PROBLEMAS RECTA PLANO Existe varios tipos generales de problemas con los elementos punto, recta y plano: i. ii. iii. iv. v. vi. vii. viii. ix. x. xi. xii.

Recta paralela a dos planos secantes que pasa por un punto Recta perpendicular a un plano que pasa por un punto Plano perpendicular a una recta que pasa por un punto Proyección de un punto sobre una recta Proyección de un punto sobre un plano Proyección de una recta sobre un plano Simétrico de un punto respecto de otro punto Simétrico de un punto respecto de una recta Simétrica de una recta respecto de un plano Recta que se apoya en dos rectas conocidas que no se cortan y que pasa por un punto Recta que se apoya en dos rectas conocidas que no se cortan y es paralela a otra Perpendicular común a dos recta que se cruzan y no se cortan

i.

Recta paralela a dos planos que pasa por un punto.

Datos: • Ecuaciones de los planos π1 ≡ A1x + B1y + C1z + D1 = 0, y π2 ≡ A2x + B2y + C2z + D2 = 0 • Coordenadas de punto P = (xo, yo, zo) La mínima determinación lineal de una recta es un punto y un vector, el punto es conocido del enunciado y el vector de dirección de la recta r se puede calcular como producto vectorial de los vectores característicos de los planos π1 y π2, ya que según se observa en el dibujo, la recta r debe de ser paralela a la recta intersección de los dos planos, que a su vez, y por estar contenida en ellos, es perpendicular a los vectores característicos de ambos planos y por tanto el vector de dirección de la recta r debe de ser perpendicular a estos vectores (n 1 , n 2 ) .

d r ⊥ n1   ⇒ d r = n1 × n 2 dr ⊥ n2 B C1 A 1 d r = (A 1 , B1 , C1 )× (A 2 , B 2 , C 2 ) =  1 ,−  B2 C 2 A 2 d r = (d 1 , d 2 , d 3 )

C1 A 1 , C2 A 2

B1 B2

   

Conocido el punto de la recta(P) y su vector de dirección, la ecuación de la recta r es:

P = (x o , y o , z o )  x − xo y − yo z − zo = = :r ≡ d r = (d 1 , d 2 , d 3 ) d1 d2 d3

1

Ejemplo: Calcular la ecuación de la recta paralela a los planos π1 ≡ x + y − z +1 = 0 y π2 ≡ 2x − y −z + 2 = 0, que pasa por el punto P (2, 2, −1). Solución. P = (2, 2, − 1) r : r r r d r = n 1 × n 2

r  1 −1 1 −1 1 1  r r d r = n 1 × n 2 = (1, 1, − 1)× (2, − 1, − 1) =  ,− , ,  = (− 2 ,−1, − 3) (2, 1, 3)  −1 −1 2 −1 2 −1  x − 2 y − 2 z +1 r≡ = = 2 1 3

ii.

Recta perpendicular a un plano que pasa por un punto. Datos: • Ecuación del plano π ≡ Ax + By + Cz + D = 0 • Coordenadas de punto P = (xo, yo, zo)

Como se observa en el dibujo, la recta r buscada es paralela a la dirección normal del plano y por tanto el vector de dirección de la recta es igual o proporcional al vector característico del plano (n ) . Por otro lado, el punto P pertenece a la recta r.

x − x o y − yo z − zo  P = (x o , y o , z o ) r: ⇒r= = = A B C d r = n = (A, B, C ) Ejemplo: Recta perpendicular al plano π ≡ 2x − y + z −1 = 0, que pasa por el punto P (1, −2, 2). Solución. La mínima determinación lineal de la recta r (un punto y un vector), la obtenemos del vector normal del plano, que es paralelo al vector de dirección de la recta y del punto P de la recta.  P = (1, − 2, 2 ) x −1 y + 2 z − 2 r: ⇒r= = = d = n = ( 2 , − 1 , 1 ) 2 −1 1 r 

iii.

Plano perpendicular a una recta que pasa por un punto. Datos:

x − x o y − yo z − zo = = u1 u2 u3 • Coordenadas de punto A = (a1, a2, a3) Como se observa en el dibujo, el plano π buscado es perpendicular a la recta conocida r, por tanto el vector normal del plano es paralelo al vector de dirección de la recta. r r n = d r = (u 1 , u 2 , u 3 ) Conocido el vector normal al plano y un punto del plano (A), la ecuación del plano se puede determinar de varias formas. Una forma sencilla es mediante el producto escalar. Si P(x, y, z) es un punto genérico del plano π buscado, y A(a1, a2, a3) también pertenece a π el r segmento AP debe ser perpendicular al vector normal del plano ( n ), por tanto su producto escalar debe ser cero. r n o AP = 0 (u 1 , u 2 , u 3 ) o (x − a 1 , y − a 2 , x − a 3 ) = 0 Operando y ordenando se obtiene la ecuación general del plano. •

Ecuación de la recta r ≡

2

Ax + By + Cz + D = 0 x−2 y Ejemplo: Plano perpendicular a la recta r ≡ = = z + 1 que contiene al punto A (2, 0, ‒1). −1 2 Solución. r r n = d r = (− 1, 2, 1) π:  A = (2, 0, − 1) Cualquier punto genérico P(x , y, z) del plano buscado, formará con el punto A un vector perpendicular la plano, por lo tanto el producto escalar de este con el normal del plano debe ser nulo. r AP o n = 0

(x − 2, y, z + 1) o (−1, 2, 1) = 0 −1(x − 2) + 2y + 1(z + 1) = 0 π ≡ −x + 2y +z + 3 = 0

iv.

