Probabilidad y Estadistica Distribucion de Poisson y distribucion exponencial El presente trabajo tiene como objetivo el

INTRODUCCIÓN

análisis y estudio de dos tipos de distribución como lo La

Probabilidad,

como

rama

de

las

matemáticas que se ocupa de medir o determinar

es la distribución de Poisson y la distribución exponencial, teniendo como finalidad presentar sus

cuantitativamente la posibilidad de que ocurra un

características primordiales, calculo de la media, la

determinado suceso está basada en el estudio de la

varianza y su desviación estándar.

combinatoria y es fundamento necesario de la DISTRIBUCIÓN DE POISSON.

estadística. La creación de la probabilidad se atribuye a

Consideremos un problema que se puede

los matemáticos franceses del siglo XVII Blaise

resolver por medio de la distribución binomial.

Pascal

algunos

Supongamos que inspeccionamos una longitud L de

matemáticos anteriores, como Gerolamo Cardano en

alambre de acero esmaltado, para encontrar las

el

importantes

imperfecciones, que tiene, tales como rebabas,

contribuciones a su desarrollo. La probabilidad

rasgaduras, roturas, etc. Supondremos que , para cada

matemática comenzó como un intento de responder a

intervalo pequeño de longitud ∆L, la probabilidad de

varias preguntas que surgían en los juegos de azar,

una imperfección α. ∆L, donde α(alfa) es una

por ejemplo, saber cuántos dados hay que lanzar para

constante que depende de la calidad del alambre, y

que la probabilidad de que salga algún seis supere el

∆L es suficientemente pequeño para que se pueden

50%.

despreciar la probabilidad de hallar dos, o más,

y

siglo

Pierre XVI,

de

Fermat,

habían

aunque

aportado

La probabilidad de un resultado se representa

imperfecciones en dicho intervalo. Nos interesa la

con un número entre 0 y 1, ambos inclusive. La

probabilidad de encontrar x imperfecciones en una

probabilidad 0 indica que el resultado no ocurrirá

longitud L de alambre.

nunca, y la probabilidad 1, que el resultado ocurrirá siempre.

Supongamos que hay n intervalos de longitud ∆L, esto es, n. ∆L, y además que la presencia de una

El cálculo matemático de probabilidades se basa en situaciones teóricas en las cuales puede

imperfección

en

cualquier

intervalo

dado,

es

independiente de la presencia de imperfecciones en

configurarse un espacio muestral cuyos sucesos

cualquiera

elementales tengan todos la misma probabilidad. Por

considerar, entonces, que los n intervalos forman una

ejemplo, al lanzar un dado ideal, la probabilidad de

succión de n pruebas independientes con una

cada una de las caras es 1/6. Al lanzar dos dados, la

probabilidad constante α. ∆L de que se presente una

probabilidad de cada uno de los resultados es 1/36.

imperfección en cualquiera de las pruebas. Se deduce

de

los

otros

intervalos.

Podemos

en consecuencia que la probabilidad de hallar x

longitud L del alambre del tipo considerado, y

imperfecciones en una longitud n. ∆L de alambre es

corresponde

la

familia

de

las

llamadas

b (x; n, α. ∆L)=

DISTRIBUCIONES DE POISSON. Sustituyendo

⎛ n⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ (α ∆L) x (1 - α ∆L) n − x para x = 0, 1, ..., n . ⎝ x⎠

αL por el parámetro único λ, la ecuación general de una Distribución de Poisson es

Como la hipótesis de que sea despreciable la

f ( x; λ ) = e

probabilidad de encontrar más de una imperfección por intervalo, sólo es aceptable si ∆L es muy pequeño, hallemos ahora el límite al que se aproxima la

a

probabilidad

anteriormente

indicada

cuando ∆L → 0 . este nos dará la probabilidad buscada de encontrar x imperfecciones en una

−λ

λx x!

para x = 0, 1, 2, ...

