Presentación de la Unidad 2 El ser humano es el más curioso de todos los seres que poseen inteligencia. No nos conformamos con saber cómo suceden las cosas que observamos, sino también por qué se presentan, de dónde proceden, con qué se relacionan, cómo van a funcionar después, cómo podemos modificarlas, etcétera. En esta búsqueda constante de respuestas se genera el conocimiento, y en particular las ciencias. En la primera unidad empezaste a trabajar con las funciones lineales que constituyen algunos de los modelos matemáticos más simples. Sabes que con ellas podemos representar fenómenos de movimiento con velocidad constante, pero también situaciones tan disímiles como el crecimiento del cabello, el gasto de agua de una regadera o los pagos de una deuda. Con estos sencillos modelos matemáticos empezaste a hacer algunas predicciones utilizando la tabla asociada o por medio de operaciones aritméticas que podías realizar de forma mental. En esta unidad, básicamente nos dedicaremos a sistematizar una forma de encontrar respuestas a preguntas que permiten tanto hacer predicciones sobre un fenómeno, como encontrar valores desconocidos de una situación a partir de lo que conoces. Este es un menú para que puedas navegar por los subtemas de la Unidad 2 1. Presentación 1.1 Presentación de la Unidad 2. Problemas sobre MRU 2.1 Planteamiento de ecuaciones lineales con una incógnita 2.2 Resolución de ecuaciones de primer grado 2.3 Relación entre la función lineal y= ax+b y la ecuación ax+b =0 3. Comparación del MRU de dos o más objetos 3.1 Representación gráfica del MRU de dos objetos en un mismo sistema de coordenadas. Alcances y encuentros de móviles 3.2 Estudio de los sistemas de ecuaciones lineales 2x2 3.2.1 Método gráfico de solución. Ventajas y limitaciones. Concepto de solución 3.2.2 Métodos algebraicos: suma y resta y, sustitución. Concepto de simultaneidad 3.3 Interpretación de la solución matemática en el contexto de los problemas sobre MRU 4. Evaluación de la Unidad 4.1 Evaluación de la Unidad

Presentación de la Unidad 2 En las ecuaciones, encontramos una valiosa herramienta matemática que permite acceder a lo desconocido, al establecer relaciones con lo que se conoce. Así, podemos ver a una ecuación como un aliado, una forma de plantear preguntas en lenguaje matemático, y a los procedimientos para resolverlas, como un camino para encontrar las respuestas. En esta segunda unidad revisaremos cómo se plantean y resuelven las ecuaciones de primer grado con una y dos incógnitas, mismas que están vinculadas con las funciones lineales. Ello nos permitirá no sólo sistematizar una forma de hacer predicciones, sino también poder comparar o combinar situaciones modeladas, ya sea de movimiento rectilíneo uniforme o de diversa índole. La Física y la Matemática constituyen una llave maestra para desentrañar el secreto de una gran variedad de situaciones vinculadas con el movimiento, con las fuerzas que actúan sobre él, con la rapidez de muchos eventos cotidianos, con los cambios del entorno, etc. Acompáñanos a utilizarla para abrir esta segunda puerta del curso de Álgebra y principios de Física. Los tsunamis y los sistemas de prevención En la introducción a la primera unidad, hicimos una pregunta respecto al devastador tsunami de Indonesia en diciembre del 2004: ¿Con cuánto tiempo de anticipación se pudo avisar a los gobiernos de otros países para que se pusieran a salvo sus pobladores? Para averiguarlo, comenzaremos con el caso para la costa de Indonesia más cercana al epicentro. Esta costa, llamada Banda Aceh, se encuentra a 150 km de donde se originó el tsunami.

Comentario [U1]: Epicentro Centro superficial del área de perturbación de un fenómeno sísmico.

Los tsunamis son grandes olas que llegan a la costa y que son provocados por terremotos en las placas tectónicas que se encuentran bajo las aguas del mar. Muy poco después de surgir la gigantesca ola, alcanza una rapidez constante aproximada de 600 km/h.

Esto significa que por cada hora, la energía (movimiento de la ola) se traslada 600 kilómetros en el agua. Una sencilla operación mental nos indica que transcurrió ¼ hr. para que la ola recorriera esos 150 kilómetros, lo que significa que en caso de haber existido un sistema automático de alerta de tsunamis, solamente habría podido avisarse con algunos minutos de anticipación la llegada de la enorme ola a esa costa. Pero, ¿cómo pudo haber sido para las costas de otros países? Para averiguarlo, primero debemos comprobar matemáticamente nuestro cálculo mental. Comprobando nuestro cálculo mental Para facilitarnos el manejo de los datos, usaremos el lenguaje matemático, por lo que el ejemplo anterior se puede ver de la siguiente manera: Recordemos la expresión que usamos para la rapidez constante de un móvil (V) que en un tiempo (t) se desplaza una distancia (d). Si no la recuerdas, regresa a la sección 3.4 de la Unidad 1 de esta materia. Podemos establecer que: V = d/t. Observa que la división de estos valores coincide con las unidades con las que medimos la rapidez: km/h, m/s, mi/h, etcétera. De la expresión para la rapidez podemos despejar la letra t, de tal forma que la ecuación se vería como:

Comentario [U2]:

t = d/ V, de donde concluimos que para calcular el tiempo en que la energía de la ola recorrerá la distancia d = 150 km, con rapidez igual a V = 600 km / h, tenemos que dividir 150 km / 600 km / h = 0.25 hr, y como sabemos, 0.25 hr es igual a 15 minutos. Ello coincide con nuestro cálculo mental previo. Otros países afectados por el tsunami De la misma forma en que calculamos el tiempo en que la ola del tsunami llegó a las costas de Indonesia, puedes calcular el tiempo en que, después de generado el tsunami, llegó a las costas de Tailandia, Sri Lanka y Somalia. Observa el mapa para ubicar el epicentro y las costas afectadas. Después, usa el procedimiento matemático empleado anteriormente para obtener el tiempo (t = d/V ¿te acuerdas?) y completa la información en la siguiente tabla. Anota cada respuesta en su cuadro correspondiente.

Comentario [U3]:

Lo anterior se puede apreciar también a través de una gráfica. En este caso, la gráfica nos ayuda a visualizar la relación de distancia y tiempo, y como ya sabes, la representación gráfica del movimiento rectilíneo uniforme (MRU) es una línea recta: ¿En qué tiempo llegan los tsunamis a las costas? Como observas, podemos dibujar la recta a partir de que conocemos dos de los puntos de la misma (¿recuerdas el teorema básico?: “Por dos puntos dados pasa una, y sólo una, recta”). Así es que con dos puntos de la tabla anterior, podemos establecer dónde debe dibujarse. Otra observación acerca de esta recta es que pasa por el origen. Esto se debe a que consideramos que cuando se genera la ola del tsunami, accionamos el reloj que marca el tiempo y la distancia recorrida en ese momento es cero. Una de las razones de la utilidad de la gráfica de la recta es que con ella podemos deducir fácilmente el tiempo que ha transcurrido en el momento en que la ola ha recorrido cualquier distancia. Por ejemplo, si una isla se encuentra a 4000 km del origen del tsunami, rápidamente podemos saber en qué tiempo llegará la primera ola del tsunami a dicha isla. Lo hacemos al determinar cuál es la abscisa que corresponde al kilómetro 4000 km. Pero, ¿Podríamos hacer el proceso inverso?, es decir ¿Podríamos saber cuánto ha recorrido la ola en determinado tiempo? Con tiempo para salvar la vida Efectivamente, también podemos hacer lo opuesto. Podemos conocer la distancia que ha recorrido la ola después de cierto tiempo. Por ejemplo, podemos preguntarnos ¿qué distancia había recorrido la ola una hora después de que se generó? Observa la gráfica anterior y determina la distancia. Cuando lo hayas hecho presiona:

Al buscar tu respuesta de manera gráfica, puedes darte cuenta que las soluciones que se obtienen observando la línea recta son solamente aproximadas. Podrás advertir que para obtener una solución exacta debemos usar las ecuaciones.

Comentario [U4]:

La precisión es muy importante Como ya viste anteriormente, las rectas se pueden representar con funciones lineales (si no recuerdas bien el tema, regresa al inicio del tema de Análisis gráfico y analítico de funciones lineales asociadas al movimiento rectilíneo uniforme). Si tenemos dos variables: una independiente (x) y la otra dependiente (y) que se relacionan con una función lineal, entonces su ecuación tiene la forma: y = ax + b Donde, en este caso, el número b representa el valor inicial de la distancia a la que se encuentra la primera ola del tsunami en el momento en que el reloj marcó 0 segundos. Por supuesto, la distancia desplazada al momento de 0 segundos es 0 km (dicho de otra forma, nuestra medición comienza en 0 km al tiempo t = 0 segundos). Lo anterior hace que nuestra ecuación se reduzca a la siguiente expresión: y = ax ¿Estás de acuerdo? Podemos determinar el valor numérico de a despejando precisamente la letra a: a = y/x.

Comentario [U5]: Variable independiente “La variable independiente es la manipulada por el experimentador por ejemplo el tipo de medicamento en un estudio clínico”. Comentario [U6]: Variable dependiente “La variable dependiente es la que no puede manipular el experimentador, y es el efecto de la variable independiente. Por ejemplo, el número de pacientes sanados por algunos medicamentos en un estudio clínico”.