Proyección de un punto sobre una recta. Datos: • •

y − yo z − zo = = u1 u2 u3 Coordenadas del punto P (x1, y1, z1). Ecuación de la recta. r ≡

x − xo

Como se observa en el dibujo, el segmento MP (siendo M un punto genérico de r), es r perpendicular al vector de dirección de la recta r, por lo que el producto escalar MP o d r = 0 .

 x = x o + u1λ  M ∈ r ≡:  y = y o + u 2 λ ⇒ M = (x o + u 1 λ, y o + u 2 λ, z o + u 3 λ ) x = z + u λ o 3  MP = (x 1 − x o − u 1 λ, y 1 − y o − u 2 λ, z 1 − z o − u 3 λ ) r Igualando el producto escalar del segmento MP o d r a cero se halla el valor del parámetro que permite calcular el punto P. x +3 y−2 z−3 Ejemplo: Calcular la proyección de P (3, 2, −1) sobre la recta r ≡ = = 5 −3 −2 Solución. x = −3 + 5λ  M ∈ r ≡:  y = 2 − 3λ ⇒ M (− 3 + 5λ, 2 − 3λ, 3 − 2λ )  z = 3 − 2λ  MP = (3, 2, − 1) − (− 3 + 5λ, 2 − 3λ, 3 − 2λ ) = (6 − 5λ, 3λ, − 3 + 2λ ) r r MP ⊥ d r ⇒ MP o d r = 0

(6 − 5λ,

3λ, − 3 + 2λ ) o (5, − 3, − 2 ) = 0

(6 − 5λ ) ⋅ 5 + 3λ ⋅ (− 3) + (− 4 + 2λ ) ⋅ (− 2) = 0

30 − 25λ − 9λ + 8 − 4λ = 0

38 − 38λ = 0

M(− 3 + 5 ⋅1, 2 − 3 ⋅1, 3 − 2 ⋅1) = (2, − 1, 1)

3

λ =1

v.

Proyección de un punto sobre un plano. Datos:

• •

Ecuación del plano. Ax + By + Cz + D = = Coordenadas del punto P (x1, y1, z1).

Como se observa en el dibujo, el punto M (proyección de P sobre π), se calcula como intersección del plano π con la recta r, perpendicular a π que pasa por P.

 π ≡ Ax + By + Cz + D = 0 r r  M :  r ⊥ π ⇒ d r = n π  r:  : r ≡ (x, y, z ) = (x 1 , y1 , z 1 ) + (A, B, C ) ⋅ λ    P ∈ r   La solución del sistema formado por π y por r se puede hacer de varias formas, una sencilla es sustituyendo las ecuaciones paramétricas de la recta en la ecuación general del plano, despejar el parámetro, y con ese valor obtener el punto en la ecuaciones paramétricas de la recta. Ejemplo: Calcular la proyección de P (2, 1, 1) sobre π ≡ x + y + z − 1 = 0. Solución. π ≡ x + y + z − 1 = 0 r r  M :  r ⊥ π ⇒ d r = n π = (1, 1, 1) r:  : r ≡ (x , y, z ) = (2, 1, 1) + (1, 1, 1) ⋅ λ    P(2, 1, 1) ∈ r   Teniendo en cuenta que M pertenece al plano y a la recta, sus coordenadas deben cumplir las ecuaciones de ambos.  π ≡ x m + y m + z m −1 = 0    x = 2 + λ m   M:  3 + 3λ = 0 λ = −1  : 2 + λ + 1 + λ + 1 + λ −1 = 0 r :  ym = 1+ λ     z m = 1 + λ   Conocido el valor del parámetro, se sustituye en las ecuaciones paramétricas, y se calculan las coordenadas de M, proyección de P sobre r. x m = 2 + (− 1) = 1  M :  y m = 1 + (− 1) = 0 ⇒ M = (1, 0, 0 )  z = 1 + (− 1) = 0  m

4

vi.

Proyección de una recta sobre un plano. La proyección ortogonal de la recta r sobre el plano π es la recta r’, como muestra la figura. Datos: x − x o y − yo z − zo • Ecuación de la recta. r ≡ = = u1 u2 u3 • Ecuación del plano. π ≡ Ax + By + Cz + D = 0 El problema se puede resolver de dos formas distintas.

