Reduca (Geología). Serie Geología Estructural.  2 (1): 1‐10, 2010.                                               ISSN: 1989‐6557   

  Problemas de Geología Estructural  1. Conceptos generales    Rosa Blanca Babín Vich1. David Gómez Ortiz2.   

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Departamento de Geodinámica. Facultad de Ciencias Geológicas.  Universidad Complutense de Madrid. José Antonio Novais, s/n. 28040‐Madrid.  [email protected]  2 Área de Geología‐ESCET. Universidad Rey Juan Carlos. Tulipán, s/n. 28933‐Móstoles.  [email protected] 

    Resumen:  La  proyección  estereográfica  es  una  de  las  mejores  técnicas  para  resolver  problemas geométricos en Geología Estructural. Trabaja con líneas y planos sin tener  en  cuenta  sus  relaciones  espaciales,  por  tanto,  solo  se  pueden  representar  valores  angulares.    Palabras  clave:  Proyección  estereográfica.  Circunferencia  primitiva.  Falsillas  de  proyección.      PRÓLOGO      El  tratamiento  cuantitativo  de  la  geometría  en  tres  dimensiones  puede  ser  a  veces muy arduo, mediante fórmulas trigonométricas que en ocasiones provocan que  el  problema  no  pueda  ser  resuelto  rápidamente  por  los  alumnos.  El  resultado,  a  menudo,  es  que  la  manipulación  de  los  datos  puede  llevar  a  errores  y  a  un  desconocimiento de cuáles son las ecuaciones que se deben utilizar en cada caso.    Afortunadamente  y  como  ayuda  para  simplificar  las  técnicas  gráficas,  se  utiliza  en Geología Estructural la proyección estereográfica, que requiere en principio que el  alumno  tenga  una  buena  visión  de  los  procesos  de  proyección.  El  crear  una  imagen  proyectada en la mente puede parecer difícil al comienzo, pero con una cierta práctica,  el  alumno  puede  llegar  a  ser  casi  un  experto.  Se  recomienda  hacer  dibujos  en  tres  dimensiones para plasmar la imagen pensada y pasar a continuación la misma imagen  a dos dimensiones. De esta forma se relaciona la estructura en tres dimensiones con la  que vamos a ver proyectada, ya sea mediante proyección ortográfica o estereográfica.    Este tipo de proyección es ideal para analizar relaciones angulares y trabajar con  datos  de  orientaciones.  Las  aplicaciones  más  generales  incluyen  la  determinación  de  ángulos entre líneas, entre planos y entre ambos. También se utiliza para el análisis y  clasificación  de  superficies  curvadas  (pliegues),  orientación  de  planos  a  partir  de  testigos de sondeos y obtención de orientaciones poco visibles en el campo a partir de  1   

Reduca (Geología). Serie Geología Estructural.  2 (1): 1‐10, 2010.                                               ISSN: 1989‐6557    distintos conjuntos de datos. En combinación con la proyección ortográfica, se pueden  resolver  muchos  problemas  típicos  de  la  Geología  Estructural  y  de  la  Ingeniería  Geológica.    Este manual está estructurado en varios artículos Babín y Gómez (2010 a, b, c, d,  e,  f,  g  y  h).  Cada  uno  de  ellos  comienza  con  una  definición  somera  de  los  conceptos  más  básicos,  como  pueden  ser  las  orientaciones  de  planos  en  el  espacio  y  su  representación,  para  terminar  analizando  cada  una  de  las  principales  estructuras  geológicas.  Al  principio  de  cada  artículo  se  ofrece  una  introducción  referente  a  los  conceptos  fundamentales  necesarios  para  la  comprensión  y  resolución  de  los  problemas que se desarrollan a continuación. Nuestro deseo es que este trabajo sirva  como  orientación  a  futuras  generaciones  de  estudiantes,  que,  dentro  de  las  Ciencias  Geológicas, han elegido esta especialidad para desarrollar su futura vida laboral.      INTRODUCCIÓN      El  objetivo  de  este  manual  es  introducir  al  alumno  en  el  conocimiento  de  las  técnicas  básicas  de  proyección  estereográfica,  indispensables  para  cualquier  geólogo  que  vaya  a  desarrollar  su  trabajo  en  relación  con  Geología  Estructural  (orientaciones  de  planos  y  líneas  en  el  espacio),  Cartografía  (relaciones  angulares  entre  estratos,  discordancias,  etc),  Geotecnia  (cálculo  del  factor  de  seguridad  de  un  talud),  etc.  En  cada uno de los artículos se van resolviendo ejercicios sencillos a partir de una serie de  definiciones consideradas de conocimiento imprescindible para los problemas que se  van a desarrollar a continuación.    Aunque este método de proyección está explicado en muchos libros con mayor o  menor extensión, nuestra experiencia como profesores de Geología Estructural es que  muchos estudiantes son capaces de representar los datos estructurales sin entender el  principio  del  método  que  están  empleando.  Este  manual  pretende,  mediante  ilustraciones  y  ejercicios  resueltos,  visualizar  el  problema  que  concierne  a  las  tres  dimensiones y a su representación bidimensional.    Es bien sabido, que la representación de datos estructurales mediante métodos  geométricos se dificulta en gran manera cuando es necesario analizar un gran número  de  medidas.  En  este  sentido  se  introduce  el  concepto  de  proyección  estereográfica,  herramienta utilizada ampliamente por los geólogos desde la mitad del siglo XIX, como  una  alternativa  sencilla  y  simple  para  representar  datos  tridimensionales  en  dos  dimensiones.    Aunque en un principio este tipo de proyección pueda parecer abstracta, con su  uso el alumno se dará cuenta de la facilidad y rapidez de resolución de distintos tipos  de  problemas  en  Geología  Estructural.  Actualmente,  los  ordenadores  son  capaces de  proyectar  datos  estructurales  en  proyección  estereográfica,  pero  no  sabremos  interpretar el resultado si no aprendemos a proyectar datos manualmente. La falsilla  2   

Reduca (Geología). Serie Geología Estructural.  2 (1): 1‐10, 2010.                                               ISSN: 1989‐6557    de proyección se puede llevar al campo fácilmente y los datos pueden ser proyectados,  interpretados y en su caso, corregidos, directamente en el afloramiento.    El material necesario para llevar a cabo este tipo de proyección, es muy simple.  Únicamente se necesita una falsilla de proyección (Anexo I) que aparece en la mayor  parte de los libros de Geología Estructural, una chincheta, lápiz y goma de borrar, así  como  grandes  cantidades  de  papel  transparente  o  de  calco.  Se  recomienda  resolver  cada  problema  en  un  papel  transparente  distinto,  para  poder  repasarlo  después  y  corregir si fuera necesario.      LA PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA. CONCEPTOS GENERALES      Imaginemos  un  observador  situado  en  el  centro  de  una  esfera  de  cristal  transparente.  Cualquier  dirección  supuesta,  estará  representada  por  un  punto  determinado,  situado  en  la  superficie  de  la  esfera.  Por  ejemplo,  la  dirección  “oeste”  estará  indicada  por  un  punto  en  el  ecuador  de  la  esfera,  situado  al  oeste  del  observador.    Los  primeros  astrónomos  definieron  las  posiciones  relativas  de  las  estrellas  proyectándolas como puntos blancos en la superficie de una esfera de color negro. A  esta representación se le dio el nombre de “esfera celestial”, en la que las distancias  relativas de la tierra a las estrellas no podían ser representadas en su magnitud real.    Una superficie esférica en la cual las posiciones de los elementos característicos  están indicadas, se denomina proyección esférica, siempre teniendo en cuenta que se  representan orientaciones, no distancias entre los elementos proyectados.    Las  proyecciones  esféricas  se  utilizan  para  representar  orientaciones  de  líneas  y/o planos, siempre que la línea o el plano pase a través del centro de la esfera. En ese  caso,  una  línea  intersecta  a  la  superficie  de  la  esfera  en  dos  puntos  diametralmente  opuestos, mientras que la intersección de un plano con la esfera será un círculo mayor  (Fig. 1). La intersección de la línea o el plano con la esfera es su proyección esférica.   

 

 

Figura 1. Proyección de una línea y un plano en el hemisferio inferior de la esfera. 

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Reduca (Geología). Serie Geología Estructural.  2 (1): 1‐10, 2010.                                               ISSN: 1989‐6557    Una  proyección  de  este  tipo,  representa  el  elemento  proyectado  en  tres  dimensiones.  Afortunadamente,  una  esfera  puede  ser  proyectada  en  un  plano  bidimensional.  Las  proyecciones  planares  más  comunes  de  una  esfera  se  denominan  proyecciones  azimutales,  que  se  construyen  haciendo  pasar  las  líneas  de  proyección  desde  un  punto  común  hasta  la  esfera,  intersectando  el  plano  de  proyección.  Este  puede ser tangente a la superficie de la esfera, estar a una determinada distancia de  ella  o  pasar  a  través  del  centro  de  la  esfera.  Un  cambio  en  la  posición  del  plano  de  proyección,  da  lugar  a  un  cambio  de  escala en  la  proyección.  El  plano  de  proyección  puede tener cualquier orientación, y esto determina que la proyección sea ecuatorial,  polar u oblicua (Fig. 2).     

 

 

Figura  2.  Proyecciones  polar  y  oblicua,  como  ejemplos  de  posibles  orientaciones  del  plano  de  proyección. 

    La proyección estereográfica es un caso especial de proyección azimutal, que en  su principio fue desarrollada por los cristalógrafos. Su característica principal es que el  punto  fuente  usado  en  su  construcción  está  situado  en  la  superficie  de  la  esfera.  En  geología,  el  plano  de  proyección  usado  para  construir  la  proyección  estereográfica  pasa por el centro de la esfera, y se corresponde con su plano ecuatorial.  4   

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Figura  3.  A.  Plano  en  tres  dimensiones,  orientado  mediante  dirección  y  buzamiento.  B.  Proyección  esférica del plano, en el hemisferio inferior de la esfera. C. Estereograma del plano. 

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Reduca (Geología). Serie Geología Estructural.  2 (1): 1‐10, 2010.                                               ISSN: 1989‐6557    Vamos  a  visualizar  la  construcción  de  una  proyección  estereográfica  (Fig.  3).  Imaginemos un punto  marcado en el hemisferio inferior de nuestra esfera de cristal,  que  representa  la  proyección  esférica  de  un  punto  en  el  espacio.  La  proyección  estereográfica  de  este  punto  se  construye  dibujando  una  línea  de  proyección  que  conecte el punto situado en el hemisferio inferior, con el zenit de la esfera colocado en  la  parte  superior  de  la misma.  La  intersección de  la  línea de  proyección  con  el  plano  ecuatorial  (plano  de  proyección)  de  la  esfera,  es  la  proyección  estereográfica  de  ese  punto. En Geología Estructural siempre proyectamos desde el hemisferio inferior de la  esfera  y  el  elemento  representado  (línea  o  plano)  pasa  por  el  centro  de  la  esfera  de  referencia, mientras que en Cristalografía se utiliza el hemisferio superior. Los planos  intersectan  el  hemisferio  inferior  como  círculos  mayores,  y  las  líneas,  como  puntos.  Cada punto de un círculo mayor en el hemisferio inferior, unido con el zenit, da a su  vez  un  punto  en  el  círculo  ecuatorial  de  proyección.  La  unión  de  todos  estos  puntos  muestra la proyección estereográfica (estereograma) del plano que pasa por el centro  de  la  esfera  y  que  corresponde  a  un  círculo  mayor.  Hemos  reducido  una  geometría  tridimensional a dos dimensiones.    La  intersección  del  plano  ecuatorial  (plano  de  proyección)  con  la  esfera,  se  denomina “circunferencia primitiva”, mas abreviado, la primitiva. Tiene el mismo radio  que la esfera de proyección original y todos los puntos en la superficie del hemisferio  inferior quedan proyectados como puntos en o dentro de la primitiva.    La  proyección  estereográfica  es  una  de  las  mejores  técnicas  para  resolver  problemas  geométricos  en  Geología  Estructural.  Se  diferencia  de  la  proyección  ortográfica en un punto fundamental: ésta preserva las relaciones espaciales entre las  estructuras,  mientras  que  la  estereográfica  trabaja  con  planos  y  líneas  sin  tener  en  cuenta sus relaciones espaciales, únicamente las angulares.    El  uso  de  la  proyección  estereográfica  es,  en  muchos  casos,  preferible  al  de  la  proyección  ortográfica,  ya  que  es  capaz  de  resolver  gran  cantidad  de  problemas  geométricos  con  mayor  facilidad  y  rapidez,  siempre  que  en  ellos  solo  intervengan  valores angulares. Ambos tipos de proyecciones son complementarios, de forma que  los datos angulares se tratan con proyección estereográfica y los escalares, mediante  proyección ortográfica o de planos acotados.    En la práctica, la proyección estereográfica de líneas y planos se lleva a cabo con  ayuda de una falsilla de proyección (stereographic net). Esta falsilla o estereoneta está  formada por un conjunto de proyecciones de círculos mayores y menores que ocupan  el  plano  ecuatorial  de  proyección  de  la  esfera  de  referencia.  Ambos  conjuntos  de  círculos  están  espaciados  con  intervalos  de  2º,  apareciendo  marcados  con  un  trazo  más grueso los que corresponden a valores múltiplos de 10 (Fig. 4).   

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Figura 4. Falsilla de proyección estereográfica (Falsilla de Wulff) o estereoneta. Conserva los ángulos. 

    Los círculos mayores representan una familia de planos con dirección norte‐sur,  cuyos  buzamientos  varían  desde  0º  a  90º  en  ambos  sentidos.  Estos  planos  se  cortan  según una línea horizontal representada por el norte o el sur de la falsilla.    Los círculos menores son aquellos a través de los cuales medimos las direcciones  de  los  distintos  planos  y  líneas  en  la  proyección.  También  se  utilizan  para  hacer  rotaciones  de  distintos  elementos  estructurales  alrededor  de  ejes  horizontales,  verticales  o  inclinados.  Representan  la  proyección  sobre  el  plano  ecuatorial  de  un  conjunto de planos que no pasan por el centro de la esfera, espaciados de 2º en 2º.  Cada círculo menor corresponde al corte de una superficie cónica con la esfera, cuyo  ápice  está  situado  en  el  centro  de  la  esfera  y  su  altura  coincide  con  el  radio  de  la  falsilla.  La  combinación  de  círculos  mayores  y  menores  constituye  un  ábaco  perfectamente apto para la proyección estereográfica de líneas y planos.    Existen dos tipos distintos de estereoneta: la falsilla de Wulff y la de Schmidt (Fig.  5).  La  primera  conserva  ángulos,  como  se  explicará  a  continuación,  mientras  que  la  segunda  conserva  áreas  y  por  tanto,  se  utiliza  para  realizar  contajes  estadísticos  de  elementos  (planos  de  falla,  ejes  de  cuarzo,  lineaciones,  etc).  La  forma  de  proyectar  planos  y  líneas  en  cualquiera  de  estas  falsillas,  es  exactamente  la  misma,  y  se  irá  aprendiendo una vez que se vayan desarrollando los distintos artículos del manual.    7   

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      Figura 5. Falsillas utilizadas en la proyección estereográfica. Falsilla de Wulff (izquierda) y falsilla de  Schmidt (derecha).      BIBLIOGRAFÍA   

  Babín  Vich,  R.  B.  y  Gómez  Ortiz,  D.  2010  a.  Problemas  de  Geología  Estructural.  2.  Orientación  y  proyección  de  planos  en  el  espacio.  Reduca  (Geología).  Serie  Geología Estructural, 2 (1): 11‐23.    Babín  Vich,  R.  B.  y  Gómez  Ortiz,  D.  2010  b.  Problemas  de  Geología  Estructural.  3.  Orientación  y  proyección  de  líneas  en  el  espacio.  Reduca  (Geología).  Serie  Geología Estructural, 2 (1): 2 (1): 24‐40.    Babín  Vich,  R.  B.  y  Gómez  Ortiz,  D.  2010  c.  Problemas  de  Geología  Estructural.  4.  Proyección  polar  de  un  plano.  Proyección  π  Reduca  (Geología).  Serie  Geología  Estructural, 2 (1): 2 (1): 41‐56.    Babín  Vich,  R.  B.  y  Gómez  Ortiz,  D.  2010  d.  Problemas  de  Geología  Estructural.  5.  Rotaciones Reduca (Geología). Serie Geología Estructural, 2 (1): 57‐73.    Babín  Vich,  R.  B.  y  Gómez  Ortiz,  D.  2010  e.  Problemas  de  Geología  Estructural.  6.  Cálculo  de  la  orientación  de  la  estratificación  a  partir  de  testigos  de  sondeos.  Reduca (Geología). Serie Geología Estructural, 2 (1): 74‐94.    Babín  Vich,  R.  B.  y  Gómez  Ortiz,  D.  2010  f.  Problemas  de  Geología  Estructural.  7.  Pliegues. Reduca (Geología). Serie Geología Estructural, 2 (1): 95‐123.    Babín Vich, R. B. y Gómez Ortiz, D. 2010 g. Problemas de Geología Estructural. 8. Fallas  Reduca (Geología). Serie Geología Estructural, 2 (1): 124‐147.   