Como esta distribución se define sobre un espacio muestral infinito numerable, es evidente, por la forma como se introduce que poniendo λ= np, nos dará una buena aproximación de la distribución binomial cuando n es grande y p pequeña.

longitud L de alambre considerado. EJEMPLO 1:

L por ∆L y simplificando la Sustituyendo n

Comparemos b(2; 100; 0.05) con f(2;5), donde λ= np= 100(0.05) = 5. Sustituyendo en las expresiones correspondientes,

expresión resultante para

tenemos b(x; n, α. ∆L), obtenemos: b( x; n, α ∆L) =

n! ⎛ αL ⎞ ⎜ ⎟ x!(n - x)! ⎝ n ⎠

x

⎛ αL ⎞ ⎜1 − ⎟ n ⎠ ⎝

n− x

n− x

n(n − 1)(n − 2).....(n − x + 1) αL ⎞ ⎛ b( x; n, α ∆L) = (αL) x ⎜1 ⎟ x n ⎠ x!n ⎝ ⎛ 1 ⎞⎛ 2 ⎞ ⎛ x - 1 ⎞ ⎟ ⎜1 - ⎟⎜1 - ⎟....⎜1 n− x αL ⎞ n ⎠ n ⎠⎝ n ⎠ ⎝ ⎛ (αL) x ⎜1 b( x; n, α ∆L) = ⎝ ⎟ x! n ⎠ ⎝ si ahora hacemos n → ∞, obtenemos ⎛ 1 ⎞⎛ 2 ⎞ ⎛ x - 1 ⎞ ⎟→1 ⎜1 - ⎟⎜1 - ⎟....⎜1 n ⎠ ⎝ n ⎠⎝ n ⎠ ⎝ esto

e

-αL

(αL) x!

n− x

x

y es interesante notar que el error es menor que 0.003. una regla práctica aceptable es usar la distribución de poisson para hallar probabilidades binomiales

si

n≥20

y

p≤0.05.(si

n≥100,

la

aproximación es excelente, mientras sea np≤10).

αL

−x ⎡⎛ αL ⎞ nαL ⎤ ⎛ αL ⎞ −αL = ⎢⎜1 ⎟ ⎥ ⎜1 ⎟ →e n ⎠ ⎥ ⎝ n ⎠ ⎢⎣⎝ ⎦ y, por lo tanto, la probabilidad binomial se aproxima a

⎛ αL ⎞ ⎟ ⎜1 − n ⎠ ⎝

⎛100 ⎞ ⎟⎟(0.05) 2 (0.95) 98 = 0.081 b(2;100,0.05) = ⎜⎜ ⎝2 ⎠ 52 f (2;5) = e −5 = 0.084 2!

DEFINICIÓN FORMAL DE LA DISTRIBUCIÓN DE POISSON.

para x = 0, 1, 2, ...

Sea X una variable aleatoria discreta que puede tomar los valores 0,1,2,.. tal que la función de

Esta es la distribución de probabilidad que buscamos de obtener x imperfecciones en una

probabilidad de X esté dada por:

f ( x) = P( X = x) =

λx e −λ x!

Media

µ =λ

Varianza

σ2 =λ

Desviación típica

σ= λ

para x = 0, 1, 2 ,....

donde λ es una constante positiva dada. Esta distribución se llama Distribución de Poisson (en

Coeficiente de sesgo

memoria de S.D. Poisson, quien la descubrió a principios del siglo XIX) y una variable aleatoria con esta distribución se dice que está distribuida con la distribución de Poisson.

Coeficiente de curtosis

M (t ) = e λ ( e −1) t

momentos Función característica

de e − λ para diferentes valores de λ , o utilizando logaritmos.

λ

α 4 = 3 + (1 + 1 λ )

Función generatriz de

Los valores de f(x) en la ecuación pueden obtenerse usando la siguiente tabla, que da los valores

α3 = 1

φ ( w) = e λ ( e

tw

-1)

La media y la varianza de la distribución de Poisson p(x;λt) tiene el valor λt. Para verificar que en realidad la media tenga

PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIÓN DE

ese valor , podemos escribir:

POISSON.