Asignamos los valores de y y de x para cualquier par de puntos (coordenadas) de la tabla. Vamos a usar los datos que encontraste antes a = 1200 km / hr / 2 hr = 600 km / hr a = 2100 km / hr / 3.5 hr = 600 km / hr a = 5000 km / hr / 8 1/3 hr = 600 km / hr

para el primer punto para el segundo punto para el tercer punto

¿Qué observas en estos resultados? Resultado peculiar Seguramente te diste cuenta que el resultado de las divisiones siempre es el mismo. Dicho resultado tiene unidades de medición que corresponden a una rapidez y que es precisamente la rapidez de la ola (600 km/hr). Si generalizamos, tenemos que en una ecuación lineal del tipo y = ax + b, el número a representa la rapidez del móvil. Ahora veamos una situación que es más común en las regiones de las costas del estado de Guerrero en México y del estado de California en los Estados Unidos: los sismos o los temblores de tierra. Imagina que exactamente a las 7:19 hrs de cierto día se genera un sismo de 8 grados de magnitud en la escala Richter en algún punto sobre las costas de Guerrero. La rapidez de desplazamiento de la energía en un sismo es aproximadamente de 6 km/s para las ondas primarias (ondas P). Si queremos descubrir con cuánto tiempo de anticipación podríamos conocer la llegada de energía de un sismo, primero hay que encontrar la ecuación que describe este movimiento. Asigna la letra d para la distancia recorrida, t para el tiempo transcurrido y escribe la ecuación en el siguiente recuadro:

Ahora, considera que la distancia entre el epicentro del sismo y la ciudad de México es de 360 km y determina el tiempo en minutos que demora la energía en llegar a la ciudad de México. Escribe tu cálculo en el siguiente recuadro:

Comentario [U7]: a=1200 km/hr / 2 hr = 600 km/hr a=2100 km/hr / 3.5 hr=600 km/hr a=5000km/hr/8 1/3 hr=600km/hr

Comentario [U8]: Escala Richter “Es una escala que asocia números (del 1 al 10) con la intensidad de temblores de tierra y va desde el apenas perceptible por instrumentos (grado 1), hasta el de efectos catastróficos (grado 10). Comentario [U9]: Ondas P u Ondas Primarias Son las manifestaciones de energía que se generan al principio de una serie de ondas.

Queremos decirte que la situación descrita anteriormente sucedió el 19 de septiembre de 1985. Ese terremoto causó destrucción y muerte en la ciudad de México, principalmente. Y a partir de ese evento, el gobierno capitalino instaló un sistema automático de alerta de sismos, aunque desgraciadamente no funciona adecuadamente y tiene limitaciones importantes. Es probable que conozcas el caso de algunas víctimas de ese desastroso terremoto. Evaluación de salto

Haciendo preguntas con ecuaciones En los últimos ejemplos de movimiento rectilíneo uniforme relativos al tsunami y al terremoto de 1985 en la Ciudad de México, conocer el tiempo con que se puede contar para implementar medidas de seguridad se convierte en un asunto de vida o muerte en el que las creencias, la intuición o el “yo pienso que…” no tienen lugar. Para hacer una predicción desde el punto de vista de la ciencia, requerimos conocer cómo se comporta el fenómeno en cuestión y traducir al lenguaje matemático una pregunta. En este caso: ¿Cuánto tiempo tarda en llegar la onda de energía a determinado lugar? Así, representamos el comportamiento de este fenómeno con un modelo muy sencillo que parte de una ley de la Física sobre movimiento rectilíneo uniforme (d=vt, ¿Te acuerdas?). La trascripción de la pregunta al lenguaje matemático se redujo a plantear una ecuación de primer grado, en la que la incógnita era el tiempo. Retomemos el ejemplo de Sri Lanka. La pregunta ¿cuánto tiempo tarda la onda de energía que viaja a 600 km/hr en recorrer los 2, 100 km de distancia que separa a Sri Lanka del epicentro?, se traduce en la siguiente ecuación: 2, 100 = 600 t . Si recuerdas, resolvimos dicha ecuación con una simple división, utilizando la fórmula de la Física t=d/v, que es equivalente a d=vt, sólo que en ésta última, la distancia es la variable despejada. ¿Qué pasa si lo que desconocemos es la velocidad? ¿Cómo la despejarías de la fórmula d=vt? Acompáñanos hasta Guerrero con Alejandro, el hijo menor de Vicky, y su gran amigo César para ver con qué problema se enfrentaron. Un kayak en el Balsas En las vacaciones de diciembre, Alejandro y su amigo César decidieron ir a remar al río Balsas. Aunque saben nadar, les pareció conveniente iniciar en una parte del río donde la corriente no es muy rápida, y por supuesto, se pusieron un chaleco salvavidas para evitar cualquier percance. Alquilaron un kayak por una hora, y entusiasmados, se subieron y remaron en el sentido de la corriente del Balsas. Cuando llevaban 25 minutos decidieron regresar, pues ahora tendrían que remar contra corriente. El viaje de regreso les tomó 37.5 minutos, por lo que consumieron 2.5 minutos de más. Afortunadamente, tenían cinco minutos de tolerancia y no tuvieron que pagar media hora adicional por penalización cuando exceden la tolerancia. Como al día siguiente querían hacer un recorrido mayor (para visitar un restaurante donde venden unas riquísimas truchas asadas), decidieron calcular con qué velocidades se desplazaban río abajo y río arriba para calcular el tiempo del alquiler del kayak y evitar pagar de más. Por la tarde se pusieron a construir un modelo matemático que les ayudara a planificar su próximo paseo por el Balsas, ya que el restaurante al que querían ir está situado a 8 km del lugar donde rentan los kayaks. Al empezar a hacer las cuentas se percataron que les faltaba un dato. Así, investigaron que el día anterior habían recorrido 5 km cuando llegaron al punto donde decidieron regresar. Con esos datos obtuvieron la información que les faltaba