1ª. La recta buscada (r’) se obtiene como intersección de dos planos (π y σ), como muestra la figura. El plano π es sobre el que se proyecta (π ≡ Ax + By + Cz + D = 0), el plano σ debe cumplir dos condiciones, debe contener a la recta r y debe ser perpendicular al plano π. r   d r (u 1 , u 2 , u 3 ) σ r ⊂ σ ⇒  σ: A(x o , y o , z o ) ∈ σ  π ⊥ σ ⇒ nr (A, B, C ) σ π  El plano σ se obtiene con la mínima determinación lineal (un punto y dos vectores). x − xo y − yo z − zo

σ≡

u1

u2

u3

A

B

C

=0

Desarrollando por los elementos de la 1ª fila se obtienen la ecuación general del plano σ. u u u u u u (x − x o ) 2 3 − (y − y o ) 1 3 + (z − z o ) 1 2 = 0 B C A C A B Operando y ordenando σ ≡ A ' x + B' y + C' z + D' = 0 Conocidos π y σ, se obtiene r’ como intersección de ambos.  Ax + By + Cz + D = 0 r' ≡  A' x + B' y + C' z + D' = 0 Las ecuaciones paramétricas de r’ se obtienen resolviendo el sistema compatible indeterminado. Ejemplo: Calcular la proyección ortogonal de r :

x −1 y +1 z − 2 sobre π ≡ x − y + 2z − 1 = 0. = = 2 −1 1

Solución. La recta buscada r’ se obtiene por intersección de planos  π : x − y + 2z − 1 = 0   x −1 y +1 z − 2  A(1, − 1, 2)∈ σ  r ' :  r ⊂ σ ⇒  r σ: −1 1 =0 d r (2, − 1, 1) σ ⇒ σ ≡ 2      π ⊥ σ ⇒ n π (1,−1,2) σ 1 −1 2

Desarrollando el determinante por los elementos de la 1ª fila, operando y ordenando:

π : x − y + 2z − 1 = 0 r':   σ : x + 3y + z = 0

5

Para obtener las ecuaciones paramétricas de r’ se resuelve el sistema compatible indeterminado. Tomando la variable y como constante y transformándola en un parámetro (λ):

 π : x + 2z = 1 + λ r':  σ : x + z = −3λ Resolviendo por Cramer se obtienen las ecuaciones paramétricas, y de estas, si hace falta la ecuación continua:

x=

1+ λ 2 − 3λ 1 1 2

=

1 + 7λ = −1 − 7 λ −1

z=

1 1

1 1+ λ 1 − 3λ 1 2

=

− 1 − 4λ = 1 + 4λ −1

1 1 x = −1 − 7λ x +1 z −1  r' :  y = λ : r' : =y= − 7 4  z = 1 + 4λ 

2ª. La recta r’ buscada se obtiene mediante dos puntos (M y A’), como muestra la figura. M es la intersección de r y π, y A’ es la proyección de cualquier punto de la recta sobre el plano π, por ejemplo el punto A.

 Punto M r' :  r d' r = A' M Ejemplo: Calcular la proyección ortogonal de r :

x −1 y +1 z − 2 = sobre π ≡ x − y + 2z − 1 = 0. = 2 −1 1

Solución. r’ se obtiene a partir de dos puntos M y A’. M intersección de r y π.   x = 1 + 2λ    r : y = −1 − λ M:     z = 2+λ π : x − y + 2z − 1 = 0

Para hallar las coordenadas de M se busca el valor del parámetro λ, teniendo en cuenta que el punto buscado (M) pertenece a la recta y al plano y por tanto cumple las ecuaciones de ambos. Sustituyendo las paramétricas de r particularizadas en M en la ecuación del plano se obtienen λm (valor del parámetro en M).   x m = 1 + 2λ m    r :  y m = −1 − λ m M: ⇒ (1 + 2λ m ) − (− 1 − λ m ) + 2 ⋅ (2 + λ m ) − 1 = 0  z = 2+λ  m  m π : x m − y m + 2z m − 1 = 0 5 + 5λ m = 0 ⇒ λ m = −1

x m = 1 + 2 ⋅ (− 1) = −1  M :  y m = −1 − ⋅(− 1) = 0 : M = (− 1, 0, 1)  z = 2 + ⋅(− 1) = 1  m A’ se obtiene como proyección de cualquier punto de r (excepto M) sobre π, en este caso A. A’ se calcula como intersección del plano π con la recta s, perpendicular a π que pasa por A.

6

  x = 1+ µ A(1, − 1, 2 ) ∈ s    r s :  ⇒ s :  y = −1 − µ A ' :  s ⊥ π ⇒ d s = n π = (1, − 1, 2 ) z = 2 + 2µ   π : x − y + 2z − 1 = 0 Sustituyendo las paramétricas de s particularizadas en A’ en la ecuación del plano se obtienen µ’ (valor del parámetro en A’).   a '1 = 1 + µ'    s : a ' = −1 − µ' A' :   2 ⇒ (1 + µ') − (− 1 − µ') + 2 ⋅ (2 + 2µ') − 1 = 0   a ' 3 = 2 + 2µ' π : a '1 −a ' 2 +2a ' 3 −1 = 0 5 5 + 6µ' = 0 ⇒ µ' = − 6   5 1  a '1 = 1 +  −  =  6 6  1   5 1 1 1 A ' :  a ' 2 = −1 −  −  = − ⇒ A' =  , − ,  6 6    6 6 3    5 2 1 a ' 3 = 2 + 2 − 6  = 6 = 3    1 1 1 Conocidos A ' =  , − ,  y M = (− 1, 0, 1) se calcula r’.  6 6 3  M = (− 1, 0, 1) x +1 z −1  1 −1 1  −7 1 2  r' :  =y= ⇒ r': A' M =  − 1 − , 0 − ,1−  =  , ,  (− 7, 1, 4 ) − 7 4  6 6 3  6 6 3 

vii.

