Revista Facultad de Ingeniería ISSN: 0717-1072 [email protected] Universidad de Tarapacá Chile

Harnisch V., Ildefonso; Sanhueza H., Raúl; Díaz R., Horacio Despacho Económico con Unidades de Características no Convexas Empleando Algoritmos Genéticos Revista Facultad de Ingeniería, núm. 7, enero-junio, 2000, pp. 13-19 Universidad de Tarapacá Arica, Chile

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REVISTA FACULTAD DE INGENIERIA, U.T.A. (CHILE), VOL.7, 2000

DESPACHO ECONOMICO CON UNIDADES DE CARACTERISTICAS NO CONVEXAS EMPLEANDO ALGORITMOS GENETICOS1 Ildefonso Harnisch V.2

Raúl Sanhueza H.2

Horacio Díaz R.2

RESUMEN Este trabajo presenta una metodología que emplea algoritmos genéticos para resolver el problema de despacho económico. El modelo propuesto considera la existencia de unidades generadoras multivalvulares cuyas funciones de costo son no convexas. La no convexidad de la función de costo no permite la aplicación de métodos tradicionales de solución. En este caso, la aplicación de algoritmos genéticos ha sido exitosa. Ejemplos numéricos demuestran la validez y efectividad de la metodología propuesta.

ABSTRACT This paper presents a methodology that makes use of genetic algorithms for the solution of the economic dispatch problem. The proposed model considers multivalve generating units whith non-convex costs functions. The non convexity of the cost function inhibits the application of traditional solution methods: In these cases, the application of genetic algorithms has been successful. Numerical examples show the validity and effectiveness of the proposed methodology.

drásticamente su eficiencia a medida que aumenta el número de unidades de generación.

INTRODUCCION La operación económica de un Sistema Eléctrico de Potencia (SEP) es un tema de interés para las empresas de generación de Energía Eléctrica debido al creciente costo de los combustibles fósiles no renovables. En particular el problema del despacho económico (DE) consiste en programar la carga de las unidades generadoras térmicas que se encuentran sincronizadas al sistema, para satisfacer la demanda del sistema a mínimo costo.

Dentro de las nuevas metodologías matemáticas utilizadas, entre otros, Po-Hung Chen [6], desarrolla un algoritmo genético binario basado en lambda consiguiendo una rápida convergencia la cual tiene un comportamiento de crecimiento lineal con respecto al tamaño del problema. El algoritmo considera característica de entrada-salida de segundo grado convexa. En este trabajo, se formula un modelo matemático que permite incluir la no convexidad de la función de costo, en el problema de despacho económico en un SEP mediante la aplicación de Algoritmos Genéticos (AG). Se detallan los pasos para su implementación.

Los algoritmos tradicionales para la solución del despacho económico desarrollados en la década de los años 50 y actualmente de amplio uso, se basan en el concepto de igual costo incremental y requieren que las características de entrada - salida de las unidades generadoras sean funciones convexas. Sin embargo, las turbinas a vapor de generadores de gran potencia tienen válvulas de admisión de vapor que se abren en secuencia a medida que la carga aumenta, resultando como consecuencia características de entrada-salida no convexas [1]; y por lo tanto, los algoritmos tradicionales no son aplicables a este caso. Una metodología apropiada es la Programación Dinámica (PD), que no exige convexidad. Sin embargo, el proceso de búsqueda de este procedimiento es exhaustivo, disminuyendo

FUNDAMENTOS DE ALGORITMOS GENETICOS Los AG son algoritmos de búsqueda basados en la evolución natural de las especies [5]. La búsqueda del óptimo global de un problema de optimización se realiza al pasar de una población (generación) antigua de individuos a otra población nueva mediante la aplicación de operadores genéticos. Cada individuo

1

Los autores expresan su reconocimiento al apoyo brindado por el Fondo Nacional de Desarrollo Científico y Tecnológico a través del proyecto FONDECYT Nº1980628 y por la Universidad de Tarapacá al proyecto DIEXA 8724-99.