Comentario [U10]: Ecuación de primer grado Una ecuación de primer grado en una incógnita (también llamada ecuación lineal) es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que sólo se cumple para un cierto valor de la incógnita. Se reconoce porque cada vez que aparece la variable, su exponente es uno, aunque comúnmente no se escribe. Comentario [U11]: Variable despejada Recuerda que en el propedéutico se vio que cuando una variable está despejada aparece sola (como cuando en un accidente los paramédicos dicen “despejen” y significa que dejen solo al accidentado) en uno de los dos lados de la ecuación. Comentario [U12]: Río Balsas El río Balsas transita por los estados de Michoacán y Guerrero. En su recorrido se encuentran las presas Infiernillo y la Villita, y se presentan diversos tipos de vegetación y de fauna. La actividad económica emanada del Balsas recae principalmente en la siderúrgica, la generación de energía eléctrica, la planta industrial Fertinal y, cultivos de frutales y pesca. Este embalse es el más productivo de México ya que se calcula que produce el 20% de la producción pesquera del total de aguas interiores del País. Comentario [U13]: Kayak Embarcación muy ligera constituida por un bastidor de madera forrado de tela o pieles por todas partes excepto el orificio que da cabida al tripulante, ciñéndole el cuerpo para evitar que entre agua al casco. Pueden existir kayaks para dos tripulantes.

y calcularon el tiempo que requerirían rentar el kayak ¿Cómo lo hicieron? Analizaron la situación y supusieron que las velocidades del río y la de ellos al remar son constantes, por lo que decidieron utilizar el modelo del movimiento rectilíneo uniforme. Con esto en mente, organizaron la información como sigue:

El tiempo del kayak Seguramente, al igual que César y Alejandro, para el modelo, tanto del viaje de ida como del de regreso, pensaste en utilizar la fórmula d=vt asociada al MRU cuando es cero la distancia inicial recorrida, como sucede en este caso. Como ahora la velocidad es la cantidad que desconocemos, ¡Hay que despejarla! El tiempo multiplica a la velocidad, ¿Cómo lo quitamos? Por supuesto con la operación inversa, es decir dividimos los dos lados de la ecuación entre t. Así queda que v=d/t Velocidad del viaje de ida:Vi=d/t Vi=d/t Vi = 5 km/ 5/12 hr Vi = 60/5 km/hr Vi =12 km/hr

Velocidad del viaje de regreso: VR=d/t VR=d/t VR = 5 km / 5/8 hr VR = 40/5 km/hr VR = 8 km/hr

¿Cómo calculamos ahora el tiempo que requieren rentar el kayak? Bueno, para el tiempo total tenemos que considerar tres etapas: tiempo de ida, una hora para comer y tiempo de regreso. Además, sabemos que el restaurante de su interés está a 8 km. Para el tiempo de ida ti usamos la velocidad de ida: ti=d/vi = 8 km/12km/hr =8/12 hr = 2/3 hr, es decir, 40 minutos Para el tiempo de regreso tR, usamos la velocidad de regreso: tR= d/vR = 8 km/ 8 km/hr = 8/8 hr = 1hr, Tiempo para comer: tC =1hr Así el tiempo total es: ti + tR + tC = 2 horas 40 minutos Para no correr riesgos y disfrutar el paseo, decidieron rentar el kayak por 3 horas. ¡Comieron delicioso y se divirtieron en grande! Más adelante regresaremos con ellos en este estupendo viaje. Asegúrate de haber entendido el procedimiento que seguimos en este problema.

