APUNTE: Progresiones Aritméticas Aritméticas UNIVERSIDAD NACIONAL DE RIO NEGRO Asignatura: Matemática 2 Carreras: Lic. en Administración, Lic. en Turismo, Lic. en Hotelería Profesor: Prof. Mabel Chrestia Semestre: 2do Año: 2015 Definición Una progresión aritmética (P.A.) es una sucesión tal que cada término de obtiene sumando un número constante al anterior. Este número constante se llama razón de la P.A. Ejemplos: 1) La sucesión 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, … es una P.A. de razón r = 3 . Esta sucesión puede escribirse por comprensión así:

a1 = 2  an = an−1 + 3

∀n > 1

Vemos que el término general es a n = 2 + 3( n − 1) 2) La sucesión 4, 2, 0, -2, -4, -6, … es una P.A. de razón r = −2 . Esta sucesión puede escribirse por comprensión así:

a1 = 4  an = an−1 − 2

∀n > 1

Vemos que el término general es a n = 4 + ( −2)( n − 1) Fórmula del término enésimo de una P.A. Si a ( n) = {a n } = a1 , a 2 , a3 , L a n , a n +1 , L es una P.A. entonces el término enésimo o término general es igual a: a n = a1 + r ⋅ (n − 1) Observación: en algunos casos se consideran P.A. con un número finito de términos, o sea, podemos tomar una parte de la sucesión. Ejemplos:

 1  el primer término es 1. ¿Cuál es el sexto término?  2 3 1 1 5 Como a n = a1 + r ⋅ (n − 1) y a1 = 1 , r = − y n = 6 tenemos que a6 = 1 − (6 − 1) = 1 − = − 2 2 2 2 1) En una P.A. de razón  −

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1

3 y 1 . ¿Cuál es el primer término? 7  3  10 Como la razón es la diferencia entre dos términos consecutivos, tenemos que r = 1 −  −  =  7 7 93 10 Además: n = 11 y a11 = 1 . Entonces: a1 = a n − r (n − 1) = 1 − (11 − 1) = − 7 7 2) En una P.A. de once términos los dos últimos son −

3) El primero y el quinto términos de una P.A. son

1 3 y − . Calcular la razón. 10 4 3 1 34 − − − 17 r = 4 10 = 10 = − 80 5 −1 4

a n − a1 n −1 2 18 4) ¿Cuántos términos tiene una P.A. de razón sabiendo que el segundo término es cero y el último es ? 5 5 2 2 Si a 2 = 0 y r = entonces a1 = a 2 − r = − 5 5 18  2  −−  a n − a1 5  5 Como a n = a1 + r ⋅ (n − 1) entonces n = +1 n= + 1 = 11 2 r 5 Como a n = a1 + r ⋅ (n − 1) entonces r =

Problemas de aplicación (I) Depreciación de una máquina Una fábrica compra una maquinaria a 1700 dólares. El valor de la máquina se deprecia anualmente en 150 dólares y su valor de desecho es de 200 dólares. ¿Cuál es la vida útil de la máquina? Solución: Debemos hallar el número de años después de los cuáles el valor de la máquina se ha reducido a un valor de desecho de 200 dólares. Dado que el valor de la máquina se deprecia 150 dólares cada año, su valor al finalizar el primer año será (1700 − 150) = 1550 , al finalizar el segundo año será (1700 − 2 ⋅150) = 1400 , al finalizar el tercero será

(1700 − 3 ⋅150) = 1250 , y así sucesivamente. Podemos formar una P.A. con estos valores, siendo a1 = 1550 , a 2 = 1400 , a3 = 1250 , … La razón es la diferencia entre dos términos consecutivos. Por ejemplo: r = a2 − a1 = 1400 − 1550 = −150 El término general es: a n = a1 + r ⋅ (n − 1) = 1550 − 150( n − 1) Para hallar la vida útil de la máquina debemos averiguar en cuántos años se convertirá en desecho, es decir, cuando a n = 200 . Entonces: a n = 1550 − 150(n − 1) = 200 Despejando n de esta expresión obtenemos: n = 10 . Por lo tanto, la vida útil de la máquina es de 10 años.

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(II) Interés Simple Supongamos que disponemos de un capital y lo depositamos en un banco que nos otorga un tanto por ciento anual de intereses y podemos optar por la capitalización o no de los intereses. En el caso del Interés Simple significa que optamos por la no capitalización de los intereses. Supongamos que nuestro capital inicial es C0 . Entonces: -

al cabo de un año tendremos un capital C1 = C 0 + C 0 I

-

al cabo de dos años tendremos un capital C 2 = C1 + C0 I = C0 + 2C0 I

-

al cabo de tres años tendremos un capital C3 = C 2 + C0 I = C0 + 3C 0 I y así sucesivamente.