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Reduca (Geología). Serie Geología Estructural.  2 (1): 1‐10, 2010.                                               ISSN: 1989‐6557    Babín  Vich,  R.  B.  y  Gómez  Ortiz,  D.  2010  h.  Problemas  de  Geología  Estructural.  9.  Análisis  estructural  mediante  diagramas  de  contornos  Reduca  (Geología).  Serie  Geología Estructural, 2 (1): 2 (1): 148‐192.      BIBLIOGRAFÍA DE CONSULTA      Davis, G. H. 1984. Structural Geology of rocks and Regions. Wiley & Sons. 492 pp.    Lheyson,  P.  R.;  Lisle,  R.  J.  1996.  Stereographic  projection  techniques  in  Structural  Geology. Butterworth‐Heinemann Ltd. Oxford. 104 pp.    Marshak, S & Mitra, G. 1982. Basic methods of structural geology. Prentice & Hall. 446  pp.    Phillips, F. C. 1971. The use of stereographic projection in Structural Geology. Edward  Arnol. London. 90 pp.    Ragan, D. M. 1987. Geología Estructural. Ed. Omega. Barcelona. 210 pp.    Turner, F. & Weiss, L.R. 1963. Structural analysis of metamorphic tectonites. McGraw  Hill. New York. 545 pp. 

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Reduca (Geología). Serie Geología Estructural.  2 (1): 11‐23, 2010.                                               ISSN: 1989‐6557 

  Problemas de Geología Estructural  2. Orientación y proyección de planos en el espacio    Rosa Blanca Babín Vich1. David Gómez Ortiz2.   

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Departamento de Geodinámica. Facultad de Ciencias Geológicas.  Universidad Complutense de Madrid. José Antonio Novais, s/n. 28040‐Madrid.  [email protected]  2 Área de Geología‐ESCET. Universidad Rey Juan Carlos. Tulipán, s/n. 28933‐Móstoles.  [email protected] 

    Resumen:  Los  elementos  planares  en  Geología  Estructural  (superficies  de  estratificación, discordancias, fallas, flancos de pliegues, planos axiales, etc.) son muy  comunes  y  por  tanto  deben  saber  representarse  correctamente  en  proyección  estereográfica.  Comprender  y  manejar  correctamente  conceptos  como  dirección,  buzamiento y sentido de buzamiento de un plano es fundamental.    Palabras  clave:  Dirección.  Buzamiento  real.  Buzamiento  aparente.  Sentido  de  buzamiento.       INTRODUCCIÓN      En  primer  lugar  y  de  forma  muy  concisa,  recordaremos  los  conceptos  de  dirección,  buzamiento  real  y  aparente  y  sentido  de  buzamiento  de  un  plano,  con  objeto  de  que  el  alumno  conozca  perfectamente  todos  estos  términos  y  no  haya  confusión a la hora de proyectar cualquiera de ellos.      DEFINICIONES      Las estructuras geológicas que observamos en los afloramientos (fallas, pliegues,  discordancias,  etc)  pueden  ser  consideradas  en  dos  dimensiones  como  planos  o  estructuras  planares.  La  orientación  de  cualquiera  de  estos  planos  en  el  espacio  se  realiza con ayuda de una brújula que mide la dirección del plano en la horizontal y con  respecto  al  norte,  y  el  buzamiento  en  el  plano  vertical  perpendicular  a  la  dirección.  Para  orientar  perfectamente  el  plano,  por  tanto,  es  necesario  medir  ambos  ángulos,  dirección y buzamiento.    Otra posibilidad para definir este mismo plano en el espacio, es medir su ángulo  de buzamiento y el sentido de buzamiento del mismo con respecto al norte, o sea, la  11   

Reduca (Geología). Serie Geología Estructural.  2 (1): 11‐23, 2010.                                               ISSN: 1989‐6557  orientación de la línea perpendicular a la línea de dirección. Nuevamente es necesario  conocer los dos ángulos para saber exactamente la orientación del plano.    Dirección y buzamiento real del plano     Dirección del plano    Una línea horizontal inscrita en el plano recibe el nombre de línea de dirección  y corresponde a la intersección entre el plano y un plano horizontal imaginario.  El ángulo de dirección del plano corresponde al ángulo formado entre esta línea  horizontal  y  el  norte  geográfico.  En  el  afloramiento  se  mide  con  la  brújula  y  generalmente se representa con la letra griega .    En el bloque diagrama correspondiente a la figura 1, la línea XY representa una  línea de dirección del plano. Su dirección es el ángulo que forma con respecto  al norte geográfico y como cualquier dirección tiene dos sentidos, que difieren  entre si 180º. Para describir esta dirección existen dos alternativas:     Mediante  una  notación  por  cuadrantes,  contando  desde  el  norte  hacia  el  este  o  hacia  el  oeste.  En  este  caso  debemos  decir  el  punto  del  que  partimos (norte), a continuación el valor del ángulo y seguidamente hacia  donde  estamos  contando  (este  u  oeste).  Una  dirección  sería  por  ejemplo  N32ºE, N20ºO, etc.     O bien asignando a la dirección norte un valor de 000º o 360º, siempre con  tres dígitos. En el caso de que no se especifique, se entiende que el ángulo  de dirección está contado desde el norte hacia el este, en el sentido de las  agujas del reloj. Las direcciones anteriores en este caso serían 032º y 340º.     Buzamiento real del plano    Se  define  como  el  ángulo  que  forma  este  plano  con  la  horizontal,  medido  según la línea de máxima pendiente del plano, por tanto, medido en el plano  vertical  que  es  perpendicular  a  la  línea  de  dirección  del  plano  (Fig.  1).  Se  representa  con  la  letra  .  Para  que  el  valor  de  este  ángulo  sea  correcto,  es  necesario especificar su sentido: 34ºS, 45ºE, 82ºN, etc, ya que cualquier plano  con una dirección dada puede buzar en dos sentidos opuestos. Por ejemplo,  un plano con dirección 000º, puede buzar al este o al oeste, por tanto hay que  especificar el sentido de buzamiento.   

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  Figura 1. Representación de un plano en tres dimensiones. 

    Buzamiento y sentido de buzamiento de un plano. Buzamiento aparente     Sentido de buzamiento (en algunos textos, dirección de buzamiento)    Es  el  ángulo  que  forma  la  proyección  en  la  horizontal  de  la  línea  de  máxima  pendiente  del  plano  con  el  norte  geográfico.  Por  tanto,  su  valor  angular  está  situado  a  90º  del  valor  angular  correspondiente  a  la  dirección  del  plano.  Se  representa con las letras s (Fig. 2).   

Figura.2. Plano orientado en el espacio mediante sentido de buzamiento y ángulo de buzamiento. 

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Reduca (Geología). Serie Geología Estructural.  2 (1): 11‐23, 2010.                                               ISSN: 1989‐6557  A partir de esta definición se deduce que cualquier plano se puede orientar en  el espacio mediante su sentido de buzamiento y su ángulo de buzamiento. En  este caso, no es necesario añadir al valor del ángulo de buzamiento su sentido,  ya que este es conocido.  Tomando como ejemplo un  plano de estratificación,  según la primera posibilidad (caso a) el plano sería N32ºE‐25ºSE y tomando la  segunda  (caso  b),  el  mismo  plano  sería  122º‐25º,  siendo  122º  el  sentido  de  buzamiento  y  25º  el  ángulo  de  buzamiento.  Su  sentido  es  al  SE,  ya  que  es  el  cuadrante  que  contiene  el  ángulo  de  valor  122º.  En  el  caso  de  que  el  plano  buzara en sentido contrario, hacia el NO, su sentido de buzamiento sería 302º,  en ambos casos a 90º  de la dirección del plano, bien en un sentido o en otro  según hacia donde se incline el plano.     Buzamiento aparente    Es el ángulo que forma el plano con la horizontal medido en un plano vertical,  según una dirección cualquiera que no sea perpendicular a la línea de dirección  del  plano.  Su  valor  angular  siempre  es  menor  que  el  correspondiente  al  buzamiento real. Se representa con la letra ´ (Fig. 1).    El valor del ángulo de buzamiento, sea este real o aparente, está comprendido  entre 0º (horizontal) y 90º (vertical). El máximo valor del buzamiento aparente  estará  situado  sobre  la  dirección  que  coincida  con  el  sentido  de  buzamiento  real,  mientras  que  el  valor  mínimo  del  buzamiento  aparente  será  cuando  se  mida este sobre una dirección que coincide con la dirección del plano.      PROYECCIÓN CICLOGRÁFICA DE UN PLANO (PROYECCIÓN )      Tomemos un plano orientado en el espacio mediante su dirección y buzamiento,  por ejemplo el plano N60ºE‐40ºSE. Para hallar su proyección estereográfica, haremos  lo siguiente:     Colocamos  la  chincheta  en  el  centro  con  la  punta  hacia  nosotros,  superponemos un transparente sobre la falsilla, dibujamos en él la primitiva y  los cuatro puntos cardinales (Fig. 3 A).     Señalamos sobre la primitiva el valor angular correspondiente a la dirección del  plano y giramos el transparente hasta que este valor coincida con el diámetro  norte‐sur de la falsilla (Fig. 3 B).     En esta posición, contamos el valor del buzamiento sobre el diámetro E‐O de la  falsilla,  teniendo  en  cuenta  su  sentido,  siempre  desde  la  primitiva  hacia  el  centro de la falsilla, y pintamos el círculo mayor que tiene esa dirección y ese  ángulo de buzamiento (Fig. 3 C).    14   

Reduca (Geología). Serie Geología Estructural.  2 (1): 11‐23, 2010.                                               ISSN: 1989‐6557   Giramos  el  transparente  sobre  la  falsilla  hasta  que  coincidan  otra  vez  los  dos  polos  norte  (de  transparente  y  falsilla  de  proyección),  y  hemos  obtenido  la  representación del plano en proyección estereográfica, o sea, el estereograma  del  plano  o  bien  la  proyección  ciclográfica  del  plano  (plano  representado  mediante un círculo mayor de la falsilla) (Fig. 3 D).    Como se puede observar, el procedimiento es sencillo y rápido. Las direcciones  se colocan sobre la primitiva (plano horizontal) y se llevan al diámetro N‐S de la falsilla  y  de  esta  forma,  los  buzamientos,  siempre  en  el  plano  vertical  perpendicular  a  la  dirección, se cuentan en el diámetro E‐O de la falsilla. Ambos diámetros representan  dos  planos  verticales  y  perpendiculares  entre  si,  por  tanto  cumplen  las  definiciones  anteriores.    A  continuación,  vamos  a  resolver  distintos  tipos  de  problemas  referentes  a  planos, explicando paso a paso el proceso seguido.   

Figura 3. Representación estereográfica de un plano. Ver texto para su explicación. 

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Reduca (Geología). Serie Geología Estructural.  2 (1): 11‐23, 2010.                                               ISSN: 1989‐6557  CONCLUSIONES      De lo anteriormente expuesto, se puede deducir que un plano en el espacio se  orienta mediante:     Dirección y buzamiento real del plano    Para  proyectar  este  plano,  colocamos  la  dirección  sobre  el  diámetro  (plano  vertical) norte‐sur de la falsilla, y leemos el valor correspondiente al ángulo de  buzamiento sobre el diámetro este‐oeste, desde la primitiva hacia el centro de  la  falsilla.  Dibujamos  el  círculo  mayor  correspondiente  y  este  representa  el  estereograma del plano. (Fig. 1).     Sentido de buzamiento y ángulo de buzamiento real del plano    El sentido de buzamiento es siempre perpendicular a la dirección, luego en este  caso  colocamos  el  sentido  de  buzamiento  en  la  primitiva,  sobre  el  diámetro  este‐oeste  de  la  falsilla.  Sobre  este  mismo  diámetro  contamos,  desde  la  primitiva  hacia  el  centro,  el  valor  del  ángulo  de  buzamiento  y  pintamos  el  estereograma (Fig. 2).     Dos buzamientos aparentes o dos líneas contenidas en el plano    Cada  uno  de  estos  dos  buzamientos  aparentes  nos  dará  un  punto  en  la  proyección, que equivale a la proyección de una línea que está contenida en el  plano que estamos buscando. Moviendo el transparente sobre la falsilla hasta  que los dos puntos estén situados en un círculo mayor, dibujamos este círculo  que corresponde al estereograma del plano buscado (Fig. 1).      PROBLEMAS      Problema 1    Dibujar los estereogramas correspondientes a los planos siguientes: a)360º‐30ºE,  b)270º/60º, c)090º‐24ºS, d)045º‐56ºSE, e)horizontal, f)080º‐90º (Fig. 4).   

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Figura 4. Proyección estereográfica (estereograma) de los planos del problema 1 del texto. 

    Colocar el transparente sobre la falsilla, dibujar la circunferencia primitiva y los  puntos cardinales.    Para cada uno de los planos, el procedimiento es el siguiente:     Hacer una señal en la primitiva indicando la dirección dada.     Llevar esta dirección sobre el diámetro N‐S.     Contar el buzamiento sobre el diámetro E‐O.     Dibujar el círculo mayor correspondiente.    Observar  con  atención  los  datos  que  da  el  problema.  ¿Son  todos  ellos  de  dirección  y  buzamiento,  o  alguno  de  los  planos  está  orientado  mediante  sentido  de  buzamiento y buzamiento?    En el plano con orientación 270º/60º, a continuación del ángulo de buzamiento  no hay ninguna indicación acerca del sentido de este buzamiento. O bien el plano está  mal  indicado  o  está  orientado  mediante  sentido  de  buzamiento  y  buzamiento.  El  ángulo de buzamiento del plano es de 60º y su sentido, 270º (oeste de la falsilla), luego  este plano está buzando hacia el oeste y su dirección es 000º o 180º (perpendicular a  270º).    17   

Reduca (Geología). Serie Geología Estructural.  2 (1): 11‐23, 2010.                                               ISSN: 1989‐6557  Para hallar su estereograma, colocamos la dirección 270º sobre el diámetro E‐O  de la falsilla y contamos directamente desde la primitiva hacia el centro, los 60º. En ese  punto dibujamos el círculo mayor correspondiente a este plano.    El  último  plano  es  vertical  (su  buzamiento  es  de  90º),  por  tanto  vendrá  representado  por  un  diámetro  de  la  falsilla  o  lo  que  es  lo  mismo,  el  círculo  mayor  correspondiente  es  una  línea  recta  que  pasa  por  el  centro  de  la  falsilla  y  tiene  una  dirección de 80º.    Problema 2    Para una superficie de estratificación cuya orientación es 080º‐24ºS, deducir las  orientaciones de su máxima pendiente y de una pendiente de 0º. Calcular los valores  de los buzamientos aparentes según los sentidos 100º, 120º, 190º y 260º.     Dibujar  la  circunferencia  primitiva  en  el  transparente  y  colocar  los  puntos  cardinales. Marcar sobre ella la dirección 80º y girar el transparente hasta que  esta dirección coincida sobre el diámetro (plano vertical) N‐S de la falsilla.     Sobre el diámetro E‐O de la falsilla, a partir de la primitiva hacia dentro y desde  el extremo del diámetro más próximo al sur (el plano buza al sur), contamos el  valor  correspondiente  al  ángulo  de  buzamiento  y  dibujamos  el  estereograma  del plano (círculo mayor).     Giramos nuevamente el transparente hasta ponerlo en su posición original.    Por  definición,  la  orientación  de  la  línea  de  máxima  pendiente  de  un  plano  es  perpendicular  a  la  dirección  del  plano,  por  tanto  estará  situada  sobre  la  dirección  80º+90º=170º, luego la línea de máxima pendiente del plano (sentido de buzamiento)  está  orientada  según  los  170º.  La  pendiente  correspondiente  a  0º  (buzamiento  aparente  de  0º)  se  encontrará  según  una  dirección  que  coincida  con  al  dirección  del  plano, bien 80º o 260º.    Para  calcular  cualquier  valor  de  buzamiento  aparente  según  un  sentido  determinado, marcamos sobre la primitiva el sentido deseado, lo colocamos sobre el  diámetro  E‐O  de  la  falsilla  y  contamos  sobre  él  el  ángulo  entre  la  primitiva  y  el  estereograma.  Este  valor  es  el  buzamiento  aparente  medido  según  el  sentido  requerido. La misma operación se repite para cada uno de los buzamientos aparentes.    Si estos problemas los resolvemos con la falsilla de Wulff que conserva ángulos,  podemos hacer medidas de buzamientos aparentes, inmersiones de líneas, etc, sobre  cualquiera de los diámetros (planos verticales), tanto el N‐S como el E‐O.    En la figura 5 está resuelto el problema y las soluciones son las siguientes:   

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Reduca (Geología). Serie Geología Estructural.  2 (1): 11‐23, 2010.                                               ISSN: 1989‐6557  Según el sentido 100º, el buzamiento aparente es de 10º; según el sentido 120º,  es de 17º, según el sentido 190º es de 22,5º y según el sentido 260º es de 0º, ya que  260º corresponde a la dirección del plano.   

