). Se considera la ecuación x2 –2y2 – 2x + 8y = 9 a) (1 punto) Probar que es la ecuación de una hipérbola b) (1 punto) Obtener sus semiejes y las ecuaciones de sus asíntotas 0  1    − 2 2 0  3° (Calificación máxima: 3 puntos). Sean las matrices A=  1 − 1 B=   3 −1 1  − 2 2    ( 1 punto) ¿Se cumple la igualdad “rango(A·B) = rango(A)·rango(B)”? Justificar la respuesta a b c  tales que X·A = I, donde I es la matriz b) (1 punto) Encontrar todas las matrices X =  d e f  identidad de orden 2. c) ( 1 punto) ¿Existe alguna matriz Y, cuadrada de orden 2, tal que AY = Bt? (Bt es la matriz traspuesta de B) Justificar la respuesta a)

4° (Calificación máxima: 3 puntos). Se considera un circulo de radio r. a) (2 puntos) Probar que el rectángulo de área máxima inscrito en el círculo dado es un cuadrado b) (1 punto) Considerando el círculo inscrito en dicho cuadrado, calcular el cociente entre las áreas de los círculos