2

Universidad de Tarapacá, Departamento de Electrónica, [email protected] - [email protected].

Casilla

6-D

Arica

–

Chile,

e-mail:

[email protected]

-

Harnisch, I., Sanhueza, R., Díaz, H.- Despacho

económico con unidades de características...

(cromosoma) representa una solución candidata del problema de optimización, es decir; una población de individuos consiste en un conjunto de soluciones del problema a optimizar. Un individuo es modelado como un "string " de símbolos de longitud fija, usualmente los símbolos corresponden al alfabeto binario, donde cada bit o grupo de bits, representa un valor de alguna variable del problema (gen). Una función de evaluación, llamada función aptitud (fitness), asigna un valor a cada individuo de la población. El valor "fitness" es una medida de la calidad de un individuo. La idea básica consiste en procesar los individuos más aptos mediante operadores genéticos (los que poseen mayores fitness) para producir mejores individuos (descendencia de mayor calidad) a medida que el proceso de búsqueda avanza.

los padres para la siguiente generación. Este procedimiento se repite hasta completar la población intermedia. Cruza Es el principal operador genético y consiste en intercambiar material genético entre un par de individuos de la población intermedia (padres). El operador cruza (recombinación) más simple contempla solo un punto de cruza, que se selecciona aleatoriamente. La cruza no siempre se lleva a cabo en cada par de individuos, su frecuencia se controla por una probabilidad de cruza (pc), que usualmente tiene un valor en el rango de 0.6 a 0.95. Mutación

Los AG son fáciles de programar y pueden ser aplicados a un amplio rango de problemas de optimización, usualmente donde los algoritmos tradicionales no son aplicables o si lo son no es posible encontrar una solución en un tiempo razonable. En relación a otros algoritmos, los AG difieren en los puntos siguientes: 1.

Los AG trabajan con un código de los parámetros del problema y no con los parámetros en sí mismo.

2.

En la de búsqueda del óptimo los AG procesan una población de soluciones candidatas (individuos) y no solamente una única solución.

3.

Los AG no dependen de la existencia de derivadas. Para avanzar hacia el óptimo global la búsqueda es guiada solamente mediante el valor "fitness" de las soluciones candidatas.

4.

Los AG usan reglas de transición probabilísticas y no utilizan reglas de transición determinísticas.

Con el objeto de comprender los conceptos básicos asociados a los AG se presentan sus principales componentes:

El operador mutación se aplica a continuación del operador cruza y consiste en cambiar el valor de una posición elegida aleatoriamente de un "string" (individuo). En el código binario, esto simplemente significa cambiar un 1 a 0 ó viceversa en la posición elegida. Este operador permite la introducción de nuevo material genético en la población; debe ser usado con algún cuidado, con una probabilidad pm que usualmente es menor a 0.1. Algoritmo Se requiere de un poblamiento inicial con la especificación de un conjunto de soluciones del problema a optimizar. El algoritmo de evaluación de fitness procede a evaluar la aptitud de cada individuo, para construir una nueva población que se convierte en candidato al óptimo. construir población inicial de individuos; evaluar el "fitness" de cada individuo; do /* chequea la condición de término */ { construir población intermedia desde población inicial mediante el operador reproducción; do /*construye nueva población */ {

Reproducción Este operador selecciona los individuos y los copia (duplica) de acuerdo a su valor "fitness" para formar una población intermedia, donde esperan para ser procesados (apareados) mediante la aplicación de los operadores genéticos. Se puede construir de varias maneras; entre otras, las más comunes son: selección por ruleta, selección por torneo, selección por jerarquía. En la selección por ruleta a cada individuo se le asigna un sector de una ruleta proporcional a su "fitness". La ruleta se hace girar y el individuo que se encuentre bajo el marcador de la rueda es seleccionado como uno de 14

aplicar operador cruza; aplicar operador mutación; } while (población

intermedia

vacío); evaluar el "fitness" de cada individuo de la nueva población; transformar nueva población en población inicial; } while (condición de término no satisfecha);