 

 

Figura 5. Resolución del problema 2. Ver texto para su explicación. 

    Problema 3    La  orientación  de  un  estrato  es  220º‐70ºS.  Hallar  los  sentidos  en  los  que  se  encontrarán buzamientos aparentes de 30º, 50º y 70º.     Colocar el transparente sobre la falsilla y dibujar la circunferencia primitiva y los  puntos  cardinales.  A  continuación,  representar  el  estereograma  del  plano  colocando la dirección (220º) sobre el diámetro N‐S de la falsilla y contando el  buzamiento desde el sur sobre el diámetro E‐O.     Una  vez  dibujado  el  estereograma,  vamos  moviendo  el  transparente  y  buscando los valores de los ángulos de buzamiento aparente sobre el diámetro  E‐O. Cada vez que encontramos uno de estos valores, los sentidos los leemos  directamente sobre la primitiva. Hay que tener en cuenta que siempre existirán  dos  sentidos  en  los  que  se  cumple que  el  buzamiento  aparente  es  del  mismo  valor.    El problema resuelto aparece en la figura 6 y las soluciones son:     Buzamiento aparente de 30º, según los sentidos 207º y 053º.     Buzamiento aparente de 50º, según los sentidos 194º y 067º  19   

Reduca (Geología). Serie Geología Estructural.  2 (1): 11‐23, 2010.                                               ISSN: 1989‐6557  El  buzamiento  de  70º  es  el  buzamiento  real,  dato  que  nos  da  el  enunciado  del  problema. El sentido correspondiente a este buzamiento real será 220º‐90º=130º, no  existiendo buzamiento aparente según ese sentido.   

 

 

Figura 6. Resolución del problema 3. Ver texto para su explicación. 

    Problema 4    El plano axial de un pliegue tiene una dirección de 160º y se ha podido medir un  buzamiento aparente de 18º según la dirección 030º. Calcular el valor del buzamiento  real del plano axial (Fig. 7).     Colocar  sobre  la  primitiva  una  marca  en  la  dirección  del  plano  axial,  en  este  caso, 160º.     A continuación marcar la dirección 30º, llevarla a un plano vertical de la falsilla  de  Wulff  y  contar  desde  la  periferia  hacia  el  centro  el  ángulo  de  buzamiento  aparente de 18º. Este buzamiento aparente viene representado por un punto  dentro  de  la  falsilla  de  proyección,  como  se  indica  en  Babín  y  Gómez  (2010),  referente a las líneas.     El plano buscado se obtendrá llevando la dirección 160º sobre el diámetro N‐S  de la falsilla y trazando el círculo mayor que contiene el punto que representa  el  buzamiento  aparente  dado.  El  buzamiento  real  del  plano  leído  en  el  estereograma, es de 23º al E o SE, o bien 23º/070º.   

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Figura 7. Resolución del problema 4. Ver texto para su explicación. 

    Problema 5    En un afloramiento se observa una serie terciaria discordante sobre el Cretácico.  De esta discordancia se han medido dos buzamientos aparentes: 140º/15º y 078º/30º.  Calcular la orientación del plano.     Como  ya  es  costumbre,  dibujar  la  circunferencia  primitiva  y  los  puntos  cardinales.     Representar  la  falsilla  cada  uno  de  los  buzamientos  aparentes  medidos  en  el  campo.  Como  se  ha  visto  en  el  problema  anterior,  para  cada  uno  de  ellos  se  coloca su dirección sobre uno de los diámetros verticales de la falsilla y sobre  él,  directamente,  se  cuenta  el  valor  correspondiente  al  buzamiento  aparente  (15º y 30º respectivamente).     De  esta  forma  se  obtienen  dos  puntos  (líneas)  dentro  de  la  falsilla  de  proyección. Se mueve el transparente hasta que los dos puntos estén situados  sobre un círculo mayor y se dibuja este. Corresponde al estereograma del plano  21   

Reduca (Geología). Serie Geología Estructural.  2 (1): 11‐23, 2010.                                               ISSN: 1989‐6557  buscado y leemos su orientación, que resulta ser 168º‐30ºE. Observar que en  este  caso,  uno  de  los  supuestos  buzamientos  aparentes,  en  realidad  corresponde con el buzamiento real del plano (Fig. 8).   

 

 

Figura 8. Resolución del problema 5. Ver texto para su explicación. 

    Problema 6    Un  estrato  tiene  un  buzamiento  de  40ºN.  ¿En  qué  dirección  el  buzamiento  aparente  será  máximo?  ¿Se  mantendrá  la  misma  dirección  de  buzamiento  si  el  valor  del ángulo de buzamiento varía? Razonar la respuesta.     Si un estrato tiene un valor de buzamiento, sea cual sea este, en sentido norte,  es  en esa  dirección  donde  el  buzamiento  aparente  será máximo,  ya  que  es el  sentido  de  buzamiento  real  del  plano.  Esto  quiere  decir  que  la  dirección  del  estrato  debe  ser  la  perpendicular  al  sentido  de  buzamiento,  por  tanto  esta  dirección necesariamente es E‐O, o 90º o 270º.     Se dibuja el estereograma correspondiente a este plano (Fig. 9), y se observa,  como es lógico, que el valor máximo de buzamiento aparente coincidirá con el  buzamiento real del plano, según el sentido norte (000º o 360º). Sea cual sea el  valor correspondiente al buzamiento real del plano, siempre el sentido de este  buzamiento será perpendicular a la dirección, por lo tanto será hacia el norte.  22   

Reduca (Geología). Serie Geología Estructural.  2 (1): 11‐23, 2010.                                               ISSN: 1989‐6557 

 

 

Figura 9. Resolución del problema 6. Ver texto para su explicación.   

BIBLIOGRAFÍA      Babín  Vich,  R.  B.  y  Gómez  Ortiz,  D.  2010.  Problemas  de  Geología  Estructural.  3.  Orientación  y  proyección  de  líneas  en  el  espacio.  Reduca  (Geología).  Serie  Geología Estructural, 2 (1): 24‐40.      BIBLIOGRAFÍA DE CONSULTA    Davis, G. H. 1984. Structural Geology of rocks and Regions. Wiley & Sons. 492 pp.    Lheyson,  P.  R.;  Lisle,  R.  J.  1996.  Stereographic  projection  techniques  in  Structural  Geology. Butterworth‐Heinemann Ltd. Oxford. 104 pp.    Marshak, S & Mitra, G. 1982. Basic methods of structural geology. Prentice & Hall. 446  pp.    Phillips, F. C. 1971. The use of stereographic projection in Structural Geology. Edward  Arnol. London. 90 pp.    Ragan, D. M. 1987. Geología Estructural. Ed. Omega. Barcelona. 210 pp.    Turner, F. & Weiss, L.R. 1963. Structural analysis of metamorphic tectonites. McGraw  Hill. New York. 545 pp.      Recibido: 18 noviembre 2009.  Aceptado: 22 diciembre 2009. 

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Reduca (Geología). Serie Geología Estructural.  2 (1): 24‐40, 2010.                                               ISSN: 1989‐6557   

  Problemas de Geología Estructural  3. Orientación y proyección de líneas en el espacio    Rosa Blanca Babín Vich1. David Gómez Ortiz2.   

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Departamento de Geodinámica. Facultad de Ciencias Geológicas.  Universidad Complutense de Madrid. José Antonio Novais, s/n. 28040‐Madrid.  [email protected]  2 Área de Geología‐ESCET. Universidad Rey Juan Carlos. Tulipán, s/n. 28933‐Móstoles.  [email protected] 

    Resumen:  la  orientación  y  representación  estereográfica  de  elementos  lineales  tales  como ejes de pliegues, lineamientos minerales, estrías de falla, etc. presentan algunas  diferencias  importantes  respecto  a  los  elementos  planares  que  hay  que  conocer.  Conceptos  como  inmersión  y  cabeceo  son  descritos  en  detalle,  junto  con  numerosos  ejemplos de representación.    Palabras clave: dirección. Inmersión. Cabeceo. Sentido de buzamiento.      INTRODUCCIÓN      En  primer  lugar  y  de  forma  muy  concisa,  recordaremos  los  conceptos  de  dirección,  inmersión  y  cabeceo  de  una  línea,  con  objeto  de  que  el  alumno  conozca  perfectamente  todos  estos  términos  y  no  haya  confusión  a  la  hora  de  proyectar  cualquiera de ellos.      DEFINICIONES      Las  estructuras  lineares  en  rocas  aparecen  con  gran  variedad  de  formas  y  orígenes.  Pueden  ser  estructuras  primarias  desarrolladas  durante  la  sedimentación,  como sucede con aquellas estructuras de corriente que en ocasiones se observan en  los  planos  de  estratificación  que  ahora  se  ven  basculados,  o  bien  estructuras  relacionadas  con  la  deformación.  En  el  primer  caso,  la  proyección  estereográfica  permite conocer la dirección de dicha corriente en el momento de su actuación.    Más  interesantes  para  al  geólogo  estructural  son  las  estructuras  lineares  de  origen  tectónico.  Líneas  de  charnela  o  líneas  de  máxima  curvatura  del  pliegue,  lineaciones  minerales  en  tectonitas  metamórficas,  estrías  de  falla  que  nos  dan  información  de  la  dirección  de  movimiento  de  la  falla  y  un  largo  etcétera.  También  24   

Reduca (Geología). Serie Geología Estructural.  2 (1): 24‐40, 2010.                                               ISSN: 1989‐6557    podemos obtener datos de las estructuras a partir de las líneas de intersección entre  dos planos no paralelos.    De la misma manera, deben ser tenidas en cuenta otro tipo de líneas que no se  manifiestan  en  el  afloramiento  como  estructuras  visibles,  pero  que  pueden  ser  construidas geométricamente. Líneas alrededor de las cuales otras son giradas (ejes de  rotación), líneas perpendiculares a un plano dado (normal al plano o polo del plano),  ejes principales de esfuerzos, ejes de pliegues, etc.    Desde  el  punto  de  vista  de  la  proyección  estereográfica,  las  líneas  vienen  representadas en el plano ecuatorial de la esfera de proyección por un punto, tanto si  nos referimos a líneas que podemos observar físicamente (cantos estirados, estrías de  falla,  etc.)  como  aquellas  que  resultan  de  la  intersección  de  planos  (clivaje  y  estratificación, dique y esquistosidad, etc.). Todas estas líneas se orientan en el espacio  en función de los ángulos que se enuncian a continuación.    Dirección    Es  el  ángulo  que  forma  la  proyección  en  la  horizontal  de  la  línea,  con  el  norte  geográfico. Normalmente se representa con la letra δ (Fig. 1).    Inmersión (plunge)    Es el ángulo que forma la línea con su proyección en la horizontal, medido en el  plano vertical que contiene a la línea y a su proyección. Se representa con la letra i (Fig.  1).   

 

  Figura 1. Ángulos utilizados para orientar líneas en el espacio. 

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Reduca (Geología). Serie Geología Estructural.  2 (1): 24‐40, 2010.                                               ISSN: 1989‐6557    Por  ejemplo,  una  línea  con  orientación  068º/30º  tiene  una  inmersión  (“se  inclina”)  30º  hacia  la  dirección  068º,  luego  el  sentido  de  inmersión  es  068º  o  NE.  La  línea  125º/00º  puede  también  ser  escrita  como  305º/00º  ya  que  es  horizontal  (inmersión 00º), luego su sentido de inmersión puede ser cualquiera de los dos. Una  línea con una inmersión de 90º es vertical sin sentido de inmersión definido.    Cabeceo (pitch, rake)    Muchas estructuras lineares se desarrollan dentro de planos estructurales. En el  caso de que una línea esté contenida en un plano inclinado, el cabeceo es el ángulo,  entre la línea y la dirección del plano inclinado que la contiene, medido en este plano  inclinado. Se representa con la letra c (Fig. 1).      ORIENTACIÓN DE LÍNEAS EN EL ESPACIO      Para  orientar  una  línea  en  el  espacio,  es  necesario  conocer  su  dirección  y  un  segundo  ángulo  que  puede  ser  la  inmersión  o  bien  el  cabeceo  sobre  un  plano  conocido. Si utilizamos la inmersión, hemos de imaginar un plano vertical que contiene  a  la  línea  y  a  su  proyección.  La  dirección  de  este  plano  vertical  es  la  dirección  de  la  línea y el ángulo que forman la línea y su proyección, es el ángulo de inmersión. De las  dos posibilidades de dirección (a 180º una de otra), se escoge aquella hacia la cual se  dirige la inmersión de la línea (sentido de inmersión).    Si  la  línea  está  contenida  en  un  plano  visible  (estrías  en  un  plano  de  falla),  se  puede  utilizar  para  la  orientación  de  ésta,  el  ángulo  de  cabeceo  además  de  su  dirección.  El  valor  del  ángulo  de  cabeceo  puede  variar  desde  cero cuando  la  línea  es  horizontal  hasta  90º,  cuando  se  mide  paralelamente  al  sentido  de  buzamiento  del  plano. Para describir correctamente el cabeceo es necesario dar el valor del ángulo y  su sentido, así como la orientación del plano en el que se ha medido.      PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA DE UNA LÍNEA    Línea orientada mediante dirección e inmersión    El principio básico es similar a la proyección de un plano. La línea L pasa por el  centro  de  la  esfera  y  se  extiende  hasta  cortar  al  hemisferio  inferior  en  un  punto  (P).  Este punto se une con el zenit de la esfera mediante una línea recta, y la proyección  estereográfica de la línea L se localiza donde esta recta corta al plano de proyección,  por  tanto,  en  un  punto  (P´)  (Fig.  2  A).  Las  líneas  se  proyectan  como  puntos  en  proyección estereográfica. El procedimiento es el siguiente suponiendo una línea con  orientación 060º/40º.      26   

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Figura 2. A. Proyección esférica de una línea. B. Representación estereográfica de líneas: horizontal,  vertical e inclinada. 

     

  

  Marcar en la circunferencia primitiva la dirección (sentido de inmersión) de la  línea, 060º en este ejemplo (Fig. 3 A).  Girar  el  transparente  hasta  que  esta  marca  esté  situada  en  uno  de  los  diámetros principales, norte‐sur o este‐oeste siempre que se utilice la falsilla de  Wulff. Si se utiliza la de Schmidt, sobre el diámetro este‐oeste únicamente (Fig.  3B).  Contar el ángulo de inmersión a lo largo de este radio desde la circunferencia  primitiva hacia el centro, y marcar el punto que representa la proyección de la  27 

 

Reduca (Geología). Serie Geología Estructural.  2 (1): 24‐40, 2010.                                               ISSN: 1989‐6557    línea (Fig. 3 C). La posición final de la línea en el estereograma, se aprecia en la  figura 3 D.   

Figura 3. Proyección estereográfica de una línea. Ver texto para su explicación. 

  Cuando existe una línea horizontal, con una dirección determinada, por ejemplo,  N‐S,  su  orientación  sería  00º/360º  o  bien  00º/180º,  de  forma  que  teóricamente  vendría  representada  en  la  proyección  por  dos  puntos  situados  en  la  circunferencia  primitiva,  justamente  sobre  los  puntos  cardinales  norte  y  sur  de  la  falsilla.  Estos  dos  puntos están representando la misma línea y cualquiera de ellos define su orientación.  Con dibujar uno de ellos, es suficiente.    De la misma manera, podemos obtener a partir del estereograma la orientación  de una línea. Imaginemos una situación como la que aparece en la figura 2 B.   

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Reduca (Geología). Serie Geología Estructural.  2 (1): 24‐40, 2010.                                               ISSN: 1989‐6557    Las  líneas  vienen  representadas  por  los  tres  puntos  marcados.  Para  conocer  su  orientación, hacemos lo siguiente:     Giramos  el  transparente  hasta  que  el  punto  que  representa  la  línea  quede  sobre  uno  de  los  diámetros  N‐S  o  E‐O  de  la  falsilla.  Sobre  este  plano  vertical  leemos la inmersión de la línea, desde la primitiva hacia el centro de la falsilla.     En esta misma posición, hacemos una marca en la primitiva, donde esta corta al  diámetro elegido.     Colocamos el norte del transparente coincidiendo con el de la falsilla.     Leemos el ángulo sobre la primitiva desde el norte hasta la marca anterior. Este  ángulo  es  la  dirección  de  la  línea  que  nos  está  marcando  su  sentido  de  inmersión.     La misma operación se repite para cada una de las líneas.    Línea orientada mediante dirección y cabeceo sobre un plano conocido    En este caso el dato que hemos obtenido en el campo se refiere, por ejemplo, a  la orientación de un plano de falla y el cabeceo de una familia de estrías que aparecen  en este plano. El plano de falla está orientado N40ºE‐20ºSE y la estría tiene un cabeceo  de 45ºS medido en este plano (Fig. 4).    Para representar el estereograma correspondiente, el proceso es como sigue:     Dibujar sobre el transparente el círculo mayor que representa el plano medido,  como ya se ha indicado anteriormente.     Dentro de este círculo mayor, está la línea representada por su cabeceo. Si el  cabeceo  es  el  ángulo  entre  la  línea  y  la  dirección  del  plano  inclinado  que  la  contiene, solo tenemos que medir el ángulo de 45º en el plano (círculo mayor)  colocado sobre un círculo mayor de la falsilla, desde el sur, contando con ayuda  de los círculos menores.     Este  punto,  situado  sobre  el  estereograma  del  plano  de  falla,  representa  la  orientación de la estría.    De la misma manera, podemos resolver el problema inverso. En el estereograma  de la figura 5 se han representado dos planos N40ºE‐30ºNO y 116º‐50ºS, ambos con  una  línea  inscrita,  L  y  L´  respectivamente.  ¿Cuál  será  el  valor  del  ángulo  de  cabeceo  para cada una de las líneas? 