Al cabo de n años tendremos un capital C n = C 0 + n.C0 I o lo que es equivalente: C n = C1 + ( n − 1)C0 I que es una P.A. de razón C0 I . Por ejemplo, supongamos que disponemos de 20.000$ y lo depositamos en un banco a una tasa del 8 % anual. ¿Cuánto dinero tendremos al cabo de 5 años? En este caso el primer término es C0 = 20.000 y la razón C0 I = 20000 ⋅ 0,08 = 1600 . Al cabo de 5 años tendremos: C5 = C1 + (5 − 1)C0 I = 21600 + 4 ⋅1600 = 28000 Ejercicios: 1) Escribir los seis primeros términos de las siguientes P.A.: a) a1 = 3 ;

r=

1 2

b) a1 = −

1 2

a) a 7 = −8 ;

2) Calcular la razón si:

3) Calcular el término enésimo si: a) a1 = −5 ; 4) Calcular el primer término si: 5) Calcular la razón si:

; r=

a) a n = 9

a) a1 =

7 8

1 4

c) a1 = 3

a8 = −14

b) a3 =

6) Calcular la cantidad de térm. si: a) a1 = 10

; a6 =

2 3

r = 2 ; n = 21 b) a1 = −7 ; r = −4 ; n = 10

; r = −2 ; n = 52

; an =

7 6

; r=2 3

7 4

; n = 15

; a n = 28 ; r =

b) a n = 25 ;

b) a1 = 1,8 ;

r =3 ; n=9

a n = 14,2 ; n = 10

1 3 b) a1 = − 3 ; a n = 2 4

;r = 3

7) La suma de tres términos consecutivos en una P.A. es 30, y la suma de sus cuadrados es 318. ¿Cuáles son los números? (Rta: 7, 10 y 13)

Suma de los n primeros términos de una P.A. La suma de los n primeros términos de una P.A. es igual a la semisuma del primer y enésimo términos, por la cantidad n de términos. n

(a1 + a n ) ⋅ n

i =1

2

S n = ∑ ai = a1 + a 2 + L + a n =

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Demostración) Si S n es la suma de los n primeros términos de la P.A. entonces: S n = a1 + a2 + a3 + L + an −2 + an −1 + an Por la propiedad conmutativa podemos escribir que:

S n = an + an−1 + an−2 + L + a3 + a2 + a1

Sumando ambas igualdades miembro a miembro:

S n + S n = (a1 + an ) + (a2 + an−1 ) + (a3 + an−2 ) + ... + (an− 2 + a3 ) + (an−1 + a2 ) + (an + a1 )

(*)

Veamos que cada término entre paréntesis de la expresión (*) es igual a (a1 + an ) : El término (a2 + an−1 ) se puede escribir como: (a1+1 + an−1 ) El término (a3 + an −2 ) se puede escribir como: (a1+ 2 + an−2 ) El término (a4 + an−3 ) se puede escribir como: (a1+3 + an−3 ) En general: el término (ak + an− h ) se puede escribir como: (a1+ h + an− h ) Ahora, aplicando la fórmula del término general que dice que a n = a1 + r ⋅ (n − 1) tenemos que:

a1+ h = a1 + r ⋅ (1 + h − 1) = a1 + r ⋅ h an− h = a1 + r ⋅ (n − h − 1) = a1 + r ⋅ (n − 1) − r ⋅ h Entonces:

a1+ h + an−h = [a1 + r ⋅ h] + [a1 + r ⋅ (n − 1) − r ⋅ h] = a1 + [a1 + r ⋅ (n − 1)] = a1 + an

Por lo tanto, todos los términos entre paréntesis de la expresión (*) equivalen a (a1 + an ) . Luego, la expresión (*) nos queda: 2 ⋅ S n = (a1 + an ) ⋅ n

Sn =

(a1 + an ) ⋅ n 2

Ejemplos: 1) Calcular la suma de los 12 primeros términos de una P.A. cuyos dos primeros términos son 3 y 2,8. Primero hallamos la razón, que es igual a la diferencia entre los dos primeros términos. Es decir r = 2,8 − 3 = −0,2 Luego hallamos el último término. Como a n = a1 + r ⋅ (n − 1) entonces a12 = 3 + (−0,2)(12 − 1) = 0,8 12

Entonces S12 =

∑a i =1

i

= a1 + a 2 + L + a12 =

(a1 + a12 ) ⋅12 = (3 + 0,8) ⋅12 = 22,8 2

2

2) Escribir los doce primeros términos de la P.A. anterior y verificar que la suma obtenida es la correcta. Los doce primeros términos son: 3 ; 2,8 ; 2,6 ; 2,4 ; 2,2 ; 2 ; 1,8 ; 1,6 ; 1,4 ; 1,2 ; 1 ; 0,8 La suma es: 3 + 2,8 + 2,6 + 2,4 + 2,2 + 2 + 1,8 + 1,6 + 1,4 + 1,2 + 1 + 0,8 = 22,8

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