REVISTA FACULTAD DE INGENIERIA, U.T.A. (CHILE), VOL. 7, 2000 La condición de término se satisface cuando el proceso ha convergido o se ha logrado el número máximo de generaciones especificadas. El grado de cambio de la calidad de los individuos de la población en generaciones sucesivas puede servir como una medida para la convergencia. El proceso de reproducción promueve la propagación de individuos robustos, pero no produce mejores individuos. El propósito del operador cruza es aparear individuos combinando sus características, creando descendencia de mejor calidad. La mutación mejora la diversidad entre la población. Si se presenta una convergencia prematura a una solución subóptima se puede prevenir con una alta tasa de mutación y así forzar la diversidad entre la población. Sin embargo, la tasa de mutación se debe mantener baja como en las poblaciones naturales, de lo contrario; las soluciones buenas serían destruidas. El diseño de la función "fitness" es dependiente del problema particular de optimización.

El despacho económico busca encontrar el punto óptimo de operación de las unidades térmicas al minimizar el costo total de generación. Las metodologías clásicas de solución del problema se basan en el concepto de igual costo incremental y requieren que las características de entrada-salida de las unidades generadoras sean funciones convexas. El modelo se plantea matemáticamente como: N

(1)

i =1

sujeto a: N

∑P − D − L =0 i

(2)

i =1

Pimin ≤ Pi ≤ Pimax

PFi

dFi (Pi ) = λ Pimin ≤ Pi ≤ Pimax dPi

(4)

PFi

dFi (Pi ) < λ para Pi = Pimax dPi

(5)

PFi

dFi (Pi ) > λ para Pi = Pimin dPi

(6)

PFi es el factor de penalidad de la unida i : PFi =

Las

pérdidas

1 ∂L 1− ∂Pi

increméntales

(7)

∂L , se determinan ∂Pi

mediante la formula de pérdidas en función de los coeficientes B [1,2]:

DESPACHO ECONOMICO

min Fc = ∑ Fi ( Pi )

Para

N

N

N

L = ∑∑ Pi Bij Pj + ∑ B0 i Pi + B00 i =1 j =1

(8)

i =1

ALGORITMO GENETICO PARA EL DESPACHO ECONOMICO El problema de despacho económico, definido en las ecuaciones (1,2,3) se puede considerar como un problema de dos objetivos, la función objetivo y la función desviación de la carga Φ, que se deben satisfacer simultáneamente. Estos objetivos se relacionan través de la función "fitness". N

(3)

Donde Fi(Pi) y Fc son el costo de generación de la unidad i y el costo total de generación, respectivamente. D y L, son la demanda y pérdida total de potencia del sistema.. Pi, Pimax y Pimin, son las potencias generadas por la unidad i y sus respectivos límites, máximo y mínimo. La solución a este problema [1], que se obtiene mediante la aplicación de las condiciones de Karush Kuhn Tucker (KKT) es:

Φ = ∑ Pi − D − L

(9)

i =1

La solución de esta nueva formulación del DE se resolvió mediante un algoritmo genético con representación real [4], considerando las siguientes definiciones: Función Fitness El "fitness" es la única cantidad que el algoritmo explota para realizar la búsqueda de la mejor solución y no necesariamente corresponde a la función objetivo a minimizar, su correcta definición permite una mejor 15

Harnisch, I., Sanhueza, R., Díaz, H.- Despacho

desempeño del algoritmo. empleada se indica en (10):

   1 + "fitness" =   1 + 

La

económico con unidades de características...

función

k r F + a|Φ | c r k r F +b|Φ | c r

; Φ

“fitness”

r

Se ensayo con diferentes operadores de cruza, siendo la cruza heurística [4] la de mayor efectividad.

≥0 (10)

; Φ