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Reduca (Geología). Serie Geología Estructural.  2 (1): 24‐40, 2010.                                               ISSN: 1989‐6557   

 

 

Figura  4.  Representación  estereográfica  de  una  línea,  mediante  su  cabeceo  en  un  plano  conocido. 

 

 

Figura 5. Medida de dirección, inmersión y cabeceo para dos líneas L y L´ contenidas en dos  planos de orientación conocida. 

  Colocamos  uno  de  los  planos  coincidiendo  con  un  círculo  mayor  de  la  falsilla.  Contando  desde  el  norte  o  desde  el  sur  a  partir  de  los  círculos  menores,  sabremos  30   

Reduca (Geología). Serie Geología Estructural.  2 (1): 24‐40, 2010.                                               ISSN: 1989‐6557    cual es el ángulo de cabeceo de esa línea medido sobre ese plano. A continuación del  valor,  colocamos  su  sentido,  que  corresponderá  al  cuadrante  donde  esté  situada  la  línea.  Al  mismo  tiempo,  podemos  medir  su  dirección  e  inmersión,  como  se  ha  explicado en el problema anterior. Los resultados son los siguientes:    L: cabeceo.  36ºS;  dirección.  252º;  inmersión.  18º  252º/18º  L´: cabeceo.  40ºE;  dirección.  144º;  inmersión.  38º  144º/38º    El mismo proceso se seguirá para cualquiera de las líneas del estereograma.      CONCLUSIONES      Las  líneas  en  el  espacio  se  orientan  mediante  dos  ángulos,  que  pueden  ser  sentido de inmersión (dirección) e inmersión, o bien dirección y cabeceo medido sobre  un  plano  inclinado  que  contiene  a  la  línea.  En  este  caso,  es  necesario  indicar  la  orientación del plano en el que se ha medido el ángulo de cabeceo de la línea.    A partir de las explicaciones y los ejercicios resueltos, se deduce que es bastante  rápido  y  sencillo  proyectar  líneas  en  proyección  estereográfica,  y  que  su  proyección  siempre es un punto dentro del estereograma.    También se pueden relacionar con facilidad planos y líneas en la proyección, de  forma  que  conocidos  datos  referentes  a  unos  y  a  otras,  podemos  llegar  a  obtener  mucha información, a menudo difícil de encontrar directamente en el afloramiento.    Todos estos problemas se pueden a su vez combinar con resoluciones propias de  proyección  ortográfica,  de  tal  manera  que  todo  lo  referente  a  la  medida  de  ángulos  puede ser tratado en proyección estereográfica y los datos obtenidos por este método  añadirlos  a  aquellos  que  necesariamente  necesitan  un  tratamiento  mediante  planos  acotados.      PROBLEMAS      Problema 1    Proyectar las siguientes medidas de líneas y planos:    Planos. a)030º/20º; b)040º/70º; c)270º‐20ºS; d)020º‐54ºE    Líneas. a)290º/10º; b)120º/70º; c)080º/00º;d)vertical.   

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Reduca (Geología). Serie Geología Estructural.  2 (1): 41‐56, 2010.                                               ISSN: 1989‐6557 

  Problemas de Geología Estructural  4. Proyección polar de un plano. Proyección π    Rosa Blanca Babín Vich1. David Gómez Ortiz2.   

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Departamento de Geodinámica. Facultad de Ciencias Geológicas.  Universidad Complutense de Madrid. José Antonio Novais, s/n. 28040‐Madrid.  [email protected]  2 Área de Geología‐ESCET. Universidad Rey Juan Carlos. Tulipán, s/n. 28933‐Móstoles.  [email protected] 

    Resumen: la representación estereográfica de planos puede llevarse a cabo también si  se proyecta únicamente el polo del plano en lugar de su intersección con la esfera de  proyección  (ciclográfica),  de  manera  que  se  simplifica  de  manera  importante  la  representación  de  grandes  volúmenes  de  datos,  facilitando  así  su  interpretación.  También  es  esencial  para  resolver  algunos  problemas  como  la  obtención  del  ángulo  entre dos planos.    Palabras clave: polo de un plano. Diagrama de polos. Proyección π.      INTRODUCCIÓN      Con  el  estudio  de  los  artículos  anteriores  (Babín  y  Gómez,  2010  a,  b  y  c),  y  la  repetición de los problemas ya resueltos, el alumno debe haber aprendido a visualizar  y  proyectar  líneas  y  planos  en  el  espacio  mediante  proyección  estereográfica.  Ahora  vamos  a  introducir  un  nuevo  concepto,  polo  de  un  plano  o  proyección  polar  de  un  plano, que va a ser muy útil para calcular ángulos entre estructuras.    Una vez comprendido el concepto de polo de un plano y su proyección, veremos  que  cualquier  estructura  puede  ser  girada  fácilmente  en  el  espacio,  y  cambiada  de  orientación en una falsilla de proyección. Tanto la proyección polar de planos como las  rotaciones  en  el  espacio,  nos  permiten  resolver  muchos  problemas  prácticos  en  Geología Estructural.      CONCEPTO DE POLO DE UN PLANO      Cuando  en  un  estereograma  aparecen  gran  cantidad  de  círculos  mayores  correspondientes  a  proyecciones  β  de  planos,  es  difícil  hacer  una  lectura  y  posterior 

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Reduca (Geología). Serie Geología Estructural.  2 (1): 41‐56, 2010.                                               ISSN: 1989‐6557  interpretación,  ya  que  las  trazas  de  los  diferentes  planos  se  cruzan  entre  si  y  son  difíciles de separar e identificar.    Afortunadamente, es posible representar la orientación de un plano mediante la  normal a ese plano (Fig. 1). La normal es la línea perpendicular al plano y por tanto se  proyecta como un punto que recibe el nombre de polo del plano y por definición, se  sitúa a 90º del centro del círculo mayor que representa al plano.     

 

  Figura 1. a) Proyección en el hemisferio inferior de la esfera, de un plano y su polar. b) Estereograma  del plano anterior y de su polo. 

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Reduca (Geología). Serie Geología Estructural.  2 (1): 41‐56, 2010.                                               ISSN: 1989‐6557  En  la  proyección  esférica  de  la  figura  1  A,  se  observa  la  relación  entre  la  proyección  ciclográfica  del  plano  (representada  por  un  círculo  mayor)  y  su  normal  (representada  por  un  punto).  Este  corresponde  al  punto  de  corte  del  hemisferio  inferior de la esfera con la línea de esa orientación que pasa por su centro, y que es  perpendicular al plano. El estereograma de la figura 1 B, muestra la relación ortogonal  del plano y su polo.    La  distancia  del  polo  al  centro  de  la  primitiva  es  r∙tan(β/2)  siendo  β  el  buzamiento del plano y r el radio del estereograma. Cada plano tiene una única normal  que  se  proyecta  como  un  único  punto  en  la  proyección,  por  tanto  podemos  representar  la  orientación  de  cualquier  plano  mediante  su  polo.  Los  diagramas  que  representan polos de planos se conocen como diagramas π o diagramas de polos.    La  relación  de  perpendicularidad  entre  normal  y  plano  ha  de  ser  recordada  siempre.  Esto  significa  que  si  el  plano  tiene  un  buzamiento  de  20º,  su  línea  perpendicular (la normal al plano) tendrá una inmersión de 90‐20 = 70º. La normal de  un  plano  vertical  será  una  línea  horizontal  que  se  proyectará  sobre  la  circunferencia  primitiva.  La  normal  de  una  superficie  horizontal  será  una  línea  vertical,  por  tanto  el  polo se proyectará en el centro de la falsilla. Las relaciones ortogonales plano/normal  significan  que  la  dirección  de  la  normal  está  a  90º  de  la  dirección  del  plano,  en  el  sentido opuesto al buzamiento del plano.      MÉTODO PARA PROYECTAR EL POLO DE UN PLANO      Conocemos  la  orientación  de  un  plano  definido  mediante  dirección  y  buzamiento,  y  vamos  a  proyectar  este  plano  tanto  en  proyección  ciclográfica  como  polar, para visualizar las relaciones entre los dos tipos de proyección. El plano es, por  ejemplo, N40ºE‐30ºS.    En  primer  lugar  y  como  es  costumbre,  marcar  la  dirección  del  plano  en  la  primitiva y girar el transparente hasta que esta marca esté situada sobre el diámetro  N‐S  de  la  falsilla.  Podemos  dibujar  el  círculo  mayor  correspondiente  (proyección  ciclográfica) en primer lugar, como ya sabemos (Fig. 2).    En esta misma posición, (dirección del plano sobre el diámetro N –S de la falsilla),  el polo vendrá representado por la perpendicular al plano, situada sobre el diámetro E‐ O.  Contamos  desde  el  centro  de  la  falsilla  y  en  sentido  contrario  al  buzamiento  del  plano el valor del ángulo de buzamiento, y este punto representa el polo (P), o bien,  desde  la  primitiva  hacia  dentro  el  ángulo  complementario  al  valor  del  buzamiento  (ángulo de inmersión del polo, en este caso 60º, ya que 90º‐30º = 60º) y obtenemos el  mismo punto anterior. Para comprobar que efectivamente esta línea es perpendicular  al  plano,  contamos  sobre  el  diámetro  E‐O  el  ángulo  entre  el  plano  y  su  polo,  y  efectivamente es de 90º. La forma más rápida para dibujar directamente el polo, una  vez  colocada  la  dirección  del  plano  sobre  el  diámetro  N‐S  de  la  falsilla,  es  contar  el  43   

Reduca (Geología). Serie Geología Estructural.  2 (1): 41‐56, 2010.                                               ISSN: 1989‐6557  buzamiento del plano desde la chincheta hacia la primitiva, en sentido contrario al del  buzamiento del plano.    Una vez conocido el concepto de polo del plano, podemos resolver una serie de  problemas que explicamos a continuación.   

 

 

Figura 2. Proyección de un plano mediante un círculo mayor (ciclográfica) y su normal (polar). 

    MEDIDAS DE ÁNGULOS ENTRE LÍNEAS Y PLANOS    Medida del ángulo diedro entre dos planos    Un ángulo diedro es el ángulo formado por dos planos que se cortan, medido en un  tercer  plano  que  es  perpendicular  a  los  anteriores  (Fig.  3).  Se  puede  medir  fácilmente  mediante el ángulo entre los polos de los planos en un estereograma, o bien dibujando el  plano perpendicular a la línea de corte de los dos planos, que es el plano perpendicular a  los  dos  planos  y  contiene  ambos  polos.  Como  los  polos  son  líneas,  el  ángulo  entre  dos  líneas  se  mide  en  el  plano  que  las  contiene,  por  tanto,  en  el  estereograma,  el  ángulo  entre los dos polos se mide a lo largo del círculo mayor en el cual están contenidos.    En muchos casos, el ángulo diedro se especifica como un ángulo agudo (Ej.: entre  diaclasas conjugadas), pero no siempre es así, ya que el ángulo buscado puede ser mayor  de 90º (Ej.: ángulo entre un dique y una superficie de estratificación).    Caso  especial  es  la  medida  del  ángulo  interlimbo  (ángulo  formado  por  los  dos  flancos de un pliegue), en ocasiones no muy claro. El estereograma ofrece dos posibles  ángulos, uno agudo y otro obtuso. El problema principal es que no siempre es obvio cual  44   

Reduca (Geología). Serie Geología Estructural.  2 (1): 41‐56, 2010.                                               ISSN: 1989‐6557  de los dos ángulos es el idóneo si no conocemos suficientes datos acerca del pliegue. En  el capítulo de pliegues (Babín y Gómez, 2010 d) intentaremos resolver este problema.   

Figura 3. Medida del ángulo entre dos planos, utilizando la proyección ciclográfica (a, b) y polar (c). 

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Medida usando círculos mayores ( proyección ciclográfica)     Proyectar ambos planos como círculos mayores a partir de sus orientaciones.     La  línea  de  intersección  (L)  de  estos  dos  planos,  corresponde  al  punto  de  intersección de los círculos mayores (Fig. 3 A).     Dibujar el plano perpendicular a esta línea. Es el plano cuyo polo es la línea de  intersección, por tanto es el plano perpendicular a los dos planos anteriores.  (Fig. 3 B).     Medir en este tercer plano el ángulo diedro.    Tener en cuenta que existen dos posibilidades. En la Figura 3 B se observa que hay  un ángulo agudo y otro obtuso entre los dos planos. La suma de ambos es 180º.    Si  se  mide  el  ángulo  en  otro  plano  que  no  es  perpendicular  a  los  anteriores,  el  resultado  obtenido  es  distinto  y  no  corresponde  al  verdadero  valor  del  ángulo  diedro.    Medida usando polos de planos (proyección polar)    Este método se basa en el hecho de que el ángulo diedro entre dos planos es igual  al ángulo formado por las normales a estos planos.     Proyectar los dos planos anteriores mediante sus polos.     Mover el transparente hasta que los dos polos coincidan en un círculo mayor.     Dibujar el círculo y medir el ángulo entre los polos (agudo y obtuso) (Fig. 3 C).    Medida del ángulo entre un plano y una línea 

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El ángulo entre una línea y un plano es el mismo que el formado por la línea y la  perpendicular al plano (normal o polo del plano). Este ángulo se mide (Fig. 4) en  un segundo plano que contiene la línea y la perpendicular al plano. En proyección  estereográfica, el ángulo entre una línea y un plano se mide en el círculo mayor  que contiene a la línea (L) y al polo del plano (P).    Cálculo del plano bisector del ángulo entre dos planos    El plano bisector del ángulo entre dos planos, es aquel que contiene a la línea de  intersección de los dos planos y a la línea que bisecta el ángulo diedro formado por los  dos planos. En el caso de algunos pliegues angulares (kinks, chevron,.etc.) es razonable  asumir que el plano que bisecta el ángulo entre los dos flancos del pliegue y contiene a la  línea de charnela, es el plano axial del pliegue.  46   

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Figura 4. Medida del ángulo entre un plano de orientación conocida y una línea L. 

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Cálculo utilizando círculos mayores (proyección ciclográfica) 

  Partimos  de  dos  planos  cuyas  orientaciones  son:  095º‐60ºN  y  330º‐30ºSO.  El  método a seguir es el que se explica a continuación (Fig. 5).     Proyectar ambos planos como círculos mayores. Su punto de corte define la  línea de intersección de los planos L, cuya orientación es: 288º/21º.     Dibujar el plano perpendicular a la línea de intersección.     Contar en este plano el ángulo que forman los dos planos y hallar su punto  medio (A).     Dibujar  el  plano  que  contiene  la  línea  de  intersección  L  y  el  punto  medio  del ángulo A. Este plano será bisector del ángulo entre los planos, bien del  agudo o del obtuso, según el que se haya elegido.    En la figura 5, el plano bisector elegido es el correspondiente al ángulo obtuso  (100º)  y  su  orientación  es  115º‐74ºSO.  El  punto  medio  correspondiente  al  ángulo agudo es el punto B. Uniendo B y L podemos dibujar el plano bisector  correspondiente al ángulo agudo.    Comprobar  que  los  planos  bisectores  de  los  ángulos  agudo  y  obtuso,  son  perpendiculares entre sí.  47   

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    Figura  5.  Cálculo  de  la  orientación  del  plano  bisector  entre  dos  planos  conocidos,  utilizando  la  proyección ciclográfica. 

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Cálculo utilizando los polos (proyección polar)     Proyectar los polos de los planos (P1 y P2) (Fig. 6).     Dibujar el círculo mayor que contiene a los dos polos.     La línea de corte de los dos planos (L), corresponde al polo del plano que  contiene a los dos polos anteriores.     Contar los ángulos ente polos y hallar sus puntos medios respectivos (A y  B). Trazando el círculo mayor que contiene la línea de corte y cada uno de  los puntos medios, obtenemos los planos bisectores agudo y obtuso.      CONCLUSIONES 

    Es  posible  proyectar  cualquier  plano  en  proyección  estereográfica  mediante  un  punto  que  representa  su  normal  (línea  perpendicular  al  plano).  Este  hecho  es  especialmente  importante  cuando  se  trabaja  con  un  número  elevado  de  planos  y  en  aquellos casos en los que es necesario conocer valores angulares entre planos, líneas o  planos y líneas. La mecánica de estos problemas es sencilla y rápida como se ha visto,  por ello es la proyección más utilizada por los geólogos estructurales para la resolución  de casos semejantes.  48   

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Figura 6. Cálculo de la orientación del plano bisector entre dos planos conocidos, mediante proyección  polar. 

