SEPTIEMBRE 1994 INSTRUCCIONES: El examen presenta dos opciones A y B; el alumno deberá elegir una de ellas y contestar razonadamente a los cuatro ejercicios de que consta dicha opción en 1 h. 30 min. OPCIÓN A 1° ((Puntuación máxima: 2 puntos) Sean A y B dos matrices cuadradas de igual tamaño. Si A y B son simétricas, analícese si, entonces, también los es su producto AB (sí la respuesta es afirmativa, justifíquese; en caso contrario, de sé un contraejemplo que lo confirme) 1 0 0 a 2° (Puntuación máxima: 2 puntos) Calcular el valor del determinante
0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1
3° (Puntuación máxima: 2 puntos) Sabiendo que f(x) y g(x) son dos funciones que tienen límites l y m cuando x → a, pruébese que: lím x→a [f(x)+g(x)] = l + m 4° (Puntuación máxima: 4 puntos) En el espacio (y en ejes OXYZ; El eje OZ es vertical ascendente, el plano OXY es horizontal) se considera la varilla vertical de extremos A (-1,2,9) y A’(−1,2,0). En dos momentos determinados de un mismo día, las sombras que proyecta A sobre el plano OXY son los puntos S1 (4, -3, 0) y S2(1, 6, 0). Se pide: a) La recta que describe la sombra de A a lo largo del día. b) La sombra S0 de A en el momento en el que la sombra de AA ' es mas corta. La sombra S3 de A en el otro momento del día en el que la sombra de AA ' tiene la misma longitud que la sombra S1 A’. (4 puntos)
c)
OPCIÓN B ( x − 1)² Si x ≤ 1 1° ((Puntuación máxima: 2 puntos) Se considera la función f ( x ) = Si x > 1 2 2° (Puntuación máxima: 2 puntos) Comprobar sí las rectas x = 3y, y = x, x + y = 1 forman un triángulo y, en caso afirmativo, hallar su área. (2 puntos) 3° (Puntuación máxima: 2 puntos) Sea A una matriz cuadrada y sea I la matriz unidad. Pruébese que sí A2 + 5A = I, entonces A es una matriz regular. Recuérdese que A es regular si admite función inversa o si tiene determinante no nulo) 4° ((Puntuación máxima: 4 puntos) Se va a confeccionar una dieta con tres clases de alimentos, A, B y C. El alimento A tiene 10 calorías por cada 100 gr, el B tiene 30 calorías por cada 100 gramos y el C 40 calorías por cada 100gr. 1) Si la dieta consta de G gramos de alimento por día, está restringida a exactamente 840 calorías y la cantidad de alimento A ingerida debe ser doble en peso que la de C, hallar en función de G las cantidades que debe ingerirse de cada no de los alimentos. Hallar los valores entre los que está comprendido G para que las condiciones exigidas a la dieta se puedan cumplir.