∞ e−µ µ x ∞ e−µ µ x e − µ µ x −1 x. = µ∑ ∑ x! x =1 x! x =0 x =1 ( x − 1)! ahora bien, sea y = x - 1 lo que da

1. El número de resultados que ocurren en un

intervalo o región especifica es independiente del número que ocurre en cualquier otro intervalo o región del especio disjunto. De esta forma vemos que el proceso de Poisson no tiene memoria. 2. La probabilidad de que ocurra un solo

resultado durante un intervalo muy corto o en una región pequeña es proporcional a la

∞

E ( X ) = ∑ x.

e −µ µ y =µ y! y =0 ∞

E(X) = µ ∑ puesto que

∞ p ( y, µ ) = 1 e −µ µ y =∑ y! y =0 y =0 ∞

∑

la varianza de la distribución de Poisson se obtiene al encontra primero ∞ ∞ e −µ µ x e −µ µ x e −µ µ x−2 = ∑ x.( x − 1) = µ2∑ x! x! x =0 x =2 x = 2 ( x − 2)! al hacer y = x - 2, tenemos ∞

E[X(X - 1)] = ∑ x.( x − 1)

e −µ µ y = µ2 y! x=2 ∞

E[X(X - 1)] = µ 2 ∑ de aquí :

σ 2 = E[X(X - 1)] + µ − µ 2 = µ 2 + µ − µ 2 = µ = λt.

longitud del intervalo o al tamaño de la región y no depende del número de resultados que ocurren fuera de este intervalo o región.

EJEMPLOS: 1.

Durante un experimento de laboratorio el

3. La probabilidad de que ocurre más de un

número promedio de partículas radioactivas que

resultado en tal intervalo corto o que caiga en

pasan a través de un contador de un milisegundo es

tal región pequeña es insignificante.

cuatro. ¿Cuál es la probabilidad de que seis partículas entren al contador en un milisegundo dado? Solución:

al usar la distribución de Poisson con x = 6 y λt = 4 p(6;4) =

2.

el siguiente teorema y corolario dan la media, la

6 5 e -4 4 6 varianza y la desviación estándar de la distribución = ∑ p( x;4) − ∑ p ( x;4) = 0.8893 − 0.7851 = 0.1042 6! x =0 x =0 exponencial

El número promedio de camiones tanque que

llega cada día a cierta ciudad portuaria es 10. Las

µ=β σ2 = β2 σ =β

instalaciones en el puerto pueden manejar a lo más 15 camiones tanque por día. ¿cuál es la probabilidad de que en un día dado los camiones se tengan que

APLICACIONES DE LA DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

regresar?. Solución:

Ejemplo 1:

Sea X el número de camiones tanque que Suponga que un sistema contiene cierto tipo de

llegan Al usar la distribución de Poisson desde x=0 a x=15 y encontrando el complementario tenemos el

componente cuyos tiempo de falla en años está dada por T. La variable aleatoria T se modela bien mediante la distribución

resultado:

exponencial con tiempo

medio para la falla ß=5. Si se instalan cinco de estos componentes en diferentes sistemas. ¿Cuál es la

e −10 .10 X = 0.95 p(x;10) = ∑ p ( x;4) = ∑ X! x =0 x =0 15

15

probabilidad de que al menos dos aún funcionen al final de ocho años?

p=0.95 representa la probabilidad de recibir de 0 a 15 camiones, es decir, no rebasa la capacidad de las instalaciones. El complementario p’=0.05 es la probabilidad de rebasar la capacidad, es decir, de devolver camiones.

variable

aleatoria

continua

X

tiene

función de densidad está dada por:

donde β > 0

funcione después de ocho años está dada por: P(T>8)=

1 ∞ −t 5 e dt = e −8 5 = 0.2 ∫ 8 5

En

una

distribución exponencial, con parámetro ß, si su ⎧ 1 −x β ⎪ e , f ( x) = ⎨ β ⎪0 ⎩

La probabilidad de que un componente dado aún

CONCLUSION

DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL La

Solución:

⎫ x>0 ⎪ ⎬ en cualquier otro caso⎪⎭

el

estudio

de

la

probabilidad,

específicamente de las distribuciones binomiales, podemos encontrar diversas formas de distribución, dependiendo de las características de los valores estudiados. Para la distribución de Poisson se plantea una probabilidad de un hecho a partir de un valor

promedio conocido, estudiado previamente y de un dato a evaluar. Igualmente

se

puede

realizar

con

la

distribución exponencial, aunque esta expresión esta en función de un valor exponencial. FUENTES CONSULTADAS ’ WALPOLE, Meyers. Probabilidad y estadística. 6° edición. ’ Enciclopedia Encarta 2001. Microsoft Corporation.