    PROBLEMAS      Problema 1    Proyectar  mediante  proyección  ciclográfica  y  polar,  las  siguientes  orientaciones  correspondientes a superficies de estratificación (Fig. 7).    a)  360º‐40ºE; b) N90ºE‐26ºS; c) 045º‐90º; d) horizontal.     Marcar la dirección dada en la primitiva y hacerla coincidir con el diámetro N‐S  de la falsilla. Contar el buzamiento desde la primitiva hacia el centro, sobre el  diámetro E‐O. Dibujar el círculo mayor correspondiente.     Sin  mover  el  transparente,  con  la  dirección  del  plano  sobre  el  diámetro  N‐S,  contar  sobre  el  diámetro  E‐O  el  ángulo  de  buzamiento,  desde  el  centro  y  en   dirección opuesta al sentido de buzamiento del plano. Colocar el polo del plano  en ese lugar.     Comprobar  que  el  polo  tiene  un  ángulo  de  inmersión  cuyo  valor  es  complementario al de buzamiento.   

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Comprobar que el plano y su polo están a 90º uno de otro, contando el ángulo  entre ellos a lo largo del diámetro E‐O de la falsilla.  Comprobar  que  la  dirección  de  la  línea  (polo)  está  a  90º  de  la  dirección  del  plano. 

  Seguiremos el mismo procedimiento para proyectar cualquiera de los datos del  problema.  Todos  ellos  se  pueden  proyectar  en  una  misma  hoja,  visualizando  la  orientación de cada uno en el espacio.   

 

 

Figura 7. Resolución del problema 1. Ver texto para su explicación. 

    Problema 2    Dados  dos  planos  con  orientaciones  N30ºE‐30ºSE  y  20º/250º,  hallar  la  orientación de su línea de intersección, dando el valor de la inmersión y de los ángulos  de cabeceo sobre cada uno de los planos.    Visualizar  el  problema  (Fig.  8).  La  línea  de  intersección  de  los  dos  planos  (L),  si  estos se representan en proyección ciclográfica, será el punto en la proyección donde  se cortan los dos círculos mayores. Si la representación es en proyección polar, la línea  buscada será el polo del plano que une los polos de los planos dados.     En  este  caso,  dado  que  el  problema  nos  pide  los  valores  de  los  ángulos  de  cabeceo,  lo  resolveremos  mediante  círculos  mayores  para  hacer  la  medida  directamente.  50   

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Dibujar los círculos mayores para cada uno de los planos.  La  línea  de  intersección  se  lleva  a  un  diámetro  vertical,  y  en  él  se  mide  la  dirección e inmersión de la línea, 189º/11º.  Se coloca cada uno de los planos alternativamente sobre un círculo mayor, y se  mide según los círculos menores el valor correspondiente al ángulo de cabeceo  de la línea sobre cada uno de los planos, 21ºS y 34ºS. 

 

 

  Figura 8. Estereograma correspondiente al problema 2. Ver texto para su explicación. 

    Problema 3    Utilizando  los  datos  del  problema  anterior,  calcular  el  valor  del  ángulo  que  forman entre si los dos planos y la orientación del plano bisector de dicho ángulo.    Utilizar  un  nuevo  papel  transparente  y  proyectar  nuevamente  los  dos  planos  anteriores, bien mediante sus círculos mayores o mediante sus polos.    Si hemos proyectado los círculos mayores (Fig. 9 A):     Dibujar  el  plano  perpendicular  a  estos  dos  planos,  colocando  la  línea  de  intersección sobre el diámetro E‐O de la falsilla.   

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  

Contar  a  lo  largo  de  este  nuevo  plano,  los  valores  correspondientes  a  los  ángulos  agudo  y  obtuso,  56º  y  134º.  Hallar  y  marcar  el  punto  medio  de  cada  uno de ellos (puntos A y B).  Trazar los planos que contienen respectivamente a la línea de intersección y a  cada  uno  de  los  puntos  medios  del  ángulo  elegido.  Estos  nuevos  planos  representan los planos bisectores agudo y obtuso.  Leer  las  orientaciones  correspondientes  a  estos  planos  bisectores,  que  son  010º‐84ºO y 080º‐11ºS. 

  Si hemos representado los planos en proyección polar (Fig. 9B):       

Dibujar el plano que contiene los dos polos. Este plano es perpendicular a los  dos planos anteriores.  Contar  a  lo  largo  de  este  plano  los  valores  correspondientes  a  los  ángulos  agudo y obtuso. Marcar los puntos medios de dichos ángulos (A y B). 

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Dibujar  la  posición  del  polo  de  este  plano.  Corresponde  a  la  línea  de  intersección de los dos planos anteriores (L).    Los  planos  bisectores  pedidos  serán  aquellos  que  contienen  a  la  línea  de  intersección y a cada uno de los dos puntos medios.    Observar  que  en  este  tipo  de  problemas,  siempre  que  no  haya  más  datos,  existirán dos soluciones, sin que podamos decidir cuál de ellas es la válida. En el caso  de  que  hayamos  resuelto  el  problema  en  dos  transparentes  distintos,  colocar  uno  sobre otro y estudiar la relación entre polos y planos.      Problema 4    Calcular el valor del ángulo formado entre el plano de orientación 224º/36 y la  lineación mineral 010º/26º.    Como  ya  se  ha  explicado  anteriormente,  el  valor  del  ángulo  formado  entre  un  plano  y  una  línea,  es  el  mismo  que  el  formado  entre  la  línea  y  el  polo  del  plano.  El  proceso a seguir se detalla a continuación (Fig. 10).     Proyectar la línea en el transparente (L).     Proyectar el polo del plano (P1).     Dibujar el círculo mayor que contiene el polo del plano y la línea.  52   

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Contar  el  valor  del  ángulo  a  lo  largo  de  este  círculo  mayor,  utilizando  los  círculos menores. En la figura se ha calculado el valor correspondiente al ángulo  agudo, que es de 37º.     

 

 

  Figura  9.  Estereograma  correspondiente  al  problema  3.  A)  mediante  proyección  ortográfica.  B)  mediante proyección polar. 

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Figura 10. Resolución del problema 4. Ver texto para su explicación. 

    Problema 5    Un  plano  de  falla  de  orientación  N16ºE‐32ºSE,  muestra  unas  estrías  de  deslizamiento  con  un  ángulo  de  cabeceo  de  30ºN.  En  el  mismo  plano  aparece  un  conjunto de escalones con dirección 150º. Orientar ambas líneas mediante dirección e  inmersión y calcular el ángulo que forman medido sobre el plano de falla, así como los  ángulos entre el plano de falla y cada una de las líneas.     Proyectar el plano de falla mediante su círculo mayor correspondiente.     Colocar en este plano la línea correspondiente a las estrías, contando desde el  norte el ángulo de cabeceo.     Llevar  la  dirección  150º  sobre  un  diámetro  vertical  de  la  falsilla  y  colocar  la  posición de los escalones dentro del plano de falla.    En este momento, ya están proyectados todos los elementos del problema (Fig.  11). A partir de aquí, vamos obteniendo las soluciones.     Colocamos  cada  una  de  las  líneas  sobre  un  plano  vertical  de  la  falsilla,  y  medimos el ángulo de inmersión. En el caso de las estrías medimos su dirección  sobre  la  primitiva  que  es  042º  y  su  inmersión,  16º.  La  inmersión  correspondiente a los escalones es de 24º según los 150º. 

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Proyectamos  el  polo  del  plano  de  falla  (F)  y  dibujamos  el  plano  que  contiene  este polo y las estrías y el plano que contiene el mismo polo y los escalones. En  cada uno de estos planos medimos el ángulo entre el plano de falla y estrías /  escalones y resulta ser de 90º en ambos casos.   

 

 

Figura 11. Estereograma correspondiente al problema 5. Ver texto para su explicación. 

    BIBLIOGRAFÍA      Babín  Vich,  R.  B.  y  Gómez  Ortiz,  D.  2010  a.  Problemas  de  Geología  Estructural.  1.  Conceptos generales. Reduca (Geología). Serie Geología Estructural, 2 (1): 1‐10.    Babín  Vich,  R.  B.  y  Gómez  Ortiz,  D.  2010  b.  Problemas  de  Geología  Estructural.  2.  Orientación  y  proyección  de  planos  en  el  espacio.  Reduca  (Geología).  Serie  Geología Estructural, 2 (1): 11‐23.    Babín  Vich,  R.  B.  y  Gómez  Ortiz,  D.  2010  c.  Problemas  de  Geología  Estructural.  3.  Orientación  y  proyección  de  líneas  en  el  espacio.  Reduca  (Geología).  Serie  Geología Estructural, 2 (1): 24‐40.    Babín  Vich,  R.  B.  y  Gómez  Ortiz,  D.  2010  d.  Problemas  de  Geología  Estructural.  7.  Pliegues. Reduca (Geología). Serie Geología Estructural, 2 (1): 95‐123, 2010.        55   

Reduca (Geología). Serie Geología Estructural.  2 (1): 41‐56, 2010.                                               ISSN: 1989‐6557  BIBLIOGRAFÍA DE CONSULTA      Davis, G. H. 1984. Structural Geology of rocks and Regions. Wiley & Sons. 492 pp.    Lheyson,  P.  R.;  Lisle,  R.  J.  1996.  Stereographic  projection  techniques  in  Structural  Geology. Butterworth‐Heinemann Ltd. Oxford. 104 pp.    Marshak, S & Mitra, G. 1982. Basic methods of structural geology. Prentice & Hall. 446  pp.    Phillips, F. C. 1971. The use of stereographic projection in Structural Geology. Edward  Arnol. London. 90 pp.    Ragan, D. M. 1987. Geología Estructural. Ed. Omega. Barcelona. 210 pp.    Turner, F. & Weiss, L.R. 1963. Structural analysis of metamorphic tectonites. McGraw  Hill. New York. 545 pp.      Recibido: 18 noviembre 2009.  Aceptado: 22 diciembre 2009. 

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Reduca (Geología). Serie Geología Estructural.  2 (1): 57‐73, 2010.                                               ISSN: 1989‐6557 

  Problemas de Geología Estructural  5. Rotaciones    Rosa Blanca Babín Vich1. David Gómez Ortiz2.   

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Departamento de Geodinámica. Facultad de Ciencias Geológicas.  Universidad Complutense de Madrid. José Antonio Novais, s/n. 28040‐Madrid.  [email protected]  2 Área de Geología‐ESCET. Universidad Rey Juan Carlos. Tulipán, s/n. 28933‐Móstoles.  [email protected] 

    Resumen:  la  rotación  de  líneas  o  planos  representa  un  ejercicio  común  en  Geología  Estructural  que  puede  realizarse  más  fácilmente  mediante  proyección  estereográfica  que utilizando oras técnicas. Sin embargo, para ello es preciso conocer los diferentes  métodos  existentes  en  función  de  las  características  del  eje  de  rotación,  es  decir,  en  función  de  que  éste  sea  horizontal,  vertical  o  inclinado.  Se  describen  aquí  los  diferentes procedimientos acompañados de numerosos ejemplos prácticos.    Palabras clave: Eje de rotación. Ángulo de rotación. Sentido de rotación.      INTRODUCCIÓN      Para resolver algunos problemas en Geología Estructural, es necesario simular la  rotación  física  en  el  espacio  de  un  elemento  estructural  alrededor  de  un  eje  de  orientación conocida. Esta rotación puede ser necesaria, por ejemplo, para conocer la  orientación  original  de  una  serie  plegada  que  actualmente  está  aflorando  bajo  una  superficie de discordancia basculada. Será necesario rotar los elementos geométricos  de  la  discordancia  y  del  pliegue  un  ángulo  determinado    alrededor  de  un  eje  de  rotación conocido, y de esta forma hallar la orientación inicial de la serie plegada.    Este  proceso  es  bastante  diferente  a  todo  lo  que  se  ha  explicado  hasta  el  momento,  Babín  y  Gómez  (2010  a,  b,  c  y  d),  donde  simplemente  se  movía  el  transparente alrededor de la chincheta colocada en el centro de la falsilla, para medir y  proyectar  los  distintos  datos  estructurales.  En  este  transparente  teníamos  un  norte  fijo, por tanto las orientaciones de líneas y planos nunca cambiaban con respecto a la  falsilla de referencia.    Cuando rotamos una línea o un plano en el espacio, su orientación cambia con  respecto  a  nuestra  falsilla  de  referencia  y  este  elemento  estructural  se  reorienta  en  función  de  la  rotación  sufrida.  Para  efectuar  una  rotación  o  bien  para  definirla,  es  necesario  conocer  el  ángulo  de  rotación,  el  sentido  de  la  rotación  (agujas  del  reloj,  57   

Reduca (Geología). Serie Geología Estructural.  2 (1): 57‐73, 2010.                                               ISSN: 1989‐6557  contrario  a  las  agujas  del  reloj),  desde  donde  se  está  mirando  ese  sentido  de  giro  (punto de vista) y la orientación del eje de giro. Por ejemplo: giro de 60º en sentido de  las  agujas  del  reloj,  visto  desde  el  norte,  del  plano  con  orientación  170º‐25ºE,  alrededor de un eje inclinado orientado 32º/225º.    Existen  distintos  métodos  para  efectuar  rotaciones  de  elementos  estructurales.  Aquí  se  va  a  utilizar  el  que  se  considera  más  sencillo  de  comprender  y  al  mismo  tiempo,  más  fácil  de  visualizar,  aunque  el  alumno  puede  consultar  otros  libros  de  Geología Estructural donde se explican los pasos para llevar a cabo las rotaciones con  distintos métodos.    En general, se usan dos procedimientos básicos para llevar a cabo una rotación:     rotación alrededor de un eje vertical (la inmersión del eje es de 90º).     rotación alrededor de un eje horizontal (la inmersión del eje es de 00º).    La rotación alrededor de un eje inclinado (inmersión del eje entre 00º y 90º) es  más fácil de llevar a cabo mediante una combinación de rotaciones alrededor de ejes  horizontales y/o verticales.      ROTACIÓN ALREDEDOR DE UN EJE VERTICAL      Es el tipo de rotación más sencillo. El eje de rotación se sitúa en el centro de la  falsilla,  que  corresponde  a  la  posición  de  cualquier  línea  vertical  dentro  del  estereograma. Podemos hacernos una idea de lo que representa este tipo de rotación  observando la figura 1. La rotación de una línea alrededor de un eje vertical da lugar al  movimiento  del  punto  que  representa  la  línea a  lo  largo  de  un  círculo  menor  que  es  coaxial con la primitiva. Este círculo menor no se corresponde con los círculos menores  representados en la falsilla.    Para visualizar la situación, imaginar una línea inclinada con uno de sus extremos  fijo en el eje de rotación vertical. Si esta línea gira alrededor de este eje, su extremo  libre describe un cono vertical y circular que intersecta a la semiesfera inferior según  un  círculo  menor.  Esta  línea  tiene  una  nueva  orientación  después  del  giro,  de  forma  que ha variado su sentido de inmersión, pero el ángulo de inmersión sigue siendo el  mismo. En el caso de un plano, el ángulo de buzamiento se mantiene y solo cambia la  dirección del plano después de efectuar el giro.    Para especificar el sentido de rotación, podemos indicar sentido de las agujas del  reloj, dextral, derecho, etc. intuitivamente, cuando el giro es de derecha a izquierda, y  al contrario cuando el giro es de izquierda a derecha (contrario a las agujas del reloj,  sinestral, izquierdo,.etc.).    58   

Reduca (Geología). Serie Geología Estructural.  2 (1): 57‐73, 2010.                                               ISSN: 1989‐6557  pueden restituir series a su posición original, deducir antiguas direcciones de corriente  e  incluso,  como  se  verá  en  el  capítulo  de  fallas,  conocer  posiciones  de  elementos  estructurales en el bloque girado de una falla rotacional.    Para definir correctamente una rotación en el espacio es necesario dar el valor  del ángulo de rotación, su sentido y el punto de vista desde el cual estamos efectuando  ese giro.      PROBLEMAS    Problema 1    Hallar  la  nueva  orientación  del  plano  N30ºO‐40ºNE  y  de  su  polo,  después  de  girarlo 40º en el sentido de las agujas del reloj, alrededor de un eje vertical.     Dibujar el estereograma correspondiente a ambos, polo (P) y plano (Fig.6).     Contar  sobre  la  primitiva  los  40º  correspondientes  al  giro,  a  partir  de  la  dirección del plano y del sentido de inmersión del polo respectivamente.     Con  las  nuevas  direcciones  obtenidas,  pintar  el  plano  rotado,  conservando  el  buzamiento anterior y el polo, con su inmersión correspondiente.     Leer las nuevas orientaciones  del polo y el plano: 280º/50º y 010º‐40ºE.   