Comentario [U14]:

Análogamente se calcula para

De nuevo un “formato” Como has podido ver en los diferentes ejemplos que hemos trabajado sobre movimiento rectilíneo uniforme, la fórmula d=vt es muy versátil. Con ella, si conoces dos de los tres elementos involucrados (distancia, velocidad y tiempo), puedes fácilmente obtener el que falta. La distancia ya está despejada y obtienes la velocidad y el tiempo con un simple despeje. Más adelante, verás otras leyes o conceptos de la Física que tienen un comportamiento similar, como es el caso de la segunda Ley de Newton o el concepto de trabajo. Por lo pronto, sistematicemos cómo se resuelven las ecuaciones de primer grado, ya que también tienen muchas otras aplicaciones fuera de la Física. Empecemos por representar las formas más sencillas que tienen las ecuaciones de primer grado con una incógnita, es decir su “formato”. ¿Te acuerdas de esa idea? Éste es: ax= b, (en el caso de la distancia tienes d=vt que es lo mismo que vt=d), o bien, la expresión equivalente, ax–b=0. Cualquier ecuación de primer grado, por complicada que parezca, SIEMPRE se puede reescribir de alguna de estas formas si sabemos aplicar las operaciones que la simplifiquen. En las ecuaciones de grado superior (segundo, tercer grado, etcétera) generalmente nos quedamos con la forma en que la expresión algebraica está igualada a cero y hay quienes la llaman forma “canónica”. La importancia de utilizar una forma “canónica” para las ecuaciones de un cierto grado radica en que nos facilita el estudio de los procedimientos para resolverlas. Este hecho resultará muy evidente en la cuarta unidad, cuando estudiemos las ecuaciones de segundo grado.

En el caso de las ecuaciones de primer grado, escritas en la forma (ax= b) o su equivalente (ax–b=0), la solución es ¿Estás de acuerdo?

.

Comentario [U15]: Canónica (Del latín canonicus). Que se ajusta exactamente a las características de un canon de normatividad o perfección. En Matemáticas, en ocasiones se usa este adjetivo para referirse a las formas geométricas o algebraicas que representan a muchas otras de la misma clase que pueden reducirse o transformarse a una forma más simple: la canónica.

Como ya te mencionamos, estas formas o “formatos” nos guían en la simplificación de ecuaciones lineales aparentemente más complejas, como verás a continuación. Por cierto, ¿te gustan los papalotes? Acompaña a César y Alejandro en su aventura: Construyendo un papalote Después de su viaje a Guerrero, Alejandro y César decidieron, a finales de enero, construir un papalote para aprovechar el viento que se presenta en la Ciudad de México en esa época del año. Además, pensaban posteriormente hacer un viaje al río Papaloapan por lo que también allá podrían usarlo. Determinaron empezar con un diseño muy sencillo y como tenían que comprar el material para el armazón y sólo lo venden en tiras de dos, tres o cuatro metros, hicieron un

croquis a escala para ver dónde iría el armazón y cuánto material requeriría. Como puedes observar, el armazón está compuesto por las cuatro orillas del cuadrilátero que forma la figura y por sus dos diagonales. De otro modo, no quedaría firme su papalote. Sobre el croquis hicieron cálculos aplicando lo que sabían de Geometría (Teorema de Pitágoras, que manejarás como experto en el curso Geometría y Geografía que tomarás el próximo semestre). Además, redondearon al entero más cercano los dos lados más grandes del cuadrilátero. Al ir al local donde venden el material, se dieron cuenta que con el dinero que tenían para el armazón sólo podían comprar una tira de madera de tres metros y otra de dos, por lo que no les alcanzaba ese material para el papalote con las medidas que habían considerado. Para no estar tanteando cuáles serían las medidas correctas, Alejandro rápidamente escribió símbolos sobre el croquis que lo llevaron a plantear una ecuación, cuya solución les resolvió el problema. ¡Es lo bueno de saber Matemáticas! A continuación te presentamos el croquis con los símbolos que escribió Alejandro sobre cada lado y cada diagonal. Obsérvalos con detenimiento y plantea una ecuación para representar la primera pregunta que él se hizo: ¿Cuál debe ser la medida de los lados en centímetros para que me alcance la tira de madera de tres metros (300 centímetros)?

Comentario [U16]: Papalote Del náhuatl papalotl (mariposa). Juguete ligero de papel, plástico o tela delgada cuyo armazón consta de varitas de madera ligera. Se construyen en una gran variedad de figuras y también se le conoce con el nombre de cometa. El reto es elevarlo y mantenerlo en el aire sujeto con un cordel. Comentario [U17]: Papaloapan Tiene también la raíz náhuatl papalotl (mariposa).

Una ecuación para el papalote Al mirar los símbolos sobre el dibujo del papalote, la ecuación que corresponde a la pregunta de Alejandro es: 5x + 5x + 10x + 10x = 300 cm. Pero si te fijas, la incógnita aparece varias veces, por lo que la ecuación no está escrita en la forma canónica ni en su equivalente. ¿Qué se te ocurre hacer para convertirla a alguna de estas dos formas? Quizás ya se te había ocurrido mientras mirabas el croquis y pensabas en la pregunta de Alejandro. Si es así, ¡felicitaciones!. Lo que hacemos para que la incógnita aparezca sólo una vez es muy simple: sumar algebraicamente el número de veces que tenemos x, es decir, sus coeficientes. Esto simplifica la ecuación de la siguiente manera: 30x = 300 ¿estás de acuerdo? Y esta ecuación ya está en la forma ax= b.