Simétrico de un punto respecto de otro punto.

Datos:

•

Coordenadas de A y de M

El simétrico de un punto respecto de otro se obtiene por la definición de punto medio, como muestra la figura. Si A’ es el simétrico de A respecto de M, M será el punto medio del segmento A ' A , y por tanto sus coordenadas deben cumplir:  a + a '1 a 2 + a ' 2 a 3 + a ' 3 M(x m , y m , z m ) =  1 , , 2 2  2 Igualando por componentes, se despejan las coordenadas de A’

a 1 + a '1 2 a '1 = 2 x m − a 1 a 2 + a'2 = ⇒ a ' 2 = 2y m − a 2 2 a ' 3 = 2z m − a 3 a + a'3 = 3 2

xm = ym zm

7

  

Ejemplo: Calcular el simétrico de A (2, −1, 0) respecto de M (−1, 2, 4). Solución: Si A’ es el simétrico de A respecto de M, entonces M es el punto medio del segmento A ' A , y por tanto: a + a '1 xm = 1 2 a '1 = 2 x m − a 1 = 2 ⋅ (− 1) − 2 = −4 a 2 + a'2 ym = ⇒ a ' 2 = 2 y m − a 2 = 2 ⋅ 2 − (− 1) = 5 ⇒ A ' = (− 4, 5, 8) 2 a ' 3 = 2z m − a 3 = 2 ⋅ 4 − 0 = 8 a + a'3 zm = 3 2

viii.

Simétrico de un punto respecto de una recta.

Datos:

• •

x − x o y − yo z − zo = = u1 u2 u3 Coordenadas del punto P(p1, p2, p3). Ecuación de la recta. r ≡

El simétrico de P respecto de r (P’) se calcula como simétrico de P respecto de M, siendo M la proyección ortogonal de P sobre r como se observa en la figura. Pasos: r r 1) Se calcula M con la condición de MP ⊥ d r ⇒ MP o d r = 0 2) Conocidos P y M se calculan las coordenadas de P’ con las ecuaciones del punto medio de un segmento. Ejemplo. Calcular el simétrico de P(2, −1, 3) respecto de r :

x −1 = y = z +1 2

Solución:

 x = 1 + 2λ  1) Teniendo en cuenta que el punto M pertenece a la recta r de ecuaciones r ≡  y = λ , las z = −1 + λ  coordenada del punto M(genérico) serán: M (1 + 2λ, λ,−1 + λ )

r MP o d r = 0

MP = (1 − 2λ, − 1 − λ, 4 − λ )

(1 − 2λ,

− 1 − λ, 4 − λ ) o (2, 1, 1) = 0

(1 − 2λ ) ⋅ 2 + (− 1 − λ ) ⋅1 + (4 − λ )⋅1 = 0

6λ − 5 = 0 :

λ=

5 6

5 11   x = 1+ 6 = 6  5  11 5 - 1  M: y= ⇒M= , ,  6 6 6 6  z = −1 + 5 = − 1 6 6  2) Se calculan las coordenadas de P’ con las ecuaciones del punto medio de un segmento.

8

 x p + x p' y p + y p' z p + z p ' M= , ,  2 2 2 

x p + x p'  11 5 ⇒ x p' = 2 x m − x p = 2 − 2 =  xm = 2 6 3  y + y p'   5 8  : ym = p ⇒ y p ' = 2 y m − y p = 2 − (− 1) =  2 6 3   z p + z p' −1 − 10  ⇒ x p ' = 2z m − z p = 2 −3 = z m = 2 6 3 

 5 8 − 10  P' =  , ,  3 3 3 

ix.

Simétrico de un punto respecto de un plano.

Datos: • Ecuación del plano. π ≡ Ax + By + Cz + D = 0 • Coordenadas del punto P(p1, p2, p3).

El simétrico de P respecto de π (P’) se calcula como simétrico de P respecto de M, siendo M la proyección ortogonal de P sobre π como se observa en la figura. Pasos: 1) Se calcula la recta r, perpendicular a π que contiene a P 2) Se calcula M como intersección de r y π. 3) Conocidos P y M se calculan las coordenadas de P’ con las ecuaciones del punto medio de un segmento. Ejemplo. Calcular el simétrico de P(1, 1, 3) respecto de π ≡ x + 2y + z −3 =0 Solución: r  x = 1+ λ r r ⊥ π ⇒ d r = n π = (1, 2, 1)  1) r :  ⇒ r ≡  y = 1 + 2λ  P(1, 1, 3) ∈ r  z = 3+ λ 

2)

  x = 1+ λ    r ≡  y = 1 + 2λ M: Sustituyendo r en π : (1 + λ ) + 2 ⋅ (1 + 2λ ) + (3 + λ ) − 3 = 0  z = 3+ λ   π : x + 2 y + z − 3 = 0

Operando se despeja el valor de λ.