  Figura 6. Resolución del problema 1. Ver texto para su explicación. 

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Reduca (Geología). Serie Geología Estructural.  2 (1): 57‐73, 2010.                                               ISSN: 1989‐6557  Problema 2    La  orientación  de  una  línea  es  35º/S50ºE.  ¿Cuál  será  su    nueva  orientación  después de haber girado 40º en sentido contrario a las agujas del reloj, alrededor de  un eje vertical? (Fig. 7).     Dibujar la proyección de la línea (L) en el transparente.     Contar sobre la primitiva a partir del sentido de inmersión de la línea, los 40º  correspondientes a la rotación. El nuevo sentido de inmersión de esta línea es  de 090º.     Colocado  el  nuevo  sentido  de  inmersión  sobre  un  diámetro  vertical,  contar  el  ángulo  de  inmersión  correspondiente  (35º)  y  dibujar  la  nueva  posición  de  la  línea (L´). Su orientación es 090º/35º.   

 

  Figura 7. Resolución del problema 2. Ver texto para su explicación. 

    Problema 3    En una serie sedimentaria (SS) orientada 34º/132º se observa una estratificación  cruzada  planar  (EC),  de  orientación  244º/20º.  Calcular  la  orientación  de  la  estratificación cruzada antes del basculamiento de la serie sedimentaria.   

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Reduca (Geología). Serie Geología Estructural.  2 (1): 57‐73, 2010.                                               ISSN: 1989‐6557  

Dibujar la proyección de ambos planos, bien en ciclográfica o en polar (Fig. 8).  En este caso, se ha resuelto en proyección polar.   Antes  del  basculamiento,  la  serie  sedimentaria  estaba  horizontal.  Si  rotamos  esta serie hasta ponerla horizontal, la estratificación cruzada rotará los mismos  grados  y  en  el  mismo  sentido  que  la  serie  sedimentaria.  Esta  nueva  posición  será la que tenía antes del basculamiento.     Colocar la dirección de la serie sedimentaria sobre el diámetro N‐S de la falsilla.  Su polo se situará sobre el diámetro E‐O (SS).     Rotar  la  serie  sedimentaria  alrededor  de  un  eje  de  giro  que  coincide  con  su  dirección,  un  ángulo  de  34º  que  es  el  valor  del  buzamiento.  De  esta  forma  el  plano  está  horizontal  y  coincide  con  la  circunferencia  primitiva  y  su  polo  está  vertical en el centro de la falsilla (SS´).     En  esta  misma  posición,  rotar  la  estratificación  cruzada  (EC)  los  mismos  34º  y  en  el  mismo  sentido,  moviendo  dos  puntos  del  plano  a  lo  largo  de  su  círculo  menor, o bien el polo del plano hasta la posición EC´.    Dibujar en proyección ciclográfica la posición de la estratificación cruzada antes  del basculamiento, y medir su orientación: 018º‐48ºO.   

 

  Figura 8. Resolución del problema 3. Ver texto para su explicación. 

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Reduca (Geología). Serie Geología Estructural.  2 (1): 57‐73, 2010.                                               ISSN: 1989‐6557  Problema 4    Una secuencia estratificada invertida está orientada N30ºO‐40ºSO. En uno de los  planos de estratificación aparece una lineación con un cabeceo de 30ºNO. Calcular la  orientación de la lineación cuando la estratificación estaba horizontal.    Antes  de  resolver  el  problema,  pensar  en  la  posición  de  la  línea  cuando  la  estratificación estaba horizontal. ¿Cuál será la inmersión de la línea en este supuesto?.     Dibujar  el  plano  de  estratificación  y  la  posición  de  la  lineación  (L)  dentro  del  plano (Fig. 9).     La secuencia está invertida. Para poner este plano horizontal primero hay que  ponerlo vertical y después, con la secuencia ya en posición normal, llevarla a la  horizontal. Rotamos el plano a la horizontal, pasando primero por la vertical. El  polo del plano se coloca en el centro de la falsilla (P´).     La misma rotación se aplica a la lineación, que se moverá a lo largo del círculo  menor en que está contenida, y se lee su posición inicial en el estereograma: L´:  360º/00º, por tanto la lineación está horizontal y su sentido de inmersión será  de 360º o bien, 000º.     

 

 

Figura 9. Resolución del problema 4. Ver texto para su explicación. 

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Reduca (Geología). Serie Geología Estructural.  2 (1): 57‐73, 2010.                                               ISSN: 1989‐6557  Problema 5    Una  lineación  mineral  tiene  una  inmersión  de  30º  hacia  los  220º.  Calcular  su  nueva orientación después de una rotación de 30º en el sentido de las agujas del reloj,  mirando desde el sur, alrededor de un eje horizontal de dirección N10ºE.     Colocar  en  el  estereograma  la  lineación  mineral  y  el  eje  de  giro  sobre  la  primitiva (Fig. 10).     Con  el  eje  de  giro  sobre  el  diámetro  N‐S  de  la  falsilla,  efectuar  el  giro con  los  datos del problema. La línea L pasa a la posición L´.     Leer la orientación de la nueva línea: 229º/12º.   

 

 

Figura 10. Resolución del problema 5. Ver texto para su explicación. 

    Problema 6    La orientación de un plano es N20E‐20ºSE. ¿Cuál será su orientación después de  una  rotación  de  30º  en  sentido  contrario  a  las  agujas  del  reloj,  visto  desde  el  sur,  alrededor de un eje paralelo a la dirección? ¿Cuál será su orientación si la rotación es  en sentido contrario?     Dibujar el plano en el estereograma (Fig. 11).    70   

Reduca (Geología). Serie Geología Estructural.  2 (1): 57‐73, 2010.                                               ISSN: 1989‐6557  

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Dado  que  el  eje  de  rotación  tiene  la  misma  dirección  que  el  plano,  se  coloca  esta  dirección  sobre  el  diámetro  N‐S  de  la  falsilla,  y  se  hace  la  rotación  que  indica el problema.  En el primer caso, visto desde el sur, el movimiento correspondiente al giro es  de  izquierda  a  derecha,  por  tanto  pasamos  la  primitiva  y  seguimos  contando  hasta  completar  los  30º.  En  el  segundo  caso,  la  rotación  es  al  contrario,  de  derecha a izquierda.  Leer las soluciones correspondientes a cada uno de los casos y observar que la  dirección del plano no varía después de la rotación, únicamente cambia el valor  del ángulo de buzamiento.    Primer caso: 020º‐10ºO o bien N20ºE‐10ºO    Segundo caso: 020º‐50ºE   

 

 

Figura 11. Resolución del problema 6. Ver texto para su explicación. 

    Problema 7    La  serie  situada  sobre  una  discordancia  angular,  tienen  una  orientación  de  N10ºE‐50ºO. La serie inferior está orientada N40ºE‐80ºE. ¿Cuál era la orientación de la  serie inferior antes del basculamiento de la discordancia?    71   

Reduca (Geología). Serie Geología Estructural.  2 (1): 57‐73, 2010.                                               ISSN: 1989‐6557  Considerar en primer lugar, que las capas por encima de una discordancia, tienen  la  misma  orientación  que  esta,  y  que  la  superficie  de  discordancia  originalmente  era  horizontal.  Para  ponerla  en  su  posición  original,  rotaremos  la  discordancia  a  la  horizontal un ángulo igual al valor de su buzamiento, alrededor de un eje paralelo a la  dirección de la discordancia.     Proyectar  la  discordancia  y  la  serie  inferior  mediante  círculos  mayores  o  con  polos (Fig. 12). En este caso, el problema se ha resuelto mediante proyección  ciclográfica.     Colocar  la  dirección  de  la  discordancia  (eje  de  giro)  coincidiendo  con  el  diámetro  N‐S  de  la  falsilla.  Hacer  una  rotación  de  50º  (valor  del  buzamiento)  alrededor de un eje horizontal que es la dirección del plano de discordancia, y  poner  este  plano  horizontal,  coincidiendo  con  la  circunferencia  primitiva.  Si  trabajamos  con  polos,  tener  en  cuenta  que  el  polo  de  un  plano  horizontal  es  una línea vertical, situada en el centro de la falsilla.     Rotar  la  serie  inferior  el  mismo  ángulo  y  en  el  mismo  sentido  que  la  discordancia. Este nuevo plano nos da la orientación de la serie inferior antes  del basculamiento de la discordancia: 045º‐58ºNO.     

 

 

Figura 12. Resolución del problema 7. Ver texto para su explicación. 

   

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Reduca (Geología). Serie Geología Estructural.  2 (1): 57‐73, 2010.                                               ISSN: 1989‐6557  BIBLIOGRAFÍA   

  Babín  Vich,  R.  B.  y  Gómez  Ortiz,  D.  2010  a.  Problemas  de  Geología  Estructural.  1.  Conceptos generales. Reduca (Geología). Serie Geología Estructural, 2 (1): 1‐10.    Babín  Vich,  R.  B.  y  Gómez  Ortiz,  D.  2010  b.  Problemas  de  Geología  Estructural.  2.  Orientación  y  proyección  de  planos  en  el  espacio.  Reduca  (Geología).  Serie  Geología Estructural, 2 (1): 11‐23.    Babín  Vich,  R.  B.  y  Gómez  Ortiz,  D.  2010  c.  Problemas  de  Geología  Estructural.  3.  Orientación  y  proyección  de  líneas  en  el  espacio.  Reduca  (Geología).  Serie  Geología Estructural, 2 (1): 2 (1): 24‐40.    Babín  Vich,  R.  B.  y  Gómez  Ortiz,  D.  2010  d.  Problemas  de  Geología  Estructural.  4.  Proyección  polar  de  un  plano.  Proyección  π.  Reduca  (Geología).  Serie  Geología  Estructural, 2 (1): 2 (1): 41‐56.      BIBLIOGRAFÍA DE CONSULTA      Davis, G. H. 1984. Structural Geology of rocks and Regions. Wiley & Sons. 492 pp.    Lheyson,  P.  R.;  Lisle,  R.  J.  1996.  Stereographic  projection  techniques  in  Structural  Geology. Butterworth‐Heinemann Ltd. Oxford. 104 pp.    Marshak, S & Mitra, G. 1982. Basic methods of structural geology. Prentice & Hall. 446  pp.    Phillips, F. C. 1971. The use of stereographic projection in Structural Geology. Edward  Arnol. London. 90 pp.    Ragan, D. M. 1987. Geología Estructural. Ed. Omega. Barcelona. 210 pp.    Turner, F. & Weiss, L.R. 1963. Structural analysis of metamorphic tectonites. McGraw  Hill. New York. 545 pp.      Recibido: 18 noviembre 2009.  Aceptado: 22 diciembre 2009. 

 

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Reduca (Geología). Serie Geología Estructural.  2 (1): 148‐192, 2010.                                               ISSN: 1989‐6557 

  Problemas de Geología Estructural  9. Análisis estructural mediante diagramas de contornos    Rosa Blanca Babín Vich1. David Gómez Ortiz2.   

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Departamento de Geodinámica. Facultad de Ciencias Geológicas.  Universidad Complutense de Madrid. José Antonio Novais, s/n. 28040‐Madrid.  [email protected]  2 Área de Geología‐ESCET. Universidad Rey Juan Carlos. Tulipán, s/n. 28933‐Móstoles.  [email protected] 

    Resumen: La proyección de grandes conjuntos de datos puede suponer un problema  debido  a  lo  complicado  que  resulta  sacar  conclusiones  a  partir  del  análisis  de  diagramas  con  un  elevado  número  de  medidas  representadas.  Tal  es  el  caso  de  estructuras plegadas definidas a partir de múltiples medidas de estratificación, o bien  el  problema  de  la  superposición  de  estructuras  de  deformación.  Se  hace  imprescindible  entonces  el  uso  de  falsillas  que  conserven  las  áreas  para  realizar  estudios  estadísticos.  Se  muestran  numerosos  ejemplos  del  empleo  de  diagramas  de  contornos mediante el uso de la proyección estereográfica.    Palabras clave: Falsilla de contaje. Diagrama de contornos. Modelos de distribución.      DEFINICIONES      En  los  artículos  anteriores,  Babín  y  Gómez  (2010  a,  b,  c,  d,  e,  f,  g  y  h),  hemos  usado  uno  de  los  tipos  de  proyección  azimutal  para  resolver  distintos  problemas  geométricos  en  Geología  Estructural.  Esta  proyección  estereográfica,  como  ya  se  ha  reiterado a lo largo de las explicaciones, tiene dos propiedades importantes:    1. Conserva las relaciones angulares, de forma que el ángulo entre tangentes  en  el  punto  de  intersección  de  dos  círculos  máximos  que  se  cortan,  es  el  mismo ángulo que el formado por los dos planos representados mediante  sus círculos máximos (Fig. 1 A).    2. No conserva el área. Esto quiere decir que las proyecciones de dos círculos  idénticos inscritos en diferentes partes de la esfera de proyección, aparecen  en el estereograma como círculos de tamaños diferentes (Fig. 1 B y C). La  proyección estereográfica de un círculo, puede variar en área dependiendo  del  lugar  donde  se  proyecta.  Un  círculo  de  área  conocida,  aparece  más  grande si se proyecta cerca de la primitiva que si lo hace en el centro de la  falsilla.  148   

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Figura  1.  Propiedades  de  la  proyección  estereográfica  que  conserva  ángulos.  a)  el  ángulo  entre  dos  planos, es el mismo que el formado por las tangentes a los círculos máximos que los representan. b)  círculos  idénticos, se  proyectan    en  la  esfera  de  proyección  como  círculos  de distinto  tamaño.  c)  un  área de 10ºx10º cercana a la primitiva, es mayor que en el centro de la proyección. 

    Esta última propiedad indica que la proyección estereográfica no es válida para  aplicaciones  en  las  que  sea  necesario  un  tratamiento  estadístico  de  datos  estructurales.  Por  ejemplo,  datos  sobre  orientaciones  preferentes  de  diaclasas  en  un  área,  pueden  aportar  información  de  campos  de  paleoesfuerzos.  La  orientación  de  estas diaclasas se puede representar en un diagrama en rosa o en un histograma, pero  estos gráficos solo aportan información en dos dimensiones.    Una  proyección  azimutal  apropiada  puede  representar  una  orientación  preferente  en  tres  dimensiones  como  un  conjunto  de  polos,  si  la  concentración  de  polos por unidad de área de la proyección es proporcional a la concentración real de  planos  de  una  orientación  determinada.  En  problemas  en  los  que  la  distribución  estadística  de  puntos  es  importante,  existe  una  forma  alternativa  de  proyección  azimutal,  llamada  proyección  Lambert  o  proyección  que  conserva  áreas.  La  falsilla  utilizada para este tipo de proyección es la de Schmidt, en la que el tamaño de un área  de 10ºx10º cerca de la primitiva es el mismo que en el centro de la falsilla (Fig. 2 A y B).    A  menudo  existe  una  cierta  confusión  con  los  nombres  asignados  a  distintos  tipos  de  proyecciones  azimutales.  Una  proyección  estereográfica  es  un  tipo  de  proyección  azimutal  que  utiliza  la  falsilla  de  Wulff  (estereoneta)  para  obtener  un  estereograma, que es el conjunto de puntos o curvas (círculos mayores) proyectados  en  una  proyección  estereográfica.  Una  proyección  que  conserva  el  área,  no  es  una  proyección  estereográfica  propiamente  dicha,  y  la  falsilla  utilizada  es  la  de  Schmidt  (Fig. 3), que es distinta de la estereoneta. Formalmente, el término estereoneta se usa  solo  para  la  proyección  estereográfica,  que  conserva  ángulos.  Sin  embargo,  en  la  práctica los geólogos usamos el término estereoneta tanto cuando nos referimos a la  falsilla de Wulff como a la de Schmidt.    En algunos casos puede ocurrir que no sepamos cual de las dos falsillas utilizar  para  resolver  un  problema  concreto.  Se  debe  usar  la  falsilla  de  Schmidt  en  todos  149   

Reduca (Geología). Serie Geología Estructural.  2 (1): 148‐192, 2010.                                               ISSN: 1989‐6557  aquellos  casos  donde  la  concentración  de  puntos  proyectados  es  significativa,  por  tanto,  en  todos  aquellos  análisis  con  un  gran  número  de  medidas.  Usaremos  la  de  Wulff  para  medir  ángulos  entre  estructuras  y  en  todos  aquellos  problemas  donde  líneas, planos y polos se vayan a utilizar para cálculos geométricos.    En este artículo vamos a introducir la proyección que conserva áreas y a estudiar  algunas de sus aplicaciones en los análisis estructurales.   

 

 

Figura 2. Propiedades de la proyección estereográfica que conserva áreas. a) círculos idénticos en la  esfera  de  proyección  se  proyectan  como  elipses,  con  distintos  ejes  pero  con  igual  área.  b)  área  de  10ºx10º en el extremo de la proyección, es del mismo tamaño que en el centro. 