Para dejar sola a la x, dividimos toda la ecuación entre 30, así: Al tener el valor de x=10, ya podemos saber si les alcanzó el material que podían comprar, es decir una tira de tres metros (300 cm) y otra de dos (200 cm). Veamos en el dibujo a escala, las medidas resultantes. Comprobar si la solución es correcta nos lleva a sustituir el valor que encontramos en el lugar que ocupa la incógnita, hacer las operaciones indicadas y ver que se cumpla la igualdad. En este caso es fácil ver que: 5(10) + 5(10)+ 10(10)+10(10) = 300, o bien, en la ecuación simplificada, tenemos: 30(10)=300. Por lo tanto, la tira de madera de tres metros les alcanza perfectamente para el contorno del papalote. Ahora necesitamos saber: ¿les alcanza la tira de dos metros para las diagonales?, ¿les sobra material? Como puedes ver, les sobraron 10 cm de la segunda tira (ya que 80+110=190 cm), material que utilizaron para enredar el cordel con que sostuvieron su papalote por los aires en un valle de la carretera que va al cerro del Ajusco. Los disfraces de las ecuaciones En el imaginario “mundo de las ecuaciones” de primer grado, algunas se quieren pasar de listas y utilizan “disfraces” para parecer horrendas. Ya te comentamos un secreto: Todas, por complicadas que parezcan, se pueden convertir a la forma ax= b (o a la canónica ax–b=0) y éstas no nos asustan. Para saber cómo quitarles el “disfraz”, te damos algunos consejos: •

Trata siempre de convertirla a un caso conocido, es decir, a uno que ya sepas como reducir a la forma ax= b . Para ello, es útil:

¿Te acuerdas de la idea de balanza que se vio en el propedéutico para ilustrar la igualdad entre expresiones algebraicas? Tenemos que mantener el equilibrio de la igualdad (balanza). Por ejemplo, no se vale tomar la goma y quitar lo que no queremos que esté. La forma de hacerlo es sumar o restar algo de AMBOS lados de la ecuación, o bien multiplicar o dividir (si eso nos conviene) por cualquier número diferente de cero TODOS los términos de LOS DOS lados de la ecuación.

Con esto en mente, verás que resulta sencillo resolver ecuaciones, aunque de entrada parezcan muy complicadas. Veamos los siguientes ejemplos: a) 2x+1=5. ¿Cuál es la diferencia con el formato ax=b? Bueno, el 1 no debería estar del lado izquierdo. ¡Quitémoslo restando 1 a ambos lados de la ecuación! Queda:

¡Lo logramos! ¿Cuál es su solución? b) 3(x+2)=9. ¿Qué hay de nuevo?, ¿qué significa?, ¿como lo puedes quitar? Quitando disfraces ¿Estás de acuerdo en que lo nuevo es el paréntesis? Éste nos está indicando que 3 multiplica tanto a x como a 2. Por lo tanto, para quitar el paréntesis hay dos opciones: hacemos la multiplicación indicada, o bien eliminamos el 3 DIVIDIENDO TODA la ecuación entre 3. Tú decides qué prefieres. Te presentamos cómo queda sin disfraz en ambas opciones:

¿Ya viste cómo obtenemos así ecuaciones muy simples? YA sabes resolver cualquiera de ellas. Al hacerlo, obtenemos que x= 1. ¿Estás de acuerdo? Veamos ahora el “disfraz” que se puso otra ecuación pretendiendo asustarnos:

¿Cuál es el elemento diferente? ¿Te estorba? ¿En qué operación está implicado? ¿Cómo lo quitas? Intenta resolverlo y luego presiona el botón:

Le ganamos a las ecuaciones ¿Estás preparado para una confrontación con las ecuaciones? Ya sabes algunos secretos para enfrentarte a ellas, lo que permitirá que tú seas el ganador. Resuélvelas y coloca las respuestas en los espacios correspondientes.

Como sabes hay varios caminos dependiendo de lo que uno decide simplificar primero. Selecciona el número de la ecuación para que revises el proceso en el que tengas duda.