1 2 Sustituyendo en las paramétricas de r el valor de λ, se obtienen las coordenadas de M   1 1  x m = 1+ −  =  2 2  1 5   1 1 λ = − : M =  y m = 1 + 2 −  = 0 ⇒ M =  , 0,  2 2 2 2       1 5 zm = 3+ − 2  = 2    3 + 6λ = 0

λ=−

9

3) Teniendo en cuenta que M es el punto medio de P' P , se calculan las coordenadas de P’ despejando de las coordenadas del punto medio.

 x p + x p ' y p + y p' z p + z p '   M= , ,   2 2 2   x + x  1 p p' ⇒ x p' = 2x m − x p = 2 − 1 = 0  xm = 2 4  y p + y p'  ⇒ y p ' = 2 y m − y p = 2 ⋅ 0 − 1 = −1 y m = 2   z = z p + z p ' ⇒ x = 2z − z = 2 5 − 3 = 2 p' m p  m 2 2  P' = (0, − 1, 2 )

x.

Recta simétrica a otra recta respecto de un plano.

Datos:

• •

x − x o y − yo z − zo = = u1 u2 u3 Ecuación del plano. π ≡ Ax + By + Cz + D = 0 Ecuación de la recta. r ≡

Se busca una recta r’ que tiene la misma proyección ortogonal sobre π que la recta r, y ambas están contenidas en un plano perpendicular a π La recta r’ se obtiene mediante dos puntos. M (intersección de r con π) y A’ (simétrico de cualquier punto A de la recta r respecto de π). Ejemplo. Calcular la recta simétrica a r :

x −1 y z +1 = = respecto de 2 −1 1

π ≡ x + 3y − z + 3 =0. 1) Cálculo de M. Se obtiene como intersección de r y π.   x = 1 + 2λ    r ≡  y = −λ M: Sustituyendo r en π : (1 + 2λ ) + 3 ⋅ (− λ ) − (− 1 + λ ) + 3 = 0 z = −1 + λ   π : x + 3y − z + 3 = 0 Operando se despeja el valor de λ. 5 5 − 2λ = 0 λ= 2 Sustituyendo en las paramétricas de r el valor de λ, se obtienen las coordenadas de M.  5  x m = 1 + 2  = 6 2  5 5 5 3  5  λ = : M =  y m = −  = − ⇒ M =  6, − ,  2 2 2 2 2      5 3 z m = −1 +  2  = 2    2) Cálculo de A’. A’ es el simétrico de cualquier punto A de r (excepto M) respecto de π. Como punto A se toma el punto con el que está definida la ecuación continua de r.

10

A = (1, 0, −1); π ≡ x + 3y − z + 3 =0. Pasos: i) Se calcula la recta s, perpendicular a π que contiene a A. ii) Se calcula M1 como intersección de s y π. iii) Conocidos A y M1 se calculan las coordenadas de A’ con las ecuaciones del punto medio de un segmento. r  x = 1+ λ r s ⊥ π ⇒ d s = n π = (1, 3, − 1)  s: ⇒ s ≡  y = 3λ i)  A(1, 0, − 1) ∈ r z = −1 − λ    x = 1+ λ    s ≡  y = 3λ ii) M1 :  Sustituyendo r en π : (1 + λ ) + 3 ⋅ (3λ ) − (− 1 − λ ) + 3 = 0 z = −1 − λ   π : x + 3y − z + 3 = 0 Operando se despeja el valor de λ. 5 5 + 11λ = 0 λ=− 11 Sustituyendo en las paramétricas de s el valor de λ, se obtienen las coordenadas de M1.   5 6  x m = 1+  −  =  11  11  5 15 15 6   5 6 λ = − : M =  y m = 3 −  = − ⇒ M1 =  , − , −  11 11  11   11 11 11   6   5 z m = −1 −  − 11  = − 11    iii)

Teniendo en cuenta que M1 es el punto medio de A' A , se calculan las coordenadas de A’ despejando de las coordenadas del punto medio. x A + x A' 6 1  ⇒ x A ' = 2 x m.1 − x A = 2 ⋅ − 1 =  x m.1 = 2 11 11  y + y A' 30 − 15  x + x A' y A + y A' z A + z A'   ⇒ y A ' = 2 y m.1 − y A = 2 ⋅ −0 = − M 1 =  A , ,  :  y m.1 = A 2 11 11 2 2 2    z A + z A' 1 −6 z ⇒ x A ' = 2z m.1 − z A = 2 ⋅ − (− 1) = − =  m.1 2 11 11

30 1 1 A' =  , − , −   11 11 11 

5 3 30 1  1 Conocido M =  6, − ,  y A ' =  , − , −  se calcula r’, simétrica de r respecto de π. 2 2   11 11 11  r   1 5  30  3  1    65 5 35  ,  paralelo (26, 1, 7 ) d r ' = A' M =  6 − , − −  − , −  −   =  ,   11 2  11  2  11    11 22 22  r' :   M =  6, − 5 , 3   2 2 

r' ≡

5 3 x−6 y+ 2 z− 2 = = 26 1 5

11

xi.

Recta que se apoya en dos rectas conocidas que se cruzan pero no se cortan y que pasa por un punto.