 

  Figura 3. Falsilla de Schmidt, que conserva áreas. 

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Reduca (Geología). Serie Geología Estructural.  2 (1): 148‐192, 2010.                                               ISSN: 1989‐6557  DIAGRAMAS DE CONTORNOS      Cuando  se  ha  recogido  un  gran  número  de  datos  en  el  campo,  su  proyección  muestra  un  conjunto  de  puntos,  bien  polos  de  planos  o  bien  líneas.  Una  proyección  que  muestra  solo  puntos,  recibe  el  nombre  de  diagrama  de  puntos.  En  muchas  ocasiones  es  posible  estimar  la  orientación  dominante  de  un  determinado  elemento  estructural en el área de estudio, pero si queremos obtener una representación más  precisa  de  las  variaciones  en  orientación,  debemos  cuantificar  el  número  de  puntos  por unidad de área de la proyección. Esta cuantificación debe efectuarse en una falsilla  que  conserve  el  área,  y  así  podemos  reconocer  variaciones  en  la  orientación  preferente  del  elemento  estructural,  medido  en  diferentes  localidades.  La  mejor  manera de representar estas variaciones en la concentración de puntos, es dibujando  líneas de contornos que delimitan áreas determinadas.    Una  línea  de  contorno  en  una  proyección  que  conserva  el  área,  separa  zonas  dentro de la proyección en las que las densidades de puntos se mantienen dentro del  mismo área. Estas densidades se miden como porcentajes del número total de puntos  por 1% del área del estereograma y se dibujan las líneas de contornos separando zonas  en  las  que  el  porcentaje  de  puntos  totales  por  1%  de  área  tenga  un  valor  específico  (2%, 3%, etc.). Así obtenemos lo que se denomina diagrama de contornos.    Es necesario tener en cuenta ciertas reglas, a la hora de confeccionar diagramas  de contornos:     Se debe escoger el valor de los contornos, de forma que no haya más de seis  contornos en el diagrama final (a ser posible), para una mayor claridad a la hora  de la interpretación.     El contorno de menor valor del diagrama, generalmente corresponde a 1 punto  por 1% de área. El de mayor valor se escoge en función del número de puntos  proyectado.     Un  contorno  que  cruza  la  primitiva,  debe  reaparecer  en  el  punto  diametralmente opuesto del estereograma.     Es  más  fácil  comenzar  dibujando  los  contornos  en  el  área  de  mayor  concentración.     Es  necesario  determinar  el  verdadero  máximo  del  diagrama  (área  de  mayor  concentración de puntos).     Después  de  un  contaje  preliminar,  a  veces  es  necesario  añadir  contornos,  o  bien eliminar algunos si las líneas de porcentaje están demasiado cerca unas de  otras.    151   

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Los valores de los contornos se indican en una leyenda con la trama (o el color)  utilizada para cada valor de porcentaje. Por ejemplo, 1‐3‐5 y 9 por 1% de área,  con un máximo del 10%. El área de mayor concentración suele ser la de color o  trama más oscura. Hacia áreas de menor porcentaje, va decreciendo el tono de  color o de trama, siendo muy claro o blanco en áreas de baja concentración.  Generalmente se presentan los diagramas de contornos al lado del diagrama de  puntos correspondiente, de forma que la suma de datos más la interpretación,  sea lo más objetiva posible. 

  Una vez obtenido el diagrama de contornos, las orientaciones dominantes de las  estructuras principales se determinan a partir de la posición en el diagrama de aquellas  concentraciones  donde  aparezcan  mayor  número  de  puntos.  Es  una  práctica  común  abstraer  estos  datos  proyectando  por  separado  las  orientaciones  de  los  elementos  estructurales  principales  de  una  región.  Un  diagrama  en  el  que  se  representa  la  orientación  dominante  de  los  elementos  estructurales  mediante  un  único  círculo  mayor o punto, recibe el nombre de diagrama sinóptico.    Actualmente  los  diagramas  de  contornos  se  construyen  directamente  en  el  ordenador,  pero  es  importante  comprender  los  principios  del  contaje  para  usar  correctamente  estos  métodos  gráficos.  Se  pueden  utilizar  distintos  métodos  para  construir diagramas de contornos,  algunos muy versátiles y de uso fácil incluso en el  campo.  Para  la  mayor  parte  de  ellos,  es  conveniente  usar  una  falsilla  de  15  cm  de  diámetro, Anexo I.      MÉTODOS DE CONTAJE DE ELEMENTOS ESTRUCTURALES      Como  ya  se  ha  dicho,  la  evaluación  de  los  datos  proyectados  requiere  un  tipo  especial  de  falsilla.  Si  utilizamos  la  falsilla  de  Wulff  para  su  proyección,  como  hemos  hecho hasta ahora, la distribución resultante no es estadísticamente correcta. Hay una  tendencia  a  la concentración  de  gran  parte  de  los  datos  en  el centro de  la  falsilla,  lo  que indicaría, en el caso de líneas, una disposición preferente en posición vertical. Este  hecho es debido, como ya se ha indicado, a que un área determinada en el centro de la  falsilla  es  menor  que  la  misma  en  el  margen.  Debido  a  esto,  se  usa  la  falsilla  de  Schmidt, en la que la técnica de proyección y manipulación de datos es idéntica a la de  Wulff. La única diferencia entre las dos, es que los círculos menores en la primera no se  proyectan como arcos circulares.    Una  vez  preparado  el  diagrama  de  puntos,  pasamos  a  efectuar  el  contaje  para  obtener  el  diagrama  de  contornos  o  de  densidades.  Para  ello,  hay  gran  variedad  de  métodos de contaje, de los que vamos a explicar los más utilizados.     

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Reduca (Geología). Serie Geología Estructural.  2 (1): 148‐192, 2010.                                               ISSN: 1989‐6557  Falsilla de Kalsbeek    Es uno de los métodos más simples que existen para el contaje de puntos, y se  aplica en cualquier tipo de situaciones. Se trata de una falsilla que está subdividida en  pequeños  triángulos  (Fig.  4  A).  Cada  conjunto  de  seis  triángulos  forman  un  área  hexagonal  igual  al  1%  del  área  total  de  la  falsilla.  Los  triángulos  están  dispuestos  de  forma  que  en  la  falsilla  aparecen  seis  líneas  radiales.  Además,  tiene  la  ventaja  de  la  existencia de una relación fija entre el número total de puntos y la densidad contada.    Cada punto se cuenta tres veces y se procede de la siguiente manera:     Superponer  el  transparente  con  el  diagrama  de  puntos  sobre  la  falsilla  de  contaje, con la marca del norte del transparente sobre el extremo de uno de los  seis radios.     Colocar un segundo transparente, dibujar en él la primitiva y la marca del norte,  situada sobre la anterior.     Se cuentan los puntos correspondientes a cada hexágono, y el número total se  anota en el centro del hexágono (A en Fig. 4 B).     Al  final  del  contaje,  cada  centro  de  hexágono  debe  tener  un  número.  En  aquellas zonas del diagrama donde no haya puntos, los hexágonos se dejan en  blanco o bien se pone un cero en su centro.     En la periferia de la primitiva, los puntos de cada medio hexágono en un lado  de la primitiva se suman con los del otro medio hexágono del lado opuesto. El  número total se escribe en ambos lados de la primitiva (B en Fig. 4B).   

 

  Figura  4.  a)  Falsilla  de  contaje  de  Kalsbeek.  b)  Método  de  contaje  con  la  falsilla.  Ver  texto  para  su  explicación. 

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En  aquellas  partes  de  la  periferia,  donde  aparecen  medios  círculos  (sobre  los  seis  radios),  se  cuentan  los  puntos  de  los  semicírculos  opuestos  y  se  suman,  poniendo el número de puntos en ambos lados (C en Fig. 4B).  En el centro de la falsilla, aparece un círculo formado por seis “triángulos”, en  lugar de un hexágono. Se cuentan todos los puntos incluidos en este círculo y  se pone el número correspondiente en su centro (D en Fig. 4B).  Una vez terminado el contaje, se transforman los números en porcentajes del  número  total  de  puntos,  y  en  base  a  ellos,  dibujamos  los  contornos  de  igual  densidad, que delimitan las áreas con los porcentajes elegidos. 

  Ejemplo  1.  Para  facilitar  la  comparación  de  diagramas  con  distinto  número  total  de  puntos,  se  dibujan  los  contornos  como  porcentajes  de  puntos  totales  por  1%  de  área de la falsilla. El número de puntos proyectado, por tanto, debe ser convertido en  porcentaje. En el caso especial de que los puntos proyectados sean exactamente 100,  un  punto  representará  el  1%  y  así  sucesivamente.  Si  son  50  puntos  los  proyectados,  cada punto representa un 2% del total, etc. (Fig. 5 A).    Dentro ya del diagrama, dibujamos los contornos de igual densidad (Fig. 5 B). Es  más sencillo localizar primero el área de mayor concentración y trabajar hacia la parte  externa del diagrama.    Cuando  un  contorno  intersecta  la  primitiva,  reaparece  exactamente  en  el  lado  opuesto,  a  180º  (puntos  A  y  A  en  Fig.  5  B).  Al  ser  los  contornos  líneas  que  separan  áreas de porcentaje, son siempre curvas cerradas.    En el caso de un contorno que está muy próximo a intersectar la primitiva, pero  inmediatamente se aleja de ella, es válido continuar el propio contorno sin intersectar  la primitiva (puntos B y B en Fig. 5 B).    Cuando  ya  se  ha  efectuado  un  contaje  preliminar  (Fig.  5  A),  por  lo  general  es  necesario hacer una serie de modificaciones para mejorar el diagrama:     Todos los contornos dibujados pueden no ser necesarios. Si el espaciado entre  contornos es muy pequeño, alguna de las líneas dibujadas se puede eliminar.     Los valores de los contornos en el diagrama final se indican en la leyenda; por  ejemplo como 2‐4‐8‐12% por 1% de área, máximo 14%.     El  área  donde  aparece  la  máxima  concentración  se  pinta  de  negro  o  bien,  se  distingue  con  una  trama  muy  oscura.  Es  bastante  efectivo  utilizar  tramas  gradualmente más claras según las áreas van siendo de menor concentración.   

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  Figura 5. a) diagrama de puntos y primer contaje. b) diagrama de contornos final, con contornos de 2,  4, 8 y 12% y un máximo de 14%, sobre un total de 50 puntos proyectados. 

    Método de contaje de Schmidt    Es, junto con el anterior, el método de contaje más usado, ya que trabaja muy  bien con amplios conjuntos de datos y con altas concentraciones de puntos. Requiere  el  empleo  de  una  regleta  especial  o  contador,  por  ello  a  veces  se  le  nombra  como  “método de la regleta” y de una malla de contaje o malla de Schmidt (Fig. 6 A), como la  que aparece al final del libro. Para trabajar con este método es necesario, en primer  lugar, obtener la regleta de contaje, que se puede fabricar fácilmente con un cartón o  con un plástico que permita recortar la forma de la regleta.    Una regleta de contaje o contador de Schmidt, contiene dos agujeros circulares  en ambos extremos (Fig. 6 B). El área de cada uno de ellos es igual al 1% del área total  de  nuestra  falsilla  de  proyección.  Es  fácil  comprender  que  se  necesitan  dos  círculos  diametralmente opuestos para contar puntos sobre la circunferencia primitiva y en sus  cercanías, mientras que para el contaje en la parte interna, solo se necesita un círculo.    Las falsillas de proyección que utilizamos, tienen un diámetro de 15 cm, así como  la  malla  de  Schmidt,  por  tanto  en  la  regleta,  la  distancia  entre  los  centros  de  los  círculos opuestos debe ser de 15 cm. Su longitud total puede ser de 18 ó 19 cm y su  anchura de 3,5 ó 4 cm.     En el Anexo II se incluye un contador de estas características.    Una vez obtenido el contador, el procedimiento para el contaje es el siguiente:        155   

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Contaje interno     Colocar sobre la malla el diagrama de puntos, obtenido con una falsilla que  conserva áreas, de forma que coincidan las dos primitivas y los nortes de  las dos falsillas.     Colocar sobre el diagrama de puntos, un segundo transparente donde está  dibujada la primitiva, como un círculo de 15 cm de diámetro, y una marca  representando  el  norte.  Esta  debe  coincidir  con  el  norte  del  diagrama  de  puntos.     Colocar  uno  de  los  dos  círculos  del  contador  de  forma  que  el  centro  del  círculo  coincida  con  un  punto  de  la  malla,  usando  como  guía  la  línea  horizontal que pasa por el centro del círculo (Fig. 7 A). El número de puntos  visibles dentro del círculo representa el número de puntos por 1% de área.  Este número lo ponemos en el centro del círculo.     Movemos el contador hasta que su centro se sitúe sobre el punto siguiente  de la malla y repetimos el procedimiento. Esto se lleva a cabo para todos  los  puntos  de  la  malla,  y  en  aquellos  en  los  que  no  haya puntos  (líneas  o  polos de planos), se dejan en blanco o se pone un cero.   

 

  Figura 6. a) malla de contaje de Schmidt. b) contador o regleta de contaje de Schmidt. 

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Contaje externo o periférico     En  la  zona  periférica,  cerca  de  la  primitiva,  necesitamos  utilizar  ambos  círculos del contador.  156 

 

Reduca (Geología). Serie Geología Estructural.  2 (1): 148‐192, 2010.                                               ISSN: 1989‐6557   Colocamos una chincheta en el centro de la falsilla, y la muesca de la parte  central  del  contador,  se  mueve  con  la  chincheta  en  medio  hacia  ambas  partes de la periferia.     Los  puntos  dentro  de  ambos  círculos  y  diametralmente  opuestos  en  la  proyección, se cuentan juntos (Fig. 7 B), teniendo siempre como centro de  ambos círculos los puntos de la malla. El valor correspondiente a la suma  de puntos se coloca en ambos centros.     El contaje sobre la primitiva propiamente dicha, se hace con el centro de la  regleta  colocado  en  el  centro  de  la  falsilla,  de  forma  que  la  suma  de  los  puntos correspondientes a la mitad de cada uno de los círculos opuestos,  se  coloca  sobre  la  primitiva,  en  ambos  lados.  De  esta  forma  sabemos  los  puntos  diametralmente  opuestos  de  entrada  y  salida  de  una  curva  concreta, para cada uno de los contornos.   

 

 

Figura  7.  Uso  del  contador  de  Schmidt.  a)  para  puntos  situados  en  el  interior  de  la  falsilla.  b)  para  puntos situados cerca de la primitiva. 

    En  este  momento,  todas  las  intersecciones  de  la  malla  de  contaje,  tienen  un  número escrito sobre el transparente superior (Fig. 8 A). Convertimos este número de  puntos (n) en porcentaje mediante la ecuación:     n x (100)/N = %     donde N es el número total de puntos proyectados. Dibujamos los contornos con  los intervalos correspondientes, según las densidades de puntos obtenidas (Fig. 8 B).   

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Reduca (Geología). Serie Geología Estructural.  2 (1): 148‐192, 2010.                                               ISSN: 1989‐6557  Método de contaje de Mellis    Este método únicamente se puede utilizar cuando el diagrama de puntos tiene  un  número  inferior  a  100,  o  preferentemente,  a  60.  Por  tanto,  solo  es  válido  para  pequeñas  concentraciones  locales,  y  es  muy  conveniente  para  separar  contornos  de  poca densidad.   

 

 

Figura 8. Resultado del contaje con el método de Schmidt. a) contaje de 72 medidas de foliación. b)  diagrama de contornos con valores de 1, 3, 7 y 11%. Máximo de 15%. 

    Para efectuar el contaje es necesario construir una plantilla con un círculo cuyo  diámetro  sea  1,5  cm,  equivalente  al  1%  del  área  total  de  la  proyección,  de  la  misma  forma que lo hemos hecho en el caso anterior.     Colocar  un  transparente  sobre  el  diagrama  de  puntos,  haciendo  coincidir  los  nortes de ambos.     Colocar  la  plantilla  sobre  los  transparentes  y  moverla  de  forma  que  esté  alineada con la flecha que marca el norte.     Dibujar un círculo de diámetro 1,5 alrededor de cada punto de la población. Las  áreas de solape de dos círculos tienen una concentración que equivale al doble  de la de un círculo individual. Cuando solapan tres círculos, la zona de solape  equivale al triple de la concentración de un único círculo. Por tanto, obtenemos  áreas que representan el doble y el triple del porcentaje, respectivamente.     Repasar  y  separar  las  áreas  de  distintas  concentraciones  de  puntos  y  distinguirlas mediante una trama o color (Fig. 9).  158   

Reduca (Geología). Serie Geología Estructural.  2 (1): 148‐192, 2010.                                               ISSN: 1989‐6557  Este  método  de  contaje  es  el  menos  subjetivo.  Los  resultados  son  siempre  los  mismos  para  la  misma  población,  aunque  el  diagrama  lo  confeccionen  distintas  personas. Sin embargo, está limitado a pequeñas poblaciones y bajas concentraciones  y es obvia la dificultad de su uso para poblaciones mayores, en el caso de solape entre  cuatro o más círculos.   

