SEÑALES Y SISTEMAS. PROBLEMAS RESUELTOS. CAPITULO V PROBLEMA 1: Problema Nº 5.34 Oppenheim Observe el siguiente sistema:

Determine y(n) Solución: El trayecto de arriba produce , al multiplicar por 2Cos(πn/2), traslación del espectro de x(n). Recordemos que el coseno se puede expresar como la suma dos exponenciales complejas; por lo tanto aplicando el teorema de modulación cada exponencial traslada el espectro en + ó - π/2. El resultado de este modulador es la suma de estas dos traslaciones, como se muestra a continuación:

Este espectro debe ser modificado por el filtro h4(n) el cual produce una función de transferencia unitaria entre -π/2 y π /2 y cero en el resto. El espectro resultante será:

Por el trayecto inferior solo queda el espectro de x(n) trasladado de la siguiente forma:

Al sumar con la contribución del trayecto superior el espectro queda que y(n)=δ(n)+(Sen0.5πn)/πn

PROBLEMA 2: Problema Nº 5.36 Oppenheim Se quiere diseñar un sistema LIT que al excitarlo con x(n) = (0.5)n u(n) - 0.25(0.5)(n-1) u(n-1), produzca a la salida y(n)= (1/3)n u(n). Transformando tanto x(n) como y(n) tendremos X(Ω) = ((1-0.25e-jΩ)/(1-0.5e-jΩ)) Y(Ω) = (1/(1-(1/3)e-jΩ)) Así:

A+B=1 -0.25B-(1/3)A=0 -0.25(1-A) -(1/3)A=0

A(0.25-(1/3))=0.25 En este caso la respuesta impulsiva sería: h(n)= A (0.25)n u(n) + B(1/3)n u(n) - 0.5A(0.25)n-1 u(n-1) -0.5B(1/3)n-1 u(n-1) b) Para encontrar la ecuación en diferencias de este sistema se toma la definición de H(Ω) Esto significa que: Y(Ω)((1-0.25e-jΩ)(1-(1/3)e-jΩ))=(1-0.5e-jΩ)X(Ω) Desarrollando: Y(Ω)( 1-((0.25)+(1/3))e-jΩ+(0.25)(1/3)e-j2Ω)=(1-0.5e-jΩ)X(Ω) Antitransformando: y(n)- ((0.25)+(1/3))y(n-1)+(0.25)(1/3)y(n-2)= x(n) -0.5x(n-1) PROBLEMA 3: Problema Nº 5.20 Oppenheim Sea X(Ω)= A (Ω) + jB(Ω) Si Y(Ω)=( A (Ω) ejΩ+ B(Ω)) Determine y(n) en función de x(n) X(Ω) + X*(Ω)= 2A (Ω) X(Ω) - X*(Ω)= 2jB(Ω) Por lo tanto Y(Ω)=0.5ejΩ(X(Ω) + X*(Ω))+0.5(X(Ω) - X*(Ω)) Por propiedades y(n)= 0.5x(n+1)+0.5x*(-n-1)+0.5x(n)-0.5x*(-n) PROBLEMA 4: Determine la transformada de la siguiente secuencia (evaluada en Ω=2πk/N):

PROBLEMA 5: Cuando un sistema es alimentado por una secuencia x(n) cuya transformada es X( Ω ) = j Sen 2Ω, la secuencia de salida es la siguiente : y(n) = (0.5)(n-3) u(n-3) - (0.5)(n+1) u(n+1) a) Determine la secuencia de salida y1(n) de este sistema cuando la entrada es x1(n)= Cos(2πn/6) b) Determine la secuencia de salida y2(n) de este sistema cuando la entrada es x2(n)= u(n)Cos(2πn/6) c) Determine la secuencia de salida y3(n) de este sistema cuando la entrada es x3(n)= (0.25)nu(n) Solución: Al transformar la secuencia de salida

a) La secuencia de salida para una entrada del tipo x(n)= Cos(2π/6)n será

y(n)= |H(2π/6)|Cos( (2π/6)n+ arg(H(2π/6)) b) Para una excitación tipo coseno truncado, no se puede usar el mismo método de la parte a). Una forma sería conseguir la salida usando convolución entre h(n) y x(n). Primero se consigue h(n) como la antitransformada de H(Ω ). Utilizando tablas y propiedades: h(n)=-2(0.5)(n-1)u(n-1) La convolución de h(n) y x(n) tiene la siguiente expresión:

Estas sumatorias se pueden calcular usando las fórmulas cerradas . Si se hubiese elegido el camino de hacerlo por frecuencia efectuando la multiplicación de H(Ω ) .X( Ω ) y luego antitransformando resultaría largo. c) Para la excitación exponencial decreciente, se puede realizar el producto H. X y luego antitransformar.

PROBLEMA 6: Diseñe un filtro FIR de longitud 7 con Fcorte= 250 Hz, sabiendo que fs = 1KHz Como la frecuencia de muestreo es de 1KHz, 2π en el espectro de la señal discreta representará 1Khz, por lo tanto 250 Hz representará π/2. Es decir el diseño del filtro debe respetar una respuesta en frecuencia constante y unitaria entre 0 y π /2. En ese caso la respuesta impulsiva tendrá los siguientes valores:

h(-3) = (-1/(3π)); h(-2) = 0=h(2); h(-1) = (1/ π) = h(1); h(0)= 0.5 PROBLEMA 7: Dado el siguiente sistema:

Determine y(n) cuando x(n) es la siguiente secuencia periódica:

El sistema es alimentado por una secuencia con período N=7. Como el primer subsistema H1(Ω) deja pasar todas las 7 componentes espectrales, es el segundo subsistema H2(Ω) el que definirá cuales líneas espectrales apareceran a la salida. Estas serán las que cumplan:

Como k debe ser entero, el único valor que satisface la relación anterior es k=2. Considerando el lado negativo, también será posible k=-2. En definitiva solo pasarán las líneas espectrales corrrespondientes a k=2 y k=-2. El coeficiente C2 y el C-2 son complejos conjugados. Basta calcular solo uno de ellos.

La salida será entonces:

PROBLEMA 8: Determine la respuesta impulsiva del siguiente sistema:

Para encontrar la respuesta impulsiva del sistema primero conseguiremos la respuesta en frecuencia y luego antitransformamos. La respuesta en frecuencia se calculará usando la señal intermedia x1(n).

Por otra parte

Solo faltaría antitransformar PROBLEMA 9: (Solo se resuelven a) y b) se propone resolver la c)) Sea X(Ω)=Cos Ω para

-0.5π