Se pide calcular la recta t que corta a r y a s y pasa por el punto P, siendo r y s dos rectas que se cruzan pero no se cortan, como muestra la figura. Datos: x − a1 y − a 2 z − a 3 • Ecuación de la recta. r ≡ = = u1 u2 u3 • •

x − b1 y − b 2 z − b 3 = = v1 v2 v3 Coordenadas de P = (xo, yo, xo) Ecuación de la recta. s ≡

La recta t buscada se calcula como intersección de dos planos (π y σ) como muestra la figura adjunta, siendo π el plano formado por la recta r y el punto P y σ el formado por la recta s y el punto P.

 d r = (u 1 , u 2 , u 3 ) r: π :   A = (a 1 , a 2 , a 3 )   P = (x , y , z ) o o o 

π≡

x − xo

y − yo

u1 x o − a1

u2 yo − a 2

z − zo u 3 = 0 Desarrollando A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 λλ zo − a3

 d s = (v1 , v 2 , u 3 ) r: σ :   B = (b1 , b 2 , b 3 )  P = (x , y , z ) o o o 

x − xo

y − yo

P = (x o , y o , z o )  :  d r = (u 1 , u 2 , u 3 )  AP = (x − a , y − a , z − a ) o 1 o 2 o 3 

P = (x o , y o , z o )  :  d s = (v 1 , v 2 , v 3 )  BP = (x − b , y − b , z − b ) o 1 o 2 o 3 

z − zo

σ≡

v1 v2 v3 = 0 Desarrollando A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 x o − b1 y o − b 2 z o − b 3 Conocidos los dos planos la recta t se calcula resolviendo el sistema formado por las ecuaciones de los planos.  π : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 t: σ : A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0  x + y − 3z − 2 = 0 Ejemplo. Ecuación de la recta que pasa por A(1, −1, 0) y se apoya en las rectas r ≡  y  x − 2 y + 2z − 1 = 0 s≡

x −1 z+3 =y= 2 4 π La recta buscada (t), se obtiene por intersección de planos. t ≡  1 π 2

12

El plano π1 contiene a la recta r y al punto P, y teniendo en cuenta que la recta r viene expresada por ecuaciones implícitas, el plano se puede calcular a partir de haz de planos de arista r. π 1 ∈ x + y − 3z − 2 + K ⋅ (x − 2 y + 2z − 1) = 0 El punto A pertenece al plano π1 por lo que sus coordenadas deberán cumplir la ecuación del plano y nos permiten calcular el valor de la constante del haz. A(1, − 1, 0) ∈ π1 ⇒ 1 + (− 1) − 3 ⋅ 0 − 2 + K ⋅ (1 − 2 ⋅ (− 1) + 2 ⋅ 0 − 1) = 0 −2 + 2K = 0 K=1

π1 ≡ x + y − 3z − 2 + 1 ⋅ (x − 2 y + 2z − 1) = 0

π1 ≡ 2 x − y − z − 3 = 0

El plano π2 contiene a la recta s y al punto P, su ecuación se obtiene con la determinación lineal formada por el punto A, el vector de dirección de la recta s y un vector formado entre un punto de s y A. x −1 y +1 z  A(1, − 1, 0)  B(1, 0, − 3)  r r π 2 ≡  d s = (2, 1, 4) π2 ≡ 2 1 4 =0 s: d s = (2, 1, 4) AB = (0, 1, − 3) 0 1 − 3 

π 2 ≡ 7 x − 6 y − 2z − 13 = 0

 2z − y − z − 3 = 0 Las ecuaciones implícitas de la recta buscada son: t ≡  7 x − 6 y − 2z − 13 = 0

xii.

Recta que se apoya en dos rectas conocidas que se cruzan pero no se cortan y es paralela a otra.

Datos:

•

Ecuación de la recta. r1 ≡

•

Ecuación de la recta. r2 ≡

•

x − a1 y − a 2 z − a 3 = = u1 u2 u3

x − b1 y − b 2 z − b 3 = = v1 v2 v3 x − c1 y − c 2 z − c 3 Ecuación de la recta. s ≡ = = ω1 ω2 ω3 La recta t buscada, al igual que en el apartado anterior, se calcula como intersección de dos planos (π y σ) como muestra la figura adjunta, siendo π el plano que contiene a la recta r1 y es paralelo a s y σ el que contiene a la recta r2 y paralelo a s.  d r = (u 1 , u 2 , u 3 ) A = (a 1 , a 2 , a 3 ) r :   π :   A = (a 1 , a 2 , a 3 ) :  d r = (u 1 , u 2 , u 3 ) s : d = (ω , ω , ω )  d = (ω , ω , ω ) 1 2 3  s s 1 2 3 

π≡

x − a1

y−a2

z − a3

u1

u2

u3

ω1

ω2

ω3

= 0 Desarrollando A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 λλ

 d s = (v1 , v 2 , u 3 ) B = (b1 , b 2 , b 3 ) r :   σ :   B = (b1 , b 2 , b 3 ) :  d s = (v1 , v 2 , v 3 )  d = (ω , ω , ω )  d = (ω , ω , ω ) 1 2 3  s 1 2 3  s

