SEPTIEMBRE 1997 INSTRUCCIONES: El examen presenta dos opciones A y B; el alumno deberá elegir una de ellas y contestar razonadamente a los cuatro ejercicios de que consta dicha opción en 1 h. 30 min.

OPCIÓN A 1° (Puntuación máxima: 2 puntos) ¿Hay alguna función f(x) que no tenga límite cuando x→2 y que, sin embargo [f(x)]2 si tenga límite cuando x→2? Si la respuesta es afirmativa, póngase un ejemplo, y si es negativa justifíquese.

2° (Puntuación máxima: 2 puntos) Sea f(x) una función tal que, para cualquiera que sea x > 0 se 0

cumple que

x

∫−x ∫0

f =− f

Pruébese que, entonces, se verifica que f(-x) = .f(x) para todo x > 0

3° (Puntuación máxima: 3 puntos) Discutir, según los valores de m, el sistema de ecuaciones  3x − 2 y + z = m  lineales: 5x − 8 y + 9z = 3 2 x + y − 3z = −1 

4° (Puntuación máxima: 3 puntos) Se consideran dos puntos fijos A(1,−2) y B(−1,2) y otros dos puntos P y Q sobre los ejes coordenados (véase la figura adjunta), que varían de manera que: OQ = 2 ⋅ OP.

Hallar el lugar geométrico que describe el punto M, en el que se cortan las rectas variables AP y BQ.

OPCIÓN B 1° ((Puntuación máxima: 2 Puntos) Se dice que una matriz cuadrada A es ortogonal si se verifica que AAt = I donde At es la matriz traspuesta de A; I es la matriz identidad. Si A y B son dos matrices ortogonales de igual tamaño, analizar si AB es una matriz ortogonal.

2° ((Puntuación máxima: 2 puntos) Se considera un sistema S de m ecuaciones lineales con n incógnitas, que es compatible determinado. Sea S’ el sistema que resulta de prescindir en S de la última ecuación. Contesta de forma razonada: a) ¿Puede ser incompatible el sistema S’? b) ¿Es compatible el sistema S’? c) ¿Ha de ser compatible indeterminado el sistema S’?

3° ((Puntuación máxima: 3 puntos) Sea la función f(x) = x·|x – 1| Se pide: a) Hacer un dibujo aproximado de la gráfica de la función. b) Estudiar la derivabilidad de la función en x = 1. c) Calcular el área limitada por la gráfica de la función f(x), el eje de abscisas y las rectas x = 0; x = 1.

4° ((Puntuación máxima: 3 puntos) Los rayos del sol descienden según la dirección y sentido del vector (-5, -1), en el plano XOY. En el punto A(1, 0) se sitúa un pequeño espejo plano de manera que el rayo de sol que llega a A, tras reflejarse en el espejo, pasa por el punto B(0, 3).

Hallar la ecuación de la recta sobre la que se asienta el espejo.