 

 

Figura 9. Método de contaje de Mellis. Diagrama con contornos de 3 y 6% sobre medidas de 36 polos  de estratificación. 

    MODELOS DE DISTRIBUCIÓN EN LOS DIAGRAMAS DE PUNTOS      La  distribución  de  puntos  expresa  gráficamente  el  grado  de  orientación  preferente  de  un  elemento  estructural  determinado  (lineación,  diaclasado,  etc.).  La  llave para interpretar la proyección radica en reconocer el modelo de distribución de  puntos,  tanto  referente  a  estructuras  lineares  como  a  polos  de  planos.  Este  reconocimiento  siempre  es  más  fácil  de  llevar  a  cabo  a  partir  de  un  diagrama  de  contornos.  Existen  cuatro  modelos  principales  que  podemos  reconocer,  y  son  los  siguientes (Fig. 10):     Distribución  uniforme.  Se  expresa  de  forma  que  el  conjunto  de  puntos  proyectados no presenta concentraciones locales. Cuando esto sucede, se dice  que la proyección está uniformemente distribuida (Fig. 10 A).     Punto  máximo.  La  orientación  preferente  de  elementos  estructurales  está  representada  por  una  alta  concentración  de  puntos,  simétricamente  distribuidos  alrededor  de  una  única  orientación  principal.  El  centro  de  esta  concentración recibe el nombre de punto máximo o simplemente, máximo. Un  conjunto de datos individuales puede mostrar más de un punto máximo (Fig. 10  B).  159   

Reduca (Geología). Serie Geología Estructural.  2 (1): 148‐192, 2010.                                               ISSN: 1989‐6557  

Guirnalda de círculo máximo. Una concentración de puntos que se dispone a lo  largo  de  un  arco  que  se  aproxima  o  bien  que  coincide  con  un  círculo  mayor,  recibe  el  nombre  de  guirnalda  de  círculo  máximo  (Fig.  10  C).  Dentro  de  una  guirnalda, a su vez, pueden coexistir uno o varios puntos máximos. En algunos  casos, puede haber intersección de dos guirnaldas, dando lugar a un modelo de  guirnaldas cruzadas.   

 

 

Figura  10.  Modelos  de  distribución  de  puntos  en  los  diagramas:  a)  distribución  uniforme.  b)  punto  máximo. c) guirnalda de círculo máximo. d) guirnalda de círculo menor. 

    En  el  caso  de  elementos  lineares  proyectados,  la  existencia  de  este  tipo  de  guirnalda indica que todas las lineaciones están contenidas en un plano, pero no son 

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Reduca (Geología). Serie Geología Estructural.  2 (1): 148‐192, 2010.                                               ISSN: 1989‐6557  paralelas  entre  sí.  En  todos  los  casos,  la  guirnalda  se  aproxima  a  la  orientación  del  plano que contiene a las lineaciones, y su eje es el polo del plano.    Un  modelo  en  guirnalda  para  polos  de  elementos  planares,  indica  que  la  intersección  de  los  planos  es  según  una  única  línea,  o  bien  que  todos  los  planos  se  cortan  según  una  línea.  Por  ejemplo,  caso  de  proyección  de  polos  de  estratificación  correspondientes a un pliegue cilíndrico. El polo del plano que engloba todos los polos  de estratificación, indica la orientación del eje del pliegue.    Guirnalda  de  círculo  menor.  Se  define  como  una  concentración  de  puntos  a  lo  largo  de  un  arco  que  se  aproxima  a  un  círculo  menor  de  la  falsilla  y  puede  contener  uno  o  varios  máximos.  Tanto  para  elementos  lineares  como  planares,  este  tipo  de  guirnalda indica una orientación preferente en un cono, alrededor de un único eje que  es el eje de la guirnalda (Fig. 10 D).    También  podemos  describir  la  disposición  de  puntos  dentro  de  una  proyección  que  conserva  áreas,  en  términos  del  tipo  de  simetría  observada,  por  analogía  con  la  descripción de grupos de puntos en cristalografía. Por ejemplo, un pliegue puede ser  descrito como de simetría ortorrómbica o monoclínica, dependiendo de la disposición  de los polos de estratificación.      INTERPRETACIÓN DE DIAGRAMAS. ANÁLISIS DEL PLEGAMIENTO      La llave para interpretar un diagrama de puntos es el análisis de su diagrama de  contornos. La equivalencia de las distribuciones de elementos lineares y planares es la  siguiente:      Punto  máximo.  Representa  una  distribución  simétrica  de  puntos  dispuestos  alrededor de una única orientación principal.     Guirnalda.  Representa  una  agrupación  de  puntos  dispuesta  según  una  banda  que coincide con un círculo mayor de la falsilla de proyección.    Desde  el  punto  de  vista  geométrico  y  de  forma  sencilla,  podemos  definir  un  pliegue, simplemente, como una superficie curvada, y en función de sus características  lo podemos clasificar en dos tipos básicos:     Pliegues  cilíndricos.  Generados  por  una  línea  recta  imaginaria,  que  se  mueve  en el espacio paralelamente a sí misma. Esta línea es el eje del pliegue.     Pliegues  no  cilíndricos.  Generados  por  una  línea  que  se  mueve  de  forma  no  planar  en  el  espacio.  Si  uno  de  los  extremos  de  la  línea  está  fijo,  el  pliegue  resultante recibe el nombre de pliegue cónico. Si el movimiento de la generatriz 

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Reduca (Geología). Serie Geología Estructural.  2 (1): 148‐192, 2010.                                               ISSN: 1989‐6557  es poco sistemático, el resultado es un pliegue complejo. Para trabajar con este  tipo de pliegues,  se subdividen en partes que son aproximadamente cilíndricas.    A  continuación  vamos  a  analizar  la  geometría  de  las  superficies  cilíndricas  y  cónicas tanto con diagramas β como con diagramas π, en una proyección que conserva  el área.    Diagramas β en pliegues cilíndricos    Cada  segmento  de  la  superficie  plegada  de  un  pliegue  cilíndrico,  contiene  una  línea  que  es  paralela  al  eje  del  pliegue.  Cada  dos  planos  de  la  superficie  plegada  se  cortarán a lo largo de una línea que es paralela al eje del pliegue.    En  una  proyección  que  conserva  el  área,  los  círculos  mayores  representan  las  distintas  orientaciones  de  la  superficie  plegada  en  diferentes  puntos  del  pliegue,  que  teóricamente, en un pliegue perfectamente cilíndrico, deben tener un punto común de  intersección que representa la orientación del eje del pliegue. Este punto generalmente  se llama eje β.    En la práctica, sin embargo, los pliegues reales no son perfectamente cilíndricos, y  las medidas de dirección y buzamiento tomadas en distintos puntos del pliegue producen  círculos  máximos  que  no  se  cortan  en  un  punto  común,  sino  en  puntos  más  o  menos  próximos (Fig.  11). Para un conjunto de n planos, el número de posibles intersecciones  (N) viene dada por la siguiente progresión aritmética:    N = 0+1+2+.........(n‐1) = n(n‐1)/2    Por  tanto,  en  el  caso  de  25  planos  proyectados,  el  número  de  intersecciones  posibles  es  de  300.  El  diagrama  de  contornos  de  los  puntos  de  intersección  dará  la  posición de la máxima concentración de intersecciones.     

 

 

Figura 11. Diagramas β de un pliegue cilíndrico. El número de intersecciones de círculos máximos, se  incrementa cuanto mayor es el número de planos proyectados. 

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Reduca (Geología). Serie Geología Estructural.  2 (1): 148‐192, 2010.                                               ISSN: 1989‐6557  Es evidente que una proyección de este tipo, con gran cantidad de elementos, no  es el mejor camino para representar las medidas de superficies de estratificación de un  pliegue. En primer lugar, el número de puntos que representa la posible posición del eje  β,  es  mayor  que  el  número  de  medidas  proyectadas.  En  segundo  lugar,  si  hay  algún  problema  (generalmente  de  medida)  con  los  datos  originales,  pueden  aparecer  concentraciones  de  ejes  β  además  de  la  concentración  principal,  dando  lugar  a  interpretaciones erróneas. Por tanto, en estos casos, la construcción de un diagrama β no  es aconsejable.    Diagramas π en pliegues cilíndricos    Debido a las pocas ventajas que ofrecen los diagramas β, el método preferido para  representar  medidas  de  superficies  plegadas,  es  el  de  los  diagramas  π.  En  ellos  se  representan  los  polos  de  los  planos  que  son  tangentes  a  la  superficie  plegada.  Esto  significa que si hemos obtenido en el campo medidas de orientaciones en una superficie  plegada, proyectamos en la falsilla que conserva áreas los polos de estos planos y no sus  círculos máximos.    En un pliegue cilíndrico, cada uno de los polos es perpendicular al eje del pliegue,  por tanto, los polos son paralelos a un plano perpendicular al eje del pliegue. Estos polos  forman una guirnalda de círculo máximo, llamado círculo π o círculo de polos (Fig. 12). El  polo de este círculo π representa el eje del pliegue, que a su vez suele coincidir con el eje  β en la proyección.   

 

 

Figura 12. Diagrama π de un pliegue cilíndrico ideal.      En  el  caso  de  pliegues  con  un  ángulo  interlimbo  (ángulo  medido  entre  los  dos  flancos  del  pliegue)  muy  amplio,  el  diagrama  π  muestra  un  máximo  de  forma  elíptica.  Según va decreciendo el valor del ángulo interlimbo, la distribución de polos varía desde  un máximo hasta una guirnalda de círculo máximo (Fig. 13 A, B y C). 

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Reduca (Geología). Serie Geología Estructural.  2 (1): 148‐192, 2010.                                               ISSN: 1989‐6557  Un  diagrama  π  no  solo  nos  da  información  acerca  de  la  orientación  del  eje  del  pliegue, también nos permite conocer la forma del pliegue. Por ejemplo, en un pliegue  con charnela redondeada, la densidad de puntos será uniforme a lo largo de la guirnalda  de  círculo  máximo  y  los  dos  puntos  extremos  de  esta  guirnalda  definirán  el  valor  del  ángulo interlimbo (Fig. 14 A). Un pliegue con una zona de charnela muy amplia y flancos  planares,  vendrá  representado  por  un  círculo  máximo  que  contiene  dos  máximos  correspondientes a las medidas de orientaciones de los dos flancos, y estos máximos se  pueden utilizar para conocer el valor del ángulo interlimbo (Fig. 14 B). Un pliegue angular  (Fig. 14 C) no tendrá una guirnalda bien definida, y el círculo π en la proyección se define  a  partir  de  dos  puntos  máximos  correspondientes  a  los  dos  flancos.  Muchos  pliegues  naturales  muestran  disposiciones  de  los  polos  intermedias  entre  las  anteriormente  citadas. En pliegues asimétricos, la disposición sería la correspondiente a la figura 14 D.   

 

  Figura  13.  Variaciones  en  el  diagrama  π  según  va  decreciendo  el  valor  del  ángulo  interlimbo  del  pliegue. a) capas inclinadas. b) ángulo interlimbo mayor de 90º. c) ángulo interlimbo menor de 90º. 

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Reduca (Geología). Serie Geología Estructural.  2 (1): 148‐192, 2010.                                               ISSN: 1989‐6557 

 

  Figura 14. Modelos de diagramas π para distintas formas de pliegues. 

    Con respecto a la simetría de los pliegues, no es posible decir algo concluyente en  base  a  los  diagramas  π,  ya  que  el  modelo  de  simetría  depende  en  gran  medida  del  165   

Reduca (Geología). Serie Geología Estructural.  2 (1): 148‐192, 2010.                                               ISSN: 1989‐6557  buzamiento  de  los  flancos  del  pliegue.  En  ocasiones,  una  concentración  de  puntos  a  lo  largo de una guirnalda, puede estar influenciada por la recogida de datos. Sin embargo, si  la  distribución  espacial  de  las  medidas  es  uniforme,  la  asimetría  de  los  polos  en  el  diagrama  puede  ser  debida  a  la  existencia  de  flancos  cortos  en  pliegues  asimétricos.  Generalmente,  para  determinar  el  grado  de  simetría  de  los  pliegues  necesitamos  información  adicional,  como  puede  ser  la  variación  en  espesor  de  un  flanco  a  otro,  la  orientación de la superficie envolvente y/o la orientación del plano axial del pliegue.    La orientación del plano axial se puede conocer si conocemos las orientaciones del  eje del pliegue y de la traza axial. En el caso de pliegues angulares, el plano axial se puede  asimilar  al  plano  bisector  del  ángulo  interlimbo  (ver  Babín  y  Gómez,  2010  g).  Este  bisector  viene  representado  por  el  punto  cuya  “distancia”  angular  a  los  dos  máximos  (medida a lo largo de la guirnalda de círculo máximo) es la misma. El círculo mayor que  contiene este punto y el eje π, representa al plano axial del pliegue.    Las orientaciones del eje del pliegue y del plano axial, por tanto, se pueden conocer  a  partir  de  la  guirnalda  de  círculo  máximo  en  una  proyección  que  conserva  áreas.  Por  ejemplo, si el eje del pliegue es horizontal, estará situado sobre la circunferencia primitiva  y la guirnalda ocupa la parte central del diagrama (Fig. 15 A). En pliegues cuyo eje tiene  inmersión, este estará situado dentro de la primitiva (no sobre ella) y la guirnalda dibuja  una curva que no pasa por el centro de la falsilla (Fig. 15 B). Si el plano axial del pliegue es  vertical,  vendrá  representado  por  un  diámetro  de  la  falsilla,  y  si  es  horizontal,  se  representa  por  la  primitiva  propiamente  dicha.  En  el  caso  de  que  sea  inclinado,  su  representación corresponderá a alguno de los círculos mayores de la falsilla. En la figura  16, se representan algunos ejemplos de diagramas π para distintos tipos de pliegues.   

 

  Figura 15. Cálculo de la orientación del plano axial del pliegue, a partir de un diagrama π. 

  A partir de lo expuesto, el alumno puede ejercitarse en la interpretación de estos  diagramas, con un ejemplo muy sencillo. Suponer el desarrollo progresivo de un pliegue  cilíndrico,  a  partir  de  una  única  capa  en  principio  horizontal  y  que  se  va  plegando  sucesivamente, con todos los pasos intermedios que queramos elegir (Fig. 17). Antes del  plegamiento, todos los polos de la capa horizontal se proyectarán como un máximo en el  166   

Reduca (Geología). Serie Geología Estructural.  2 (1): 148‐192, 2010.                                               ISSN: 1989‐6557  centro  de  la  falsilla,  ya  que  todos  corresponden  a  líneas  verticales  con  la  misma  orientación. Si se construye el diagrama paralelamente al plano vertical, habrá un punto  máximo en cada extremo de un diámetro de la falsilla.    Si  plegamos  la  capa  alrededor  de  un  eje  horizontal,  los  polos  originalmente  verticales se distribuyen en un abanico, y el modelo que observamos, proyectado tanto  horizontal  como  verticalmente,  es  un  máximo  alargado,  que  va  tomando  una  forma  elíptica. Cuanto mayor sea el radio de curvatura de la superficie plegada, más amplitud  presentará este abanico de puntos, dando lugar a una guirnalda más o menos completa.  En  el  caso  de  que  los  dos  flancos  lleguen  a  ser  paralelos,  se  obtendrá  una  guirnalda  completa,  perfecta.  Este  ejercicio  se  puede  repetir  partiendo  de  distintas  orientaciones  para la capa original.   

 

 

Figura 16. Ejemplos de diagramas π para distintos tipos de pliegues. La línea a trazos corresponde al  plano axial del pliegue, y el punto a la línea de charnela del pliegue. 

    Diagramas π en pliegues no cilíndricos    En el caso de que la superficie plegada sea cónica, supongamos que el ángulo apical  del cono tiene un valor de µ. Cada polo forma un ángulo de (90º‐µ/2) con el eje del cono.  167   

Reduca (Geología). Serie Geología Estructural.  2 (1): 148‐192, 2010.                                               ISSN: 1989‐6557  En  otras  palabras,  los  polos  de  estratificación  generan  un  cono  coaxial,  con  un  ángulo  apical de 180º‐µ.  Por tanto, los polos definen un círculo menor cuyo centro representa la  posición del eje del cono (Fig. 10 D).    Si  se  puede  reconocer  que  los  polos  están  distribuidos  según  un  círculo  menor,  volvemos  a  proyectar  los  polos  en  una  falsilla  de  Wulff,  ya  que  en  ella  los  círculos  menores  se  proyectan  como  círculos  en  la  proyección  estereográfica.  Dibujamos  este  círculo  menor  con  los  polos  proyectados  y  localizamos  el  centro  del  círculo,  que  representa el eje del cono. Este eje se rota hasta la primitiva, y los círculos menores de la  falsilla se pueden usar para analizar las relaciones angulares entre los distintos elementos  del pliegue.   

  Figura 17. Desarrollo progresivo de un pliegue cilíndrico, a partir de una única capa horizontal. 

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