Dos disfraces más ¿Ya ves cómo no pueden asustarnos? Por más que lo intenten, siempre podremos convertir las ecuaciones de primer grado en una incógnita, a la forma ax = b o a su equivalente, ax - b = 0. Hay dos situaciones más que quisiéramos mostrarte. a) Analicemos la ecuación: 5x + 3 - x = 2x + 1

Tómate unos momentos para pensar al respecto. Realiza un diálogo interno guiándote con preguntas emanadas de los consejos que te dimos. ¿Ya lo tienes? En este caso, la incógnita, no sólo aparece más de una vez, sino que lo hace en AMBOS lados de la ecuación, y debe de estar x en un SOLO lado. Para lograrlo, restamos 2x en los dos lados y ya tenemos los términos de x sólo del lado izquierdo. Recuerda que según lo que uno decida hacer primero, se puede seguir uno u otro camino. Lo importante es llegar con pasos válidos al mismo resultado. Resolvamos esta ecuación a continuación:

b) Ahora trabajemos con la ecuación

¡Tiene dos denominadores!

Podemos seguir dos caminos: Primero quitamos uno (multiplicando todo por 3) y luego el otro (multiplicando todo por 2), o bien lo intentamos quitando los dos al mismo tiempo. ¿Cómo? Multiplicando todo por 6 (¿te acuerdas del máximo común denominador?) ¿Qué prefieres?

Hagamos una síntesis Hemos revisado contigo las principales variantes que se presentan en las ecuaciones de primer grado con una incógnita. Otras ecuaciones pueden combinar algunas de estas variantes. Por ejemplo, incluyen denominadores y paréntesis que implican alguna multiplicación, o bien la incógnita está en ambos lados de la ecuación, pero también existen paréntesis y denominadores. Por eso es importante que tengas clara la idea de cómo ir simplificando la ecuación, según lo que se presente

en ella. Recuerda que en ese camino puedes guiarte al hacerte preguntas sobre cómo quitar tal o cual elemento, cómo conviertes la ecuación a otra que ya sabes resolver, etc. Para ayudarte en ese camino, preparamos para ti una síntesis de los diversos casos que hemos presentado, junto con las ideas que nos permitieron convertir las ecuaciones respectivas en otras más simples que ya sabíamos resolver porque fácilmente se transformaban en la forma ax=b. Imprímelo para que lo tengas contigo cada vez que lo requieras. Síntesis de los ejemplos revisados y las estrategias utilizadas Diferencias con la forma Ejemplos de ecuaciones ax=b, o con una ecuación que ya sabemos resolver Hay dos términos en el lado 1. 3x+5=2 izquierdo de la ecuación. 2. 3(x+2)=9

3. 2x-x-5+3x=11

4. 5x+3-x=2x+1

5.

6.

Ideas para transformar las ecuaciones a casos ya conocidos que llevan fácilmente a la forma ax=b. Restamos 5 en ambos lados de la ecuación.

Forma en que se transforman las ecuaciones

3x=-3 Ya está en la forma ax=b. Opción 1: 3x+6=9. Quitamos el paréntesis, ya sea Hay un paréntesis que indica Opción 2: x+2=3. efectuando la multiplicación, o multiplicación. Ambas tienen la forma del dividiendo TODA la ecuación entre 3. ejemplo 1. Tenemos que “juntar” los términos en Al hacer la suma tenemos: La incógnita aparece varias que aparece la incógnita, sumándolos 4x-5=11 veces en el mismo lado de la algebraicamente, es decir, sumamos sus De nuevo es similar a la ecuación. coeficientes cuidando los signos. del ejemplo 1. Paso 1: 5x-x-2x+3=1 Para convertirla al caso anterior, hay La incógnita aparece varias que tener la incógnita en un solo lado de Paso 2: 2x+3=1 veces y en distintos lados de la la ecuación. Luego sumamos sus De nuevo es similar a la ecuación. coeficientes cuidando los signos. del ejemplo 1. La ecuación resultante Existe un denominador, en Multiplicamos TODA la ecuación por 2, similar al ejemplo 1 es: este caso, el 2. que es el denominador, y simplificamos. 5x-3=22 2(x+2)+3(x-1=6. Parecida Existen dos o más Multiplicamos TODA la ecuación por al ejemplo 2, pero con dos denominadores, en este un múltiplo de ambos denominadores. paréntesis. Conviene ejemplo 2 y 3. En este caso por 6. multiplicar para quitarlos.

Verificando aprendizajes Estamos seguros que has aprendido a resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita. Para que verifiques tus avances, en un archivo digital resuelve las siguientes ecuaciones y envía el procedimiento a tu asesor. Te incluimos la respuesta a la que debes llegar. 1.

x=1

2.

x=3 x=2

3. x=8/5 4. x= -3/2 5. U2.1 Puedo resolver ecuaciones de primer grado

Retomando las funciones lineales Estamos seguros de que ya cuentas con los elementos que te permiten resolver diversas ecuaciones de primer grado. Como ya te comentamos, a través de ellas puedes encontrar respuestas a preguntas que surgen de problemas de la Física, de otras ciencias e incluso de situaciones cotidianas. En la unidad anterior trabajamos con las funciones lineales cuyo formato es y=ax+b y a través de ellas, además de representar diversos movimientos con velocidad constante (MRU), también nos fue posible modelar el gasto de agua de una regadera, el número de calorías ingeridas, el crecimiento del cabello y los pagos fijos en la compra de una computadora. Para encontrar algunos valores en los ejemplos estudiados, en ocasiones tuvimos que resolver alguna sencilla ecuación. Por ello, en esta sección del programa veremos la relación que existe entre la función lineal y las ecuaciones de primer grado. Empecemos por recordar cómo son las gráficas de las funciones lineales dependiendo de los valores que asignemos a los parámetros a y b. Observa las siguientes gráficas.