13

σ≡

x − b1

y − b2

z − b3

v1

v2

v3

= 0 Desarrollando A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0

ω1 ω2 ω3 Conocidos los dos planos la recta t se calcula resolviendo el sistema formado por las ecuaciones de los planos.  π : A 1 x + B1 y + C 1 z + D 1 = 0 t: σ : A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 Ejemplo. Ecuación de la recta paralela a r ≡

s≡

x − 2 y +1 z −1 = = y que se apoya en las rectas −1 2 −2

x z y+2 x−2 y = = z + 3 y s’≡ = = . −2 −2 4 3 5 La recta t buscada se obtiene por intersección de planos.   Paralelo a r  π1 :   Contiene a s t≡ π :  Paralelo a r  2 Contiene a s′ De la recta r se necesita el vector de dirección y de las rectas s y s’ el vector de dirección y el punto r x − 2 y +1 z −1 r≡ = = d r = (− 1, 2, − 2) −1 2 −2  A(0, − 2, − 3) y + 2 x = =z+3 s≡ r −2 3 d s = (− 2 ,3, 1) s’≡

 B(2, 0, 0 ) r d ′s = (5 ,−2, 4 )

z x−2 y = = −2 4 5

 x y+2 z+3  A(0, − 2, − 3)   r 3 1 = 0 π1 ≡ 8x + 5y + z + 13 = 0 π1 :  rd s (− 2 ,3, 1) : π1 ≡ − 2 d (− 1, 2, − 2)  −1 2 −2  r t≡ B ( 2 , 0 , 0 ) x − 2 y z   r  π 2 :  d′s (5 ,−2, 4) : π 2 ≡ 5 − 2 4 = 0 π 2 ≡ 2 x − 3 y − 4z − 4 = 0 r   ( ) d − 1 , 2 , − 2 − 1 2 −2   r  8x + 5 y + z + 13 = 0 t≡  2 x − 3 y − 4z − 4 = 0

14

xiii.

Perpendicular común a dos recta que se cruzan y no se cortan.

La perpendicular común a dos rectas que se cruzan y no se cortan se puede calcular de dos formas. i. Mediante los puntos de corte de la perpendicular común con ambas rectas. Datos: x − x o y − yo z − zo • Ecuación de la recta. r ≡ = = u1 u2 u3 •

Ecuación de la recta. s ≡

x − x 1 y − y1 z − z 1 = = ω1 ω2 ω3

Se busca un punto A perteneciente a r y otro punto B perteneciente a s tal que el vector AB se perpendicular a r y a s, y por lo tanto el producto escalar de AB por los vectores de dirección de r y de s debe ser nulo. AB o d r = 0  AB o d s = 0 El punto A ∈ r, y por lo tanto sus coordenadas deben cumplir las ecuaciones paramétricas de r, el punto B ∈ s y sus coordenadas deben cumplir las paramétricas de s.  x = x o + u 1λ  A ∈ r ≡  y = y o + u 2 λ ⇒ A = (x o + u 1λ, y o + u 2 λ, z o + u 3 λ ) z = z + u λ o 3   x = x 1 + ω1µ  B ∈ s ≡  y = y1 + ω 2 µ ⇒ B = (x 1 + ω1µ, y1 + ω 2 µ, z 1 + ω3 µ ) z = z + ω µ 1 3  Expresados A y B en función de las paramétricas de r y s, se calcula el vector AB AB = b − a = (x 1 − x 0 + ω1µ − u 1λ, y1 − y 0 + ω 2 µ − u 2 λ, z 1 − z 0 + ω3 µ − u 3 λ ) Sustituyendo en la expresión del producto escalar  (x 1 − x 0 + ω1µ − u 1λ, y1 − y 0 + ω 2 µ − u 2 λ, z1 − z 0 + ω 3 µ − u 3 λ ) o (u 1 , u 2 , u 3 ) = 0  (x 1 − x 0 + ω1µ − u 1λ, y1 − y 0 + ω 2 µ − u 2 λ, z1 − z 0 + ω 3 µ − u 3 λ ) o (ω1 , ω 2 , ω 3 ) = 0 Operando y ordenando se obtiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (λ,µ).  mµ + nλ = p   m ' µ + n ' λ = p' Resolviendo el sistema se obtienen los valores de λ y µ que nos permiten calcular los puntos A y B pertenecientes a la recta t y con los que podremos calcular su ecuación. x −1 y z +1 x y −1 z Ejemplo. Calcular la perpendicular común a las rectas r : = = y s: = = 2 −1 1 1 2 3 Sean A y B dos puntos de r y s.  x = 1 + 2λ  x =µ   A ∈ r :  y = −λ ⇒ A = (1 + 2λ, − λ, − 1 + λ ) B ∈ s :  y = 1 + 2µ ⇒ B = (µ, 1 + 2µ, 3µ )  z = −1 + λ  z = 3µ  

AB = (µ − (1 + 2λ ), 1 + 2µ − (− λ ), 3µ − (− 1 + λ )) = (µ − 2λ − 1, 2µ + λ + 1, 3µ − λ + 1)

