´ XLIV SEMANA DE LA MATEMATICA Octubre 2018 Instituto de Matem´ aticas Pontificia Universidad Cat´ olica de Valpara´ıso

CHARLA

Optimizaci´ on Erg´ odica: Introducci´ on, Ejemplos y Teoremas de Revelaci´ on Sebasti´ an Pavez Molina Pontificia Universidad Cat´ olica de Chile

RESUMEN El objeto de estudio de la optimizaci´ on erg´odica es describir las ´orbitas de cierto sistema din´amico que maximizan cierta funci´ on performance dada. En el contexto de esta charla, consideraremos el caso de (X, T ) un sistema din´ amico, con X un espacio m´etrico compacto, f ∈ C(X), y queremos estudiar qu´e ocurre con las ´ orbitas que maximizan el problema: 1 (f (x) + f (T (x)) + ... + f (T n−1 (x))) x∈X n→∞ n

β(f ) = sup l´ım

donde este l´ımite exista. El problema (1) se puede trabajar equivalente como: Z f dµ β(f ) = sup

(1)

(2)

µ∈MT

donde MT denota las medidas de probabilidad T -invariantes. Luego de enunciar algunos resultados en el contexto del problema (2), vamos a hablar en espec´ıfico de un ejemplo conocido en el c´ırculo S 1 . Para finalizar, vamos a hablar de las revelaciones, las cuales son una herramienta bastante u ´til para describir medidas que maximizan (2). REFERENCIAS [1] Bochi, J. Ergodic optimization of Birkhoff averages and Lyapunov exponentes. Proceedings of the International Congress of Mathematicians 2018, Rio de Janeiro, vol. 2, 1821-1842. [2] Jenkinson, O. Ergodic optimization in dynamical systems. arXiv:1712.02307 [3] Jenkinson, O. Ergodic optimization. Discr. Cont. Dyn. Syst. 15 (2006),197-224.

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