¿Y la relación con las ecuaciones? Cuando utilizas una función lineal para modelar una situación o fenómeno, su gráfica te permite visualizar el comportamiento general e incluso puedes relacionar un valor específico de una de las variables con el que le corresponde a la otra. Sin embargo, si no contamos con cuadrícula, o bien el valor de una de las dos variables NO es un entero o está fuera de los que estamos incluyendo en la gráfica, tendremos imprecisiones o no podremos encontrar el resultado por este camino. En casos como éstos, las ecuaciones acuden en nuestro auxilio.

Tomemos una de las funciones lineales del ejercicio anterior: valores que le corresponden a x cuando y = 0 o cuando y = 1?

por medio de la gráfica ¿puedes proporcionar los

Comentario [U18]: Parámetro Cantidad que interviene, (como variable auxiliar) en la ecuación de una recta, de una curva o de una expresión algebraica general y a la cual se le puede atribuir la cantidad deseada.

En situaciones como ésta podemos plantear una ecuación para cada uno de los valores que deseamos encontrar. En este caso tenemos: respectivamente.

¿Qué significado gráfico tienen los resultados de cada una de las ecuaciones? Reflexiona un momento sobre ello, El significado gráfico Revisemos ahora qué representa en la gráfica la solución de cada una de las ecuaciones. En la primera hemos obtenido que x=4 cuando y = 0. Éstas son las coordenadas del punto donde la recta corta al eje x, es decir, el punto (4, 0 ). Así, cuando tú resuelves una ecuación de la forma ax+b=0 de hecho lo que estás encontrando es la abscisa (primera coordenada) del punto donde la gráfica de y=ax+b corta al eje de las x. Utilizarás esta forma de encontrar la intersección de una gráfica con el eje x en cursos posteriores (¡y en la vida!) donde se trabajan otras funciones y ecuaciones de curvas diversas, en particular, en la asignatura de Geometría Analítica y en Modelos cuantitativos en ciencias de la vida. Por su importancia, pongamos el procedimiento en un recuadro. Para encontrar la intersección de la gráfica de la función y=ax+b con el eje x: 1. Le damos a y el valor de cero, lo que nos lleva a la ecuación ax+b=0. 2. Al resolverla, obtenemos la abscisa del punto de intersección buscado.

En ocasiones, trazar la gráfica de una función no resulta tan sencillo como en el caso de las lineales (cuya gráfica es una recta). Uno de los recursos que se utilizan para facilitar la tarea radica en encontrar sus intersecciones con el eje x, es decir, se recurre a igualar la función a cero y resolver la ecuación correspondiente. Por eso a los resultados de la ecuación se les llama “ceros” de la función, ya que en ellos (la y) vale cero. Si recuerdas resolvimos dos ecuaciones. La primera corresponde a y = 0 y ya vimos su significado. ¿Qué sucede con la otra?, ¿gráficamente qué representa la solución de la ecuación que formamos cuando le dimos a y el valor de 1? Una función, muchas ecuaciones

Veamos ahora el significado gráfico del resultado de la ecuación es la abscisa de un punto?, ¿cuál?, ¿ya lo tienes?

. Al resolverla obtuvimos que x=6. ¿De nuevo

¡Claro! Es la abscisa del punto (6, 1). Aunque este punto, en general, no es tan importante como la intersección con el eje x, puede serlo en el contexto de un problema determinado cuando necesitemos conocer o predecir algún valor. En los problemas de movimiento rectilíneo uniforme y en los otros que también representamos con funciones lineales surgía una pregunta que daba paso a una ecuación. Así, para una función determinada y=ax+b, cada pregunta que hagamos para conocer el valor de alguna de las dos variables, nos lleva a plantear una ecuación. Si lo que conoces es el valor de x, como la y está despejada, simplemente lo sustituyes y haces las operaciones indicadas. Si por el contrario, el valor conocido es el de y, lo sustituyes y con ello obtienes una ecuación de primer grado cuya incógnita es x, y esas ¡ya las sabes resolver! En el ejemplo cuando y=1, la ecuación resultante es precisamente

.

En resumen, a partir de una función puedes plantear tantas ecuaciones como lo requieras para conocer los valores de x que corresponden a los de y que sean de tu interés. Este es el punto clave para predecir los resultados de una situación que estés modelando por medio de una función. Ya estás listo ahora para el siguiente tema.