15

Para que el vector AB pertenezca a la perpendicular común debe ser perpendicular a los vectores de dirección de ambas rectas, y por lo tanto sus productos escalares deben ser cero. AB o d r = 0 (µ − 2λ − 1, 2µ + λ + 1, 3µ − λ + 1) o (2, − 1, 1) = 0 ⇒  AB o d s = 0  (µ − 2λ − 1, 2µ + λ + 1, 3µ − λ + 1) o (1, 2, 3) = 0 Operando se obtiene un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas (λ, µ). 2 ⋅ (µ − 2λ − 1) + (− 1) ⋅ (2µ + λ + 1) + 1 ⋅ (3µ − λ + 1) = 0  3µ − 6λ = 2 ⇒  14µ − 3λ = −4  1 ⋅ (µ − 2λ − 1) + 2 ⋅ (2µ + λ + 1) + 3 ⋅ (3µ − λ + 1) = 0 Resolviendo el sistema se obtienen los valores de λ y µ que sustituidos respectivamente en las paramétricas de r y s nos dan las coordenadas de A y B.   1  8   a 1 = 1 + 2 −  = − 15 15     23     8 8  1 8 A :  a 2 = − − 15  = 15 ⇒ A =  − 15 , 15 , − 15         a = −1 +  − 8  = − 23 8    3 λ = − 15 15  15  ⇒   2  2  µ = − x=−  5   5   2 1 2 1 6  B :  y = 1 + 2 −  = ⇒ B =  − , ,−    5 5  5 5 5   6   2   z = 3 − 5  = − 5     Con las coordenadas de A y B se calcula el vector AB . 23   1 1 1  1  2 1 6  1 8 AB = b − a =  − , ,−  −  − , , −  =  − , − ,  = − (1, 1, − 1) 3  5 5 5   15 15 15   3 3 3  La perpendicular común (t) se obtiene con el vector AB , y uno cualquiera de los puntos hallados (B).   2 1 6 x+2 y− 1 z+6 B =  − , ,−  5 = 5 = 5 t:  5 5 5 t ≡ 1 1 −1  d = (1, 1, − 1) t  ii.

Como intersección de dos planos, π y σ, ambos paralelos a la dirección de la perpendicular común y cada uno de ellos que contenga a una de las rectas.

Datos:

• •

x − x o y − yo z − zo = = u1 u2 u3 x − x 1 y − y1 z − z 1 Ecuación de la recta. s ≡ = = ω1 ω2 ω3 Ecuación de la recta. r ≡

La dirección perpendicular común a ambas rectas, viene representada por el vector v , producto vectorial de los vectores de dirección de las rectas (Definición de producto vectorial: el producto vectorial de dos vectores es otro vector perpendicular a ambos).

16

i v = d r × d s = (u 1 , u 2 , u 3 )× (ω1 , ω 2 , ω 3 ) = u 1 ω1

j

k

u2 ω2

u3 ω3

Desarrollando

=

(v1 , v 2 , v 3 )

La recta buscada se obtiene por intersección de dos planos π y σ:  x − x o y − yo z − zo  Pr (x o , y o , z o ) r ⊂ π  π: : d r = (u 1 , u 2 , u 3 ) ⇒ π ≡ u 1 u2 u 3 = 0 : A 1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0  v π  v = (v , v , v ) v1 v2 v3 1 2 3  

 x − x1  Ps (x 1 , y1 , z1 ) r ⊂ π  : d s = (ω1 , ω 2 , ω 3 ) ⇒ π ≡ ω1 σ: v π  v = (v , v , v ) v1 1 2 3  

y − y1

z − z1

ω2 v2

ω3 v3

= 0 : A 2x + B2 y + C2z + D2 = 0

Conocidos los dos planos, la recta se determina resolviendo el sistema compatible indeterminado que forman las ecuaciones de los dos planos.  A x + B1 y + C1 z + D1 = 0 t: 1 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 Ejemplo. Calcular la perpendicular común a las rectas r :

r:

x − 1 y z + 1  Pr = (1, 0, − 1) = = : 2 −1 1 d r = (2, − 1, 1)

x −1 y z +1 x y −1 z y s: = = = = 2 −1 1 1 2 3 x y − 1 z Ps = (0, 1, 0 ) s: = = : 1 2 3 d s = (1, 2, 3)

Dirección de la perpendicular común:  −1 1 2 1 2 −1   = (− 5, − 5, 5) = −5(1, 1, − 1) v = d r × d s = (2, − 1, 1)× (1, 2, 3) =  ,− ,   2 3 1 3 1 2  Planos:

 x −1 y − 0 z +1 Pr = (1, 0, − 1) r ⊂ π  π: :  d r = (2, − 1, 1) ⇒ π ≡ 2 −1 1 = 0 : π ≡ 3y + 3z + 3 = 0  v π  v = (1, 1, − 1) 1 1 − 1    x − 0 y −1 z − 0  Ps (0, 1, 0 ) r ⊂ π  σ: : d s = (1, 2, 3) ⇒ π ≡ 1 2 3 = 0 : σ ≡ −5x + 4y − z − 4 = 0 v π  v = (1, 1, − 1) 1 1 − 1   La recta pedida es:  3y + 3z + 3 = 0 t: − 5 x + 4 y − z − 4 = 0

Resolviendo el sistema en función de z y transformando z en λ, se obtienen las paramétricas de t. 8  x = − 5 − λ  t :  y = −1 − λ  z=λ  

17